Construção dos Números Reais

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Construção dos Números Reais"

Transcrição

1 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga

2 Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação de pares de Cauchy 9 5 Adição de pares de Cauchy 11 6 Multiplicação de pares de Cauchy 12 7 Os números reais Adição de números reais Multiplicação de números reais Os números reais e os números racionais Interpretação geométrica dos números reais Supremo e ínfimo

3 Seção 1. Seqüências de números racionais 1 1 Seqüências de números racionais Sejam N o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Uma função s: N Q é chamada uma seqüência de números racionais. Como exemplo, seja s: N Q tal que para todo número natural n, s(n) = n. Assim, s(0) = 0, s(1) = 1/2, s(2) = 2/3, etc. 1 + n Seja s: N Q uma seqüência de números racionais. Então quando n é um número natural, s(n) é um certo número racional que também que também costuma ser indicado com esta notação s n. Isto é, s(n) = s n e s n é chamado o n-ésimo termo da seqüência s. É claro que sabendo quais são todos os s n nós conhecemos completamente a nossa seqüência s. Por essa razão uma seqüência s: N Q costuma ser indicada com a notação {s n n N}, ou {s n } n N, ou simplesmente s n quando não há perigo de confusão. Exemplo 1. Consideremos a seqüência f : N Q tal que para todo número natural n, f n é a maior fração que tem denominador 10 n e não ultrapassa 1/3. Desse modo, f 0 = 0; f 1 = 0, 3; f 2 = 0, 33; etc. Uma seqüência de números racionais s n é dita limitada quando existem dois números racionais p, q tais que para todo n N: p s n q A seqüência n é limitada pois para todo número n, n 1 A seqüência n 2 não é limitada. Uma seqüência a n é dita crescente se, para todo número natural j : a j a j+1 Como exemplo seja a: N Q tal que para todo n, a n é a maior fração que tem denominador 10 n e não ultrapassa 5/7. O leitor pode mostrar que {a n } é de fato crescente e também limitada, pois para todo n, 0 a n < 5/7. A seqüência b n é chamada decrescente se, para todo número natural j :

4 Seção 2. Pares de Cauchy 2 b j +1 b j Por exemplo, seja {b n } a seqüência tal que para todo n, b n é a menor fração que tem denominador 8 n e é maior do que 1/3. O leitor pode mostrar que {b n } é decrescente, e limitada, pois para todo número natural n, 1/3 < b n 1. Neste exemplo é fácil ver que b 0 = 1 ; b 1 = 3/8 ; b 2 = 22/8 2 ; b 3 = 171/8 3 ; etc. Exercícios 2. { n 1) Mostre que a seqüência n + 1 { n + 2 2) Mostre que a seqüência n + 1 } n N é crescente e limitada. } n N é decrescente e limitada. 3) Para cada número natural n, seja a n a maior fração que tem denominador 7 n e não ultrapassa 3/8, isto é a n 3/8 < a n + 1/7 n. Mostre que {a n } é uma seqüência crescente e limitada. (Sugestão: seja a n = c n /7 n para todo n N. Mostre que c n 7c n c n+1, e portanto a n a n+1 ). 2 Pares de Cauchy Já encontramos em nossos estudos de Matemática problemas dos seguintes tipos: 1) Dado o número natural n, achar as duas frações de denominador 10 n, a n e b n tais que a n < 5 7 ; 5 7 < b n e b n a n = 1 10 n 2) Dado o número natural m, achar as duas frações positivas c m e d m, do denominador 10 m tais que etc. c 2 m < 2 ; 2 < d 2 m e d m c m = 1 10 m No primeiro problema acima, quando o número natural n vai percorrendo o conjunto dos números naturais, as soluções a n formam uma seqüência crescente {a n } e as soluções b n formam uma seqüência decrescente {b n }. É claro também que os termos a n e b n, de mesmo índice, vão ficando cada vez mais próximos à média em que o índice n cresce, pois a diferença b n a n = 1/10 n vai ficando pequena.

5 Seção 2. Pares de Cauchy 3 O segundo problema acima também exibe um fenômeno parecido. Os dois exemplos citados acima e muitos outros (que não daremos agora mas encontraremos mais tarde) sugerem que examinemos com atenção este novo tipo de objeto matemático : um par de seqüências de números racionais {a n, b n } tais que {a n } é crescente, {b n } é decrescente a n b n para todo número natural n e a diferença b n a n vai se aproximando de zero à medida em que o índice n cresce. Não exigiremos, entretanto, que a n ou b n seja fração de denominador 10 n. Esse novo tipo de objeto matemático, o nosso par de seqüências {a n, b n } nas condições acima, nós chamaremos de par de Cauchy e iremos estudar na próxima seção. Definição 3. Dizemos que duas seqüências a n e b n de números racionais formam nessa ordem o par de Cauchy {a n, b n } se as seguintes condições estão verificadas: 1) a n é crescente, b n é decrescente; 2) Para todo n N : a n b n ; 3) Dado qualquer número racional ɛ > 0 existe um número natural n 0 tal que para todo n n 0 : b n a n < ɛ Exemplos 4. 1) Seja r um número racional. Para todo número natural n, seja a n = b n = r. É fácil ver que as três condições acima estão satisfeitas e portanto {a n, b n } é um par de Cauchy. 2) Para todo n N sejam a n = 1 n + 1 e b n = 1. É fácil mostrar n + 1 que {a n, b n } é um par de Cauchy. Exercícios 5. 1) Seja {a n, b n } um par de Cauchy. Mostre que { b n, a n } é um par de Cauchy. 2) Seja {c n, d n } um par de Cauchy tal que para todo n N, c n > 0. Mostre que {1/d n, 1/c n } é um par de Cauchy. (Sugestão: para verificar a condição (3) da definição de par de Cauchy, observe que 1 c n 1 d n = d n c n c n d n d n c n c 2 0 ). 3) Seja {e n, f n } um par de Cauchy tal que para todo n N, f n < 0. Mostre que {1/f n, 1/e n } é um par de Cauchy.

6 Seção 3. Um problema 4 4) Sejam {a n, b n }, {c n, d n } dois pares de Cauchy tais que para todo n N, a n > 0 e c n > 0. Mostre que {a n c n, b n d n } é um par de Cauchy (Sugestão: para verificar a condição (3) da definição de par de Cauchy, observe que portanto b n d n a n c n = b n d n a n d n + a n d n a n c n b n d n a n c n d n (b n a n ) + a n (d n c n ) d 0 (b n a n ) + b 0 (d n c n )) 5) Sejam {a n, b n }, {c n, d n } dois pares de Cauchy. Mostre que {a n + c n, b n + d n } é um par de Cauchy. 6) Sejam {a n, b n } um par de Cauchy e n 0 um número natural. Defina as seqüências a n. b n do seguinte modo: b n = b n0, a n = a n0 para n n 0 b n = b n, a n = a n para n > n 0 Mostre que {a n, b n} é um par de Cauchy 3 Um problema Dado um par de Cauchy {a n, b n }, vamos supor que exista um número racional r tal que para todo n N: a n r b n Queremos saber se é possível existir um outro número racional s, diferente de r, tal que para todo n N: Vamos mostrar que não. a n s b n Se existisse um tal número s, diferente de r, então ou s > r ou s < r. Vamos verificar que s não pode ser maior do que r. De fato, se s > r então s r > 0. De acordo com a condição 3) da definição de par de Cauchy, podemos tomar ɛ = s r (veja página 3) e então existe um número natural n 0 tal que para todo n n 0 acontece isto: 0 b n a n < ɛ

7 Seção 3. Um problema 5 isto é (pois ɛ = s r): Logo b n a n < s r b n + r < s + a n Mas estamos supondo que a n s b n para todo n N. Então e portanto isto é, b n + r < s + a n b n + a n b n + r < b n + a n r < a n Isso é absurdo pois por hipótese a n r b n para todo n. A demonstração de que s não pode ser menor do que r é análoga à anterior, como o leitor pode observar. Conclusão 6. Dado um par de Cauchy {a n, b n }, se existir um número racional r tal que para todo n N acontece isto: a n r b n então r é o único número racional que está assim relacionado com o par de Cauchy {a n, b n }. Por essa razão podemos introduzir a seguinte definição. Definição 7. Dados o par de Cauchy {a n, b n } e o número racional r, nós dizemos que {a n, b n } determina r se para todo n N acontece isto: a n r b n O leitor a esta altura pode fazer a seguinte pergunta: dado um par de Cauchy {c n, d n } sempre existe um número racional s tal que {c n, d n } determina s no sentido da Definição 7 acima? A resposta a essa pergunta é: nem sempre. { É claro que o par de Cauchy n + 1, } determina o número 2, pois para todo n n + 1 N: n n + 1 Vamos agora dar exemplo de um par de Cauchy {a n, b n } que não determina nenhum número racional. As seqüências a n e b n do par {a n, b n } são definidas do seguinte modo: Para cada n N:

