1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos números reais.

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Salvador Varejão Carvalhal
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1 I - Funções reais de variável real 1. Números Reais Números naturais, números relativos, números racionais e números reais. De uma forma muito simples vamos recordar os números: Números Naturais N - 1, 1+1=2, 2+1,... Números Relativos Z - são os números naturais, os seus simétricos e o 0., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Números Racionais Q - são todos os números que possam x representar-se na forma, com x e y Z e y 0 y Números Reais R - Além dos números racionais englobam também os irracionais (exemplos: 2, π, ) Obviamente N Z Q R 1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos números reais. Vamos admitir o conjunto R, cujos elementos são os números reais, e no qual supomos definidas duas operações: adição (+) e multiplicação ( ). Na axiomática dos números reais os axiomas estão divididos em três grupos: Axiomas de Corpo Axiomas de Ordem Axioma de Supremo 1ª aula teórica. pág. 1

2 Axiomas são propriedades/preposições que não se demonstram, pois admitem-se (definem-se) como verdadeiras. Axiomas de um Corpo Axioma 1 - A adição e a multiplicação são operações comutativas no conjunto dos reais. x + y = y + x e xy = yx Axioma 2 - A adição e a multiplicação são operações associativas no conjunto dos reais. x y z x y z xy z = x yz ( ) ( ) + + = + + e ( ) ( ) Axioma 3 - A multiplicação é distributiva em relação à adição Quaisquer que sejam x, y, z R x( y + z) = xy + xz Axioma 4 - A adição e a multiplicação são operações com elemento neutro: Os elementos neutros das duas operações são números reais distintos. Tem-se para todo o x R, x + 0 = 0 + x = x e x. 1 = 1. x = x Axioma 5 - Todo o número real tem um simétrico (isto é, qualquer que seja o real x existe pelo menos um y R tal que x + y = 0; todo real distinto de zero tem inverso (quer dizer, qualquer que seja o real x 0, existe pelo menos um y R tal que ( xy = 1). Axiomas de Ordem + Axioma 6 - O conjunto dos números positivos, R, é um subconjunto de R fechado para as operações de adição e de multiplicação (esta última afirmação significa que, se x e y são números positivos, a sua soma e o seu produto também o são). Nota: um número real diz-se negativo sse o seu simétrico é positivo. 1ª aula teórica. pág. 2

3 Axioma 7- Qualquer número real ou é positivo, ou é negativo ou é nulo. Axioma do Supremo Axioma 8 - Qualquer subconjunto de R majorado e não vazio tem supremo. 1.2 Intervalos. Conjuntos ilimitados. Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto. Sendo a, b R e a b é costume designar-se por [ a, b],[ a, b[,] a, b] e] a, b[ respectivamente, os conjuntos dos reais, x que verificam as condições: a x b, a x < b, a < x b e a < x < b. Repare que: a, b é um intervalo fechado de extremos a e b [ ] ] a, b [ é um intervalo aberto de extremos a e b [ a, b[ e ], ] a b são intervalos semi-fechados ou semi-abertos Conjuntos ilimitados. Sendo a R existem dois tipos de intervalo de origem em a ilimitados à direita: O conjunto fechado [ a, + [ O conjunto aberto ] a, + [ O próprio conjunto R é também considerado um intervalo ilimitado, + e designado às vezes por ] [ Majorante e minorante. Seja K um subconjunto de R e a e b números reais: Diremos que b é majorante do conjunto K sse qualquer elemento de K for menor ou igual a b. 1ª aula teórica. pág. 3

4 Diremos que a é minorante de K sse a K = [ 1, 6] 1 é minorante, mas também o -2 é um minorante 6 é majorante mas também o 7 é majorante x, x K K = ] 0, + [ Neste caso qualquer número negativo é minorante (o 0 também é um minorante). Este conjunto não tem majorantes. R não tem majorantes nem minorantes Definições: Seja K R. K diz-se majorado (ou limitado superiormente, ou limitado à direita) sse tiver majorantes. K diz-se minorado (ou limitado inferiormente, ou limitado à esquerda) sse tiver minorantes. K diz-se limitado se for majorado e minorado. 2, , 4 { };{ 0 };{,,, } e ] [ K diz-se ilimitado se não for limitado.,,4 3, + ] + [ ; ] ] e [ [ Seja K R. Pode existir ou não em K um elemento maior de que todos os outros, isto é pode existir ou não um número real c que verifique conjuntamente as condições: c K e c é majorante de K. Se existir chama-se máximo do conjunto. Analogamente, o mínimo de K, se existe, é o minorante de K que pertence a K. Nota: O máximo ou mínimo a existir é único. 1ª aula teórica. pág. 4

5 Exemplos { 0, 1} tem máximo 1 e mínimo 0 [ 0, 1] tem máximo 1 e mínimo 0 ] 2, 9] tem máximo 9 e não tem mínimo (-2 é minorante mas não pertence ao conjunto) Os conjuntos R e não têm mínimo nem máximo Supremo e ínfimo Seja K R, designemos por V o conjunto de todos os seus majorantes (ter-se-á que V = sse k não for majorado). Chama-se supremo de K (e designa-se por sup K o elemento mínimo do conjunto V (no caso de V não ter mínimo dir-se-á que K não tem supremo). Nota: Quando o supremo de k existe, é único e pode pertencer ou não ao conjunto K; pertence certamente ao conjunto V, isto é, é um majorante de K (precisamente o menor de tais majorantes). Raciocínio idêntico pode ser feito para o ínfimo de K ou inf K, ou seja representa o maior dos minorantes. É óbvio que qualquer conjunto K que tenha máximo tem supremo, sendo sup K = max K; Assim como qualquer conjunto com mínimo tem ínfimo igual ao mínimo inf K = min K. sup[ 0, 1] =max[ 0, 1] = 1 ; inf[ 0, 1] =min[ 0, 1] = 0 sup ] 0, 1[ = 1 ; inf ] [ 0, 1 = 0 Nota: No intervalo aberto ] 0, 1[ não existe máximo nem mínimo. 1ª aula teórica. pág. 5

