Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro

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1 Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro Fernando Oliveira U. F. de Minas Gerais EMALCA 2010 Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

2 Sistemas Dinâmicos Um Sistema Dinâmico consiste de um conjunto e uma regra que determina como este conjunto vai mudando com o tempo. Historicamente: soluções de equações diferenciais. Modelos discretos: a regra é dada por uma função f : X! X e cada ponto x 2 X descreve o sistema num certo instante. Exemplo: uma colônia de bactérias cuja população dobra a cada segundo. Seja x t o valor da população no instante t. Começando com uma população inicial x 0, temos que a população no instante t = 1 é x 1 = 2x 0. Temos então x 2 = 2x 1 = 4x 0, x 3 = 2x 2 = 4x 1 = 8x 0, e x n = 2 n x 0, para n 1. Neste caso, f : [0, )! [0, ) de nida por f (x) = 2x descreve a variação da população com o tempo: x 1 = f (x 0 ), x 2 = f (x 1 ) = f 2 (x 0 ), e x n = f n (x 0 ), para n 1. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

3 A órbita de x é o(x) = ff n x 2 X j n 0g. Dinâmica de f (x) = ax, com a > 1: Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

4 Modelo mais realista: f : [0, 1]! [0, 1], f (x) = ax(1 x), onde 0 a 4. Para x pequeno, temos que f (x) ax. Mas f tem um valor máximo igual a a 4 1. Se a = 1, então lim n! f n x = 0. Se a = 2, então f ( 1 2 ) = 1 2 e lim n! f n x = 1 2. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

5 Homeomor smos da reta A dinâmica de um homeomor smo f : R! R é bem simples. Consideremos o caso em que f é crescente (preserva orientação). Se f (x) > x 8x 2 R, então lim n! f n (x) = +. Se f possui pontos xos, então os pontos que não são xos "morrem" em pontos xos. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

6 Proposição 1: Seja f : R! R uma função contínua e suponhamos que lim n! f n x = p. Então f (p) = p. 1 Como f é contínua, temos que lim n! f (f n x) = f (p). 2 As sequências (f n x) n0 x, fx, f 2 x,... e (f (f n x)) n0 fx, f 2 x, f 3 x,... são iguais a menos de uma troca de índices. 3 Logo possuem o mesmo limite, ou seja f (p) = p. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

7 Consideremos agora o caso em que f possui pontos xos, ou seja, que Fix(f ) = fx 2 R j fx = xg 6=. Proposição 2: O conjunto Fix(f ) é fechado. 1 Seja x n 2 Fix(f ) tal que lim n! x n = x. Queremos ver que x 2 Fix(f ). 2 Como f é contínua, temos que lim n! f (x n) = f (x). 3 Logo f (x) = x e x 2 Fix(f ). O complementar de Fix(f ) é um conjunto aberto, e portanto é uma união enumerável de intervalos abertos 2 a 2 disjuntos. Seja (a, b) um intervalo limitado do complementar de Fix(f ), tal que f (a) = a e f (b) = b. Então, ou f (x) > x, 8x 2 (a, b), ou f (x) < x, 8x 2 (a, b). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

8 Proposição 3: Seja f : [a, b]! [a, b] uma função contínua tal que f (a) = a, f (b) = b e f (x) > x, 8x 2 (a, b). Então lim n! f n x = b, 8x 2 (a, b). 1 Seja x 2 (a, b). Se f (x) = b, então como b é xo, temos lim n! f n x = b. 2 Se f (x) < b, então f (x) 2 (a, b) e f (fx) > fx, ou seja f 2 x > fx. 3 Por indução, f n+1 x > f n x, 8n 0, e a sequência (f n x) n0 é crescente. 4 A sequência (f n x) n0 é limitada superiormente por b. Logo existe L = lim n! f n x. 5 Segue da Proposição 1 que f (L) = L. Como a e b são os únicos pontos xos, temos que L = b. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

9 O círculo O círculo S 1 pode ser de nido como S 1 = f(u, v) 2 R 2 j u 2 + v 2 = 1g ou S 1 = f z = u + iv 2 C j jzj = p u 2 + v 2 = 1g. Se z 1 e z 2 2 C entao z 1 z 2 2 C. Com a operação de multiplicação de números complexos, S 1, é um grupo. Como pensar em S 1 como o intervalo [0, 1] com os extremos 0 e 1 identi cados? Qual a maneira mais simples de se fazer cálculos com funções do círculo? Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