8 Seção 3. Um problema 6 a n é a maior fração de denominador 10 n tal que a 2 n 2; b n é a menor fração positiva do denominador 10 n tal que b 2 n 2. É claro que para todo n b n a n = 1/10 n. Logo, dado ɛ > 0, existe n 0 tal que, para n n 0, 1/10 n < ɛ, isto é, b n a n < ɛ. O leitor pode verificar que a n é crescente e b n é decrescente. É claro que para todo n, a n b n. Logo {a n, b n } é de fato um par de Cauchy. Vamos então verificar que não existe nenhum número racional tal que, para todo n N: a n h b n De fato, se um tal número racional h existisse deveria acontecer um destes três casos: 1 - o ) h 2 = 2; 2 - o ) h 2 < 2; 3 - o ) h 2 > 2. Vamos mostrar que nenhum desses casos é possível. 1 - o ) Não existe nenhum número racional h tal que h 2 = 2. De fato, se existe um tal h poderíamos escrevê-lo h = p/q, onde p e q são números naturais primos entre si e q 0. Então viria: p 2 /q 2 = 2 p 2 = 2 q 2. Logo p 2 é par. Portanto p é par. Então p 2 é múltiplo de 4 e como p 2 = 2 q 2 concluímos que q 2 é múltiplo de 2. Isso contraria o fato de que p e q são primos entre si e um particular não podem ser ambos pares. 2 - o ) Vamos mostrar que h 2 < 2 também não é possível: Como b n = (b n h) + h, então [(b n h) + h] 2 = b 2 n > 2 (Por definição de b n, b 2 n > 2). Logo (b n h) h (b n h) + h 2 > 2 Como para todo n N, b n a n = 1/10 n e a n h b n, então 0 < b n h b n a n isto é, 0 < b n h 1 10 n

9 Seção 3. Um problema 7 e então temos Portanto 2 (b n h) h 2h 10 n (b n h) n 1 2h + 102n 10 + n h2 (b n h) 2 + 2(b n h)h + h 2 (1) = [(b n h) + h] 2 = b 2 n > 2 Dado o nosso número racional positivo h, existe um número natural n 0 tal que 10 n 0 > 1 h Logo, para todo n n 0, podemos escrever: 10 n 10 n 0 > 1 h, isto é, 10 n > 1 h ou h > 1 10 n e então concluímos que para todo n n 0 : 1 10 h > 1 n 10 1 n 10 = 1 n 10 2n e assim, de acordo com o resultado (1), obtemos: isto é, para todo n n 0, n N h + 2 n 10 h + n h2 > n 10 h + n h2 > 2 Podemos concluir de (2) que 3h 10 n + h2 > 2 (2) 3h 10 n > 2 h2

10 Seção 3. Um problema 8 ou, visto ser 2 h 2 > 0 : qualquer que seja n n 0. Ora, (3) é absurdo pois dado o número racional um número natural n maior do que n 0 tal que 3h 2 h 2 > 10n (3) 3h 2 h 2 < 10n Está pois mostrado que h 2 não pode ser menor do que 2. 3h > 0 sempre existe 2 h2 3 - o ) Deixamos a cargo do leitor mostrar que o terceiro caso, isto é, h 2 > 2, também não pode ocorrer (Sugestão: observe que a n = (a n h) + h, a 2 n < 2 e mostre que a hipótese h 2 > 2 conduz a absurdo). Uma observação final: acabamos de ver que dado um par de Cauchy arbitrário {a n, b n } nem sempre podemos garantir a existência de um número racional r que tenha a seguinte propriedade: a n r b n, n N Sabemos também que quando um tal número r existe, então não é possível existir um outro número s racional, diferente de r e que também satisfaça as condições a n s b n para todo n N. É essa a razão pela qual, quando a n r b n para todo n N, podemos dizer que o par de Cauchy {a n, b n } determina o número racional r. Nesse caso seria fácil obtermos um outro par de Cauchy, diferente de {a n, b n } e que também determina o mesmo número r. Com efeito, é suficiente tomarmos a n = a n 1 n + 1 b n = b n + 1 n + 1 para todo n N. É claro que a n a n, b n b n e a n a n r b n b n, isto é, a n r b n. O leitor pode verificar que {a n, b n} é um par de Cauchy e como a n r b n, então {a n, b n} determina o número r. Moral da história: um par de Cauchy pode determinar no máximo um número racional. Mas um número racional pode ser determinado por muitos pares de Cauchy diferentes.

11 Seção 4. Comparação de pares de Cauchy 9 4 Comparação de pares de Cauchy Definição 8. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n } nós dizemos que {a n, b n } é estritamente menor do que {c n, d n }, e escrevemos {a n, b n } < {c n, d n }, se existir algum índice n 0 N tal que b n0 < c n0 Geometricamente a definição acima significa isto: para n > n 0 : a n0 a n b n b n0 c n0 c n d n d n0 Definição 9. Dado dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n }, quando {a n, b n } < {c n, d n } nós dizemos que {c n, d n } é estritamente maior do que {a n, b n } e escrevemos {c n, d n } > {a n, b n }. Observação 10. Consideremos os dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n } tais que para todo n N, a n = b n = 1 e c n = 1 1 n + 1, d n = n + 1. É fácil ver que {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {c n, d n }. O leitor observa que tanto {a n, b n } como {c n, d n } determinam o mesmo número racional 1. Problema 11. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n }, {c n, d n }, suponhamos que existe um número racional r tal que a n r b n para todo n N (isto é, {a n, b n } determina o número r). Suponhamos ainda que {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {c n, d n }. Mostrar que {c n, d n } então determina o mesmo número racional r. Solução. Como {a n, b n } não é estritamente menor do que {c n, d n } podemos afirmar que para todo n N : c n b n (4) Como {a n, b n } não é estritamente maior do que {c n, d n }, concluímos que para todo n N: a n d n Para provarmos que {c n, d n } determina r precisamos mostrar que para todo n N temos: c n r d n.

12 Seção 4. Comparação de pares de Cauchy 10 Ora, se a afirmação: Para todo n N, c n r d n fosse falsa, então deveria existir um número natural n 0 tal que um desses dois casos seguintes aconteceria: 1 - o ) r < c n0 ; 2 - o ) d n0 < r. Vamos mostrar que (1 - o ) não pode ocorrer. De fato, se r < c n0, então c n0 r > 0 e para todo n n 0, c n r c n0 r > 0. Tomemos o número racional positivo c n0 r. Como {a n, b n } é um par de Cauchy, existe n 1 > n 0 tal que para todo n n 1 acontece isto: Então para todo n n 1 temos b n a n < c n0 r b n a n < c n r pois c n0 r c n r e b n a n < c n0 r para n n 1. Então concluímos que para n n 1 : b n c n < a n r (5) Mas em virtude do resultado (4) concluímos que b n c n 0 e portanto o resultado (5) acima implica que a n r > 0 para todo n n 1. Isso contraria a hipótese de ser a n r para todo n N. Deixamos a cargo do leitor mostrar que não podemos ter d n0 < r para nenhum n 0 N. Assim fica demonstrado que se {a n, b n } determina o número racional r e {c n, d n } é um par de Cauchy que não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {a n, b n }, então {c n, d n } determina o mesmo número racional r. O resultado acima serve de motivação para a seguinte definição: Definição 12. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n }, dizemos que {a n, b n } é equivalente a {c n, d n } e escrevemos {a n, b n } {c n, d n } se {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor que {c n, d n }.

