EXPLORANDO O CONJUNTO DE CANTOR DOS TERÇOS MÉDIOS: UMA PROPOSTA PARA A SALA DE AULA
|
|
- Stefany Domingues Câmara
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 EXPLORANDO O CONJUNTO DE CANTOR DOS TERÇOS MÉDIOS: UMA PROPOSTA PARA A SALA DE AULA BACCARIN, Fabio Luis UNESPAR/FECEA fbaccarin@fecea.br Agência Financiadora: CAPES RESUMO: Este trabalho procura apresentar o conjunto de Cantor e através dele explorar conceitos matemáticos presente em vários níveis do ensino. O uso de processos recursivos infinitos é desafiador e fascinante para os alunos, proporcionando-lhes o contato com sequências, limites, introdução à geometria fractal entre outras. A proposta é apresentar a construção deste conjunto como uma ferramenta desencadeadora da investigação dos elementos matemáticos que surgem naturalmente quando definimos o seu processo gerador. PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Matemática; Sequências; Fractais. ABSTRACT: This work looks for to present the set of Cantor and through it to explore mathematical concepts present in some levels of education. The use of infinite recursive processes is challenging and fascinating for the pupils, providing to them the contact with sequences, limits, introduction to fractal geometry among others. The proposal is to present the construction of this set as a grader tool of the inquiry of the mathematical elements that appear of course when we define its generating process. KEY-WORDS: Education of Mathematics; Sequences; Fractals. 1 INTRODUÇÃO As investigações matemáticas envolvem, naturalmente, conceitos, procedimentos e representações matemáticas, mas o que mais fortemente as caracteriza é este estilo de conjectura-teste-demonstração, afirma PONTE (2006, p.10). Neste sentido este artigo propõe investigar o conjunto de Cantor como ferramenta para a inserção de vários conceitos matemáticos como: recorrências, progressões geométricas, noções de limites, séries infinitas e a geometria fractal. Na construção do conjunto os alunos se deparam desde problemas simples como operações de frações, reconhecimento de padrões até conceitos e
2 propriedades mais sofisticadas, como as referentes à topologia do conjunto. Porém, o contato com o infinito é que faz surgir as intrigantes constatações. 2 REFERENCIAL TEÓRICO: Georg Cantor ( ), matemático, nascido na Rússia, mudou-se em 1856 para Alemanha onde se doutorou pela Universidade de Berlim em Ficou conhecido por ter elaborado a moderna Teoria dos Conjuntos. Segundo Cantor dois conjuntos são equivalentes, ou têm a mesma cardinalidade, quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre os elementos destes dois conjuntos, isto é, um relação que leve elementos distintos de um conjunto em elementos distintos do outro conjunto, sendo todos os elementos objetos desta correspondência. Cantor denominou de enumerável os conjuntos que tem a mesma cardinalidade com o conjunto dos números naturais (N). Imaginava-se então que dois conjuntos infinitos possuíam a mesma cardinalidade, até que em 1894, Cantor demonstra que o conjunto dos números reais (R) tem cardinalidade diferente da dos números naturais. Segundo LIMA (2004, p ), dado um conjunto R um ponto chama-se ponto interior de X quando existe um intervalo aberto (a, b) tal que, quando todos os seus pontos são interiores o conjunto será chamado de conjunto aberto. Chama-se vizinhança de um ponto a, qualquer conjunto que contenha a interiormente. Diz-se que um número a é ponto de acumulação de um conjunto X se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de X. Desta forma, ÁVILA (1999, p.75) define que um conjunto é fechado quando ele contém todos os seus pontos de acumulação. Podemos também verificar em ÁVILA (1999, p.77) a demonstração de que um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar é aberto e que a interseção de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Um conjunto é dito totalmente desconexo, na reta, quando não contém intervalos. Segundo SALLUM (2005), um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. Não podemos ver um fractal porque é uma figura limite, mas as etapas de sua construção podem dar uma idéia da figura toda. Seu nome se deve ao fato de que
3 a dimensão de um fractal não é um número inteiro. Diz-se que os fractais têm complexidade infinita, são geralmente autossimilares, independem de escala e muitos deles podem ser gerados por um processo recorrente. 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Explorar matematicamente o conjunto de Cantor é o objetivo da atividade, o passo inicial é a definição. Segundo LIMA (2004) o conjunto de Cantor dos terços médios aqui simplesmente chamado de conjunto de Cantor e nomeado pela letra K, é um subconjunto fechado do intervalo [0,1], obtido como complementar de uma reunião de intervalos abertos, do seguinte modo: retira-se do intervalo [0,1] seu terço médio aberto (1/3, 2/3), depois retira-se o terço médio aberto de cada um dos intervalos restantes [0,1/3] e [2/3,1]. Sobra então a união de quatro intervalos fechados. Em seguida, retira-se o terço médio aberto de cada um desses quatro intervalos. Repete-se o processo indefinidamente. O conjunto K dos pontos não retirados é o conjunto de Cantor. Após a definição propõe aos alunos a construção de três ou quatro iterações com o auxílio da régua, lápis e uma folha pautada ou, ainda melhor, se pudermos utilizar o software livre de geometria dinâmica Geogebra. Este momento é rico para recordar algumas operações com frações que também estarão presentes em cada etapa, frisa-se o conceito de intervalo aberto, a diferença entre conjuntos, a união de intervalos e o conceito de intervalos disjuntos. A relação de pertinência pode ser explorada questionando, por exemplo, se ¼ é ou não elemento de K 1, primeira etapa da construção de K. Sugerimos paralelamente a montagem de uma tabela, para cada etapa, com informações quanto à quantidade de intervalos em cada iteração, os intervalos não removidos, o tamanho de cada intervalo fechado e a soma do comprimento dos intervalos removidos. Durante a construção, naturalmente, algumas indagações surgem ou podem ser instigadas pelo professor, tais como: Sobram elementos neste conjunto após infinitas iterações? Se existem, quem são eles? Exiba alguns, ¼ é elemento de K? São infinitos os elementos deste conjunto? K é enumerável? Este conjunto é aberto ou fechado? K contêm intervalos?
