Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos

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1 Elementos de Topologia para Sistemas Dinâmicos Fernando Lucatelli Nunes Brasília - DF

2 Sumário Prefácio Conjuntos e Relações Conjuntos Noções básicas Funções Relação de Ordem Relações de Equivalência Cardinalidade Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein Conjunto das partes Conjuntos Enumeráveis Topologia Topologias Linguagem Básica da Topologia Continuidade Conexidade e Compacidade Espaços Hausdor Espaços Conexos Espaços conexos por caminhos Componentes conexas Espaços Compactos Rigidez Hausdor-Compacto Caracterização de espaços compactos

3 2 SUMÁRIO 3 Topologias Produto e Quociente Topologia Produto Produto Finito de Espaços Topologia Produto Topologia Quociente Espaços Métricos A Topologia da Métrica Conjuntos Limitados Espaços Vetoriais Normados Métrica da convergência uniforme Funções Contínuas Convergência Uniforme Espaços Métricos Completos Espaços topologicamente completos Espaços Métricos Compactos Semicontinuidade Inferior e Superior Grupos Topológicos Teoria Básica dos Grupos Homomorsmo de grupos Teorema de Lagrange Grupo Quociente Grupos Topológicos Sistema de vizinhanças do elemento neutro Axiomas de Separação Subgrupos de grupos topológicos Grupos topológicos quocientes

4 SUMÁRIO 3 Prefácio O principal objetivo deste texto é cobrir os pré-requisitos necessários para a leitura da referência [6]. Nessa referência, um sistema dinâmico é denido como sendo um par (X, G), onde X é um espaço métrico compacto e G é um grupo topológico agindo em G. A topologia e a análise necessárias para entender essa terminologia serão apresentadas neste texto. O capítulo 0 será dedicado à teoria dos conjuntos. Os capítulos 1, 2 e 3 são dedicados à topologia geral. Neles, são tratados os assuntos sucientes para entender (e ter uma visão mais ampla) sobre a estrutura dos espaços de fase dos sistemas dinâmicos. O capítulo 4 complementa o trabalho desenvolvido nos capítulos anteriores falando sobre espaços métricos (principal importância para a referência [6] ). Finalmente, no capítulo 5, há uma revisão de aspectos elementares de teoria básica dos grupos seguido de uma introdução a grupos topológicos (com denições e resultados mais pertinentes). A primeira versão deste texto foi parte do meu trabalho de Iniciação Cientíca pela UnB, intitulada Introdução à Dinâmica Topológica e Aplicações à Teoria dos Números, no período de Agosto/ Agosto/2010. Essa Iniciação Cientíca recebeu apoio do CNPq e foi orientada pelo professor Mauro Moraes Alves Patrão. Para mais detalhes sobre a iniciação, o relatório é a referência [7], disponibilizada na página do grupo de Teoria de Lie e Aplicações, cujo endereço é

5 4 SUMÁRIO

6 Capítulo 0 Conjuntos e Relações 0.1 Conjuntos Noções básicas Um conjunto é uma coleção de objetos e pode ser denotado ou pela lista explícita de seus objetos (quando possível), ou por uma uma regra que determine quais são seus membros. Um conjunto A é um subconjunto de B, se todo elemento de A pertencer, também, a B. Se A é subconjunto de B, denota-se A B. Dois conjuntos, A e B, são iguais, se A B e B A. O conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento e é denotado por. Dados dois conjuntos A e B, dene-se A B = {x A : x B}. Se A B, o complementar do conjunto A relativo ao conjunto B é o conjunto A C = B A dos elementos que pertencem a B, mas não pertencem a A. Quando não há ambigüidade sobre qual é o conjunto universo (qual é o conjunto B), dizemos apenas complementar de A e denotamos A C, para nos referir a B A. Sejam A e B dois conjuntos, a união de A e B é o conjunto A B de todos elementos que pertencem ou a A, ou a B e a interseção A B é a coleção dos elementos que pertencem a A e a B simultânemente. O produto cartesiano de A e B é o conjunto A B dos pares (a, b) tais que a A e b B. Analogamente, pode-se denir o produto cartesiano de uma coleção nita ou innita de conjuntos. 5

7 6 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Funções Sejam A e B conjuntos. Uma relação de A em B é um subconjunto R do A B. Quando (a, b) R, diz-se que a se relaciona com b. Uma função de A em B é uma relação F de A em B tal que (a, b), (a, c) F = b = c, quando F é uma função e (a, b) F, denota-se F (a) = b. Uma função f de A em B é denotada por f : A B. A é chamado o domínio e B é chamado o contradomínio de f. O conjunto Im(f) = {f(x) : x A} B é a imagem de f. Se Im(f) = B, a função f é chamada sobrejetiva. Se f(x) = f(y) implicar x = y, f é dita injetiva. Caso uma função seja injetiva e sobrejetiva, ela é dita bijetiva. Seja f : A B uma função. Se X B, a imagem inversa de X é o conjunto f 1 (X) = {x A : f(x) X}. Se x B, note que o conjunto f 1 (x) = {y A : f(y) = x} pode ser vazio, unitário ou um conjunto com mais de um elemento. Caso f seja injetiva, a última possibilidade é excluída e, por sua vez, caso f seja sobrejetiva a primeira possibilidade é excluída. Portanto, se f é bijetiva, necessariamente f 1 (x) = {y A : f(y) = x} é unitário e, nesse caso, então, podemos denir a função inversa de f, f 1 : B A. 0.2 Relação de Ordem Nesta seção, apresentaremos algumas denições básicas sobre ordem num conjunto A. Primeiramente, dene-se o que é ordem como segue: Denição 0.1 (Ordem) Uma ordem num conjunto A é uma relação R o de A nele mesmo que satisfaz as seguintes propriedades: 1. a A, (a, a) R o (propriedade reexiva) 2. (a, b) R o e (b, a) R o = a = b (anti-simetria) 3. (a, b) R o e (b, c) R o = (a, c) R o (transitividade) Se R o é uma relação de ordem, (a, b) R o é denotado por a b e diz-se que a é menor ou igual a b. Uma ordem num conjunto X é dita total, se a, b X, ou a b, ou b a. Caso isso não ocorra, a ordem é dita ordem parcial.