13 Seção 5. Adição de pares de Cauchy 11 Deixamos a cargo do leitor mostrar as seguintes propriedades da relação introduzida acima. Para facilitar a escrita usaremos letras gregas para indicar pares de Cauchy. I) α α para todo par de Cauchy α; II) α β = β α; III) Se α β e β γ, então α γ; IV) Se α α, β β e α > β, então α > β. Sugestão: para demonstrar a propriedade III, suponha que ela não seja verdadeira e mostre que isso conduz a absurdo. Tome α = {a n, b n }, β = {c n, d n }, γ = {e n, f n }. Então se α não é equivalente a γ, então ou α > γ ou γ > α. Mostre que nenhum desses casos pode ocorrer. Exercícios 13. 1) Sejam {a n, b n } e {c n, d n } dois pares de Cauchy. Mostre que {a n, b n } {c n, d n } se e só se para todo n, a n d n e c n b n. 2) Sejam r, s números racionais e {a n, b n } um par de Cauchy que determina r, e {c n, d n } um par de Cauchy que determina s. Mostre que {a n + c n, b n + d n } é um par de Cauchy que determina r + s. 3) Sejam r, s números racionais positivos, {a n, b n } um par de Cauchy que determina r e {c n, d n } um par de Cauchy que determina s. Suponhamos que para todo n N, a n > 0 e c n > 0. Mostre que {a n c n, b n d n } é um par de Cauchy que determina r. s e {1/b n, 1/a n } é um par de Cauchy que determina 1/r. 4) Seja m um número natural e {a n, b n } um par de Cauchy. Considere as seqüências a n, b n definidas do seguinte modo: b n = b m e a n = a m para n m b n = b n e a n = a n para n > m Mostre que {a n, b n} é um par de Cauchy equivalente a {a n, b n }. 5 Adição de pares de Cauchy Dados dois pares de Cauchy α = {a n, b n } e β = {c n, d n }, podemos formar o par de Cauchy {a n + c n, b n + d n }, que chamaremos de soma dos pares de Cauchy α e β e escreveremos: {a n, b n } + {c n, d n } = {a n + c n, b n + d n }

14 Seção 6. Multiplicação de pares de Cauchy 12 Vamos indicar com Ô o par de Cauchy {e n, f n } tal que e n = f n = 0 para todo n N. Dado o par de Cauchy α = {a n, b n }, podemos formar o par de Cauchy α = { b n, a n }, que chamaremos de simétrico de α. O leitor pode verificar que são válidas as seguintes propriedades, onde as letras gregas indicam pares de Cauchy: 1) α α e β β = α + β α + β ; 2) α α = α α ; 3) α+ Ô = α; 4) α+( α) Ô (Observe que não temos igualdade, e sim equivalência); 5) α + β = β + α; 6) (α + β) + γ = α + (β + γ); 7) α > β = α + γ > β + γ para todo par de Cauchy γ. 6 Multiplicação de pares de Cauchy Já sabemos que quando {a n, b n } e {c n, d n } são pares de Cauchy tais que para todo n N a n > 0 e c n > 0, então {a n c n, b n d n } também é um par de Cauchy. Se além disso {a n, b n } determinar o número racional positivo r e {c n, d n } determinar o número racional positivo s, então é fácil mostrar que {a n c n, b n d n } determina o número r. s. Em vista disso é natural que coloquemos a seguinte definição: Definição 14. Se α = {a n, b n } e β = {c n, d n } são pares de Cauchy tais que para todo n N, a n > 0 e c n > 0 então chamamos de produto de α por β o par de Cauchy {a n c n, b n d n } e escrevemos: {a n, b n } {c n, d n } = {a n c n, b n d n } Antes de prosseguirmos, vamos resolver o seguinte exercício: Exercício 15. Seja {a n, b n } um par de Cauchy estritamente maior que o par de Cauchy ˆ0 (veja página 12). Então existe um par de Cauchy {a n, b n} tal que {a n, b n } {a n, b n} e a n > 0 para todo n N. Solução. Como {a n, b n } > ˆ0, então existe um índice n 0 N tal que a n0 > 0. Para todo n n 0 teremos a n > 0. Consideremos as seguintes seqüências a n, b n:

15 Seção 6. Multiplicação de pares de Cauchy 13 b n = b n0 e a n = a n0 para n n 0 b n = b n e a n = a n para n > n 0 O leitor pode verificar que {a n, b n} é um par de Cauchy equivalente a {a n, b n } e tal que para todo n N, a n > 0. Vamos escolher, no exemplo acima, o índice n 0 de tal modo que a n0 seja o primeiro termo maior do que zero na seqüência a n (isto é, a n0 > 0 e a j 0 para j < n 0 ). Diremos então que {a n, b n} é o par de Cauchy associado a {a n, b n }. Definição 16. Sejam {a n, b n }, {c n, d n } pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0. Seja {a n, b n} o par associado a {a n, b n } e {c n, d n} o par associado a {c n, d n }. (Sabemos então que a n > 0 e c n > 0 para todo n e {a n, b n } {a n, b n}, {c n, d n } {c n, d n}, colocamos por definição: {a n, b n } {c n, d n } = {a nc n, b nd n}) Exercícios 17. As letras gregas indicam pares de Cauchy estritamente maiores do que 0. Mostre que: 1) α β = β α 2) (α β) γ = α (β γ) 3) α α, β β = α β α β 4) Seja ˆ1 o par de Cauchy {e n, f n } tal que e n = f n = 1 para todo n. Seja α um par de Cauchy estritamente positivo. Verifique que α ˆ1 α 5) Seja α = {a n, b n } um par de Cauchy tal que a n > 0 para todo n, e consideremos o par de Cauchy α 1 = { 1/ b n, 1/a n }. Mostre que α α 1 ˆ1. O par α 1 é chamado o inverso de α. 6) Sejam α e β dois pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0 e seja α o par de Cauchy associado a α, e β o par de Cauchy associado a β. Mostre que α β = (α ) 1 (β ) 1 (isto é, se dois pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0 são equivalentes, então os inversos de seus respectivos associados também são equivalentes).

16 Seção 7. Os números reais 14 7 Os números reais Seja Q o conjunto dos números racionais. Sabemos que Q Q é o conjunto dos pares ordenados de números racionais, isto é: Ora, as funções f : N Q Q chamar de A. Q Q = {(a, b) a Q e b Q} formam um conjunto que podemos Que é um elemento de A? Um elemento de A é uma função f : N Q Q que pode ser pensada como um par de seqüências de números racionais {a n, b n }. Em particular um par de Cauchy pertence a A, isto é, os pares de Cauchy formam um subconjunto de A. Seja então o conjunto dos pares de Cauchy e já sabemos que A. Dado um par de Cauchy α, vamos junta num conjunto α todos os pares de Cauchy equivalentes a α. Isto é, α = {α α α} Diremos que α é o número real determinado pelo par de Cauchy α. O par de Cauchy α é então chamado um representante do número real α. Vamos mostrar que dois pares de Cauchy equivalentes determinam o mesmo número real, isto é: Proposição 18. α β = α = β. Demonstração. Como α e β são subconjuntos de, para provarmos que α = β temos que mostrar que α β e β α. Por definição temos: α = {α α α} β = {β β β} e por hipótese sabemos que α β. Então β α, pois β α. Dado β β, temos β β e como β α, temos β α, isto é β α. Portanto todo elemento de β é também elemento de α, isto é β α. De modo análogo podemos mostrar que α β e assim fica provado que α β = α = β Vamos chamar de R o conjunto de todos os números reais.

17 Seção 7. Adição de números reais 15 Definição 19. Sejam α e β dois números reais. Dizemos que α é estritamente maior do que β e escrevemos α > β se para todo α α e todo β β acontece isto: α > β (isto é, o par de Cauchy α é estritamente maior que o par de Cauchy β ). O leitor pode verificar que é válido o seguinte resultado: Proposição 20. Dados dois números reais α e β então acontece um e um só dos seguintes casos: 1 - o ) α = β ; 2 - o ) α > β ; 3 - o ) β > α. Exercício 21. Sejam α, β dois pares de Cauchy tais que α > β. Mostre que α > β, isto é, se α β e β β então α > β. 7.1 Adição de números reais Sejam α, β dois números reais. Seja α β um representante de α, e β β um representante de β, como α e β são pares de Cauchy nós podemos formar o par de Cauchy α + β, e depois tomamos o número real determinado por α + β. Com essas notações: Definição 22. α + β = (α + β ) Observação 23. A soma de dois números reais está bem definida, pois se em lugar de α α tivéssemos tomado α α e em lugar de β β escolhêssemos β β, teríamos (conforme exercício da página 12): α + β α + β como dois pares de Cauchy equivalentes determinam o mesmo número real (veja Proposição 18). Temos: (α + β ) = (α + β ) Observação 24. A razão pela qual passamos dos pares de Cauchy aos números reais é que desse modo conseguimos substituir a relação de equivalência entre pares de Cauchy pela relação de igualdade entre números reais. Intuitivamente dois pares de Cauchy equivalentes {a n, b n } e {a n, b n} tais que a n a n ou b n b n não devem apenas por causa dessa circunstância ser considerados diferentes pois, sendo equivalentes, determinam o mesmo número, conforme vimos em exemplos anteriores a propósito de números racionais. (Por exemplo, os pares de Cauchy {a n, b n } e {a n, b n} tais que a n = b n = 0 e a n = 1/(n + 1), b n = 1/(n + 1) determinam o número 0).

