UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA. Medida e Probabilidade

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Medida e Probabilidade Aluno: Daniel Cassimiro Carneiro da Cunha Professor: Andre Toom 1

2 Resumo Este trabalho contem um resumo dos principais resultados de Medida e Integração necessários para o curso de Medida e Probabilidade. O conceito de medida é apresentado e algumas de suas propriedades são discutidas. Em seguida, é introduzido o conceito de integral de Lebesgue e alguns teoremas importantes são provados. 2

3 Conteúdo 1 Medida Conjuntos Nulos Medida Exterior Conjuntos mensuraveis Lebesgue e medida de Lebesgue Propriedades básicas da medida de Lebesgue Conjuntos de Borel Funções Mensuraveis A reta estendida Funções mensuráveis Propriedades

4 Capítulo 1 Medida 1.1 Conjuntos Nulos Definição Seja I R um intervalo limitado, ou seja I = [a, b], I = [a, b), I = (a, b] ou I = (a, b). Definimos o comprimento de I como sendo l(i) = b a. Temos para um caso particular que l( ) = l(a, a) = a a = 0. Da mesma forma, l({a}) = l([a, a]) = a a = 0, ou seja, conjuntos com apenas um elemento tem comprimento 0. A definição a seguir permite estender a ideia de conjuntos que possuem comprimento zero a conjuntos mais gerais. Definição Dizemos que A R é um conjunto nulo se para todo ε > 0 podemos encontrar uma sequencia de intervalos {I n : n 1} tal que A I n e l(i n ) < ε Diremos que os (I n ) n 1 cobrem o conjunto A. Note que pela definição 1.1.2, o conjunto vazio e o conjunto unitário são conjuntos nulos. Ainda, 4

5 se A é um conjunto finito, então A é um conjunto nulo. Para mostrar isso faremos uso da proposição abaixo que é uma ferramenta útil para provar se um conjunto é nulo. Proposição Seja (A n ) n 1 uma sequencia de conjuntos nulos. Então a união destes conjuntos, é um conjunto nulo. A = A n Usando o resultado acima, mostra-se facilmente que um conjunto finito é um conjunto nulo. O mesmo resultado se aplica a conjuntos contaveis. Temos, por exemplo, que o conjunto Q dos números racionais, e o conjunto Z dos números inteiros são conjuntos nulos. 1.2 Medida Exterior Vamos agora estender a noção de comprimento para uma noção mais geral, que é a de medida exterior. Definição A medida exterior (de Lebesque) de um conjunto A R é dada por m (A) = inf I A, 5

6 em que { } I A = l(i n ) : I n são intervalos, A I n. No caso de I A =, faremos a seguinte convenção de que m (A) =. Desta forma, como o conjunto I A é limitado inferiormente por 0, o infimo sempre existe. O resultado a seguir apresenta algumas propriedades de m (A). Teorema Sejam A R e B R e t R. Então valem as seguintes propriedades (i) (Não-Negatividade) m (A) 0. (ii) (Monotonicidade) Se A B então m (A) m (B). (iii) (Sub-aditividade contavel) Para toda sequencia de conjuntos (A n ) n 1, ( ) m A n m (A n ). (iv) (Invariancia a translação) m (A) = m (A + t). Concluímos a seção mostrando dois resultados importantes. O primeiro diz que a nossa definição de medida exterior é consistente com o conceito de medida nula visto na seção anterior. Teorema O conjunto A R é um conjunto nulo se e somente se m (A) = 0. 6

7 1.3 Conjuntos mensuraveis Lebesgue e medida de Lebesgue Definição Um conjunto E R é dito ser mensurável (a Lebesgue) se para todo conjunto A R m (A) = m (A E) + m (A E c ). Neste caso, escrevemos E M. De A = (A E) (A E c ) segue que m (A) m (A E) + m (A E c ). Daí, para mostrar que E M, basta verificar a desigualdade m (A) m (A E) + m (A E c ). Como exemplos de conjuntos mensuráveis citamos os intervalos e os conjuntos nulos. Vamos agora apresentar algumas propriedades de M. Proposição Temos que (i) R M, (ii) Se E M então E c M, (iii) Se E n M para n = 1, 2,... então E n M. Ainda, se E n M, n = 1, 2,..., e E i E j = para i j, então ( ) m E n = m (E n ). (1.1) 7