8 0.2. RELAÇÃO DE ORDEM 7 Quando um conjunto A está munido de uma ordem parcial, ele é denominado parcialmente ordenado, e ele é denominado totalmente ordenado se estiver munido de uma ordem total. Seja A um conjunto parcialmente ordenado. Se B A, então a ordem parcial de A induz uma ordem em B fazendo, para a, b B, a b se, e somente se, a b em A. Se um subconjunto B de um conjunto A parcialmente ordenado é totalmente ordenado, ele é chamado de cadeia em A. Denição 0.2 (Cotas, sup e inf) Seja A um conjunto parcialmente ordenado. Caso B A, um elemento a A é cota superior de B, se b a, b B. Analogamente, um elemento a A é cota superior de B, se a b, b B. Se existir um número s A, tal que s é cota superior de B A e: a A é cota superior de B = s a; esse número s A é chamado o supremo do conjunto B, e denota-se s = sup B. Analogamente, se existir um número I A, tal que I é cota inferior de B A e: a A é cota inferior de B = a I; esse número I A é chamado o ínmo do conjunto B, e denota-se I = inf B. Observação: Note que nem todo subconjunto B não-vazio de A possui cota superior ou cota inferior. Nem todo conjunto B A, que possua uma cota superior, possui um supremo. Analogamente nem todo conjunto B A, que possua uma cota inferior, possui um ínmo. Por exemplo, o subconjunto { x Q : x > 2 } Q possui cota inferior em Q e, no entanto, não possui ínmo. Denição 0.3 (Máximo e mínimo) Seja A um conjunto parcialmente ordenado e B A, o elemento m B é máximo em B, se m b para todo b B {m}. O elemento m B é mínimo em B, se b m para todo b B {m }. Um axioma importante e muito famoso da teoria dos conjuntos é o axioma da escolha, o qual é enunciado abaixo. Axioma 0.1 (Axioma da escolha) Se {A i } i L é uma família de conjuntos não-vazios, então existe uma função f : L j L A j tal que f(j) A j, j L.

9 8 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Geralmente, fazemos uso do axioma da escolha na forma do lema de Zorn que está apresentado na forma de axioma abaixo. Axioma 0.2 (Lema de Zorn) Se A é parcialmente ordenado e toda cadeia em A possui uma cota superior, então A possui um elemento máximo. 0.3 Relações de Equivalência Denição 0.4 (Relação de equivalência) Uma relação R e é dita ser uma relação de equivalência, quando a relação é de um conjunto A nele mesmo e satisfaz as três propriedades abaixo: 1. a A, (a, a) R e (propriedade reexiva) 2. (a, b) R e = (b, a) R e (simetria) 3. (a, b) R e e (b, c) R e = (a, c) R e (transitividade) Se R e é uma relação de equivalência, (a, b) R e é denotado por a b e diz-se que a é equivalente a b. Um relação satisfazendo a propriedade 1 é chamada relação reexiva, satisfazendo a 2 é chamada relação simétrica e satisfazendo a 3 é dita relação transitiva. Um exemplo trivial de relação de equivalência num conjunto A é a igualdade =. Note que uma ordem difere-se de uma relação de equivalência apenas na propriedade 2 (a ordem parcial é anti-simétrica, enquanto a relação de equivalência é simétrica). Se é uma relação de equivalência em X, o conjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a um dado elemento x é chamado a classe de equivalência de x. Com efeito, se x X, o conjunto x = {y X : y x} é a classe de equivalência de x. A família das classes de equivalências é denotado por X/. Seja X um conjunto munido de uma relação de equivalência. É bem fácil de vericar que, se dois elementos de um conjunto X não são relacionados, então eles possuem classes de equivalência disjuntos. E, então, escolhendo um único (elemento) representante para cada classe de equivalência em X, X é particionado pelas classes de equivalência desses representantes.

10 0.4. CARDINALIDADE 9 Exemplo Seja f : X Y uma função. Dene-se uma relação em X da seguinte forma: x y, se f(x) = f(y). Isso é uma relação de equivalência. Podemos denir uma função injetiva f : X/ Y de maneira natural, colocando f( x) = f(x). 0.4 Cardinalidade Aqui, será feita uma breve exposição sobre o tema. O objetivo é apenas mostrar alguns dos pontos importantes que serão necessários para o prosseguimento da leitura do texto. Caso o leitor identique falta de familiaridade com o assunto, ele deve consultar um livro de Teoria dos Conjuntos, como a referência [1], ou de Análise, como a referência [3] Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein O primeiro importante resultado sobre o tema é o teorema de Cantor-Schroeder- Bernstein. Apesar do nome, ele é simples, além de ser muito conhecido e bastante usado. Dois conjuntos A e B são, por denição, de mesma cardinalidade se existe uma bijeção φ : A B. Quando existe essa bijeção, denota-se card(a) = card(b). Antes de enunciar o teorema, será provado um lema e uma proposição. Lema 0.3 Sejam A, B conjuntos não-vazios. Existe uma sobrejeção γ : A B se, e somente se, existe uma injeção λ : B A. Prova: Com efeito, se existe uma sobrejeção γ : A B, segue que, para cada x B, podemos escolher um único y x A tal que γ(y x ) = x. Então denimos λ : B A, λ(x) = y x. Note que isso é, evidentemente, uma injeção. Reciprocamente, se existe λ : B A injetivo, xando a B qualquer, dene-se γ : A B tal que: γ(x) = λ 1 (x), se x λ(b); e γ(x) = a, se x λ(b). Note que γ é evidentemente sobrejetivo. Dizemos que card(a) card(b) (cardinalidade de A é menor ou igual à cardinalidade de B ) se existe uma injeção λ : A B. E, portanto, pelo lema precedente, isso é equivalente a existir uma sobrejeção γ : B A.

11 10 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES Segue uma proposição que servirá de apoio para a demonstração do teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein. Proposição 0.4 Se B A e card(a) card(b), então A e B tem a mesma cardinalidade. Ou seja, se B A e existe uma injeção f : A B, então A e B tem a mesma cardinalidade. Prova: Com efeito, toma-se a injeção f : A B. Como B A, tem-se que f(b) f(a). E é fácil de vericar por indução que, para todo n N, f n (B) f n (A). Dene-se K = x A : x f n (A) f n (B). n N {0} E, então, dene-se h : A B tal que h(x) = f(x), se x K; e h(x) = x, se x (A K). Evidentemente, h K e h ( A K) são injetivas. Logo, para provar que h é injetiva, basta provar que, dados a K e b (A K), h(a) h(b). Bom, supõe-se por absurdo que, nessas condições, h(a) = h(b). Isso implica que f(a) = h(a) = h(b) = b. Toma-se m N tal que a (f m (A) f m (B)). Tem-se que f(a) = b f m+1 (A). E, como b K, tem-se que b f m+1 (B). Disse segue que existe t f m (B) tal que f(t) = b. Mas, pela injetividade de f, a = t f m (B). Portanto a (f m (A) f m (B)). Absurdo. Portanto deve-se ter que h(a) h(b). E isso completa a prova de que h é injetiva. Resta provar que h é sobrejetiva. Dado q B, se q B K, basta ver que h(q) = q. Caso q K B, tem-se que q (f t (A) f t (B)) para algum t N (positivo), anal q B. Note que, então, existe z f t 1 (A) tal que f(z) = q. E, també, tem-se que z f t 1 (B), pois o contrário implicaria f(z) = q f t (B) e, então, q (f t (A) f t (B)). Disso segue que z (f t 1 (A) f t 1 (B)) e, portanto, h(z) = f(z) = q. Isso completa a prova da sobrejetividade de h. Portanto h é bijeção, donde segue que card(a) = card(b). O Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein é enunciado e provado abaixo. Ele diz que, se card(a) card(b) e card(b) card(a), então card(a) = card(b).