18 Seção 7. Adição de números reais 16 Proposição 25. Sejam α, β e γ números reais. Então: Demonstração. α > β α + γ > β + γ exercício Definição 26. Seja r um número racional e consideremos o par de Cauchy ˆr = {a n, b n } tal que para todo n natural, a n = b n = r. O número real determinado pelo par de Cauchy ˆr será escrito r. Seja α um número real. Vamos mostrar que a equação tem no máximo uma solução. α + x = 0 De fato, suponhamos que x 1 e x 2 fossem dois números reais diferentes e tais que α + x 1 = 0 α + x 2 = 0 Como x 1 x 2, em virtude da Proposição 20 podemos admitir por exemplo que x 1 > x 2. Ora, a Proposição 25 acima garante-nos que x 1 > x 2 x 1 + α > x 2 + α e assim vemos que se x 1 + α = 0, então 0 > x 2 + α isto é, x 2 não é solução da equação dada. Portanto a equação acima tem no máximo uma solução. O leitor pode verificar sem dificuldade que, se {a n, b n } é um par de Cauchy representante de α, então o par de Cauchy { b n, a n } tem a seguinte propriedade: {a n, b n } + { b n, a n } ˆ0 Desse modo, chamando de α o número real determinado pelo par de Cauchy { b n, a n }, temos α + ( α ) = 0 Fica pois mostrada a seguinte Proposição 27. Dado o número real α, a equação α + x = 0 tem uma única solução. Essa solução é indicada com a notação α. Isto é, α + ( α ) = 0. A adição de números reais tem propriedades semelhantes as da adição de números racionais. Isto é, sendo α, β, γ números reais o leitor pode verificar que são válidas as seguintes propriedades:

19 Seção 7. Multiplicação de números reais 17 α + β = β + α (α + β ) + γ = α + (β + γ ) α + 0 = α Para todo α real existe um número real α tal que α + ( α ) = Multiplicação de números reais À página 12 tratamos da multiplicação de dois pares de Cauchy estritamente maiores de que ˆ0. Vamos agora usar os resultados lá obtidos para discutirmos agora a multiplicação de números reais. Definição 28. Sejam α e β dois números reais estritamente maiores do que 0. Sejam {a n, b n } um par de Cauchy representante de α e {c n, d n } um par de Cauchy representante de β. Então esses dois pares de Cauchy são ambos estritamente maiores do que ˆ0. De acordo com a definição dada na página 12 podemos considerar o produto desses dois pares de Cauchy {a n, b n } {c n, d n } que vamos chamar de γ. Então, por definição, α β = γ. Observação 29. Suponhamos que {a n, b n } e {a n, b n} sejam dois pares de Cauchy equivalentes que determinam o número real estritamente maior do que 0, α. Sejam {c n, d n } e {c n, d n} dois pares de Cauchy equivalentes que determinam o número real estritamente maior do que 0, β. Então, conforme o exercício 3 da página 11, {a n, b n } {c n, d n } {a n, b n} {c n, d n}. Assim sendo, temos ({a n, b n } {c n, d n }) = ({a n, b n} {c n, d n}) Isso mostra que quando α, β são dois números reais estritamente maiores do que 0, então o produto α β definido acima está de fato bem definido e não depende de como escolhemos um representante para α e outro representante para β a fim de, a partir deles, determinarmos α β. Para completarmos a definição do produto de dois números reais, precisamos tratar dos casos em que ao menos um dos fatores não é um número real estritamente maior do que 0. Definição 30. Seja α um número real qualquer. Então colocamos: α 0 = 0

20 Seção 7. Multiplicação de números reais 18 Observação 31. Suponhamos que α seja um número real estritamente menor do que 0. Então o leitor pode verificar que α é um número real estritamente maior do que 0. Definição 32. Sejam α e β dois números reais tais que α é estritamente menor do que 0 e β é estritamente maior do que 0. Então colocamos α β = (( α ) β ) Definição 33. Sejam α e β dois números reais estritamente menores do que 0. Então colocamos α β = ( α ) ( β ) Observação 34. Com as quatro definições estudadas acima, o produto de dois números reais fica definido em todos os casos possíveis. O leitor pode verificar que a multiplicação de números reais tem propriedades semelhantes às da multiplicação de números racionais: 1 - o ) α β = β α ; 2 - o ) (α β ) γ = α (β γ ); 3 - o ) α (β + γ ) = α β + α γ ; 4 - o ) α 0 = 0 ; 5 - o ) α β = 0 α = 0 ou β = 0 ; 6 - o ) α 1 = α ; 7 - o ) Se α < β e γ > 0 então α γ < β γ ; 8 - o ) Se α, β são números reais e α 0 então existe um único número real γ tal que α γ = β Tal número real γ é indicado com a notação γ = β α.

21 Seção 7. Os números reais e os números racionais Os números reais e os números racionais Proposição 35. Sejam α um número real e d um número racional positivo. Então existem números racionais r e s tais que r < s, s r < d e r < α < s (Para a definição de r veja a página 16). Demonstração. Dado o número real α, seja {a n, b n} um par de Cauchy representante de α. É fácil conseguirmos um outro par de Cauchy {a n, b n }, equivalente a {a n, b n}, tal que a seqüência a n seja estritamente crescente (isto é, a j < a j +1 para j N) e b n seja estritamente decrescente (isto é, b j +1 < b j para j N). Como {a n, b n } é um par de Cauchy, dado o nosso número racional d > 0 existe n 0 tal que para n n 0, acontece isto: b n a n < d. Em particular, temos b n0 a n0 < d. Tomemos r = a n0 e s = b n0. Então r < s, s r < d, e como ˆr < {a n, b n } < ŝ, então r < α < s Observação 36. Na proposição acima, se tivermos α > 0 conseguimos um número racional r tal que 0 < r < α. Exercícios 37. 1) Sejam α, β dois números reais tais que α < β. Mostre que existe um número racional q tal que α < q < β. 2) Sejam α, β dois números reais estritamente positivos.mostre que existe um número natural n tal que α < n β. 3) Mostre que não existe nenhum número racional h tal que h 2 = 3. 4) Mostre que existe um número real positivo α tal que α 2 = 3 (Sugestão: dê um par de Cauchy que represente o α pedido). Vamos agora considerar a função ϕ : Q R que a cada número racional r associa o número real r (veja página 16). Quais são as propriedades da função ϕ? O leitor pode verificar facilmente que para todo a, b, Q: 1 - a ) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) isto é, (a + b) = a + b ; 2 - a ) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) isto é, (a b) = a b ; 3 - a ) Se a < b então ϕ(a) < ϕ(b) isto é, a < b = a < b ;

22 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais a ) Vamos agora considerar a imagem Q em R do conjunto Q através da função ϕ. Isto é, Q = ϕ(q) R. O conjunto Q é por assim dizer uma cópia do conjunto Q pois em Q operamos com os elementos de Q da mesma maneira como operamos com os elementos de Q. A (3 a -) propriedade acima nos mostra que se a, b Q e a b então a b. Podemos então tratar os elementos de Q como se fossem números racionais. É nesse sentido que podemos dizer que os números racionais Q formam um subconjunto dos números reais. A proposição 35 pode agora ser vista deste modo: dado um número real α e um número racional d > 0, sempre existem números racionais r e s cuja distância a α é menor do que d, tais que r < α < s. 7.4 Interpretação geométrica dos números reais Sobre uma reta marcamos dois pontos distintos O, U, escolhemos como sentido positivo de percurso da reta o que vai de O para U: O U P Em seguida, dado um número racional p qualquer, marcamos na reta acima o ponto P de tal modo que a medida algébrica do segmento OP feita com a unidade OU seja expressa pelo número dado p. (Assim, se p > O, então o ponto P se ache à direita de O, e se p < O, o ponto P está à esquerda de O). Assim a cada número racional p podemos associar um ponto bem determinado, P, de nossa reta. Se chamássemos de Q o conjunto de todos os pontos de nossa reta que são correspondentes de números racionais, então aconteceria o seguinte: há pontos na nossa reta que não pertencem a Q! Isto é, existem em nossa reta acima, pontos I que não são correspondentes de nenhum número racional, pois o segmento OI não pode ser medido algebricamente com o segmento OU de maneira que a medida seja um número racional. Dado o número real α, suponhamos que {a n, b n } seja um par de Cauchy representante de α. Os termos a n, b n são números racionais. Vamos então, para cada n N, achar os pontos A n e B n correspondentes a a n e b n, respectivamente. Pois bem, existe na reta um e um só ponto A tal que para todo n, A pertence ao segmento de extremidades A n e B n : É natural então associarmos o número real α ao ponto A acima descrito. Com isso acontece o seguinte: cada ponto da reta é o correspondente de um