4 É autossimilar? Possui complexidade infinita? Qual sua dimensão? Independe da escala? Podemos afirmar que K é um fractal? Não podemos perder a oportunidade de explorar o conjunto formado pelos extremos e é intuitivo que estes elementos pertençam a K. Com efeito, em cada etapa da construção de K são retirados apenas pontos interiores nos intervalos restantes das etapas anteriores. Também é fascinante notar que os elementos deste conjunto admitem, na base 3, uma representação só com os dígitos 0 e 2. Como exemplos: 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Da definição de que K é o conjunto de todos os pontos não removidos após a retirada de infinitos intervalos abertos, A n, espera-se o surgimento da representação simbólica, tal como: ou como R. A figura 1 apresenta os três primeiros passos na construção do conjunto de Cantor e a tabela os resultados esperados de cada iteração. Iteração Quantidade Intervalos não removidos Comprimento A soma do de intervalos de cada comprimento dos intervalo intervalos removidos K 0 1 [0, 1] 1 0 K 1 2 [0,1/3] U [2/3,1]= [0,1]-(1/3,2/3) 1/3 1/3 K 2 4 [0,1/9]U[2/9,1/3]U [2/3,7/9]U[8/9,1]= [0,1]- (1/3,2/3)U(1/9,2/9)U(7/9,8/9) 1/9 2/9 K n 2 n (1/3) n 1/3+2/9+...=1
5 A resposta às perguntas que ao longo da construção do conjunto foram aparecendo devem ser fonte para a inserção dos conceitos matemáticos necessários e, desta forma, sendo respondidas. Primeiramente, o conjunto K não é vazio, pois em cada passo da sua construção são removidos apenas os pontos interiores dos intervalos restantes da etapa anterior, isto é, pelo menos os extremos destes intervalos, como 0, 1/3, 2/3, 1/9, etc. são elementos do conjunto. LIMA (2004, p.173) completa mostrando que estes pontos são infinitos, de acumulação e formam um subconjunto enumerável de K. A Indagação continua: o conjunto de Cantor é enumerável? A resposta é negativa completa LIMA (2004, p.179), pois K é um conjunto fechado não vazio sem pontos isolados, logo não enumerável. Na construção de K após a n-ésima etapa resta apenas intervalos de comprimento (1/3) n, ou seja, com comprimento tendendo a zero. Daí segue que K não contém intervalos, pois por menor que seja um intervalo deverá ter comprimento maior que zero. Explorando a soma dos intervalos removidos temos uma série que converge para um. Surpreendente quando se analisa a diferença entre o comprimento do intervalo [0,1] e a somatória dos intervalos removidos, concluindo que o conjunto K tem medida zero, mesmo como uma infinidade de elementos. Este conjunto é autossimilar, pois cada parte do conjunto é semelhante ao todo, e sendo uma figura limite não existe a representação completa caracterizando-o com complexidade infinita. Independentemente da escala a que se observa este conjunto obtém-se sempre a mesma figura. A dimensão fractal, segundo BARBOSA (2005) está associada a aspereza, espessura, densidade, textura da figura. É calculada como a razão do logaritmo do número de peças geradas numa iteração pelo logaritmo do fator de aumento necessário para igualar a etapa anterior. Portanto, a dimensão fractal do conjunto de Cantor é. 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS A simplicidade para construir o conjunto de Cantor reserva sua riqueza quando se dispõe a explorá-lo. E para fazê-lo com segurança suas propriedades topológicas devem estar bem definidas, pois é surpreende saber que K é um
6 conjunto que não possui pontos isolados, não contém intervalos, tem infinitos elementos bem caracterizados na base três, é não enumerável, e ainda, um conjunto limitado e fechado. Por outro lado, este modelo é considerando o precursor da geometria fractal, ramo da geometria não euclidiana, que a partir de 1975 vem obtendo avanços significativos em diversos setores do conhecimento.. 6 REFERÊNCIAS ÁVILA, Geraldo de S.S. Introdução à Análise Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgar Blücher, BARBOSA, Ruy M. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 3.ed. Belo Horizonte: Autêntica, LIMA, Elon L. Curso de Análise.11.ed. Rio de Janeiro:Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2004, v.1. PONTE, J.P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, SALLUM, Élvia M. Fractais no ensino médio. Revista do professor de matemática. n