10 Seja Ψ : R! C, de nida por Ψ(x) = e i2πx = cos(2πx) + i sen(2πx). Quando x varia de 0 até 1, Ψ(x) dá exatamente uma volta no sentido anti-horário, começando e terminando em z = 1. Além disso, Ψ(x + n) = e i2π(x +n) = e i2πx e i2πn = e i2πx = Ψ(x). Todos os transladados inteiros de x são levados no mesmo ponto de S 1. Ψ é chamada aplicação de recobrimento. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

11 Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

12 Considere a relação de equivalência em R, x 1 x 2 se x 1 x 2 2 Z. Suas classes de equivalência são os conjuntos [x] = fx + n 2 R j n 2 Zg. Seja RZ o conjunto destas classes de equivalência. A operação de "soma" [x 1 ] [x 2 ] = [x 1 + x 2 ] faz de RZ um grupo. A aplicação quociente π(x) = [x] é um homomor smo de R sobre RZ. Ψ(x) = e i2πx é um homomor smo de (R, +) sobre (S 1, ). De fato, Ψ(x 1 + x 2 ) = e i2π(x 1+x 2 ) = e i2πx 1 e i2πx 2 = Ψ(x 1 ) Ψ(x 2 ). O núcleo de Ψ é Ψ 1 (1) = Z, e um teorema básico de teoria de grupos diz que existe um isomor smo φ : RZ!S 1, tal que φ π = Ψ. φ é dado por φ([x]) = Ψ(x) = e i2πx, (e i2πx depende apenas da parte fracionária de x). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

13 O isomor smo φ nos dá uma identi cação natural entre os elementos de RZ e os elementos de S 1. Em S 1 temos os conceitos de convergência de sequências, conjuntos abertos e fechados, e continuidade de funções. Podemos usar φ para de nir os conceitos correspondentes em RZ. Por exemplo: dizemos que A é aberto em RZ quando φ(a) é aberto em S 1. Deste modo, φ : RZ!S 1 se torna um homeomor smo. É fácil ver que se A é aberto em RZ então π 1 (A) é aberto em R, ou seja, π é contínua. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

14 Elementos de RZ pode ser unicamente escritos como [x] com x 2 [0, 1). Em [0, 1) temos a soma módulo 1, de nida por (x 1 u x 2 ) = (x 1 + x 2 ) (mod 1), a parte fracionária de x 1 + x 2. h : [0, 1)! RZ de nida por h(x) = [x] é um isomor smo. Como zemos no caso de φ, podemos usar h para trazer os conceitos topológicos de RZ para [0, 1). Deste modo, uma vizinhaça de 0 é da forma [0, δ) [ (1 δ, 1). Resumindo: " S 1, = (RZ, ) = ([0, 1), u)". Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

15 Aplicações do círculo Dada F : R! R, quando é que F induz uma aplicação no círculo? Mais precisamente, quando existe f : S 1! S 1 tal que f (π(x)) = π(f (x)), 8x 2 R? f faria o seguinte diagrama comutativo. Se y = π(x), queremos que f (y) = π(f (x)) esteja bem de nida, ou seja, não dependa de x tal que y = π(x). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

16 Suponhamos que F (x + 1) = F (x) + d, 8x 2 R,onde d 2 Z. Temos que F (x + 2) = F ((x + 1) + 1) = F (x + 1) + d = F (x) + 2d. É fácil ver que F (x + n) = F (x) + nd, 8x 2 R e 8n 2 Z. Suponhamos que y = π(x 1 ) = π(x 2 ), ou seja, que exista n tal que x 1 = x 2 + n. Temos então que π(f (x 1 )) = π(f (x 2 + n)) = π(f (x 2 ) + nd) = π(f (x 2 )), e f (y) = π(f (x)) não depende de x tal que y = π(x). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