23 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 21 A 1 A 2 A n A B n B 2 B 1 único número real e cada número real pode ser representado na nossa reta através de um único ponto. A proposição 35 significa geometricamente que perto de cada ponto A que representa um número real α é sempre possível encontrar pontos R e S tais que A pertence ao segmento de extremos R e S, e R e S são pontos correspondentes a números racionais: A R S Exercício 38. Sejam α n uma seqüência crescente de números reais, e β n uma seqüência decrescente de números reais tais que para todo n N, α n β n. Mostre que se p, q são dois números naturais quaisquer, então α p β q. Proposição 39. Sejam α um número real e {r n, s n } um par de Cauchy que determina o número real ρ. Suponhamos que para todo n N, α < s n. Então α ρ. Demonstração. Seja {a n, b n } um par de Cauchy representante do número real α. Precisamos mostrar que {a n, b n } não é estritamente maior do que {r n, s n }. Que aconteceria se {a n, b n } fosse estritamente maior do que {r n, s n }? Então existiria um número natural n 0 tal que s n0 < a n0 (6) Seja {e n, f n } o par de Cauchy tal que para todo n N, e n = f n = s n0. Então, em virtude de (6), teríamos: {e n, f n } < {a n, b n } (7) Mas {e n, f n } determina o número real s n 0 e {a n, b n } determina o número real α. Logo, (7) implica que s n 0 < α e isso contraria a hipótese de ser α < s n para todo n N. 1 1

24 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 22 Exercício 40. Sejam β um número real e {r n, s n } um par de Cauchy que determina o número real ρ. Suponhamos que para todo n N, r n < β. Mostre que então ρ β. Observação 41. O leitor deve notar na proposição 42 seguinte que as seqüências α n, β n de números reais que lá consideramos têm propriedades semelhantes as das seqüências de números racionais que entram na formação de um par de Cauchy. Proposição 42. Sejam α n, β n duas seqüências de números reais tais que 1 - o ) α n é crescente e β n é decrescente; 2 - o ) α n β n para todo n N; 3 - o ) Dado qualquer número real positivo ɛ, existe um número natural n 0 (que pode depender de ɛ) tal que para todo n n 0 β n α n < ɛ Então existe um e um só número real ρ tal que α n ρ β n para todo n N. Observação 43. Quando estudamos pares de Cauchy {a n, b n }, onde a n, b n eram números racionais, vimos que nem sempre existia um número racional r tal que a n r b n para todo n N. Na proposição 42 acima estamos considerando pares de Cauchy {α n, β n}, onde agora α n, β n são números reais. A proposição 42 então afirma que nesse caso sempre existe um número real ρ tal que α n ρ β n para todo n N. Demonstração. (da Proposição 42) Primeiramente vamos exibir um número real ρ que tem a propriedade enunciada na proposição 42, isto é, α n ρ β n para todo n N. Para apresentarmos ρ basta que demos um par de Cauchy {r n, s n }, representante de ρ. O par de Cauchy {r n, s n } é construído definindo as seqüências r n, s n por indução do seguinte modo: Para n = 0, tomamos como r 0 um número racional menor do que α 0 e tal que α 0 r 0 < 1;

25 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 23 Suponhamos que já foram definidos os termos r n para n = 0, 1,..., p, de maneira que r 0 < r 1 <... < r p, r n < α n e α n r n < 1 n + 1 Vamos então definir o termo seguinte, r p+1 : Como α αp+1 que, para n = 0,..., p e r p < α p, podemos tomar um número racional r p+1 tal r p < r p+1 < α p+1 α p+1 r p+1 < 1 p + 2 Está pois completamente definida a seqüência r n e podemos lembrar outra vez quais são suas propriedades: r n é crescente; r n < α n para todo n N; α n r n < 1 n + 1 para todo n N. De modo parecido podemos definir a seqüência s n de maneira tal que s n é decrescente; β n < s n para todo n N; s n β n < 1 n + 1 para todo n N. r n s n α n β n Afirmamos que {r n, s n } é um par de Cauchy. É claro que r n s n para todo n, pois r n < α n β n < s n. Pela definição de r n e s n, vemos que r n é crescente e s n é decrescente. Falta apenas verificarmos a 3 - a condição da definição de

26 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 24 um par de Cauchy. Isto é, precisamos mostrar que dado qualquer número racional d > 0, existe n 0 N tal que para n n 0, s n r n < d Ora, dado o nosso d > 0, conseguimos um n 1 natural tal que para n n 1 β n α n < d 3 (usando a nossa hipótese 3 sobre as seqüências α n e β n). Agora tomamos n 0 > n 1 tal que É claro que para n n 0, teremos portanto Assim, para n n 0, temos 1 n < d 3 1 n + 1 < d. Finalmente, observamos que 3 s n r n = s n β n + β n α n α n r n s n r n = (s n βn) + (βn αn) + (αn r n ) < 1 n (β n αn) + 1 n + 1 s n r n < d 3 + d 3 + d 3 = d O par de Cauchy {r n, s n } determina o número real ρ. É fácil ver que (conforme exercício da página 21) dados dois números naturais p, q quaisquer, α p < s q (8) Usando a proposição 39, concluímos de (8) que α p ρ para todo número natural p. De modo análogo podemos mostrar que ρ β p para todo p N. Deixamos a cargo do leitor mostrar que não pode existir um outro número real σ, diferente de ρ, tal que α n σ β n para todo n N.

27 Seção 7. Supremo e ínfimo Supremo e ínfimo Daqui por diante os números reais serão indicados quase sempre com letras latinas minúsculas e eventualmente com letras gregas minúsculas, mas sem o asterisco ( ). Definição 44. Seja A um conjunto não vazio de números reais. Dizemos que A é superiormente limitado se existe algum número real M tal que para todo a A, a M. Definição 45. Seja A um conjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. Dizemos que o número real s é o supremo de A se estão satisfeitas as duas seguintes condições: 1 - a ) a s, a A; 2 - a ) Se r é um número real tal que a r para todo a A, então s r. Observação 46. A segunda condição acima na definição de supremo nos diz que entre todos os números reais que majoram o conjunto A, o número s é o menor. Exemplo 47. Seja A = {x R x < 1}. Vamos mostrar que o supremo de A é 1. De fato, pela própria definição de A, a < 1, a A Suponhamos que o número real r seja tal que a r, a A. Vamos mostrar que 1 r. De fato, em caso contrário teríamos r < 1. Ora, o número x = (r + 1)/ 2 é maior do que r e menor do que 1. Portanto r não satisfaz a condição de ser maior ou igual a qualquer elemento de A. Fica assim mostrado que o supremo de A é de fato 1. Definição 48. Seja A um conjunto não vazio e inferiormente limitado de números reais. Então o número real m é chamado o máximo de A se estão satisfeitas as duas seguintes condições: 1 - a ) m A; 2 - a ) a m, a A. Observação 49. É claro que se um conjunto A tem máximo m, então m é também o supremo de A. O conjunto A = {x R x < 1} tem supremo final a 1, mas não tem máximo, pois 1 / A.

28 Seção 7. Supremo e ínfimo 26 Exercícios 50. Ache o supremo dos seguintes conjuntos: B = {x R 7x + 1 < 4x + 5} { } 1 F = y R y + 1 < 0 Proposição 51. Seja A um conjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. Então existe um número real σ tal que σ é o supremo de A. Demonstração. Se o conjunto A tiver um máximo m, então é claro que m também é o supremo de A. Vamos então supor que o nosso conjunto A não tem máximo e vamos provar que existe o supremo de A. Constituiremos duas seqüências r n, s n de números reais de modo que 1 - o ) r n é crescente, s n é decrescente; 2 - o ) para todo n N, r n < s n ; 3 - o ) dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que para n n 0, s n r n < ɛ; 4 - o ) para cada n N, a s n, a A; 5 - o ) para cada n N, existem elementos a A tais que r n < a < s n As seqüências r n e s n são definidas por indução do seguinte modo: Como A é não vazio e superiormente limitado podemos considerar dois números reais, r 0 e s 0 tais que r 0 A (pois A ) a < s 0, a A (pois A: superiormente limitado) Consideremos o número real m 1 = r 0 + s 0 2 r 0 n 1 s 0 Dois casos são possíveis (visto A não ter máximo, por hipótese) 1 - o ) a < m 1, a A;

29 Seção 7. Supremo e ínfimo o ) a A tal que m 1 < a. No primeiro caso tomamos: No segundo caso tomamos: r 1 = r 0 e s 1 = m 1 r 1 = m 1 e s 1 = s 0 Suponhamos que já foram escolhidos os números reais r n, s n para n = 0,..., p de maneira tal que 1 - o ) r n r n+1 < s n+1 s n para n = 0,..., p o ) a < s n a A, n = 0,..., p 3 - o ) Para cada n = 0,..., p, existe a A tal que r n < a < s n 4 - o ) s n r n = s 0 r 0 2 n Vamos então dizer como tomar os termos seguintes r p+1 e s p+1 : r p m 1 s p Consideramos o número real m p+1 = (s p + r p )/2. Então (pela hipótese de A não ter máximo) são possíveis dois casos: 1 - o ) a < m p+1, a A; 2 - o ) existem a A tais que m p+1 < a. No primeiro caso definimos No segundo caso definimos, r p+1 = r p e s p+1 = m p+1 r p+1 = m p+1 e s p+1 = s p O leitor pode verificar que as seqüências r n e s n satisfazem as 5 propriedades enunciadas no começo desta demonstração, isto é, à página 26. Em particular as três primeiras propriedades implicam, pela proposição 42, que as seqüências r n e s n determinam um número real σ tal que para todo n N: r n < σ < s n