Fractais no ensino médio
Fractais no ensino médio Élvia Mureb Sallum IME USP O artigo Algoritmos e fractais com programas de GD publicado na RPM 49, p. 27, utiliza softwares de Geometria Dinâmica para a construção de fractais,
Leia maisNúmeros Naturais. MA12 - Unidade 1. Os Axiomas de Peano. O Axioma da Indução. Exemplo: uma demonstração por indução
Os Números Naturais MA1 - Unidade 1 Números Naturais Paulo Cezar Pinto Carvalho PROFMAT - SBM January 7, 014 Números Naturais: modelo abstrato para contagem. N = {1,,3,...} Uma descrição precisa e concisa
Leia maisA geometria da Esponja de Menger
A geometria da Esponja de Menger Andréa Cristina Prokopczyk Arita Flávia Souza Machado da Silva Laura Rezzieri Gambera de dezembro de 203 Resumo Neste trabalho estudaremos algumas propriedades geométricas
Leia maisUma breve introdução ao Conjunto de Cantor
Uma breve introdução ao Conjunto de Cantor Elder Cesar de Almeida elderufop@gmail.com, Ouro Preto, MG, Brasil Thiago Fontes Santos santostf@iceb.ufop.br, Ouro Preto, MG, Brasil Resumo Neste trabalho falaremos
Leia maisMAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos
MAT 5798 Medida e Integração Exercícios de Revisão de Espaços Métricos Prof. Edson de Faria 30 de Março de 2014 Observação: O objetivo desta lista é motivar uma revisão dos conceitos e fatos básicos sobre
Leia maisFabio Augusto Camargo
Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Introdução à Topologia Autor: Fabio Augusto Camargo Orientador: Prof. Dr. Márcio de Jesus Soares
Leia maisUtilização do Conjunto de Cantor para a resolução da Torre de Hanoi
Utilização do Conjunto de Cantor para a resolução da Torre de Hanoi Filipe Daniel Lemos FEUP 030509045 Dezembro de 2004 Resumo Segundo trabalho para a cadeira de Física dos sitemas dinâmicos do curso de
Leia maisLista de exercícios 1
Lista de exercícios 1 MAT-160 Topologia Geral Quadrimestre 2017.2 1. Sejam τ 1 e τ 2 topologias sobre um conjunto X tais que τ 1 τ 2. Mostre que, para todo A X, tem-se que int τ1 (A) int τ2 (A) e A τ 1
Leia maisExercícios de topologia geral, espaços métricos e espaços vetoriais
Exercícios de topologia geral, espaços métricos e espaços vetoriais 9 de Dezembro de 2009 Resumo O material nestas notas serve como revisão e treino para o curso. Estudantes que nunca tenham estudado estes
Leia maisAS ESTRANHAS PROPRIEDADES
SOBRE AS ESTRANHAS PROPRIEDADES DO CONJUNTO CANTOR Rômulo Rios Rosa SOBRE AS ESTRANHAS PROPRIEDADES DO CONJUNTO DE CANTOR Resumo: Neste trabalho define-se o conjunto de Cantor (K) dos terços médios com
Leia maisPROPOSTA DIDÁTICA. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10 min) Acomodação dos alunos em semicírculo e realização da chamada.
PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: Bianca Bitencourt da Silva 1.2 Público alvo: Alunos do 8º e 9º ano 1.3 Duração: 2 horas 1.4 Conteúdo desenvolvido: Área de triângulos equiláteros,
Leia maisEXPLORANDO A GEOMETRIA FRACTAL NA SALA DE AULA
EXPLORANDO A GEOMETRIA FRACTAL NA SALA DE AULA Karla Aparecida Lovis Universidade Estadual de Maringá karlalovis@hotmail.com Evelyn Rosana Cardoso Universidade Estadual de Maringá prof_evelyn@hotmail.com
Leia maisCapítulo 2. Conjuntos Infinitos. 2.1 Existem diferentes tipos de infinito
Capítulo 2 Conjuntos Infinitos O conjunto dos números naturais é o primeiro exemplo de conjunto infinito que aprendemos. Desde crianças, sabemos intuitivamente que tomando-se um número natural n muito
Leia maisCurva de Koch: Uma abordagem para o Ensino Médio
Curva de Koch: Uma abordagem para o Ensino Médio Luana Leal 19.dez.2016 1 Fundamentação Teórica Cada vez mais a educação está ocupando espaço no que diz respeito ao que é essencial na formação das pessoas,
Leia maisCurso de Matemática Aplicada.