17 Seja F : R! R, F (x) = x + α, a translação a direita por α 2 (0, 1). Vejamos como F induz uma rotação em S 1 de um ângulo 2πα. Neste caso π(x) = e i2πx. Se escrevermos f (π(x)) = π(f (x)), temos que f (e i2πx ) = e i2πf (x ) = e i2π(x +α) = e i2πx e i2πα. Fazendo z = e i2πx, temos que f (z) = z e i2πα (a rotação). Neste caso F satisfaz F (x + 1) = F (x) + 1, 8x 2 R. Em RZ, teriamos f ([x]) = [x + α] = [x] + [α]. Em [0, 1), teriamos f (x) = x + α(mod 1). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

18 Seja F : R! R, F (x) = 2x. Em S 1 C, teriamos f (e i2πx ) = e i2πf (x ) = e i2π(2x ) = e i2πx 2, ou f (z) = z 2. Em [0, 1), teriamos f (x) = 2x(mod 1). Neste caso F satisfaz F (x + 1) = F (x) + 2, 8x 2 R. Fato: toda aplicação contínua do círculo surge deste modo. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

19 Teorema 4: Seja f : S 1! S 1 uma aplicação contínua. Então existem d 2 Z e F : R! R contínua tais que 1 F (x + 1) = F (x) + d, 8x 2 R 2 O seguinte diagrama comuta F é chamado um levantamento de f e d o grau de f. É fácil ver que qualquer outro levantamento de f é da froma G (x) = F (x) + k, para algum k 2 Z. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

20 Aplicações de grau um do círculo Uma função contínua f : S 1! S 1 possui grau 1 se seus levantamentos satisfazem F (x + 1) = F (x) + 1, 8x 2 R, (d = 1). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

21 Homeomor smos que preservam orientação no círculo São as funções contínuas f : S 1! S 1 de grau 1 tais seus levantamentos F : R! R são estritamente crescentes. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

22 Dinâmica das rotações do círculo. Caso racional. Seja α 2 [0, 1). Uma rotação do círculo de ângulo 2πα pode ser escrita de 3 modos: 1 f (z) = z e i2πα (em notação complexa). 2 f (x) = x + α(mod 1) (em notação (mod 1)). 3 F (x) = x + α (o levantamento a R). Um ponto x é periódico se existe n 1 tal que f n (x) = x. O menor n 1 com tal propriedade é chamado o periodo de x. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

23 Proposição 5: Se α 2 Q, então todas as órbitas da rotação de ângulo 2πα são periódicas. Suponhamos que α = p q 2 [0, 1), com p e q 2 N primos entre si. Em notação complexa temos f j (z) = z e i2π p j q = z e i2π(j p q ), se j 1. Assim f q (z) = z e i2π(q p q ) = z e i2πp = z. Se 1 j < q, então j p q /2 N, e portanto ei2π(j p q ) 6= 1. Logo o periodo de z é q. Em notação (mod 1) temos f j (x) = x + j p q (mod 1), se j 1. Assim f q (x) = x + q p q (mod 1) = x + p(mod 1) = x(mod 1). Se 1 j < q então j p q /2 N, e portanto x + j p q (mod 1) 6= x(mod 1). Logo o periodo de x é q. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

24 Proposição 6: Se F é um levantamento de f, então F n é um levantamento de f n. 1 Temos π F = f π. Logo π F 2 = (π F ) F = (f π) F = f (π F ) = f (f π) = f 2 π. 2 O resultado π F n = f n π, segue por indução. Terceiro argumento: vamos usar o levantamento F (x) = x + p q. Temos que F j (x) = x + j p q, se j 1. Assim F q (x) = x + q p q = x + p, e π(f q (x)) = π(x + p) = π(x). Se y = π (x), temos que f q (y) = f q (π(x)) = π(f q (x)) = π(x) = y. Com um argumento análogo, é fácil ver que f j (y) 6= y, se 1 j < q. Portanto o periodo de y é q. A prova poderia ter terminado antes, quando escrevemos F q (x) = x + p. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

25 Conjuntos invariantes e o conjunto limite de um ponto Seja f um homeomor mo de S 1. Dizemos que um conjunto E é invariante se f (E ) = E. Se E é invariante e x 2 E, então o(x) E. Outros fatos fáceis de se provar são: a) Um ponto xo e uma órbita periódica são conjuntos invariantes. b) A união ou interseção de conjuntos invariantes é invariante. c) Se f (x) = x + p q 1 q e E [0, q 1 ], então [ f n (E ) é invariante. n=0 d) O fecho, interior e fronteira de conjuntos invariantes são invariantes. e) Se E é invariante, então o seu complementar S 1 E também. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