30 Seção 7. Supremo e ínfimo 28 Vamos mostrar que σ é o supremo de A: 1 o -) a σ, a A De fato, suponhamos que isso não fosse verdade. elemento x A tal que σ < x. Então existiria um σ x Como x σ > 0, podemos achar um número natural n 0 tal que s n0 r n0 < ɛ, isto é, s n0 r n0 < x σ. Mas isso é absurdo pois r n0 < σ e x < s n0 (Observe que s n0 r n0 < x σ σ r n0 < x s n0. Como r n0 < σ, então σ r n0 > 0. Como x < s n0, então x s n0 < 0. Um número negativo não pode ser maior que um positivo). Está então mostrado que para todo a A: a σ 2 - o ) Se ρ é um número real tal que a ρ, a A, então σ ρ. Em outras palavras, precisamos mostrar que qualquer número real menor do que ρ é superado por algum elemento de A. De fato, dado δ > 0, consideremos número real σ δ. Podemos achar um número natural n 0 tal que s n0 r n0 < δ como σ < s n0, temos σ r n0 < δ. Portanto como r n0 < σ, temos σ δ < r n0 < σ. Ora, como existem elementos a A tais que r n0 < a < s n0, concluímos que existem números a A tais que σ δ < a Então σ δ não é maior ou igual a qualquer elemento de A. Como δ > 0 é arbitrário concluímos que se ρ a, a A, então δ σ. Isto é, σ é o supremo de A. Definição 52. Um subconjunto não vazio de números reais, B, é inferiormente limitado se existe um número real m tal que m b, b B. Definição 53. Seja B um subconjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. O número real f é o ínfimo de B se as duas condições seguintes estão verificadas: 1 - a ) f b, b B; 2 - a ) Se g b, b B, então g f. Deixamos a cargo de leitor a demonstração da seguinte proposição: 1

31 Seção 7. Supremo e ínfimo 29 Proposição 54. Seja B R um subconjunto não vazio e inferiormente limitado de números reais. Então existe um número real f tal que f é o ínfimo de B.

Módulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano

Módulo de Equações do Segundo Grau. Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Módulo de Equações do Segundo Grau Equações do Segundo Grau: Resultados Básicos. Nono Ano Equações do o grau: Resultados Básicos. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. A equação ax + bx + c = 0, com

Leia mais

Aula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo:

Aula 5. Uma partícula evolui na reta. A trajetória é uma função que dá a sua posição em função do tempo: Aula 5 5. Funções O conceito de função será o principal assunto tratado neste curso. Neste capítulo daremos algumas definições elementares, e consideraremos algumas das funções mais usadas na prática,

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática

Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear Professor: André Luiz Galdino Aluno(a): 4 a Lista de Exercícios 1. Podemos entender transformações lineares

Leia mais

Figura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis

Figura 4.1: Diagrama de representação de uma função de 2 variáveis 1 4.1 Funções de 2 Variáveis Em Cálculo I trabalhamos com funções de uma variável y = f(x). Agora trabalharemos com funções de várias variáveis. Estas funções aparecem naturalmente na natureza, na economia

Leia mais

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo: Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema

Leia mais

M =C J, fórmula do montante

M =C J, fórmula do montante 1 Ciências Contábeis 8ª. Fase Profa. Dra. Cristiane Fernandes Matemática Financeira 1º Sem/2009 Unidade I Fundamentos A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e

Leia mais

I. Conjunto Elemento Pertinência

I. Conjunto Elemento Pertinência TEORI DOS CONJUNTOS I. Conjunto Elemento Pertinência Conjunto, elemento e pertinência são três noções aceitas sem definição, ou seja, são noções primitivas. idéia de conjunto é praticamente a mesma que

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - MATEMÁTICA PROJETO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Assuntos: Produtos Notáveis; Equações; Inequações; Função; Função Afim; Paridade;

Leia mais

Recorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 = 1 + 3 + 32 +

Recorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 = 1 + 3 + 32 + 1 Introdução Comecemos esta discussão fixando um número primo p. Dado um número natural m podemos escrevê-lo, de forma única, na base p. Por exemplo, se m = 15 e p = 3 temos m = 0 + 2 3 + 3 2. Podemos

Leia mais

Física Experimental III

Física Experimental III Física Experimental III Unidade 4: Circuitos simples em corrente alternada: Generalidades e circuitos resistivos http://www.if.ufrj.br/~fisexp3 agosto/26 Na Unidade anterior estudamos o comportamento de

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. ROTEIRO Esta aula tem por base o Capítulo 2 do livro de Taha (2008): Introdução O modelo de PL de duas variáveis Propriedades

Leia mais

Notas de aula de Lógica para Ciência da Computação. Aula 11, 2012/2

Notas de aula de Lógica para Ciência da Computação. Aula 11, 2012/2 Notas de aula de Lógica para Ciência da Computação Aula 11, 2012/2 Renata de Freitas e Petrucio Viana Departamento de Análise, IME UFF 21 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Ineficiência das tabelas de verdade

Leia mais

Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Segundo ano

Módulo de Princípios Básicos de Contagem. Segundo ano Módulo de Princípios Básicos de Contagem Combinação Segundo ano Combinação 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. Numa sala há 6 pessoas e cada uma cumprimenta todas as outras pessoas com um único aperto

Leia mais

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ) P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a

Leia mais

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada Resumo: Estudo do Comportamento das Funções O que fazer? 1º - Explicitar o domínio da função estudada 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada 3º - Calcular a segunda

Leia mais

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime

Leia mais

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Adição A soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que

Leia mais

CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 - EP4. Prezado Aluno,

CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 - EP4. Prezado Aluno, CEDERJ MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 - EP4 Prezado Aluno, Neste EP daremos sequência ao nosso estudo da linguagem da lógica matemática. Aqui veremos o conectivo que causa mais dificuldades para os alunos e

Leia mais

Prática. Exercícios didáticos ( I)

Prática. Exercícios didáticos ( I) 1 Prática Exercício para início de conversa Localize na reta numérica abaixo os pontos P correspondentes aos segmentos de reta OP cujas medidas são os números reais representados por: Exercícios didáticos

Leia mais

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética AULA DO CPOG Progressão Aritmética Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8... 12 9 6 3... 5 5 5 5... Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma

Leia mais

Planos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins

Planos e Retas. Equações do Plano e da Reta. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Planos e Retas Uma abordagem exploratória das Equações do Plano e da Reta Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant José Antônio Araújo Andrade Solange Gomes Faria Martins Na geometria, um plano é determinado se

Leia mais

Usando potências de 10

Usando potências de 10 Usando potências de 10 A UUL AL A Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176.

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013

Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número.

Leia mais

Técnicas de Contagem I II III IV V VI

Técnicas de Contagem I II III IV V VI Técnicas de Contagem Exemplo Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de

Leia mais

Aplicações Diferentes Para Números Complexos

Aplicações Diferentes Para Números Complexos Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Aplicações Diferentes Para Números Complexos Capítulo II Aplicação 2: Complexos na Geometria Na rápida revisão do capítulo I desse artigo mencionamos

Leia mais

Aula de Exercícios - Teorema de Bayes

Aula de Exercícios - Teorema de Bayes Aula de Exercícios - Teorema de Bayes Organização: Rafael Tovar Digitação: Guilherme Ludwig Primeiro Exemplo - Estagiários Três pessoas serão selecionadas aleatóriamente de um grupo de dez estagiários

Leia mais

Matemática Discreta - 08

Matemática Discreta - 08 Universidade Federal do Vale do São Francisco urso de Engenharia da omputação Matemática Discreta - 08 Prof. Jorge avalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1f1qlke27me Gabaritos nas últimas

Leia mais

Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS

Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Cap. II EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um

Leia mais

Condução. t x. Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Condução. t x. Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria Condução A transferência de energia de um ponto a outro, por efeito de uma diferença de temperatura, pode se dar por condução, convecção e radiação. Condução é o processo de transferência de energia através

Leia mais

Comandos de Eletropneumática Exercícios Comentados para Elaboração, Montagem e Ensaios

Comandos de Eletropneumática Exercícios Comentados para Elaboração, Montagem e Ensaios Comandos de Eletropneumática Exercícios Comentados para Elaboração, Montagem e Ensaios O Método Intuitivo de elaboração de circuitos: As técnicas de elaboração de circuitos eletropneumáticos fazem parte

Leia mais

Bombons a Granel. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Introduzir e mostrar aplicações do produto de matrizes.

