Elementos de Matemática Avançada

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1 Elementos de Matemática Avançada Prof. Dr. Arturo R. Samana Semestre:

2 Conteúdo - Objetivos da Disciplina - Ementa curricular - Critérios de avaliação - Conteúdo programático - Programação

3 Objetivos da disciplina Atendendo aos objetivos gerais do curso de Licenciatura Plena em Física na modalidade à distância, esta disciplina oferecerá ao aluno aprender as ferramentas matemáticas necessárias para a abordagem de certos problemas físicos.

4 Ementa Curricular Álgebra linear, funções de variável complexa; funções especiais; transformadas de Fourier e Laplace; espaços vetoriais de dimensão finita e infinita; teoria das distribuições e das perturbações.

5 Critérios de Avaliação Três (03) Provas Processais (40 %) Duas (02) Provas Presenciais (60 %) 1 Prova Final Metodologia de ensino Compreensão, interpretação leitura dos textos e resolução literatura proporcionada pela coordenação UAB. Uso de matemática elementar para problemas não comuns. Uso de matemática não elementar para problemas físicos comuns.

6 UNIDADE 1 - ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES DEFINIÇÕES PRÉVIAS: Igualdade de Matrizes, Matriz Real e Complexa, Coluna, Quadrada, Nula, Diagonal, Identidade, Triangular Superior, Triangular Inferior, Transposta, Simétrica, Hermitiana. OPERAÇÕES COM MATRIZES: soma e produto, produto por escalares. DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA: Submatriz, Determinante de uma matriz, matriz adjunta e matriz inversa, propriedades

7 UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA: Vetores. Espaços Vetoriais, Combinação Linear, Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes, Base de um Espaço Vetorial, Dimensão de um Espaço Vetorial, Componentes de um Vetor. ESPAÇOS DE HILBERT: Espaço Vetorial com Produto Interno ou Espaço de Hilbert,Norma de um Vetor, Distância em um espaço vetorial com produto interno, Ângulo,Vetores Ortogonais, Bases Ortogonais e Ortonormais,Subespaços Vetoriais

8 UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS TRANSFORMAÇÕES LINEARES:Transformação Linear. Matriz Associada a uma Transformação Linear, Imagem de uma Transformação Linear, Núcleo de uma Transformação Linear

9 UNIDADE 3 - ÁLGEBRA LINEAR - OPERADORES OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRICOS E HERMITIANOS: Operadores ortogonais e unitários, Operadores simétricos e hermitianos, PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES: Autovalores e Autovetores de uma Matriz, Diagonalização de Matrizes, Autovalores e AutoVetores de um Operador,

10 UNIDADE 4 - FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA NÚMEROS COMPLEXOS: Geometria e álgebra básica de números complexos, Fórmula de De Moivre e o Calculo de Raízes, FUNÇÕES COMPLEXAS E A FÓRMULA DE EULER: Aplicações da fórmula de Euler, Funções plurívocas e superfícies de riemann, funções analíticas. O TEOREMA DE CAUCHY : Outros teoremas de integrais. a fórmula da integral de Cauchy. SEQUÊNCIAS E SÉRIES COMPLEXAS. Séries de taylor e de laurent. zeros e singularidades. O TEOREMA DO RESIDUO E SUAS APLICAÇÕES.

11 UNIDADE 5 - FUNÇÕES ESPECIAIS COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFERÍCAS PROBLEMAS COMUNS DE VALORES DE CONTORNO O PROBLEMA DE STURM-LIOVILLE PROBLEMAS DE APLICAÇÃO: Potencial eletroestático no espaço vazio, Vibração livre de uma membrana circular

12 UNIDADE 6 - TEORIA DAS DISTRIBUIÇÔES E DE PERTURBAÇÔES FUNÇÕES DE SCHWARTZ E FUNÇÕES DE TESTE. TRANSFORMADAS DE FOURIER E DISTRIBUIÇÔES: Aplicações das distribuições às equações diferenciais. Funções de green INTRODUÇÃO À TEORIA DE PERTURBAÇÔES.

13 Sumario * Critérios de Avaliação: Três (03) Provas Processais (40 %) Duas (03) Provas Presenciais (60 %) 1 Prova Final * Compreensão, interpretação leitura dos textos e resolução literatura proporcionada pela coordenação UAB. UNIDADE 1 - ÁLGEBRA LINEAR MATRIZES UNIDADE 2 - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS UNIDADE 3 - ÁLGEBRA LINEAR - OPERADORES UNIDADE 4 - FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA UNIDADE 5 - FUNÇÕES ESPECIAIS UNIDADE 6 - TEORIA DAS DISTRIBUIÇÔES E DE PERTURBAÇÔES

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