Aula 1 p.1/25 Curso de Matemática Aplicada. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Sistema de números reais e complexos Aula 1 p.2/25 Aula 1 p.3/25 Conjuntos Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo
Leia maisIII Encontro de Educação, Ciência e Tecnologia
Área de Publicação: Matemática IRRACIONALIDADE DE e RESUMO O número e é chamado de número de Euler em homenagem a Leonhard Euler e é a base dos logaritmos naturais Esse número também é conhecido como número
Leia maisCapítulo 2. Conjuntos Infinitos
Capítulo 2 Conjuntos Infinitos Não é raro encontrarmos exemplos equivocados de conjuntos infinitos, como a quantidade de grãos de areia na praia ou a quantidade de estrelas no céu. Acontece que essas quantidades,
Leia maisA GEOMETRIA DINÂMICA COMO FERRAMENTA DE ESTUDO NA TEORIA DOS ESPAÇOS NORMADOS
A GEOMETRIA DINÂMICA COMO FERRAMENTA DE ESTUDO NA TEORIA DOS ESPAÇOS NORMADOS Josué Ervin Musial José Carlos Cifuentes UFPR - Universidade Federal do Paraná, Departamento de Matemática ajmusial@gmail.com,
Leia maisGabarito da Primeira Prova MAT0234 Análise Matemática I Prof. Daniel Victor Tausk 13/09/2011
Gabarito da Primeira Prova MAT0234 Análise Matemática I Prof. Daniel Victor Tausk 13/09/2011 Questão 1. Sejam X, X conjuntos e φ : X X uma função. (a) (valor 1,25 pontos) Mostre que se A é uma σ-álgebra
Leia maisCapítulo 2. Conjuntos Infinitos. 2.1 Existem diferentes tipos de infinito
Capítulo 2 Conjuntos Infinitos Um exemplo de conjunto infinito é o conjunto dos números naturais: mesmo tomando-se um número natural n muito grande, sempre existe outro maior, por exemplo, seu sucessor
Leia maisINTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1
Leia maisMatemática Discreta. Teoria de Conjuntos - Parte 2. Profa. Sheila Morais de Almeida. abril DAINF-UTFPR-PG
Matemática Discreta Teoria de Conjuntos - Parte 2 Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 2017 Operações em conjuntos As operações entre conjuntos podem ser unárias, binárias, ternárias,
Leia maisGEOMETRIA FRACTAL. Benoit Mandelbrot.
GEOMETRIA FRACTAL Autor: Diego Luiz Henriques Costa. Orientador: Prof. Dr. Márcio Lima do Nascimento. As nuvens não são esferas, as montanhas não são cones, as linhas costeiras não são círculos e a casca
Leia mais1 Conjuntos enumeráveis
Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales de maio de 007. Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, ] Q, são os números racionais
Leia maisFRACTAIS. Iteração: é um conjunto de procedimentos repetidos em série para construir um fractal. (NUNES, 2006, f. 30).
Revisado por: A. Patrícia Grajales Spilimbergo e Cláudia Piva FRACTAIS Algumas definições... Fractal: Um fractal é um objeto que pode ser obtido geometricamente ou aleatoriamente através de processos recursivos,
Leia maisPLANO DE CURSO. 1. Identificação. 2. Ementa. 3. Objetivos Gerais
PLANO DE CURSO 1. Identificação DISCIPLINA: Análise I PROFESSOR(A): Valéria de Magalhães Iorio PERÍODO DO CURSO: 5º Carga Horária: 50 hs (60 h/a) Ano: 2012-1 2. Ementa Completude dos números reais. Sequências
Leia maisO TEOREMA DE ARZELÁ ASCOLI. Osmar Rogério Reis Severiano¹, Fernando Pereira de Souza².
Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 51 O TEOREMA DE ARZELÁ ASCOLI Osmar Rogério Reis Severiano¹, Fernando Pereira de Souza² ¹Acadêmico do Curso de matemática
Leia maisTeoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos
Pode-se dizer que a é em grande parte trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918). noção de conjunto não é suscetível de definição precisa a partir d noções mais simples, ou seja, é uma noção
Leia maisSumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra
Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção
Leia maisExpansão decimal de números reais e conjuntos de medida total
Expansão decimal de números reais e conjuntos de medida total Decimal expansion of real numbers and sets of total measure Leandro Batista Morgado Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) Departamento
Leia maisCURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,...
ssunto: Conjunto e Conjuntos Numéricos ssunto: Teoria dos Conjuntos Conceitos primitivos. Representação e tipos de conjunto. Operação com conjuntos. Conceitos Primitivos: CURSO DO ZERO Para dar início
Leia maisIntrodução a Teoria de Conjuntos
Aula 01 Introdução a Teoria de Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi criada e desenvolvida pelo Matemático russo George Cantor (1845-1918), trata-se do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre
Leia maisCapítulo 3. Séries Numéricas
Capítulo 3 Séries Numéricas Neste capítulo faremos uma abordagem sucinta sobre séries numéricas Apresentaremos a definição de uma série, condições para que elas sejam ou não convergentes, alguns exemplos
Leia maisFigura 1: Vila africana de Logone Birni [2]
Geometria Fractal Fractais são objetos em que cada parte é semelhante ao objeto como um todo. Isso significa que os padrões da figura inteira são repetidos em cada parte, só que numa escala de tamanho
Leia maisPré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Parte 1. Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense. Parte 1 Pré-Cálculo 1
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Apresentação do curso Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisEnumerabilidade. Capítulo 6
Capítulo 6 Enumerabilidade No capítulo anterior, vimos uma propriedade que distingue o corpo ordenado dos números racionais do corpo ordenado dos números reais: R é completo, enquanto Q não é. Neste novo
Leia maisPlano de Ensino IDENTIFICAÇÃO. ANO DA TURMA: 7º semestre EMENTA
EIXO TECNOLÓGICO: Matemática Plano de Ensino IDENTIFICAÇÃO CURSO: Licenciatura em Matemática FORMA/GRAU:( )integrado ( )subsequente ( ) concomitante ( ) bacharelado (X ) licenciatura ( ) tecnólogo MODALIDADE:
Leia maisMATEMÁTICA - 3o ciclo Intervalos de números Reais (9 o ano) Propostas de resolução
MATEMÁTICA - 3o ciclo Intervalos de números Reais (9 o ano) Propostas de resolução Exercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. Como 2 1, 1414 e 3 1, 7321, representando na reta real o intervalo
Leia maisNotas sobre Sequências e Cardinalidade (1)
1 / 11 Notas sobre e Cardinalidade (1) Anjolina Grisi de Oliveira Centro de Informática Universidade Federal de Pernambuco CIn-UFPE 2 / 11 Uma sequência é uma estrutura discreta usada para representar
Leia maisCM Funções. Notas de Aula PSE Departamento de Matemática - UFPR
1. CM 128 - Funções Notas de Aula PSE 2017 Departamento de Matemática - UFPR Sumário 1 Conjuntos 4 1.1 Aula 1 - Operações entre conjuntos................................... 4 1.1.1 Conjuntos.............................................
Leia maisCapítulo 1. Conjuntos e Relações. 1.1 Noção intuitiva de conjuntos. Notação dos conjuntos
Conjuntos e Relações Capítulo Neste capítulo você deverá: Identificar e escrever os tipos de conjuntos, tais como, conjunto vazio, unitário, finito, infinito, os conjuntos numéricos, a reta numérica e
Leia mais13 de novembro de 2007
13 de novembro de 2007 Objetivos - Definição Subgrupos Axiomas de Separação Bases e Sistema fundamental de vizinhanças para a identidade Euclidianos e o Quinto Problema de Hilbert Objetivos - Medida de
Leia maisEscreva um programa que imprima todos os números impares do intervalo fechado de 1 a 100.
Exercício 1 PROGRAMAÇÃO DE COMPUTADORES I - BCC701 Aula Prática 07 Escreva um programa que imprima todos os números impares do intervalo fechado de 1 a 100. Execução: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Leia maisInvestigação matemática com o GeoGebra: um exemplo com matrizes e determinantes
http://dx.doi.org/10.4322/gepem.2014.030 Investigação matemática com o GeoGebra: um exemplo com matrizes e determinantes Duelci Aparecido de Freitas Vaz Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
Leia maisSemigrupos Numéricos e Corpos de Funções Algébricas
Semigrupos Numéricos e Corpos de Funções Algébricas THIAGO FILIPE DA SILVA Professor Assistente do Centro de Ciências Exatas da Universidade Federal do Espírito Santo. RESUMO O estudo sobre o número de
Leia maisEntão (τ x, ) é um conjunto dirigido e se tomarmos x U U, para cada U vizinhança de x, então (x U ) U I é uma rede em X.
1. Redes Quando trabalhamos no R n, podemos testar várias propriedades de um conjunto A usando seqüências. Por exemplo: se A = A, se A é compacto, ou se a função f : R n R m é contínua. Mas, em espaços
Leia maisARTE FRACTAL, UMA MESCLA DE GEOMETRIA, COMPUTAÇÃO E ARTE RESUMO. Palavras-Chave: Geometria Fractal, Arte Fractal, Dimensão Fractal.