Bombons a Granel. Série Matemática na Escola. Objetivos 1. Introduzir e mostrar aplicações do produto de matrizes. Bombons a Granel Série Matemática na Escola Objetivos 1. Introduzir e mostrar aplicações do produto de matrizes. Bombons a granel Série Matemática na Escola Conteúdos Produto de matrizes. Duração Aprox.

Leia mais

QUESTÕES PARA A 3ª SÉRIE ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 2º BIMESTE SUGESTÕES DE RESOLUÇÕES

QUESTÕES PARA A 3ª SÉRIE ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 2º BIMESTE SUGESTÕES DE RESOLUÇÕES QUESTÕES PARA A 3ª SÉRIE ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 2º BIMESTE QUESTÃO 01 SUGESTÕES DE RESOLUÇÕES Descritor 11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. Os itens referentes a

Leia mais

Função. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos

Função. Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos Função Trigonométrica II Adição e subtração de arcos Duplicação de arcos Resumo das Principais Relações I sen cos II tg sen cos III cotg tg IV sec cos V csc sen VI sec tg VII csc cotg cos sen Arcos e subtração

Leia mais

(a 2, b) = p 2 q 2. AV2 - MA 14-2011. Questão 1.

(a 2, b) = p 2 q 2. AV2 - MA 14-2011. Questão 1. Questão 1. (1,5) Sejam a e b dois números naturais tais que (a, b) = pq, em que p e q são dois números primos distintos. Quais são os possíveis valores de (a) (a 2, b)? (b) (a 3, b)? (c) (a 2, b 3 )? Suponhamos

Leia mais

4.4 Limite e continuidade

4.4 Limite e continuidade 4.4 Limite e continuidade Noções Topológicas em R : Dados dois pontos quaisquer (x 1, y 1 ) e (x, y ) de R indicaremos a distância entre eles por då(x 1, y 1 ), (x, y )è=(x 1 x ) + (y 1 y ). Definição

Leia mais

Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste

Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste Modelos de Regressão Linear Simples - Erro Puro e Falta de Ajuste Erica Castilho Rodrigues 2 de Setembro de 2014 Erro Puro 3 Existem dois motivos pelos quais os pontos observados podem não cair na reta

Leia mais

0.1 Introdução Conceitos básicos

0.1 Introdução Conceitos básicos Laboratório de Eletricidade S.J.Troise Exp. 0 - Laboratório de eletricidade 0.1 Introdução Conceitos básicos O modelo aceito modernamente para o átomo apresenta o aspecto de uma esfera central chamada

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M3 Conjuntos

Matemática. Resolução das atividades complementares. M3 Conjuntos Resolução das atividades complementares Matemática M Conjuntos p. (UEMG) Numa escola infantil foram entrevistadas 8 crianças, com faia etária entre e anos, sobre dois filmes, e. Verificou-se que 4 delas

Leia mais

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):

Adição de probabilidades. O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e): Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B

Leia mais

PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana

PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana PERMUTAÇÕES SIMPLES Uma permutação de se denominarmos objetos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, de modo que, o número das permutações

Leia mais

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional.

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. Questão 1. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. (1,0) (b) Mostre que 2 + 5 é irracional. (a) Seja n N. Se p q Q é tal

Leia mais

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia ActivALEA ative e atualize a sua literacia N.º 26 A FREQUÊNCIIA RELATIIVA PARA ESTIIMAR A PROBABIILIIDADE Por: Maria Eugénia Graça Martins Departamento de Estatística e Investigação Operacional da FCUL

Leia mais

Registro de Retenções Tributárias e Pagamentos

Registro de Retenções Tributárias e Pagamentos SISTEMA DE GESTÃO DE PRESTAÇÃO DE CONTAS (SiGPC) CONTAS ONLINE Registro de Retenções Tributárias e Pagamentos Atualização: 20/12/2012 A necessidade de registrar despesas em que há retenção tributária é

Leia mais

Entropia, Entropia Relativa

Entropia, Entropia Relativa Entropia, Entropia Relativa e Informação Mútua Miguel Barão (mjsb@di.uevora.pt) Departamento de Informática Universidade de Évora 13 de Março de 2003 1 Introdução Suponhamos que uma fonte gera símbolos

Leia mais

Função Seno. Gráfico da Função Seno

Função Seno. Gráfico da Função Seno Função Seno Dado um número real, podemos associar a ele o valor do seno de um arco que possui medida de radianos. Desta forma, podemos definir uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais que,

Leia mais

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa

Leia mais

Pressuposições à ANOVA

Pressuposições à ANOVA UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA CAMPUS DE JI-PARANÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL Estatística II Aula do dia 09.11.010 A análise de variância de um experimento inteiramente ao acaso exige que sejam

Leia mais

Unidade 3 Função Afim

Unidade 3 Função Afim Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças Definição C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo

Leia mais

EGEA ESAPL - IPVC. Resolução de Problemas de Programação Linear, com recurso ao Excel

EGEA ESAPL - IPVC. Resolução de Problemas de Programação Linear, com recurso ao Excel EGEA ESAPL - IPVC Resolução de Problemas de Programação Linear, com recurso ao Excel Os Suplementos do Excel Em primeiro lugar deverá certificar-se que tem o Excel preparado para resolver problemas de

Leia mais

Matemática - Módulo 1

Matemática - Módulo 1 1. Considerações iniciais Matemática - Módulo 1 TEORIA DOS CONJUNTOS O capítulo que se inicia trata de um assunto que, via-de-regra, é abordado em um plano secundário dentro dos temas que norteiam o ensino

Leia mais

GEOMETRIA DO TAXISTA. (a -b )² + (a -b )²

GEOMETRIA DO TAXISTA. (a -b )² + (a -b )² GEOMETRI O TXIST Geometria do Taxista é uma geometria não-euclidiana, no sentido em que a noção de distância não é a mesma e acordo com o desenho abaixo, suponhamos um motorista de táxi que apanha um cliente

Leia mais

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta

Capítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

Probabilidade. Luiz Carlos Terra

Probabilidade. Luiz Carlos Terra Luiz Carlos Terra Nesta aula, você conhecerá os conceitos básicos de probabilidade que é a base de toda inferência estatística, ou seja, a estimativa de parâmetros populacionais com base em dados amostrais.

Leia mais

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados?

Como fazer para deixar firme uma estante de hastes com prateleiras que está balançando para os lados? o triângulo é uma das figuras mais importantes da Geometria, e também uma das mais interessantes. Na nossa vida diária, existem bons exemplos de aplicação de triângulos e de suas propriedades. Quer ver

Leia mais

Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800)

Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800) Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática Teorema de Jacobson Adriana Wagner(RA: 144768) Gustavo Terra Bastos(RA: 143800) Campinas - SP 2013 1 Resumo Nesta monografia apresentamos a

Leia mais

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2.

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1 1 SOLUÇÕES N2 2015 N2Q1 Solução O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Com um

Leia mais

Matemática Régis Cortes MÚLTIPLOS E DIVISORES

Matemática Régis Cortes MÚLTIPLOS E DIVISORES MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplos e divisores de um número Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Observe as seguintes divisões entre números Naturais:

Leia mais

Métodos Formais. Agenda. Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções. Relações e Funções

Métodos Formais. Agenda. Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções. Relações e Funções Métodos Formais Relações e Funções por Mauro Silva Agenda Relações Binárias Relações e Banco de Dados Operações nas Relações Resumo Relações Funções MF - Relações e Funções 2 1 Relações Binárias Definição

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Aula 01 Introdução a Geometria Plana Ângulos Potenciação Radiciação Introdução a Geometria Plana Introdução: No estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:

Leia mais

Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.1. Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.1. Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005. Agenda Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo Conceitos básicos Classes de de Complexidade P NP Redução Problemas NPC NP-Completude Introdução Existem alguns problemas computacionais que são

Leia mais

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 20

Álgebra Linear I - Aula 20 Álgebra Linear I - Aula 0 1 Matriz de Mudança de Base Bases Ortonormais 3 Matrizes Ortogonais 1 Matriz de Mudança de Base Os próximos problemas que estudaremos são os seguintes (na verdade são o mesmo

Leia mais

Probabilidade e Estatística

Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística TESTES DE HIPÓTESES (ou Testes de Significância) Estimação e Teste de Hipóteses Estimação e teste de hipóteses (ou significância) são os aspectos principais da Inferência Estatística

Leia mais

Se inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá.