8 As condições (i)-(iii) implicam que M é uma σ-álgebra. Uma função que toma valores em [0, ] definida em uma σ-álgebra é chamada medida, ou seja, se for contavelmente aditiva. Definição Escrevemos m(e) ao invés de m para qualquer E em M e chamar m(e) de medida de Lebesgue do conjunto E. 1.4 Propriedades básicas da medida de Lebesgue Já que a médida de Lebesgue é nada mais que a medida exterior restrita a uma classe especial de conjuntos, algumas propriedades da medida exterior são automaticamente herdadas pela medida de Lebesgue, como mostra a proposição a seguir: Proposição Suponha que A, B M. (i) Se A B então m(a) m(b). (ii) SeA B e m(a) é finito então m(b A) = m(b) m(a). (iii) m é invariante a translação. O resultado a seguir mostra que uma sequencia monotona de conjuntos mensurais se comporta de maneira esperada com respeito a m. Teorema Suponha que A n M, para todo n 1. Então temos que 8

9 (i) Se A n A n+1 para todo n, então ( ) m A n = lim m(a n ), n n (ii) Se A n A n+1 para todo n e m(a 1 ) <, então ( ) m A n = lim m(a n ). (1.2) n n Como consequencia do teorema temos os seguintes resultados Teorema A função m satisfaz: (i) m é finitamente aditiva, ou seja, para pares de conjuntos disjuntos (A i ) temos que ( n ) m A i = i=1 n m(a i ) i=1 para todo n; (ii) m é continua no vazio, ou seja, Se (B n ) decresce para, então m(b n ) decresce para Conjuntos de Borel A definição de M não permite que verifiquemos facilmente se um particular conjunto pertence a M. Portanto, é útil introduzir uma nova estrutura que permita trabalhar com conjuntos abertos. O resultado a seguir permite construir novas σ-álgebras. 9

10 Teorema A intersecção de uma família de σ-álgebras é uma σ- álgebra. Definição Ponha B = {F : F é uma σ-álgebra contendo todos os intervalos} Dizemos que B é uma σ-álgebra gerada por todos os intervalos e que os elementos de B são conjuntos de Borel. Teorema Se ao invés de intervalos considerarmos intervalos abertos, então o conjunto B ainda é o mesmo. 10

11 Capítulo 2 Funções Mensuraveis 2.1 A reta estendida O comprimento de R é ilimitado superiormente, ou seja, infinito. Para lidar com isto nós definos a medida de Lebesgue para conjuntos de medidas finitas e infinitas. Para tratar funções de conjuntos adequadamente, é conviniente permitir que as funções tomem valores infinitos. Assim, definimos a reta extendida como sendo R = R {, + }. Definimos =, a = se a > 0, a = se a < 0, a + =, para todo a e 0 = Funções mensuráveis O domínio das funções que iremos considerar será usualmente R. Agora temos a liberdade de definir f exceto por um conjunto nulo. Uma vez mostrado que f e g são iguais em R E onde E é um conjunto nulo, então f = g para todos os propositos praticos. Para formalizar isso dizemos que f = g q.t.p. 11

12 Definição Suponha que E é um conjunto mensurável. Dizemos que a função f : E R é mensurável Lebesgue se para todo intervalo I R f 1 (I) = {x R : f(x) I} M O teorema a seguir dá algumas definições equivalentes de funções mensuráveis. Teorema As seguintes condições são equivalentes : (i) f é mensurável. (ii) Para todo a, f 1 ((a, )) é mensurável. (iii) Para todo a, f 1 ([a, )) é mensurável. (iv) Para todo a, f 1 (, a)) é mensurável. (v) Para todo a,f 1 (, a]) é mensurável. 2.3 Propriedades A classe de funções mensuráveis é bastante rica, como mostra o Teorema O conjunto das funções mensuráveis é um espaço vetorial e é fechado sobre a multiplicação. Teorema Suponhas que F : R R R é uma função continua e que f e g são funções mensuráveis. Então h(x) = F(f(x), g(x)) é mensurável. 12

13 Vamos definir f + (x) = e f (x) = { f(x) se f(x) > 0 0 se f(x) 0 { 0 se f(x) > 0 f(x) se f(x) 0 Então temos o seguinte resultado Teorema (i) f é mensurável se e somente se f + e f são mensuráveis. (ii) Se f é mensurável então f é mensurável. A reciproca é falsa. Temos ainda que Teorema Sejam {f n } uma sequencia de funções mensuráveis definidas em E e que tomam valores reais. Então são mensuráveis as seguintes funções: max n k f n, min f n, n k sup f n, n N, inf n N f n, lim sup f n, n lim inf n f n. As coisas ficam um pouco mais complicadas quando consideramos conjuntos nulos. Entretanto, quando mudamos uma função apenas num conjunto nulo, não alteramos a sua propriedade de mensurabilidade. Teorema Se f é mensuravel, g é arbitraria e {x : f(x) = g(x)} é nulo, então g é mensurável. 13

14 Seja uma sequencia de funções mensuraveis f n tal que f n f q.t.p. Então f é mensurável. 14