ARTE FRACTAL, UMA MESCLA DE GEOMETRIA, COMPUTAÇÃO E ARTE Teixeira, B.F.C./NPADC/UFPA beneilde@ufpa.br Protázio, J.S./PPGME/NPADC/UFPA & ESMAC protazio@gmail.com Silva, F.H./NPADC/UFPA fhermes@ufpa.br RESUMO
Leia maisPLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA
PLANO DE ENSINO DA DISCIPLINA Docente: FABIO LUIS BACCARIN Telefones: (43) 3422-0725 / 9116-4048 E-mail: fbaccarin@fecea.br Nome da Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II Curso: Licenciatura em
Leia maisA Equivalência entre o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e o Teorema do Valor Intermediário
A Equivalência entre o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e o Teorema do Valor Intermediário Renan de Oliveira Pereira, Ouro Preto, MG, Brasil Wenderson Marques Ferreira, Ouro Preto, MG, Brasil Eder Marinho
Leia maisFractais do tipo Dürer e Geogebra: uma aplicação para as Transformações Lineares
Fractais do tipo Dürer e Geogebra: uma aplicação para as Transformações Lineares Andréia Luisa Friske Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), Santa Maria, RS, Brasil andreiafriske@gmail.com Carmen
Leia maisAnálise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017
Análise I Notas de Aula 1 Alex Farah Pereira 2 3 23 de Agosto de 2017 1 Turma de Matemática. 2 Departamento de Análise-IME-UFF 3 http://alexfarah.weebly.com ii Conteúdo 1 Conjuntos 1 1.1 Números Naturais........................
Leia maisLISTA 3 DE INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA 2011
LISTA 3 DE INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA 2011 RICARDO SA EARP Limites e continuidade em espaços topológicos (1) (a) Assuma que Y = A B, onde A e B são subconjuntos abertos disjuntos não vazios. Deduza que A B
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 Conjuntos Isabelle Araujo 5º período de Engenharia de Produção Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto
Leia maisPensamento. (Provérbio Chinês) Prof. MSc. Herivelto Nunes
Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017 Pensamento Não creio em números, não creio na palavra tudo e nem na palavra nada. São três afirmações exatas e imóveis: o mundo está sempre dando voltas.
Leia maisCapítulo 0: Conjuntos, funções, relações
Capítulo 0: Conjuntos, funções, relações Notação. Usaremos Nat para representar o conjunto dos números naturais; Int para representar o conjunto dos números inteiros. Para cada n Nat, [n] representa o
Leia maisTEORIA ERGÓDICA, SISTEMAS DINÂMICOS E MEDIDAS INVARIANTES
TEORIA ERGÓDICA, SISTEMAS DINÂMICOS E MEDIDAS INVARIANTES Aluno: Juliana Arcoverde V. L. Ribeiro Orientador: Lorenzo Justiniano Díaz Casado Introdução A Teoria dos Sistemas Dinâmicos, ou mais exatamente
Leia maisHewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS. Aulas 01 a 08. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS Aulas 01 a 08 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2019 Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS... 2 Conjunto dos números Naturais... 2 Conjunto dos números
Leia maisO USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE LIMITE
O USO DO GEOGEBRA NO ENSINO DE LIMITE Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Universidade Federal de Ouro Preto dailasmfonseca@yahoo.com.br Daniele Cristina Gonçalves Universidade Federal de Ouro Preto niellegoncalves@yahoo.com.br
Leia maisRLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO AULA 3
AULA 3 Sucessões = sequências(numéricas) São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser FINITA ou INFINITA. Ex: a) (3, 6, 9, 12) sequência finita P.A de razão 3 b) (5,
Leia maisMAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro
MAT 1511 - Laboratório de Matemática I - Diurno - 2005 Profa. Martha Salerno Monteiro Representações decimais de números reais Um número real pode ser representado de várias maneiras, sendo a representação
Leia maisUma abordagem da geometria fractal para o ensino médio
Uma abordagem da geometria fractal para o ensino médio An approach to fractal geometry for high school ISSN 2316-9664 Volume 10, dez. 2017 Edição Ermac Clayton Eugenio Santos de Paula UNESP Universidade
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. João Victor Tenório Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2 Conjuntos João Victor Tenório Engenharia Civil Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos os estudantes
Leia maisTEORIA DOS CONJUNTOS. Professor: Marcelo Silva Natal - RN, agosto de 2013.
