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Rafaela Fagundes Natal
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1 índice ANÁLISE SUPERIOR BIBLIOGRAFIA INICIAL 111 INTRODUÇÃO 113 CAPo I - Preliminares 1. Números complexos Representação geométrica Representação trigonométrica dos números complexos Interpretação geométrica da multiplicação Outro tipo de interpretação geométrica dos números complexos Limites de sucessões de números complexos Séries de termos complexos Soma e produto de séries Séries de potências Função exponencial Logaritmação no campo complexo Senos e cosenos de números complexos 149 CAP. II - Estudo elementar das funções de variável complexa 1. Generalidades sobre funções de mais de uma variável 151

2 Funções complexas de variável complexa Funções reais da variável complexa e funções complexas de variável real Noção de limite para funções complexas da variável complexa Propriedades dos limites das funções Continuidade para funções complexas de variável complexa Conceito de derivada. Funções monogéneas e funções holomorfas Regras de derivação Condições de monogeneidade Condições de holomorfia Estudo de algumas funções pluriformes 183 CAPoIII - Noções prévias sobre espaços vectoriais abstractos e sobre topologia 1. Espaços vectoriais: definição, axiomática e exemplos Dependência linear. Número de dimensões Noção de subespaço vectorial Noção de semi-norma Noção de norma Noções de desvio, distância e espaço métrico Noções métricas Isometrias Noções topológicas em espaços métricos Topologia e Lógica formal Noção geral de espaço topológico Sistemas fundamentais de vizinhança Filtros e bases de filtros Noção de subespaço topológico Produto topológico Espaços separados Noção de limite de uma sucessão Limite de um filtro. 231

3 Limite de uma função. Funções contínuas Aplicações bicontínuas. Grupo da Topologia Conjuntos compactos Funções contínuas sobre compactos Continuidade uniforme em espaços métricos Imersão de um espaço localmente compacto num espaço compacto Noção de linha Conjuntos conexos Espaços métricos completos. Espaços de BANACH Análise infinitesimal em espaços de BANACH Espaços vectorais topológicos. Espaços localmente convexos 269 ALGUMAS INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS 27l CAPoIV - Fundamentos da teoria das funções analíticas 1. Noção de integral para as funções complexas de variável real Noção de integral para as funções complexas de uma variável complexa Nova definição de integral para funções complexas de variável complexa Domínios simplesmente conexos e domínios multiplamente conexos Primeira forma do teorema fundamental de CAUCHY Demonstração de RIEMANN O teorema fundamental de CAUCHY para poligonais. Demonstração de GOURSAT O teorema fundamental do cálculo integral no campo complexo. Forma geral do teorema fundamental de CAUCHY Caso dos domínios multiplamente conexos Fórmula integral de CAUCHY Convergência uniforme no campo complexo 302

4 Primeiras consequências da fórmula integral de CAUCHY Teoremas de MORERA e de WEIERSTRASS Série de LAURENT Zeros de uma função holomorfa Pontos singulares de uma função Funções analíticas globais (ou funções analíticas de WEIERSTRASS) Funções holomorfas em domínios da esfera de RIEMANN Funções homográficas. Geometria analagmática e geometria projectiva da recta projectiva complexa Funções analíticas globais em domínios da esfera de RIEMANN Funções algébricas Breves noções sobre representação conforme Funções vectoriais analíticas 387 CAPoV - Revisões e complementos sobre integrais impróprios e sobre integrais paramétricos 1. Integrais com extremos infinitos para funções reais Integrais de funções ilimitadas Mudança de variáveis em integrais impróprios Funções de EULER Integrais impróprios de funções vectoriais e de funções complexas Convergência uniforme relativa a parâmetros contínuos Integrais paramétricos CAPoVI - Método dos resíduos 1. Definição e teorema fundamental Aplicação à contagem dos zeros duma função meromorfa Resíduos no ponto impróprio Aplicação do método dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios 444

5 571 CAP. VII - Breves noções sobre medida e integral de Lebesgue 1. Medida de LEBESGUE sobre a recta Funções em escada. Funções fundamentais Funções mensuráveis Funções somáveis. Integral de LEBESGUE Propriedades do integral de LEBESGUE Integrais indefinidos. Funções absolutamente contínuas Integração por partes e integração por substituição Integral duma função sobre um conjunto mensurável Espaço das funções localmente somáveis num intervalo Espaços U. Espaços de HILBERT Medida e integral em R" 484 CAPoVIII - Transformação de Fourier 1. Definição e notações Campo de existência. Primeiras propriedades Efeito da transformação de FOURIER sobre a derivação e sobre a multiplicação por x Inversão. Teorema de FOURIER Demonstração do teorema integral de FOURIER Efeito da transformação de FOURIER sobre a multiplicação. Convolução Efeito da transformação de FOURIER sobre as translações Aplicações às equações diferenciais A transformação de FOURIER para funções de mais de uma variável. 526 ALGUMAS INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS 531 CAPoIX - Transformação de Laplace 1. Definição e notações Campo de existência. Funções de tipo exponencial à direita Linearidade da transformação de LAPLACE 541

6 Efeito da transformação de LAPLACE sobre a derivação Efeito da transformação de LAPLACE sobre as translações Inversão Convolução no intervalo [O, +oo[ Aplicações às equações diferenciais 552 BIBLIOGRAFIA 566

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