José Amaral. Majorante de um conjunto. Minorante de um conjunto. Supremo e Máximo de um conjunto

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Ana Luísa Costa Aveiro
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1 José Amaral 1 p001-p063 : Lógica matemática jda@iselpt Teoria dos conjuntos elações binárias e relações de equivalência Programa: Noções topológicas em Complementos de funções reais de variável real Cálculo diferencial em Cálculo integral em n Cálculo diferencial em p064-p077 : Valor absoluto de um número real; propriedades Ver esolver 1 ou exercícios Exemplo : Determine o conjunto de verdade da condição: Bibliografia: AM I e M I Acetatos das Aulas n Cálculo diferencial em EngManuel Messias EngManuel Messias x 3 x < 1 x x + 7 p078-p081 : Conceito de 3 Majorante de um conjunto U 4 Majorante Minorante Supremo Ínfimo a é majorante da U se x U : x a Minorante de um conjunto U a é minorante da U se x U : a x Máximo Mínimo de um conjunto Dominar os conceitos Fazer exercícios se for importante para o domínio dos conceitos Supremo e Máximo de um conjunto U Ao menor dos majorantes de um conjunto U dá-se o nome de supremo do conjunto Se o supremo pertencer ao conjunto toma o nome de máximo do conjunto Ínfimo e Mínimo de um conjunto U Ao maior dos minorantes de um conjunto U dá-se o nome de ínfimo do conjunto Se o ínfimo pertencer ao conjunto toma o nome de mínimo do conjunto 1

2 p08-p10 : Noções Topológicas em 5 Distância 6 Conceito de Distância Vizinhança Ler com atenção Dominar os conceitos Fazer exercícios Ponto Interior Exterior Conjunto Aberto Fechado Seja E um conjunto de elementos quaisquer Chama-se distância, ou métrica, sobre E, a qualquer aplicação d : E que goze das propriedades: 1) x, y E, = 0 sse x = y ; ) x, y E, = y, x) 3) x, y, z E, z) + y, z) Interior Exterior Fronteiro Aderente Limitado Compacto O conjunto E com distância d diz-se um espaço métrico Fronteira Aderência ou Fecho Derivado de Acumulação Isolado Conexo Desconexo A distância que usualmente interessa considerar em é a função d :, = x y de um conjunto Vizinhança 7 Ponto interior 8 + Sendo a e ε, chama-se vizinhança ε de a, ou vizinhança de centro a e raio ε, e representa-se por V ε (, ou V ( a, ε), o conjunto de números reais cuja distância a a é inferior a ε { x : < ε} = { x x a < ε} V ε( = : Um ponto a é ponto interior do conjunto A se existe pelo menos uma vizinhança de a contida em A : ε > 0 : Vε ( A Exemplo: A = 0, 3 Uma vizinhança é um intervalo aberto V ε( = a ε, a + ε e todo o intervalo aberto é uma vizinhança Dado o intervalo aberto 1,x x, sendo x + x a 1 x x = e ε = 1, 0 1 a 3 Interior de um conjunto O interior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos interiores e representa-se por Int ( tem-se que x x = V ( ) 1 ε a no exemplo: int( = 0, 3

3 Ponto exterior Um ponto a é ponto exterior do conjunto A se existe pelo menos uma vizinhança de a disjunta de A : ε > 0 : V ε( A = Exemplo: A = 0, a Exterior de um conjunto O exterior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos exteriores e representa-se por Ext ( no exemplo: Ext( =, 0 U 3, + 9 Ponto fronteiro Um ponto a é ponto fronteiro do conjunto A se a não é ponto interior de A nem ponto exterior de A, isto é, em qualquer vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A e pelo menos um ponto do complementar de A ε > 0 : V ε( A Vε( A Exemplo: A = 0, Fronteira de um conjunto A fronteira de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos fronteiros e representa-se por Front ( no exemplo: Front( = { 0, 3 } 10 Ponto Aderente Um ponto a é ponto aderente do conjunto A se a é ponto interior ou ponto fronteiro de A Aderência, ou Fecho, de um conjunto A aderência, ou fecho, de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos aderentes e representa-se por A A = Int( Front( Conjunto fechado Um conjunto A diz-se fechado se for idêntico ao seu fecho A = A = Int( Front( Conjunto aberto Um conjunto A diz-se aberto se for idêntico ao seu interior A = Int( 11 Conjunto Limitado A é um conjunto limitado se for majorado e minorado, isto é, se tiver pelo menos um majorante e um minorante a, b : x A a x b (ou) A é um conjunto limitado se existir uma vizinhança que o contenha, ie se existir um conjunto aberto que o contenha Conjunto Compacto A é um conjunto compacto se for limitado e fechado 1 3

4 Conjuntos Separados 13 Ponto de Acumulação 14 A e B dizem-se conjuntos separados se cada um Um ponto a é ponto de acumulação do conjunto A se em deles está contido no exterior do outro qualquer vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A distinto de a Conjunto Desconexo ε > 0 : { V ε ( \ a} A A é um conjunto desconexo se é a união de dois conjuntos separados Derivado de um conjunto O derivado de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos de acumulação e representa-se por A Conjunto Conexo A é um conjunto conexo se não é desconexo Ponto Isolado Um ponto a é ponto isolado do conjunto A se a A e não é ponto de acumulação de A Exemplo Considere o conjunto { x : 0 < x 1 < } A = x epresente graficamente o conjunto A =,,3 Determine O interior {} 4-1/ Int( =,, 3 15 Determine Majorantes Supremo e Máximo Minorantes Ínfimo e Mínimo 4,+ - 1/ Sup( = Max( =, Inf( = { 4 } 16 A fronteira 1 Front( =,,3, 4 Fecho,3 { 4 } A = Int( Front = O exterior, 3,4 4 + Ext( =, Derivado A =, 3 4

5 É Aberto ou Fechado? O conjunto A não é aberto porque A int( O conjunto A não é fechado porque - 1/ A A 17 É Limitado? O conjunto A é limitado porque é majorado e minorado É Compacto? O conjunto A é limitado mas não é fechado, logo, não é compacto É Conexo? O conjunto A =,,3 {} 4 não é conexo 5

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