TEORIA DOS CONJUNTOS Professor: Marcelo Silva marcelo.silva@ifrn.edu.br Natal - RN, agosto de 2013. 1 INTRODUÇÃO Um funcionário do departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística, analisando
Leia maisGabarito da G3 de Equações Diferenciais
Gabarito da G3 de Equações Diferenciais 03. MAT 54 Ques..a.b.c.a.b 3 4 5.a 5.b soma Valor.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 Nota ) Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades
Leia maisLista de exercícios 2
Lista de exercícios 2 MAT-160 Topologia Geral Quadrimestre 2017.2 1. Seja (X, τ) um espaço topológico. Prove que (X, τ) é T 1 se, e somente se, para todo A X existe U τ não vazio tal que A = U. 2. Seja
Leia mais2.1 Sucessões. Convergência de sucessões
Capítulo 2 Sucessões reais Inicia-se o capítulo introduzindo os conceitos de sucessão limitada, sucessão monótona, sucessão convergente e relacionando estes conceitos entre si. A análise da convergência
Leia maisDízimas e intervalos encaixados.
Dízimas e intervalos encaixados. Recorde que uma dízima com n casas decimais é um número racional da forma a 0.a a 2...a n = a 0 + a 0 + a 2 0 2 + + a n n 0 n = a j 0 j em que a 0,a,...,a n são inteiros
Leia maisFigura 1 Disco de Poincaré
9 Geometria hiperbólica no software NonEuclid Introdução Karolina Barone Ribeiro da Silva Universidade Estadual do Centro - Oeste UNICENTRO As Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná
Leia maisConjuntos. Ou ainda por diagrama (diagrama de Venn-Euler):
Capítulo 1 Conjuntos Conjunto é uma coleção de objetos, não importando a ordem ou quantas vezes algum objeto apareça, exemplos: Conjunto dos meses do ano; Conjunto das letras do nosso alfabeto; Conjunto
Leia maisRESOLUÇÕES ALTERNATIVAS PARA ALGUNS PROBLEMAS DE INDUÇÃO FINITA
5 RESOLUÇÕES ALTERNATIVAS PARA ALGUNS PROBLEMAS DE INDUÇÃO FINITA Luiz Henrique de Lima Corrêa, Antonio Carlos Tamarrozzi Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Grupo PET Matematica, Matemática-Três
Leia maisMA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04
MA11 - Unidade 4 Representação Decimal dos Reais Semana 11/04 a 17/04 Para efetuar cálculos, a forma mais eciente de representar os números reais é por meio de expressões decimais. Vamos falar um pouco
Leia maisAPRENDENDO MATEMÁTICA COM O TRIÂNGULO DE SIERPINSKI
Brasileira de na Contemporaneidade: desafios e possibilidades APRENDENDO MATEMÁTICA COM O TRIÂNGULO DE SIERPINSKI Fabricia de Carvalho Paixão fah-carvalho@hotmail.com Thaís Michele Mártires thamy_thaismichelli@hotmail.com
Leia maisFunções. Funções. Cardinalidade de conjuntos. Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006.
Funções Funções. Cardinalidade de conjuntos. Referência: Capítulo: 3 Discrete Mathematics with Graph Theory Edgar Goodaire e Michael Parmenter, 3rd ed 2006 1 FUNÇÕES Funções-2 Definição de função Uma função
Leia maisQuestão 3. a) (1,5 pontos). Defina i) conjunto aberto, ii) conjunto
DM IMECC UNICAMP Análise I Prof. Marcelo M. Santos Prova de Segunda Chamada, 08/07/2009 Aluno: Assinatura: RA: Observações: Tempo de prova: 100min; Justifique sucintamente todas as suas afirmações; Disponha
Leia maisCM Funções. Notas de Aula PSE Departamento de Matemática - UFPR
1. CM 128 - Funções Notas de Aula PSE 2017 Departamento de Matemática - UFPR Sumário 1 Conjuntos 4 1.1 Aula 1 - Operações entre conjuntos................................... 4 1.1.1 Conjuntos.............................................
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia maisP1 de Análise Real ou Análise I Data: 16 de abril de 2008
P1 de Análise Real ou Análise I 2008.1 Data: 16 de abril de 2008 Serão contadas as quatro melhores questões. 1. Seja (a n ) uma seqüência de números reais. Prove que se (a n ) 2 converge então a nn também
Leia maisResumo Elementos de Análise Infinitésimal I
Apêndice B Os números naturais Resumo Elementos de Análise Infinitésimal I Axiomática de Peano Axioma 1 : 1 N. Axioma 2 : Se N, então + 1 N. Axioma 3 : 1 não é sucessor de nenhum N. Axioma 4 : Se + 1 =
Leia maisDecimaseptima áula: espaços completos e compactos
Decimaseptima áula: espaços completos e compactos Lembramos que: Definição 0.1. Um espaço métrico (M, d) diz-se completo quando toda sequência de Cauchy é convergente. Um espaço métrico (M, d) diz-se compacto
Leia maisApresentação do curso
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Apresentação do curso Parte 1 Parte 1 Pré-Cálculo 1 Parte 1 Pré-Cálculo 2 Conteúdo do curso Números
Leia maisTeoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo. Departamento de Matemática Aplicada
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada Capítulo 14: Conjuntos de Corte e Conectividade Preparado a partir do texto: Rangel,
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM122 - Fundamentos de Análise Prof. Zeca Eidam.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM1 - Fundamentos de Análise Prof Zeca Eidam Lista 4 Supremo e ínfimo 1 Seja X R não-vazio 1 Mostre que, caso existam,
Leia maisCURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2 Conjuntos Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos
Leia maisO tamanho do infinito Descubra fatos e propriedades surpreendentes sobre os conjuntos que não têm fim!
