Lista de exercícios 1

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1 Lista de exercícios 1 MAT-160 Topologia Geral Quadrimestre Sejam τ 1 e τ 2 topologias sobre um conjunto X tais que τ 1 τ 2. Mostre que, para todo A X, tem-se que int τ1 (A) int τ2 (A) e A τ 1 A τ Sejam X um conjunto munido da topologia conita e Y X. Sejam τ c e τ s, respectivamente, a topologia conita em Y e a topologia de subespaço em Y induzida pela topologia de X. Compare τ c e τ s com respeito à inclusão ( ). 3. Sejam X um conjunto não-vazio e C uma coleção não-vazia de topologias sobre X. Prove ou dê um contraexemplo: (a) τ é uma topologia sobre X; τ C (b) τ C τ é uma topologia sobre X. 4. Sejam X um espaço topológico, A, B X e {A i : i I} (X), com I. Complete cada item abaixo com, ou, se for o caso, =. (a) A B A B (b) (c) A B A B (d) (e) int(a B) int(a) int(b) (f) int ( i I A ) i i I int(a i) (g) int(a B) int(a) int(b) (h) int ( i I A ) i i I int(a i)

2 5. Exiba, para cada caso a seguir, int(a) e A na topologia da reta de Sorgenfrey. (a) A = [0, 1[ (b) A = Z (c) A = Q (d) A = R \ Q (e) A = ]0, 1[ (f) A = [0, 1] ]2, 3] 6. Sejam (X, d) um espaço métrico, a X e r > 0. Dena B d [a, r] = {x X : d(x, a) r}. (a) Mostre que B d (a, r) B d [a, r]. (b) Mostre, através de um exemplo, que a igualdade B d (a, r) = B d [a, r] pode não ser verdadeira. (c) Mostre que a igualdade acima é verdadeira no caso particular em que X = R n (com n N \ {0}) e d é a métrica euclidiana. 7. Seja X um conjunto não-vazio e xe x 0 X arbitrário. (a) Mostre que B = {{x} : x X \ {x 0 }} {X} é uma base para uma topologia sobre X. (b) Seja τ a topologia sobre X gerada por B. Descreva, para cada x X, a família V x = {V X : V é uma vizinhança de x em (X, τ)}. (c) Caracterize os subconjuntos de X que são densos em (X, τ). 8. Sejam (X, τ) um espaço topológico com X e D = {D X : D é denso em (X, τ)}. (a) Prove que τ é a topologia discreta sobre X se, e somente se, D = {X}. (b) Prove que τ é a topologia caótica sobre X se, e somente se, D = (X) \ { }. 9. Sejam (X, τ) um espaço topológico e D X. Prove que D é denso em (X, τ) se, e somente se, D U = U para todo U τ. 10. Sejam X um espaço topológico e D 1, D 2 X densos em X. Pode-se armar que D 1 D 2 é denso em X? E se D 1, além de denso, for também aberto em X?

3 11. Sejam X um espaço topológico e A X. Mostre que são equivalentes: 1 (a) A = ; (b) A é um subespaço fechado e discreto de X; (c) todo subconjunto de A é fechado em X. 12. Seja S R um subgrupo com respeito à operação de soma. Mostre que, na topologia usual de R, tem-se que S = S ou S = R. [Sugestão: Considere a = inf{x S : x > 0} e analise os casos a > 0 e a = 0.] 13. Sejam X um espaço topológico e x X. Prove que x admite um sistema fundamental de vizinhanças enumerável se, e somente se, x admite um sistema fundamental de vizinhanças abertas enumerável. 14. Seja X um conjunto não vazio munido da topologia conita τ. Caracterize, em termos da cardinalidade de X, as seguintes propriedades: (a) (X, τ) tem caráter enumerável; (b) (X, τ) admite uma base enumerável; (c) (X, τ) é separável. 15. Repita o exercício anterior considerando sobre X a topologia coenumerável i.e. τ = {X \ E : E X E ℵ 0 } { }. 16. Mostre que, se X R s é um subespaço discreto, então X ℵ Seja X um espaço topológico que possui uma base enumerável. Prove que, se A X é não enumerável, então existe x A que é ponto de acumulação de A. 18. Sejam X um espaço topológico separável e Y X um subespaço. Mostre que, se vale alguma das condições a seguir, então Y também é separável. (a) X é metrizável. (b) Y é aberto em X. (c) X tem caráter enumerável e Y é denso em X. 1 Notação: A = {x X : x é ponto de acumulação de A}.