26 Consideremos uma órbita de um ponto como uma sequência (f n (x)) n0. O conjunto limite de um ponto x é ω(x) = y 2 S 1 j y = lim f n k (x) com n k %. k! Em outras palavras, y 2 ω(x) quando dados n 0 2 N e um intervalo (arco) I contendo y, existe n > n 0 tal que f n (x) 2 I. Proposição 7: ω(x) é invariante. 1 Vejamos que f (ω(x)) ω(x). A outra inclusão é análoga (basta usar f 1 ). 2 Seja z 2 f (ω(x)). Então z = f (y) onde y 2 ω(x). 3 Pela de nição de ω(x), y = lim k! f n k (x) com n k %. 4 Da continuidade de f, segue que z = f (y) = lim k! f n k +1 (x) com n k + 1 %. Portanto z 2 ω(x). Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

27 Proposição 8: ω(x) é fechado. 1 Suponhamos que y = lim j! y j onde y j 2 ω(x). 2 Sejam I um intervalo contendo y e n 0 2 N. Podemos escolher y j0 2 I. Como y j0 2 ω(x), existe n > n 0 tal que f n (x) 2 I. Logo y 2 ω(x). Seja F (x) = x π sen(2πx). Então ω(b) = b, e ω(x) = a se x 6= b. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

28 Dinâmica das rotações do círculo. Caso irracional. Lema 9: Se α /2 Q, uma rotação de ângulo 2πα não possui pontos periódicos. 1 Lembremos que f pode ser escrita como f (x) = x + α(mod 1), e portanto f j (x) = x + jα(mod 1). 2 Suponhamos por contradição que existam x 2 S 1 e q 1 tais que f q (x) = x. 3 Teriamos então que x + qα = x(mod 1), e x + qα x = p para algum p 2 Z. 4 Mas isto implicaria em α = p q, uma contradição. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

29 Proposição 10: Se α /2 Q, então todas as órbitas de uma rotação de ângulo 2πα são densas no círculo. 1 Basta ver que ω(x) = S 1, para todo x 2 S 1. Suponhamos por contradição que ω(x) 6= S 1, para algum x 2 S 1. 2 Como ω(x) é fechado, temos que S 1 ω(x) aberto. Portanto existe um intervalo (a, b) S 1 ω(x), com extremos a e b 2 ω(x). 3 Considere a coleção de intervalos (a, b), f (a, b),..., f n (a, b) = (f n a, f n b),... Como f é uma rotação, todos os intervalos tem o mesmo comprimento. A invariância de ω(x) implica que f n a e f n b 2 ω(x), 8n 1. 4 Os intervalos não podem ser 2 a 2 disjuntos, pois a soma de seus comprimentos não pode ser maior que o comprimento do círculo que é 2π. 5 Logo 9 j < k, tais que f j (a, b) \ f k (a, b) 6=, ou (a, b) \ f k j (a, b) 6=. 6 (a, b) e (f k j a, f k j b) se interseptam e possuem o mesmo comprimento. 7 Como f k j a e f k j b 2 ω(x) e (a, b) S 1 ω(x), temos que f k j a e f k j b /2 (a, b). 8 Temos então (a, b) = (f k j a, f k j b), e f k j (a) = a, uma contradição. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

30 Dinâmica de homeomor smos que preservam orientação e possuem órbitas periódicas Lembremos que um ponto p tem periodo n se f n p = p e f j p 6= p para 1 j n 1. Neste caso, a sequência p, fp, f 2 p,...,f n 1 p. f j p j0 assume exatamente n valores: Note também que se f n p = p, então f 2n p = f n (f n p) = f n p = p, e f jn p = p, para todo j 2 Z. Reciprocamente, é fácil ver que se f k p = p, então k é múltiplo de n. Teorema 11: Seja f um homeomor mo que preserva orientação no círculo, e suponhamos que f possua órbitas periódicas. Então: a) Todas as órbitas periódicas de f possuem o mesmo periodo. b) Se x é um ponto não periódico, então lim j! f jn x = p, onde p é um ponto periódico de periodo n. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