12 0.4. CARDINALIDADE 11 Teorema 0.5 (Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein) Sejam A, B conjuntos não vazios. Se card(a) card(b) e card(b) card(a), segue que card(a) = card(b). Ou seja, se existem injeções f : A B e g : B A, então existe uma bijeção φ : A B. Prova: Com efeito, tomando as injeções f : A B e g : B A, tem-se que f : A f(a), onde f (x) = f(x), é uma bijeção entre A e f(a) B. Logo (f g) : B f(a) é uma injeção. Como f(a) B, pela proposição 0.4, segue que card(f(a)) = card(b), ou, em outras palavras, existe uma bijeção h : f(a) B. Note, então, que φ = (h f ) : A B é composição de bijeções e, portanto, bijeção. Segue, como consequência do teorema 0.5, o denominado princípio da casa dos pombos (muito usado em combinatória). Proposição 0.6 (Princípio da casa dos pombos) Se a cardinalidade de A é (estritamente) maior que a cardinalidade de B, então não existe injeção f : A B. Prova: Basta ver que se card(b) card(a) e se houvesse uma injeção f : A B, f : A f(a), seguiria que card(a) card(b). E, pelo teorema 0.5, isso implicaria que card(a) = card(b). Isso provou a proposição Conjunto das partes Seja X um conjunto, dene-se o conjunto das partes de X como sendo o conjunto P (X) = {A : A X}. Será provado nesta subseção que a cardinalidade de P (X) é estritamente maior que X. Proposição 0.7 O conjunto das partes P (X) de um conjunto X tem cardinalidade (estritamente) maior que a cardinalidade de X. Prova: Com efeito, supõe-se por absurdo que card(x) card(p (X)). Ou seja, a hipótese de absurdo é de que existe f : X P (X)

13 12 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES sobrejetiva. Toma-se o conjunto U = {x X : x f(x)}. Pela hipótese de absurdo, segue que f 1 (U) não é vazio. Toma-se y f 1 (U). Se y U, segue que y f(y) = U. Portanto deveríamos ter que y U. Mas isso também implicaria na contradição de que y U. Portanto não existe y X tal que y f 1 (U). Ou seja, f 1 (U) = (isso provou que f não é sobrejetiva) Conjuntos Enumeráveis Um conjunto X é nito, se X =, ou se, para algum n N, houver uma bijeção C : {1,..., n} X e, nesse caso, diz-se que X possui n elementos. Quando X possui n elementos, denota-se X = n. Se X não é nito, ele é innito. O conjunto X é enumerável, se é nito, ou se X possui a mesma cardinalidade de N. Se X for innito e não possuir a mesma cardinalidade de N, X é dito não-enumerável. Exemplo Pela proposição 0.7, tem-se que P (N) não é enumerável. Os racionais, os naturais e os inteiros são enumeráveis; mas o conjunto dos reais e o conjunto dos números irracionais são não-enumeráveis. Proposição 0.8 Valem as seguintes propriedades sobre conjuntos: 1. Se X é um conjunto innito, então card(x) card(n); 2. Um subconjunto de um conjunto nito é necessariamente nito; 3. Uma reunião nita de conjuntos nitos é nita; 4. Um subconjunto de um conjunto enumerável é necessariamente enumerável; 5. Uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é necessariamente enumerável; 6. Um produto nito de conjuntos enumeráveis é enumerável.

14 0.4. CARDINALIDADE 13 Observação: Note que um produto enumerável de conjuntos enumeráveis não é necessariamente enumerável. Um exemplo são os reais R. Com efeito, se a R, a é formado por uma quantidade enumerável de algarismos pertencentes ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ou seja, podemos formar uma injeção f : R {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N e, como R é não-enumerável, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} N é não-enumerável. Temos, também, a seguinte versão do princípio da casa dos pombos. Corolário Se A é um conjunto innito e B é nito, dada uma função f : A B, existe pelo menos um x tal que f 1 (x) é um conjunto de cardinalidade innita. Prova: Com efeito, se B é nito e existe uma função f : A B tal que f 1 (x) é nito para todo x B, seguiria que f 1 (x) x B é uma reunião nita de conjuntos nitos. E, portanto, A seria nito.

15 14 CAPÍTULO 0. CONJUNTOS E RELAÇÕES

16 Capítulo 1 Topologia Esse capítulo introduz os conceitos básicos de topologia geral. Ele começa denindo espaço topológico e, depois, segue que a lingugem básica de topologia. Para trabalhar esses conceitos, consulte, por exemplo, as referências [5] e [2]. 1.1 Topologias Munir um conjunto X de uma topologia, equivale a muní-lo de uma estrutura de abertos. Essa estrtura deve satisfazer algumas condições que, por exemplo, possibilita a noção de proximidade e, principalmente, possibilita denir continuidade de funções. Segue a denição clara. Denição 1.1 (Topologia) Uma topologia em um conjunto X é uma família τ de subconjuntos de X tal que: 1., X τ 2. A união dos conjuntos de qualquer subfamília de τ pertence a τ. 3. A interseção dos conjuntos de toda subfamília nita de τ pertence a τ. X é chamado o espaço da topologia τ. Um espaço topológico é um par (X, τ) de um conjunto e uma topologia especíca nesse conjunto. Um subconjunto U de X é aberto, se U τ. Quando não há ambigüidade com relação à topologia adotada, diz-se que X 15

17 16 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA é um espaço topológico (em vez de (X, τ)). Pela denição, sempre X e são abertos. Quando nos referimos ao espaço topológico (X, τ), dizemos que X está munido da topologia τ. Exemplo (Topologia trivial e a topologia discreta) Seja X é um conjunto qualquer. Uma topologia trivial em X é a topologia que consiste apenas dos conjuntos e X.Ou seja, quando τ = {X, }. Essa topologia também é chamada de topologia caótica. Outro exemplo é a topologia discreta em um conjunto X, onde se tomam todas as partes de X como conjuntos abertos. Exemplo Dado X = {a, b, c}. Então {X,, {a}} e {X,, {a}, {a, b}, {a, c}} são exemplos de duas topologias em X. Exemplo Seja X um conjunto. Consegue-se denir uma topologia τ em X consistindo de todos os subconjuntos U, tal que X U é nito ou é o X todo. Também é uma topologia em X a coleção de todos U X, tal que X U é enumerável ou é o X todo. Denição 1.2 Sejam τ e τ duas topologias em X. Diz-se que τ é mais na que τ, se τ τ. Nesse caso, também se diz que τ é mais grosseira que τ. Também é usada a terminologia (mais intuitiva) τ menor que τ, quando τ τ. Tomando um conjunto qualquer X, é fácil notar que a topologia discreta em X é mais na que qualquer outra topologia nesse conjunto. Da mesma forma, tem-se que a topologia trivial é a mais grosseira de todas. Denição 1.3 (Vizinhança) Seja (X, τ) um espaço topológico. Um conjunto U X é uma vizinhança de um ponto x X, se U contém algum aberto que contenha x. Lema 1.1 Seja X um espaço topológico. A X é aberto, se e somente se A é vizinhança de cada um de seus pontos.

