Noções Topológicas em R n

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Igor Filipe Camelo
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1 Noções Topológicas em R n Revisão - norma e distância em R n Chama-se norma Euclideana em R n à norma associada ao produto interno canónico em R n, isto é, à função definida por PP : R n v R x v PxP x x x x n 2 Tal como todas as normas, verifica as seguintes propriedades: S PxP u 0,x R n ; S PaxP a PxP, x R n e a R; S Px yp t PxP PyP,x, y R n ; S Se PxP 0 então x 0. Chama-se distância (ou métrica) associada à norma Euclideana em R n à função d : R n R n v R onde P.P é a norma Euclideana. Ÿx, y v dÿx, y Px " yp Portanto, dÿx, y Ÿx 1 " y Ÿx n " y n 2.

2 A distância Euclideana goza das seguintes propriedades: S dÿx, y u 0,x,y R n ; S dÿx, y 0 sse x y; S dÿx, y dÿy, x,x, y R n ; S dÿx, z t dÿx,y dÿy, z,x, y, z R n. Nota: Qualquer função distância associada a uma norma verifica estas propriedades, que resultam das propriedades da norma. Bola aberta e vizinhança Definição: Sejam a R n e r R. Chama-se bola aberta de centro a e raio r ao conjunto B r Ÿa x R n : dÿx, a r. representa-se também por BŸa, r. Nota: Em R, as bolas abertas são intervalos abertos. Definição: Qualquer subconjunto de R n que contenha uma bola aberta de centro em a diz-se uma vizinhança de a. Isto é, V é uma vizinhança de a se existe algum r 0 tal que B r Ÿa V. Nota: qualquer bola aberta é vizinhança do seu próprio centro e facilmente se mostra que é vizinhaça de qualquer um dos seus pontos.

3 Noções Topológicas Elementares Definição: Seja S um subconjunto de R n e a R n. S a diz-se um ponto interior de S, se S for uma vizinhança de a, isto é, se r 0 : B r Ÿa S; S a diz-se um ponto exterior de S se for interior ao seu complementar; S a diz-se um ponto fronteiro de S se não for interior nem exterior ao conjunto S. Nota: da definição resulta imediatamente que: v a é um ponto exterior de S sse existe uma bola de centro em a totalmente contida no complementar de S, isto é: ou seja, r 0 : B r Ÿa R n \S; r 0 : B r Ÿa 9 S. v a é um ponto fronteiro de S sse qualquer bola de centro em a tem ponto de S e do seu complementar, isto é: r 0 B r Ÿa 9 S p7b r Ÿa 9 ŸR n \S p. Notação: Sendo S um subconjunto de R n, interior de S v ints conjunto dos pontos interiores de S; exterior de S v exts conjunto dos pontos exteriores de S; fronteira de S v frs conjunto dos pontos fronteiros de S. (A fronteira de S representa-se também por S.)

4 Proposição: Sendo S um subconjunto de R n, S ints S; S exts R n \S; S R n ints :exts :frs. ( : representa a união disjunta de conjuntos.) Definição: Um subconjunto de R n diz-se aberto se todos os pontos seus pontos forem pontos interiores. Portanto S R n é um conjunto aberto sse ints S. Nota: A união finita ou infinita numerável de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. (: nn A n x: existe i N tal que x A i diz-se uma união numerável de conjuntos.) A intersecção finita de conjuntos abertos é ainda um conjunto aberto. A intersecção infinita de conjuntos abertos pode não ser um conjunto aberto! Definição: Um subconjunto de R n diz-se fechado se se o seu complementar for aberto. Proposição: S R n é um conjunto fechado sse frs S. Nota: Um dado conjunto pode ser aberto, fechado, nem aberto nem fechado e simultaneamente aberto e fechado.

5 Definição: Chama-se fecho ou aderência do conjunto S à união de S com a sua fronteira que se representa por S. Portanto S ints : frs. Um ponto a diz-se aderente a S se pertencer S. Nota: O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Nota: S é fechado sse S S. Definição: Diz-se que o ponto a R n é ponto de acumulação de S R n se em toda a vizinhança de a existe uma infinidade de pontos de S. Nota 1: É imediato que a é ponto de acumulação de S sse em toda a bola aberta de centro em a existe uma infinidade de pontos de S. Nota 2: Prova-se que a é ponto de acumulação de S sse toda a bola aberta de centro em a tiver pelo menos um ponto de S diferente de a. Chama-se derivado de S ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S e denota-se por S U. Nota: Um conjunto finito não tem pontos de acumulação.

6 Definição: Um ponto a de S diz-se isolado se existir r 0 tal que B r Ÿa 9 S a. Definição: Um conjunto S diz-se limitado se existir alguma bola que o contenha. Definição: Um subconjuntos de R n diz-se compacto se for limitado e fechado. Nota: Os intervalos a, b, com a, b R, são compactos de R.

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