31 1 Sejam p um ponto de periodo n e q um ponto de periodo k. Suponhamos que n k. 2 f n p = p, ou seja, p é ponto xo de f n. Como f n é um homeomor smo crescente da reta, sabemos que seus pontos periódicos são xos. Além disso, se x não é xo por f n, então lim j! f jn x é um ponto xo de f n. 3 Suponhamos que q seja ponto xo de f n, ou seja f n (q) = q. Como o periodo de q é k, n tem que ser um múltiplo de k. Logo n = k. 4 Quando q não é ponto xo de f n, temos que a sequência q, f n q, f 2n q,... é estritamente monótona, o que contradiz o fato da sequência f j q j0 assumir exatamente k valores. (abaixo o grá co de f n ) Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

32 Exemplo: Sejam h(z) = z e g o homeomor smo do círculo induzido por G (x) = x π sen(2πx). Então f = g h possui uma órbita de periodo 2 que atrai todas as outras. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

33 Dinâmica de homeomor smos que preservam orientação e não possuem órbitas periódicas Um intervalo I é chamado errante seus iterados são dois a dois disjuntos. Mais precisamente, a coleção (f n I ) n2z é feita de intervalos 2 a 2 disjuntos. Se existem órbitas periódicas, intervalos errantes aparecem de maneira trivial. No caso de homeomor smos do círculo sem órbitas periódicas, a dinâmica de intervalos errantes é mais interessante. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

34 Teorema 12: Seja f : S 1! S 1 um homeomor smo que preserva orientação no círculo sem órbitas periódicas. a) Existe um conjunto M tal que M = ω(x) para todo x 2 S 1. b) M é fechado e invariante. c) M = S 1 ou M é um conjunto de Cantor (fechado, sem pontos isolados e com interior vazio). d) Qualquer intervalo no complementar de M é errante. d) Se x 2 M então a órbita de x é densa em M. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

35 O item b) segue do fato de que ω(x) é fechado e invariante para todo x 2 S 1. Vamos a prova dos outros três itens. Lema 13: Se ω(x) 6= S 1 então todo intervalo aberto contido em S 1 ω(x) é errante. 1 Todo intervalo aberto contido em S 1 ω(x) está contido num intevalo (a, b) S 1 ω(x) tal que a e b 2 ω(x). Basta trabalharmos com (a, b). 2 Suponhamos por contradição que f n (a, b) \ (a, b) 6= para algum n > 0. 3 Como ω(x) é invariante, temos que f n a 2 ω(x) e f n b 2 ω(x). 4 Não podemos ter f n a = a e f n b = b. Logo os extremos inferiores e superiores dos intervalos (f n a, f n b) e (a, b) tem que ser diferentes. 5 Assim, se f n (a, b) \ (a, b) 6= então um extremo de um intervalo está contido no outro. Contradição. Um ponto importante da prova: se (a, b) S 1 então (a, b) é errante. ω(x), com a e b 2 ω(x), Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

36 Observe que um intervalo errante contém no máximo um ponto de qualquer órbita. Lema 14: ω(x) = ω(y), 8x, y 2 S 1. 1 Suponhamos por contradição que existam x, y 2 S 1 tais que ω(x) 6= ω(y). 2 Podemos supor que existe p 2 ω(y) tal que p /2 ω(x). 3 Seja I S 1 ω(x), um intervalo aberto que contém p. Pelo lema anterior I é errante. 4 Como I contém no máximo um ponto da órbita de y, é falso que p 2 ω(y), contradição. Temos então que M = ω(x) não depende de x, e o item a) do teorema está provado. O item d) segue dos lemas 13 e 14. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