18 1.1. TOPOLOGIAS 17 Prova: Evidente que, se A é aberto, dado x A, por A A, tem-se que A é vizinhança de x. Se A X é, por hipótese, vizinhança de cada um dos seus pontos, segue que, para cada x A, existe α x A aberto. Portanto A = x A α x é uma união de abertos e, portanto, aberto. O que completa a demonstração da recíproca do lema. Veremos agora que, dada uma topologia τ num conjunto X, podemos gerá-la apartir de certos abertos dessa topologia, no sentido que será esclarecido no lema 1.2. O fato desses abertos gerarem a topologia faz com que a família desses abertos receba o nome de base da topologia. Reduzir uma topologia à sua base nos será importante, pois nos facilitará provar propriedades da topologia (como, por exemplo, a continuidade de uma função) 1. Denição 1.4 (Base) Seja (X, τ) um espaço topológico. A base da topologia τ é uma família B de abertos, chamados elementos básicos, tal que, B e, para cada x X e cada vizinhança U de x, existe um aberto β B tal que x β U. Lema 1.2 Sejam (X, τ) um espaço topológico e B uma base para a topologia τ. Tem-se que τ é a família das uniões dos elementos de B. Prova: Com efeito, os elementos de B são, também, elementos de τ, logo a união dos elementos de qualquer subfamília de B pertencem a τ. O que mostra que α B = β τ. β α Resta provar que γ τ = α B : β α β = γ. Caso γ =, tem-se que α = { } evidentemente. Se γ é não-vazio, basta, t γ, tomar β t B tal que β t γ e t β t. Então é evidente que β t = γ O que completou a demonstração. t γ 1 Ver lema 1.12

19 18 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Exemplo Para todo conjunto X, uma base para a topologia discreta é a família de todos os conjuntos unitários pertencentes à topologia τ. E a única base possível para a topologia trivial é a família que possui X e somente. Lema 1.3 Seja X um conjunto. Para que B seja uma base para alguma topologia em X é necessário e suciente que B seja uma família de subconjuntos de X, tal que 1. x X, β x B : x β x ; 2. β 1, β 2 B, se x β 1 β 2, então β 3 B : x β 3 β 1 β 2 ; 3. B. Prova: Seja B é a base de alguma topologia em X. Tem-se que, dado x X e a vizinhança X, existe β x tal que x β x X; pela denição. Dados β 1, β 2 B, se x β 1 β 2, segue que β 1 β 2 é um aberto (por ser interseção de abertos) e, portanto, β 1 β 2 é uma vizinhança de x. Pela denição, segue que existe β 3 B tal que x β 3 β 1 β 2. Evidente que B. O que completa a prova de que, se B é a base de uma topologia qualquer, B satisfaz as condições do lema. Agora, supomos que B satisfaz as condições acima. Vamos provar que B é uma base de alguma topologia. Toma-se a família τ das uniões dos elementos de cada subfamília de B. Com efeito, τ é uma topologia de X. Basta ver que a união de todos os elementos de qualquer subfamília pertence à τ evidentemente. Também ocorre que, X τ, pois X é a união de todos os elementos de B e é a união dos elementos da subfamília { } B. Dada uma interseção nita γ de elementos em B(e x γ), segue que existe β B tal que x β γ. 2 Dada uma interseção nita α de elementos de T, essa interseção vai ser uma reunião de interseções nitas de B. Logo, para cada x α, x pertence a uma dessas interseções e, portanto, existe β x B tal que β x α. Portanto β x = α τ, o que completa a prova de que τ é uma topologia. x α 2 Basta fazer indução sobre a condição 2 para vericar.

20 1.1. TOPOLOGIAS 19 Agora é fácil notar que, dada uma vizinhança U de x X em relação à topologia τ, basta tomar um aberto K τ que contenha x contido em U e, então, teremos que esse aberto é uma reunião de conjuntos em B. Logo existe β x B tal que x β x K U. O que completa a prova de que B é base da topologia formada pelas uniões dos elementos das suas subfamílias. Exemplo Para todo conjunto X, uma base para a topologia discreta é dada pela família de todos os conjuntos unitários. Exemplo Pelo último lema, a família de todos os intervalos (a, b) é uma base de uma topologia em R. Tal topologia é chamada topologia usual da reta (ou padrão da reta). Da mesma forma, o conjunto de interiores de todos retângulos num plano cartesiano é uma base para uma topologia τ 2 em R 2. Outra base para a mesma topologia é o conjunto dos interiores de todos os círculos no plano. A topologia τ 2 é chamada topologia usual de R 2. De forma análoga, o conjunto de todos interiores das esferas é uma base para uma topologia τ 3 em R 3. Tal topologia é a topologia usual de R 3. De forma geral, R n possui uma topologia análoga, como será explicado no capítulo 4. Denição 1.5 (Subbase) Seja F uma família qualquer de subconjuntos de X. Existe uma menor topologia τ que contém F. Basta tomar a família B de todas interseções nitas de F. B é a base da menor topologia que contém F. F diz-se subbase da topologia τ gerada por B. Exemplo (Topologia produto) Sejam (X, τ X ) e (Y, τ Y ) dois espaços topológicos. Então a família B = {U V : U aberto em X e V é aberto em Y } é a base para a topologia produto de U V. Exemplo Seja (X, τ) um espaço topológico. Se Y X, então o subespaço topológico Y de (X, τ) é Y munido da topologia τ Y denida por: τ Y = {Y U : U τ}

21 20 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA. Diz-se que (Y, τ Y ) é subespaço topológico de (X, τ X ). Podemos omitir, dizendo o subespaço topológico Y de (X, τ) deixando, assim, subentendido que adotamos em Y a topologia acima denida. Teorema 1.4 Sejam X um espaço topológico e Y X um aberto. Temos, então, que A Y é aberto no subespaço Y se, e somente se, A é aberto em X. Prova: Com efeito, seja A Y. Se A é aberto em X, então A Y = A é aberto em Y. Reciprocamente, se A Y é aberto em Y, então existe um aberto K X tal que A = K Y. Mas, como K é aberto (e Y também), temos que K Y = A é um aberto em X por ser uma interseção nita de abertos. Isso completa a demonstração da recíproca do teorema. 1.2 Linguagem Básica da Topologia Segue alguns conceitos e terminologias básicas de topologia geral. Denição 1.6 (Ponto isolado) Seja X um espaço topológico. x X é um ponto isolado em X, se {x} é um aberto em X. Por exemplo, todos os pontos de um espaço discreto são isolados. Ou, com a topologia usual, o conjunto {1/n : n N} {0} é tal que 0 é o único ponto não isolado. Denição 1.7 (Conjunto fechado) Um subconjunto A de um espaço topológico X é fechado, se A C = X A é aberto. Exemplo O intervalo fechado [a, b] R é um conjunto fechado em R(quando munido da topologia usual). Basta ver que [a, b] é o complemento da união dos abertos (, a) (b, + ). Mas o conjunto Q não é fechado (nem aberto) em R. Lema 1.5 Seja X um espaço topológico, sobre os conjuntos fechados de X pode-se armar que:

22 1.2. LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA A união nita de conjuntos fechados é um conjunto fechado; 2. A interseção dos elementos de qualquer família de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Prova: Dados F 1, F 2,..., F n X fechados, o complementar A i de F i é aberto evidentemente, tem-se, então, que: ou seja, n F i = i=1 n n (A i ) C = ( A i ) C i=1 n F i é o complementar de uma interseção nita de abertos (que, i=1 evidentemente, é um aberto), logo i=1 n F i é um fechado. O que completa a i=1 demonstração de 1. Dada uma família Γ de fechados no espaço topológico X, segue que a família = {X F : F Γ} é uma família de abertos. Logo X F Γ F = A A é aberto. E, portanto, F Γ F é fechado. Como a interção dos elementos de qualquer família de fechados (num espaço topológico X) é um fechado, segue que, dado um conjunto F X, podemos tomar o menor fechado que contém F. Esse menor fechado é, na verdade, a interseção de todos os fechados que contém F. Essa interseção é chamada de fecho de F em X. De forma análoga, a união dos elementos de uma família qualquer de abertos (de um espaço X) é um aberto. Logo, dado A X, podemos tomar o maior aberto contido em X, ou seja, a união de todos os abertos contidos em X. Essa reunião é chamada de interior de A em X. A denição desses conceitos seguem abaixo.

23 22 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Denição 1.8 (Interior de um conjunto) O interior de um subconjunto A de um espaço topológico (X, τ) é a união de todos os conjuntos abertos contidos em A. Ou seja, int(a) = α = α α A,α τ α A,α τ O interior de um conjunto A é denotado por int(a) ou por A o. Denição 1.9 (Fecho e densidade) O fecho de um conjunto A X é a interseção de todos os conjuntos fechados que contém A. O fecho de A é denotado por A. Ou seja, A = α α A,α C τ. Os pontos do fecho de um conjunto A são ditos valores de aderência de A. O conjunto A X diz-se denso em B, se A = B. Exemplo O conjunto Q dos racionais é denso em R. Mas Z não é denso em R. Os interiores de Q e de Z são vazios. Lema 1.6 Seja (X, τ) um espaço topológico. Se A X, então A = X int(x A) = (int(x A)) C. Ou seja, os pontos de A são os pontos que não estão em ((X A) 0 ) C. Prova: Basta ver que, como int(x A) X A, temos que (X A) C = A X int(x A) = (int(x A)) C, donde segue, por X (X A) 0 ser fechado, que A X int(x A). Reciprocamente, como A A, tem-se que X A X A e, por o complementar do fecho de A ser aberto, segue que X A int(x A). Portanto X int(x A) A. O que completa a prova de que A = X int(x A) = (int(x A)) C. Proposição 1.7 (Abertos e Fechados: caracterização) Sejam (X, τ) um espaço topológico e A X. Segue que são verdadeiras as armações: 1. A X é aberto, se e somente se A = A o. 2. A X é fechado, se e somente se A = A.

24 1.2. LINGUAGEM BÁSICA DA TOPOLOGIA 23 Prova: (1): Se A é aberto é fácil ver que A = A o. Reciprocamente, se, por hipótese, A o = A, então segue que A é união de abertos, portanto é aberto. (2): Evidente que, se A é fechado, A = α A α, ou seja, A = A. Reciprocamente, se, por hipótese, A = A, tem-se que A é uma interseção de fechados e, portanto, pelo lema 1.5, A é fechado. Denição 1.10 (Fronteira) A fronteira de um conjunto A X é o conjunto A = A A o. Lema 1.8 Sejam (X, τ) um espaço topológico e A um subconjunto de X. x A se, e somente se, toda vizinhança de x contém elementos de A e de X A. Prova: Se x A = A A 0, então, evidentemente, x A 0, ou seja, não existe uma vizinhança de x contida em A 0. Portanto a interseção de toda vizinhança de x com X A é não-vazia. Por x A, segue, pelo lema 1.6, que x int(x A) e, portanto, nenhuma vizinhança está contida em (X A) também. Isso completa a demonstração de que, dado x A, toda vizinhança U de x contém pontos de A e de seu complementar. Reciprocamente, se x é tal que todas as suas vizinhanças tem interseções não vazias tanto com A quanto com X A, então x A 0 e x int(x A). De x int(x A), pelo lema 1.6, temos que x A e, de x A 0, segue que x A A 0 = A. O que completa a prova da recíproca. Observação: Note que, se (X, τ) é um espaço topológico, dado A X qualquer, tem-se que X = A 0 A (X A) 0 é uma reunião disjunta. Para provar, basta ver que, dado x X, somente uma das armações é verdadeira: ou existe uma vizinhança de x contida em A, ou existe uma vzinhança de x contida em X A, ou não ocorre nenhuma das anteriores (e, portanto, toda vzinhança de x possui interseções não-vazias tanto com X quanto com X A). Lema 1.9 A fronteira de um conjunto A X é vazia, se e somente se A é fechado e aberto ao mesmo tempo.

25 24 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Sempre ocorre A o A A. Se a fronteira é vazia, segue que A o = A; portanto é fácil provar que A = A o = A, donde segue, pela proposição 1.7, que A é fechado e, também, é aberto. Reciprocamente, se A é fechado e, também, aberto, então A = A = A o. Portanto A = A A o = A A =. O que completa a demonstração da recíproca. Exemplo Em um espaço topológico (X, τ), o conjunto X e o são exemplos abertos que também são fechados. Já em um espaço topológico discreto, todos subconjuntos são tanto abertos quanto fechados. Denição 1.11 (Ponto de acumulação) Se A X, diz-se que x é ponto de acumulação de A, se toda vizinhança U de x tem interseção com A que contenha um elemento diferente do x. Ou seja, x é ponto de acumulação de A, se toda vizinhança U de x é tal que a A U; a x. O conjunto dos pontos de acumulação de A é chamado conjunto derivado de A. Lema 1.10 Seja K o conjunto derivado de um subconjunto A de um espaço topológico (X, τ). Segue que ( A A ) K. Prova: Pelo lema 1.8, segue que todo ponto x A = A A 0 A A é tal que toda vizinhança sua possui interseções não vazias com A e X A. Então, dado x A A, segue que a interseção de toda vizinhança U de x com A é não vazia e, por x A, tem-se que a A U; a x, ou seja, x é ( ponto ) de acumulação de A (x K). O que completa a prova da inclusão A A K. Lema 1.11 Seja X um espaço topológico. A X é fechado se, e somente se, todos os pontos de acumulação de A são elementos de A. Prova: Seja A fechado. Temos que X A é aberto, logo X A é vizinhança de cada um dos seus pontos 3 ; donde segue que não existe ponto de acumulação de A em X A, pois, para todo x (X A), (X A) é uma vizinhança de x e é tal que (X A) A = evidentemente. Logo temos que todo ponto de acumulação de A está em A. 3 Pelo lema 1.1.