4 19. Seja τ = {U R : x U Q ε > 0 tal que ]x ε, x + ε[ U}. Mostre que τ é uma topologia sobre R que contém a topologia usual de R e que não admite base enumerável. [Obs.: Este espaço recebe o nome de reta de Michael.] 20. Sejam (X, τ) um espaço topológico, (x n ) n N uma sequência em X, a X e V um sistema fundamental de vizinhanças para a em (X, τ). Prove que x n n a em (X, τ) se, e somente se, para cada V V tem-se que o conjunto {n N : x n / V } é nito. 21. Sejam (X, τ) e (Y, ρ) espaços topológicos, a X, f : X Y e W um sistema fundamental de vizinhanças para f(a) em (Y, ρ). Prove que f é contínua em a se, e somente se, para cada W W tem-se que x int(f 1 [W ]). 22. Sejam (X, τ) e (Y, ρ) espaços topológicos, B uma base para (Y, ρ) e f : X Y. Prove que f é contínua se, e somente se, para todo B B tem-se que f 1 [B] τ. 23. Seja Y um conjunto não enumerável. Considere, sobre o conjunto X = Y {p}, a topologia em que cada y Y é isolado e vizinhanças abertas de p são da forma X \ E para E Y enumerável. Prove que: (a) p Y mas não existe sequência em Y que converge para p; (b) uma função f : X R é contínua se, e somente se, {y Y : f(y) f(p)} é um conjunto enumerável. 24. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma função. Mostre que f é contínua se, e somente se, para todo A X tem-se que f [ A ] f[a]. 25. Sejam (X, τ) e (Y, ρ) espaços topológicos e f : X Y. (a) Mostre que, se A X é tal que f é contínua em cada x A, então a restrição f A : A Y é contínua. (b) Mostre que, se A τ é tal que a restrição f A : A Y é contínua, então f é contínua em cada ponto de A.

5 (c) Mostre, através de um contraexemplo, que a armação do item anterior pode não ser válida se A X não for aberto em X. (d) Sejam F, G X fechados em (X, τ) tais que X = F G. Prove que f é contínua se, e somente se, f F e f G são ambas contínuas. (e) Conclua que, se n N \ {0} e F 1,..., F n X são fechados tais que n k=1 F k = X, então f é contínua se, e somente se, f Fk é contínua para todo k {1,..., n}. (f) Mostre, através de um contraexemplo, que o resultado do item anterior não é válido se a família de fechados for innita. (g) Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra fechados não pode ser omitida no enunciado do item (d). 26. Sejam X um conjunto, (Y, ρ) um espaço topológico e f : X Y uma função. Mostre que: (a) τ = {f 1 [U] : U ρ} é uma topologia sobre X; (b) f é uma função contínua, se em X for considerada a topologia τ; (c) se τ é uma topologia sobre X que torna f uma função contínua, então τ τ. 27. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X R e g : Y R funções contínuas. Mostre que a função h : X Y R (x, y) f(x) + g(y) é contínua. 28. Sejam X um espaço topológico, I um conjunto não vazio e Y = i I Y i um produto topológico. Para cada i I, seja f i : X Y i uma função. Prove que a função f : X Y x (f i (x)) i I é contínua se, e somente se, f i é contínua para cada i I. 29. Sejam I e X = i I X i um produto topológico. Para cada i I, seja A i X i um subconjunto fechado. Prove que é um subconjunto fechado de X.

6 30. Considere a topologia produto em {0, 1} R. Para cada A R, seja χ A : R 1} {0, { x 1, se x A; 0, se x / A. Considere agora F = {χ A : A R & A ℵ 0 } {0, 1} R. Prove que, se g : R {0, 1} é a função constante tal que g[r] = {1}, então g F mas não existe F 0 F enumerável tal que g F 0 em particular, não existe nenhuma sequência em F que converge para g. 31. Sejam d 1 e d 2 métricas sobre um conjunto X. Considere as armações a seguir: (i) existe c > 0 tal que, para quaisquer x, y X, tem-se c d 1 (x, y) d 2 (x, y); (ii) para quaisquer x X e r > 0, existe r > 0 tal que B d1 (x, r ) B d2 (x, r); (iii) τ d1 τ d2. Prove que (i) (ii) (iii). 32. Sejam n um inteiro positivo e (X 1, d 1 ),..., (X n, d n ) espaços métricos. Considere, sobre o produto cartesiano X = n i=1 X i, a topologia de Tychono τ obtida a partir dos espaços topológicos (X 1, τ d1 ),..., (X n, τ dn ). (a) Seja d : X X R + denida por d(x, y) = max{d 1 (x 1, y 1 ),..., d n (x n, y n )} para quaisquer x = (x 1,..., x n ) X e y = (y 1,..., y n ) X. Prove que d é uma métrica sobre X satisfazendo τ d = τ. (b) Sejam d : X X R + e d : X X R + denidas por d (x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) + + d n (x n, y n ) e d (x, y) = d 1 (x 1, y 1 ) d n (x n, y n ) 2 para quaisquer x = (x 1,..., x n ) X e y = (y 1,..., y n ) X. Mostre que d e d são métricas sobre X tais que τ d = τ = τ d. [Sugestão: Use o exercício anterior.]