Se inicialmente, o tanque estava com 100 litros, pode-se afirmar que ao final do dia o mesmo conterá. ANÁLISE GRÁFICA QUANDO y. CORRESPONDE A ÁREA DA FIGURA Resposta: Sempre quando o eio y corresponde a uma taa de variação, então a área compreendida entre a curva e o eio do será o produto y. Isto é y =

Leia mais

Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares.

Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares. Solução dos Exercícios de ALGA 2ª Avaliação EXEMPLO 8., pág. 61- Uma reta L passa pelos pontos P 0 (, -2, 1) e P 1 (5, 1, 0). Determine as equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine

Leia mais

WWW.RENOVAVEIS.TECNOPT.COM

WWW.RENOVAVEIS.TECNOPT.COM Energia produzida Para a industria eólica é muito importante a discrição da variação da velocidade do vento. Os projetistas de turbinas necessitam da informação para otimizar o desenho de seus geradores,

Leia mais

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1

Capítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1 Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas

Leia mais

PUC-Rio Desafio em Matemática 15 de novembro de 2008

PUC-Rio Desafio em Matemática 15 de novembro de 2008 PUC-Rio Desafio em Matemática 5 de novembro de 2008 Nome: Assinatura: Inscrição: Identidade: Questão Valor Nota Revisão.0 2.0 3.0 4.0 5a.0 5b.0 6a.0 6b.0 7 2.0 Nota final 0.0 Instruções Mantenha seu celular

Leia mais

Progressão aritmética ( PA )

Progressão aritmética ( PA ) Progressão aritmética ( PA ) Definição Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:

Leia mais

[RESOLUÇÃO] Economia I; 2012/2013 (2º semestre) Prova da Época Recurso 3 de Julho de 2013

[RESOLUÇÃO] Economia I; 2012/2013 (2º semestre) Prova da Época Recurso 3 de Julho de 2013 Economia I; 01/013 (º semestre) Prova da Época Recurso 3 de Julho de 013 [RESOLUÇÃO] Distribuição das respostas correctas às perguntas da Parte A (6 valores) nas suas três variantes: ER A B C P1 P P3 P4

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 7

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 7 Potencial Elétrico Quando estudamos campo elétrico nas aulas passadas, vimos que ele pode ser definido em termos da força elétrica que uma carga q exerce sobre uma carga de prova q 0. Essa força é, pela

Leia mais

1 Teoria de conjuntos e lógica

1 Teoria de conjuntos e lógica 1 Teoria de conjuntos e lógica Estes breves apontamentos dizem respeito à parte do programa dedicada à teoria de conjuntos e à lógica matemática. Embora concebidos sem grandes formalismos e com poucas

Leia mais

Comecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y

Comecemos por relembrar as propriedades das potências: = a x c) a x a y = a x+y . Cálculo Diferencial em IR.1. Função Exponencial e Função Logarítmica.1.1. Função Exponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos:

Leia mais

Uma equação trigonométrica envolve como incógnitas arcos de circunferência e relacionados por meio de funções trigonométricas.

Uma equação trigonométrica envolve como incógnitas arcos de circunferência e relacionados por meio de funções trigonométricas. Equações Trigonométricas Uma equação trigonométrica envolve como incógnitas arcos de circunferência e relacionados por meio de funções trigonométricas. Por exemplo: A maioria das equações trigonométricas

Leia mais

O Cálculo λ sem Tipos

O Cálculo λ sem Tipos Capítulo 2 O Cálculo λ sem Tipos 21 Síntaxe e Redução Por volta de 1930 o cálculo lambda sem tipos foi introduzido como uma fundação para a lógica e a matemática Embora este objectivo não tenha sido cumprido

Leia mais

Equações paramétricas da Reta

Equações paramétricas da Reta 39 6.Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Vamos supor que uma reta r é paralela a um vetor V = a, b, c) não nulo e que passa por um ponto P = x, y, z ). Um ponto P = x, pertence a

Leia mais

FUNÇÕES. É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade. Exemplos: 2 e b = 3, logo. em. Represente a relação.

FUNÇÕES. É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem. 1.1 Igualdade. Exemplos: 2 e b = 3, logo. em. Represente a relação. PR ORDENDO É uma seqüência de dois elementos em uma dada ordem Igualdade ( a, ( c,d) a c e b d Eemplos: E) (,) ( a +,b ) a + e b, logo a e b a + b a b 6 E) ( a + b,a (,6), logo a 5 e b PRODUTO CRTESINO

Leia mais

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas

1.10 Sistemas de coordenadas cartesianas 7 0 Sistemas de coordenadas cartesianas Definição : Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um v v conjunto formado por um ponto e uma base { } v3 Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas

Leia mais

Relações. Antonio Alfredo Ferreira Loureiro. loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro. UFMG/ICEx/DCC MD Relações 1

Relações. Antonio Alfredo Ferreira Loureiro. loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro. UFMG/ICEx/DCC MD Relações 1 Relações Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro MD Relações 1 Introdução O mundo está povoado por relações: família, emprego, governo, negócios, etc. Entidades

Leia mais

POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS. Potenciação 1

POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS. Potenciação 1 POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO E LOGARITMAÇÂO NOS NÚMEROS REAIS Potenciação 1 Neste texto, ao classificarmos diferentes casos de potenciação, vamos sempre supor que a base e o expoente sejam não nulos, pois já

Leia mais

UM JOGO BINOMIAL 1. INTRODUÇÃO

UM JOGO BINOMIAL 1. INTRODUÇÃO 1. INTRODUÇÃO UM JOGO BINOMIAL São muitos os casos de aplicação, no cotidiano de cada um de nós, dos conceitos de probabilidade. Afinal, o mundo é probabilístico, não determinístico; a natureza acontece

Leia mais

Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares. f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x)

Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares. f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) Elementos de Cálculo I - Notas de aula 9 Prof Carlos Alberto Santana Soares Anteriormente, vimos que um dos problemas no cálculo de ites surge quando desejamos f() calcular a. A estratégia incial é calcular

Leia mais

Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador.

Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. O símbolo Frações significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo:

Leia mais

FUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo

FUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo 01 / 08 / 12 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Definição Resumo Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. Em que a é o coeficiente de x²; b

Leia mais

Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm

Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm Corrente elétrica, potência, resistores e leis de Ohm Corrente elétrica Num condutor metálico em equilíbrio eletrostático, o movimento dos elétrons livres é desordenado. Em destaque, a representação de

Leia mais

Resolução da Lista de Exercício 6

Resolução da Lista de Exercício 6 Teoria da Organização e Contratos - TOC / MFEE Professor: Jefferson Bertolai Fundação Getulio Vargas / EPGE Monitor: William Michon Jr 10 de novembro de 01 Exercícios referentes à aula 7 e 8. Resolução

Leia mais

Inversão de Matrizes

Inversão de Matrizes Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2 13 de

Leia mais

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1)

Leia mais

Método Simplex das Duas Fases

Método Simplex das Duas Fases Notas de aula da disciplina Pesquisa Operacional 1. 2003/1 c DECOM/ICEB/UFOP. Método Simplex das Duas Fases 1 Descrição do método Suponhamos inicialmente que tenham sido efetuadas transformações no PPL,

Leia mais

PARTE 11 VETOR GRADIENTE:

PARTE 11 VETOR GRADIENTE: PARTE 11 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 11.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira

Leia mais

Exercícios e questões de Álgebra Linear

Exercícios e questões de Álgebra Linear CEFET/MG Exercícios e questões de Álgebra Linear Versão 1.2 Prof. J. G. Peixoto de Faria Departamento de Física e Matemática 25 de outubro de 2012 Digitado em L A TEX (estilo RevTEX). 2 I. À GUISA DE NOTAÇÃO

Leia mais

Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança. Parte 2

Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança. Parte 2 Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança Parte 2 Questões para discutirmos em sala: O que é uma hipótese estatística? O que é um teste de hipótese? Quem são as hipóteses nula e alternativa? Quando devemos

Leia mais

Exercício. Exercício

Exercício. Exercício Exercício Exercício Aula Prática Utilizar o banco de dados ACCESS para passar o MER dos cenários apresentados anteriormente para tabelas. 1 Exercício oções básicas: ACCESS 2003 2 1 Exercício ISERIDO UMA

Leia mais

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 1. Escreva os elementos de S 4 nas duas notações. Observe que S 4 = 4! = 24. Os elementos de S 4 tem a forma 1 a, 2 b, 3 c, 4 d onde a sequência abcd é uma das seguintes: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423,

Leia mais

Seu pé direito nas melhores Faculdades

Seu pé direito nas melhores Faculdades 10 Insper 01/11/009 Seu pé direito nas melhores Faculdades análise quantitativa 40. No campeonato brasileiro de futebol, cada equipe realiza 38 jogos, recebendo, em cada partida, 3 pontos em caso de vitória,

Leia mais