26 1.3. CONTINUIDADE 25 Supondo que A contenha todos os seus pontos de acumulação, segue que os pontos de X A são tais que existe uma vizinhança tal que α tal que α A =, ou seja, α (X A). Donde tira-se que (X A) é vizinhança de todos os seus pontos, ou seja, (X A), pelo lema 1.1, é aberto. Portanto A é fechado. 1.3 Continuidade Entre dois grupos, é denido um tipo de aplicação elementar que, de certa forma, preserva a estrutura de grupo: o homomorsmo. Entre dois espaços vetoriais, são denidas as transformações lineares. Essas aplicações são os morsmos entre cada tipo de objetos. No caso da topologia, entre espaços topológicos, os mormos são as aplicações contínuas. Segue a denição mais direta de aplicação contínua, partindo da denição de topologia adotada. Denição 1.12 (Aplicação contínua) Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é contínua, se, V Y aberto, f 1 (V ) também for aberto em X, ou seja, f : X Y é contínua se valer: V Y aberto = f 1 (V ) aberto em X. A continuidade de uma função depende da coerência de sua denição com as topologias em X e em Y. Na verdade, existe uma forma local de denir continuidade (que parece ser a mais natural). Uma função entre dois espaços topológicos f : X Y é contínua num ponto x se a imagem inversa de toda vizinhança de f(x) é uma vizinhança de x. É bem fácil a vericação de que essa denição é coerente com a precedente (ou seja, uma aplicação é contínua segundo a primeira denição se, e somente se, é contínua em todos os pontos do domínio). Para vericar a continuidade de uma aplicação é suciente checar as imagens inversas dos elementos básicos da topologia de Y ; como é estabelecido no lema seguinte: Lema 1.12 Sejam X, Y espaços topológicos e B uma base de Y. f : X Y é contínua se, e somente se, para todo β B, f 1 (β) é aberto em X.

27 26 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Se, por hipótese, f : X Y é contínua, evidente que, dada uma base B, β B a imagem inversa f 1 (β) é aberta em X, por β ser um aberto. Reciprocamente, seja f : X Y tal que as imagens inversas dos elementos de uma base B da topologia de Y são abertas em X. Dado V Y aberto, pelo lema 1.2, temos que V pode ser escrito da forma: V = α, para algum L B, ou seja, na forma de união de elementos de B. α L Tem-se que f 1 (V ) = f 1 ( α L(α) ) = α L(f 1 (α)) e, como f 1 (β) é aberto β B, tem-se que a reunião acima (f 1 (V )) é uma reunião de abertos, portanto um aberto. O lema seguinte simplica ainda mais a vericação da continuidade de uma aplicação. Lema 1.13 Sejam X, Y espaços topológicos e S uma subbase de Y. A aplicação f : X Y é contínua se, e somente se, para cada U S, f 1 (U) é aberto em X. Prova: De fato, se f é contínua, as imagens inversas dos membros de uma subbase de Y necessariamente serão abertas. Reciprocamente, seja F uma subbase da topologia de Y. Se f 1 (U) é aberto para todo U F, segue que, n dado A Y pertencente à base B, tem-se que A = U i, onde U i F. Logo ( n ) f 1 (A) = f 1 U i = i=1 i=1 n ( f 1 (U i ) ), ou seja f 1 (A) é interseção nita de abertos e, portanto, é um aberto. i=1 Exemplo Seja (X, τ) é um espaço topológico. A aplicação identidade id : X X do espaço topológico (X, τ) no próprio (X, τ) é contínua. Basta ver que f 1 (A) = A, donde segue que, se A é aberto, então f 1 (A) = A é aberto.

28 1.3. CONTINUIDADE 27 Também, se (X, τ) é um espaço topológico discreto, então toda função f : X X é contínua. Proposição 1.14 Sejam X e Y espaços topológicos. As seguintes armações a respeito de f : X Y são equivalentes: 1. f é contínua. 2. Para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X. 3. Para todo subconjunto A de X, f(a) f(a). Prova: (1) = (2) Seja f : X Y contínua. Se B é um subconjunto fechado em Y, segue que B C = Y B é aberto; logo f 1 (B C ) é aberto em X. Portanto (f 1 (B C )) C = f 1 (B) é fechado em X. O que completa a demonstração de (1) = (2). (2) = (1) Reciprocamente, seja f : X Y tal que, para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X. Se A é um subconjunto aberto em Y, segue que A C = Y A é fechado; logo f 1 (A C ) é fechado em X. Portanto (f 1 (A C )) C = f 1 (A) é aberto em X. O que completa a prova de que f é contínua. (2) = (3) Se f : X Y é tal que, para todo subconjunto fechado B de Y, f 1 (B) é fechado em X; então, dado A X, f 1 (f(a)) é fechado. Evidente que A f 1 (f(a)), donde segue, por f 1 (f(a)) ser fechado, que A f 1 (f(a)). Ou seja, f(a) f(a). O que completa a demonstração dessa parte do teorema. (3) = (2) Seja f : X Y tal que, para todo subconjunto A de X, f(a) f(a). Seja B Y fechado, faz-se A = F 1 (B). A inclusão A A é óbvia, basta, então, provar que A A. Dado x A, segue que f(x) f(a) f(a) = B = B, ou seja, x f 1 (B) = A. O que completa a prova da inclusão A A

29 28 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA e, portanto, da igualdade A = A, ou seja, de que A é fechado. Os próximos teoremas dão formas de se contruir funções contínuas. O teorema 1.15 trata de funções de espaços topológicos em espaços topológicos. Já o teorema 1.16 lida com o caso restrito de funções com contra-domínios nos reais. Teorema 1.15 Sejam X,Y e Z espaços topológicos, então vale: 1. A função constante f : X Y é contínua; 2. A função identidade id : X X é contínua; 3. Se f : X Y e g : Y Z são contínuas, então a composta g f : X Z é contínua; 4. Se A X é um subespaço de X, então a aplicação de inclusão j : A X é contínua; 5. Se A é um subespaço de X e a aplicação f : X Y é contínua, então a restrição de f em A, denotada por f A e denida por f A : A Y, f A (x) = f(x), também é contínua; 6. As projeções p 1 : X Y X, p 1 (x, y) = x, e p 2 : X Y Y, p 2 (x, y) = y são contínuas; 7. Se f : X Y Z é dado por f(a) = (f 1 (a), f 2 (a)), então f é contínua se, e somente se, também são contínuas as aplicações f 1 : X Y e f 2 : X Z. Prova: (1): Seja f(x) = k, x X. Dado A Y aberto, tem-se que, ou k A, ou k A. Se k A, f 1 (A) = X é aberto. Caso k A, f 1 (A) = é abero. Portanto, independente da escolha do aberto A Y, f 1 (A) é aberto, id est, f é contínua.