37 O item e) é trivial. Seja x 2 M. Como ω(x) = M é invariante, temos que o(x) M e todo ponto de M é aproximado por um ponto da órbita de x. Para provar o item c), temos que mostrar que se M 6= S 1, então M é um conjunto de Cantor. Como M é fechado, resta mostrar que M não tem pontos isolados, e que M tem interior vazio. Lema 15: M não tem pontos isolados. 1 Suponhamos por contradição que p seja um ponto isolado de M. 2 Então existe um intervalo aberto I tal que I \ M = fpg. 3 Seja x 2 M. Sabemos que M = ω(x), e como M é invariante, temos que o(x) M. 4 p = lim k! f n k (x). Logo, existe k 0 tal que k > k 0 implica f n k (x) 2 I. Mas f n k (x) 2 M, e como I \ M = fpg, temos f n k (x) = p se k > k 0. Isto implica que p é um ponto periódico. Contradição. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

38 Lema 16: M tem interior vazio. 1 Suponhamos por contradição que int M 6=, ou seja, que M contenha intervalos. 2 Seja [a, b] um intervalo fechado contido em M, tal que a e b são acumulados por pontos de S 1 M. 3 M = ω(a) implica que todos os pontos de (a, b) são acumulados por pontos da órbita de a. Em particular, f n a 2 (a, b) para algum n > 0. 4 Temos a 2 f n (a, b). Como M é invariante, f n (a, b) f n M = M. Logo a 2 (f n a, f n b) M, e a não pode ser acumulado por pontos de S 1 M. Contradição. Existem exemplos onde M 6= S 1, mas qualquer construção precisa necessita de argumentos longos. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

39 O número de rotação de um homeomor smo que preserva orientação Vimos acima que rotações racionais e irracionais possuem dinâmicas totalmente diferentes. O mesmo se aplica a homeomor smos que preservam orientação; a presença ou não de órbitas periódicas determina comportamentos dinâmicos distintos. Existe um número que distingue estas duas classes de dinâmica, o número de rotação: ρ(f ) = lim F n x x n! n. No caso de rotações Fx = x + α, temos F n x = x + nα, e F n x x n = nα n = α. Logo lim F n x x n! n = α existe e independe de x. Além disso, seu valor α determina a existência ou não de órbitas periódicas. O mesmo acontece em geral para homeomor smos que preservam orientação no círculo. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

40 Temos os seguintes resultados. Teorema 17: Seja f : S 1! S 1 um homeomor smo que preserva F orientação e F : R! n x x R um levantamento de f. Então, lim n! n existe para todo x 2 R e independe de x. Chamamos de número de rotação de F o limite ρ(f ) = lim F n x x n! n. A demonstraçao apesar de simples, envolve alguns argumentos longos. O próximo é o seguinte. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

41 Teorema 18: Seja f : S 1! S 1 um homeomor smo que preserva orientação e F : R! R um levantamento de f. Então ρ(f ) = p q se e somente se existir x 2 R tal que F q x = x + p. 1 Suponhamos que exista x 2 R tal que F q x = x + p. 2 É fácil ver que F jq (x) = x + jp para todo j 2 N.! F jq (x) x F n (x) 3 Como é uma subseqüência de jq n j2n F n (x) x lim = ρ(f ) existe, temos que n! n F ρ(f ) = jq (x) x x + jp x lim = lim = p j! jq j! jq q. x Para a recíproca, vamos considerar apenas o caso em que ρ(f ) = 0, e mostrar que F tem um ponto xo. O caso geral segue com o uso de propriedades básicas do número de rotação. n2n e Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42

42 1 Suponhamos então que ρ(f ) = 0. 2 A função φ(x) = Fx x é periódica pois satisfaz φ(x + 1) = φ(x). Sendo limitada, ela possui supremo e ín mo. 3 Vamos mostra que inf φ 0 e sup φ 0. Com este resultado, conclui-se do teorema do valor intermediário que existe x 0 2 R tal que φ(x 0 ) = 0, isto é, F (x 0 ) = x 0, o que prova o teorema. 4 Suponhamos por contradição que inf φ > 0 ( o resultado para sup φ é análogo). 5 Para todo inteiro positivo n teríamos 1 n (F n (x) x) = 1 n 1 n (F j+1 x F j x) j=0 = 1 n 1 n φ(f j x) j=0 6 Segue que lim F n x n! n x 1 (inf φ + inf φ inf φ) = inf φ > 0. n {z } n vezes inf φ > 0, absurdo. Fernando Oliveira (U. F. de Minas Gerais) Sobre a dinâmica de aplicações do círculo e do toro EMALCA / 42