O tamanho do infinito Descubra fatos e propriedades surpreendentes sobre os conjuntos que não têm fim! Ciência Hoje 1,2,3... Estes são os números naturais, nesta ordem. Cada um dos naturais tem um único
Leia maisProcedimentos e Algorítmos Programas e Linguagens de Programação Tese de Church-Turing Formas de Representação de Linguagens
Procedimentos e Algorítmos Programas e Linguagens de Programação Tese de Church-Turing Formas de Representação de Linguagens 1 Introdução Estudar computação do ponto de vista teórico é sinônimo de caracterizar
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA12 - Matemática Discreta - PROFMAT Prof.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática MA - Matemática Discreta - PROFMAT Prof. Zeca Eidam Lista Números Naturais e o Princípio de Indução. Prove que
Leia maisTEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS PARA ESPAÇOS LOCALMENTE COMPACTOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS PARA ESPAÇOS LOCALMENTE COMPACTOS FELIPE AUGUSTO TASCA Trabalho de
Leia maisAulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril
1 Conjuntos Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril Um conjunto é uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos do conjunto. A única restrição é que em geral um mesmo elemento não pode contar
Leia maisMódulo Tópicos Adicionais. Recorrências
Módulo Tópicos Adicionais Recorrências Módulo Tópico Adicionais Recorrências 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1 Considere a sequência definida por x 1 d e x n r + x n 1, para n > 1 Trata-se de uma
Leia maisPerpendicularismo no Espaço. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff
Perpendicularismo no Espaço Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff 2017.2 Perpendicularismo entre retas Definição: Como duas retas concorrentes estão sempre num mesmo plano, definimos o ângulo entre as
Leia maisOs Infinitos de Cantor. Série Matemática na Escola
Os Infinitos de Cantor Série Matemática na Escola Objetivos 1. Abordar os temas de cardinalidade, conjuntos e subconjuntos infinitos, correspondência biunívoca; 2. Apresentar uma demonstração matemática
Leia maiscomo aproximar bem números reais por números racionais
Frações contínuas: como aproximar bem números reais por números racionais Carlos Gustavo Moreira - IMPA A teoria de frações contínuas é um dos mais belos assuntos da Matemática elementar, sendo ainda hoje
Leia maisACTIVIDADE: As Sucessões e os Fractais Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira.
ACTIVIDADE: As Sucessões e os Fractais Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira. ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário (11º ano) Conteúdos Específicos:
Leia maisINVESTIGAÇÕES EM SALA DE AULA DE MATEMÁTICA: A GEOMETRIA FRACTAL E AS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS INFINITAS
INVESTIGAÇÕES EM SALA DE AULA DE MATEMÁTICA: A GEOMETRIA FRACTAL E AS SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS INFINITAS Dora Soraia Kindel 1 Resumo: Conceitos envolvendo a ideia de infinito têm intrigado a humanidade há
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n
Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas - CCE Departamento de Matemática Primeira Lista de MAT641 - Análise no R n 1. Exercícios do livro Análise Real, volume 2, Elon Lages Lima, páginas
Leia maisNoções Topológicas em R n (n N)
Noções Topológicas em R n (n N) Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 2018-2019 Cálculo II 2018-2019 Noções Topológicas em R n 1 / 11 Bola em R n Sejam X, Y R n, X = (x 1, x 2,...,
Leia maisUniversidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática 2014 Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição (noção primitiva):: Conjunto;
Leia maisResumo Matemática Finita
Resumo Matemática Finita Tema Combinatória Enumerativa. O que é contar Correspondência biunívoca : Uma correspondência biunívoca entre dois conjuntos e é uma relação binária entre e que verifica as duas
Leia maisPROBLEMA PLATEAU: SUPERFÍCIES MÍNIMAS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
ANAIS PROBLEMA PLATEAU: SUPERFÍCIES MÍNIMAS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FERREIRA, Micaelli Teodoro Estudante do Curso de Matemática, bolsista (IC-FA) - ILACVN - UNILA; E-mail: mt.ferreira.2016@aluno.unila.edu.br;
Leia mais3. Sequências de aproximações racionais
3. Sequências de aproximações racionais 3.1 Aproximações com denominadores q Sabemos que o conjunto dos números racionais é denso em R, isto é, números reais podem ser bem aproximados por números racionais,
Leia mais