30 1.3. CONTINUIDADE 29 (2): Seja id : X X a função identidade. Se A X é aberto em X, então é evidente que id 1 (A) = A é aberto em X. Portanto id é contínua. (3): Dado A Z aberto, segue que g 1 (A) Y é aberto. Logo temse que f 1 (g 1 (A)) X é aberto, ou seja, f 1 (g 1 (A)) = (g f) 1 (A) é aberto. (4): Seja j : A X, j(x) = id(x). Tem-se que, dado um aberto K X, j 1 (K) = id 1 (K) A = K A. Como A é subespaço de X (e, portanto, tem a topologia induzida), os abertos de A são justamente as interseções B A, sendo B um aberto de X. 4 Id est, K A é aberto em A, o que completa a demonstração de que j é contínua. (5): Seja j : A X. De fato, f A = (f j) e, como f e j são contínua, tem-se, pelo (3), que f A = (f j) é contínua. (6): Utilizando a topologia denida em 1.5.1,dado um aberto A X, é evidente que p 1 i (A) = A Y. Como A é aberto e Y também, segue que p 1 i (A) = A Y é também aberto. O que completa a prova de que p i é contínua. A prova de que p j é contínua é análoga. (7): Seja f : X Y Z contínua e seja p i : Y Z Y a função projeção. Como f e p i são contínuas, segue que é também contínua a aplicação (p i f) = f 1 : X Y. Da mesma forma, seja a projeção p j : Y Z Z. Como p j e f são contínuas, segue que é contínua a função (p j f) = f 1 : X Z. O que completou a demonstração de um sentido da armação. Reciprocamente, sejam f 1 : X Y e f 2 : X Z contínuas. Temos que, dado A B Y Z aberto, como A Y e B Z são abertos, 2 (B) são abertos em X e, portanto, f 1 (A B) = segue que f 1 1 (A) e f 1 f 1 1 (A) f 1 1 (B) é uma interseção nita de abertos, ou seja, é um aberto em 4 Conforme foi denido no exemplo 1.5.2

31 30 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA X. O que completa a demonstração. Teorema 1.16 Sejam X um espaço topológico e f, g : X R funções contínuas. Segue que f + g, f g e f g são contínuas, e, se g(x) 0, x X, então f também é contínua. g Prova: Note que a adição A : R R R é contínua. Dene-se h : X R R, h(x) = (f(x), g(x)), que é, pelo teorema precedente, contínnua. Logo f + g = (A h) é contínua. As demonstrações para as outras funções são análogas. Agora, deniremos um tipo de aplicação que é o principal tipo estudado na topologia: O homeomorsmo. Se existe um homeomorsmo de um espaço X num espaço Y, eles são ditos homeomorfos e, do ponto de vista topológico, eles são, de certa forma, indistinguíveis 5. Denição 1.13 (Homeomorsmo) Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma bijeção tal que ambas funções f e f 1 são contínuas. f é chamada de homeomorsmo, e X e Y são espaços topológicos homeomorfos. Ou, equivalentemente, f : X Y é um homeomorsmo, se: U é aberto em X f(u) é aberto em Y. A relação de homeomorsmo entre espaços é uma relação de equivalência. Com efeito, fácil ver que A sempre é homeomorfo a ele mesmo. Também é fácil ver que, se A é homeomorfo a B, B é homeomorfo a A (pela denição). E, fazendo composição dos homeomorsmos, conseguimos chegar à transitividade: se A é homeomorfo a B (existe homeomorsmo J : A B) e B é homeomorfo a C (existe homeomorsmo T : B C); então A é homeomorfo a C (pois T J : A C é homeomorsmo). Lema 1.17 Todos intervalos abertos da reta são homeomorfos entre si. 5 Todas as propriedades oriundas da estrutura da topologia de X são preservadas em Y. Essas propriedades são chamadas propriedades topológicas.

32 1.3. CONTINUIDADE 31 Prova: Basta provar que qualquer intervalo (a, b), com a < b, é homeomorfo ao intervalo ( 1, 1). Chamemos R = b a o raio do intervalo e 2 c = a+b o centro dele. Basta, então, ver que a hometetia m 2 R (x) = R x e, também, a translação t (b R) (x) = x + (b R) são homeomorsmos. É fácil, então, ver que (t (b R) m R ) : R R é um homeomorsmo e que (t (b R) m R ) (( 1, 1)) = (a, b). Logo (t (b R) m R ) : ( 1, 1) (a, b) é um homeomorsmo, ou seja, ( 1, 1) é homeomorfo a (a, b). Proposição 1.18 Todo intervalo aberto da reta é homeomorfo à reta toda. Prova: Como, pelo lema acima, todos os intervalos abertos são homeomorfos entre si, basta provar que a reta é homeomorfa a um dessses intervalos. Com efeito, basta vercar que f : ( 1, 1) R, f(x) = x é um homeomor- 1+ x smo (Verique!). Donde segue que ( 1, 1) é homeomorfo à reta e, portanto, todo intervalo é homeomorfo à reta (por homeomorsmo ser uma relação de equivalência). Sejam (X, τ X ) e (Y, τ Y ) espaços topológicos. Um homeomorsmo f : X Y induz uma bijeção entre os abertos do espaço X e os abertos de Y da seguinte forma: H : τ X τ X, H(U) = f(u).portanto toda propriedade que depende apenas dos abertos do espaço (ou seja, que depende apenas da topologia dele) é preservada pelos homeomorsmos. Tais propriedades são chamadas propriedades topológicas de X. No próximo capítulo, 6 será trabalhado com algumas propriedades topológicas. São elas: conexidade e compacidade. Esse capítulo será encerrado com um importante resultado sobre funções contínuas. Teorema 1.19 Sejam X, Y espaços topológicos. Se f : X Y é contínua, segue que X é homeomorfo ao gráco de f. 6 No capítulo 2. G(f) = {(x, f(x)) : x X}

33 32 CAPÍTULO 1. TOPOLOGIA Prova: Com efeito, basta vericar que H : X G(f) x (x, f(x)) é um homeomorsmo. De fato, é fácil vericar que é uma bijeção. A continuidade é óbvia (da denição de topologia produto). E a inversa é a projeção (portanto contínua).