6 2. Noções topológicas no conjunto dos reais Módulo, distância, vizinhança. Def.1.1 Seja x R, designa-se módulo ou valor absoluto ao real positivo (ou nulo), x x se = x se x 0 x < 0 Prop.1.2 * Sejam x e y, dois números reais, então: (1) x 0 (2) x x (3) x = x (4) xy = x y (5) se y 0, x = y (6) x + y x + y (7) x y x y (8) se n N, x y n x = n x Equações com módulos x = 0 x = 0 x = a x b = a x = a x = a x b = a x b = a * A demonstração destas propriedades encontra-se no livro do Prof. Campos Ferreira 1ª aula teórica. pág. 6

7 Inequações com módulos + Supondo a R e b R x < a x a x < a x > a a < x a x a a x < a x ] a, a[ x a x [ a, a] ], a[ ] a + [ ], a] [ a + [ x > a x > a x < a x, x a x a x a x, x < 0 x x 0 x = 0 x < b x x + 1 se x a) x + 1 = ( x + 1 ) se x + 1 < 0 b) x + 2 = 3 x + 2 = 3 x + 2 = 3 x = 5 x = 1 c) x + 2 < 3 3 < x + 2 < 3 5 < x < 1 d) x + 2 > 3 x + 2 < 3 x + 2 > 3 x < 5 x > 1 Def.1.3 Distância entre dois números reais Seja x, y R, define-se distância entre x e y, d( x, y) = x y Prop.1.4 * Sejam x, y, e z R e d a distância definida anteriormente então, são válidas as três propriedades: (1) d( x, y) 0 e d( x, y) = 0 sse x = y (2) d( x, y) d( y, x) = (simetria da distância) (3) d( x, z) d( x, y) + d( y, z) (desigualdade triangular) 1ª aula teórica. pág. 7

8 Def.1.5 Vizinhança Seja a um n.º real, dado um n.º ε > 0, designa-se por vizinhança de a, de raio ε, ao conjunto V ( a) = { x : d( x, a) < ε} x R : x a < ε Exemplo: 1 (5) = x V { : x 5 < 1} R ={ x R : 4 < x < 6} ε R = { } 2.2- Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto. Prop.1.6 Seja A um subconjunto de números reais, A R, e b um número real. Diz-se que: (i) b é um ponto interior ao conjunto A se existir uma vizinhança de b contida em A, (isto é se existir ε >0 Tal que Vε ( b) A). (ii) b é um ponto exterior ao conjunto A se existir uma vizinhança de b disjunta de A isto é se existir ε >0 tal que Vε ( b) A =. (iii) b é um ponto fronteiro de A se b não for ponto interior nem ponto exterior de A. (iv) b é um ponto aderente de A se V ε ( b) A φ (v) b é um ponto de acumulação de A se V ε ( b) ( A { b} ) φ Faça a aplicação dos conhecimentos anteriores ao conjunto A A = 1,4 10 ] ] { } 1ª aula teórica. pág. 8

9 Def.1.7 Dado um conjunto A R, designa-se: (1) Interior de A, int(a) (ou o A), o conjunto das pontos interiores de A. (2) Exterior de A, ext(a), o conjunto dos pontos exteriores de A. (3) Fronteira de A, fr(a), o conjunto dos pontos fronteiros a A. (4) Aderência de A, ou fecho de A, o conjunto int(a) fr(a) e denota-se por A, ( A = A fr (A)) (5) Derivado de A, A, é o conjunto dos pontos de acumulação. (1) B = [ 0,1 ] ] 0,1[ 0,1 B =[ 0,1] B = [ 0,1 ] ],0[ ] 1 + [ int( B ) = fr(b)={ } ext (B) =, (2) X = int ( X ) = fr(x)= X = X = ext(x)=r (3) X =R int(x)=r fr(x)= X =R X =R ext (X)= 1ª aula teórica. pág. 9

10 Obs.: c c Sendo X o complementar do conjunto X ( X =R \X) c Qualquer que seja X R e X : c (i) int( X )=ext(x) c (ii) fr( X )=fr(x) (iii) int(x) X X X 2.3- Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Conjuntos limitados. Def.1.8 Um conjunto A R diz-se aberto se coincide com o interior (A= A) e A R diz-se fechado se coincidir com o fecho ( A = A). A=] 0,5[ A é aberto B=[ 0,3] B é fechado C=] 0,5] C não é aberto nem fechado Def.1.9 Conjunto limitado Um conjunto A R diz-se limitado se, dado um elemento b A, + existe ε R tal que A Vε (b). Caso contrário diz-se que A é ilimitado. 4 (1) B=[ 5,3[ ] 10,100[ { π,10 } B é limitado (2) C= ],π ] C não é limitado, diz-se então que é ilimitado. 1ª aula teórica. pág. 10

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