34 Capítulo 2 Conexidade e Compacidade As propriedades invariantes por homeomorsmo são chamadas propriedades topológicas. Nste capítulo, estudaremos três tipos de propriedades topológicas: conexidade, compacidade e T Espaços Hausdor Intuitivamente, pensamos nos conjuntos nitos como conjuntos fechados, assim como ocorre em R. No entanto, é fácil denir uma topologia sem essa propriedade. Por exemplo, se X = {a, b, c} e τ = {, X, {b}}, então {b} não é fechado, já que seu complemento {a, b} não é aberto. Para o espaço topológico satisfazer essa intuição geométrica, costuma-se acrescentar uma hipótese extra, chamada condição T 1. Aqui, falaremos sobre uma condição um pouco mais forte, denominada, condição de Hausdor. Denição 2.1 (Espaço Hausdor) Um espaço topológico X é um espaço de Hausdor, se, para todo par x, y X de pontos distintos, existem vizinhanças abertas U de x e V de y, tais que U V =. A reta, R n e todos subespaços desses espaço são Hausdor. Veremos, futuramente, por exemplo, que todos espaços métricos são Hausdor. Teorema 2.1 Todo subespaço de um espaço Hausdor é Hausdor. Prova: Seja X um espaço Hausdor. Se A X, tem-se que, dados a b em A, existem abertos U a e U b tais que a U a, b U b e U a U b =. 33

35 34 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Evidente, então, que (U a A) (U b A) =. E, como (U a A) e (U b A) são, respectivamente, vizinhanças abertas de a e b em A; isso completa a demonstração. A proposição abaixo mostra que todo subconjunto nito de um espaço Hausdor é, de fato, um fechado no espaço todo. Proposição 2.2 Seja X um espaço de Hausdor. Se A X é nito, então A é fechado. Prova: Considere o conjunto unitário {x} X. Para todo y x em X, existem vizinhanças abertas U y de y e V y de x, tal que U y V y =. Em particular, x U y. Toma-se K = y x U y. K é uma reunião de abertos, logo é um aberto. Como X K = {x}, segue que {x} é fechado. Como todo conjunto nito é uma reunião nita de conjuntos unitários, segue que os conjuntos nitos são fechados. Sejam X um espaço topológico e A X um subconjunto. Um ponto x X é ponto de ω- acumulação de A se toda vizinhança de x possui innitos pontos de A. Na reta, um ponto é de acumulação se, e somente se, é de ω-acumulação. Segue, abaixo, a prova de que isso vale para qualquer espaço Hausdor. Teorema 2.3 Sejam X um espaço de Hausdor e A X. Segue que x X é um ponto de acumulação de A se, e somente se, toda vizinhança aberta de x contém innitos pontos de A. Prova: Seja X um espaço de Hausdor e A X. Se x é ponto de acumulação de A, supõe-se, por absurdo, que uma vizinhança aberta U de x contém nitos pontos de A {x}. Seja {x 1, x 2,..., x n } o conjunto de todos esses pontos. Pela proposição anterior, {x 1, x 2,..., x n } é fechado e, então, {x 1, x 2,..., x n } C = X {x 1, x 2,..., x n } é aberto. Segue que U {x 1, x 2,..., x n } = U (X {x 1, x 2,..., x n }) é uma interseção de dois abertos (e contém x), ou seja, é um aberto e, por conter x, é uma vizinhança aberta de x. Essa vizinhança aberta não contém nenhum ponto de A {x}, o que contraria a hipótese de que x é ponto de acumulação.

36 2.1. ESPAÇOS HAUSDORFF 35 Evidente que a recíproca é verdadeira: se toda vizinhança de um ponto x X contém innitos pontos de A, toda vizinhança conterá algum ponto de A {x}. A condição Hausdor é uma propriedade topológica: a vericação desse fato é imediata. Abaixo, será provada uma caracterização de espaços Hausdor. Depois, para encerrar a seção, serão provados teoremas importantes sobre aplicações contínuas com contradomínio Hausdor. Seja X um espaço topológico. O subconjunto = {(x, y) X X : x = y} é denominado diagonal de X X. Observe que o espaço X X é munido da topologia produto, denida no exemplo Mais detalhes sobre a topologia produto serão encontrados no capítulo 3. Teorema 2.4 O espaço X é Hausdor se, e somente se, a diagonal de X X é fechada dem X X. Prova: Com efeito, se X é Hausdor, dado (x, y) (X X ), segue que x y. Logo existem abertos U, V tais que U V = e x U, y V. Note, então, que U V (X X ) é uma vizinhança aberta de (x, y) em X X. Isso completa a prova de que (X X ) é fechado em X X. Reciprocamente, se é fechado em X X, segue que, dados x, y X distintos, (x, y) (X X ). Como (x, y) (X X ) é aberto em X X, pela base da topologia produto, segue que existem abertos U, V X tais que (x, y) U V (X X ). Portanto U, V X são abertos tais que x U, y V e U V =. Sejam X, Y espaços topológicos e f, g : X Y aplicações contínuas. Chamamos de núcleo diferença de (f, g), denotado por Ker(f, g), o subespaço Ker(f, g) = {x X : f(x) = g(x)} de X. Os teoremas abaixo serão principalmente importantes para a próxima seção. Teorema 2.5 Sejam X, Y espaços topológicos e f, g : X Y aplicações contínuas. Se Y é Hausdor, segue que o Kernel diferença de (f, g) é fechado em X.

37 36 CAPÍTULO 2. CONEXIDADE E COMPACIDADE Prova: Dene-se a aplicação h : X Y Y x (f(x), g(x)) Temos que h é contínua. Seja a diagonal de Y Y. Se Y é Hausdor, temos que é fechado em Y Y. Note que, pela continuidade de h, h 1 ( ) = Ker(f, g) é fechado. Como corolário do teorema precedente, segue um resultado que será usado na seção sobre conexidade. Corolário Sejam X, Y espaços topológicos e A X. Se Y é Hausdor e f, g : A Y são aplicações contínuas tais que A Ker(f, g), então f = g (ou seja, Ker(f, g) = A). Prova: Com efeito, Ker(f, g) é fechado em X. Logo, se A Ker(f, g), A Ker(f, g). 2.2 Espaços Conexos A conexidade é uma forma de generalizar a idéia que temos de componentes de um subconjunto de R 2. Um conjunto formado por dois círculos disjuntos é certamente não homeomorfo a um subconjunto contendo apenas um círculo. Veremos que, com conexidade, podemos entender situações análogas em contextos mais gerais. Denição 2.2 (Espaço conexo) Uma cisão do espaço topológico X é uma decomposição X = U V com U e V abertos tais que U V =. Qualquer espaço topológico X admite a cisão trivial X = X. Quando X adimite uma cisão não trivial X = U V, X é denominado desconexo. Por outro lado, quando X admite somente a cisão trivial, ele é chamado de conexo. Um subconjunto Z X é conexo, quando o subespaço Z é conexo (com a topologia de subespaço induzida).