Construção dos Números Reais

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1 1 Universidade de Brasília Departamento de Matemática Construção dos Números Reais Célio W. Manzi Alvarenga

2 Sumário 1 Seqüências de números racionais 1 2 Pares de Cauchy 2 3 Um problema 4 4 Comparação de pares de Cauchy 9 5 Adição de pares de Cauchy 11 6 Multiplicação de pares de Cauchy 12 7 Os números reais Adição de números reais Multiplicação de números reais Os números reais e os números racionais Interpretação geométrica dos números reais Supremo e ínfimo

3 Seção 1. Seqüências de números racionais 1 1 Seqüências de números racionais Sejam N o conjunto dos números naturais e Q o conjunto dos números racionais. Uma função s: N Q é chamada uma seqüência de números racionais. Como exemplo, seja s: N Q tal que para todo número natural n, s(n) = n. Assim, s(0) = 0, s(1) = 1/2, s(2) = 2/3, etc. 1 + n Seja s: N Q uma seqüência de números racionais. Então quando n é um número natural, s(n) é um certo número racional que também que também costuma ser indicado com esta notação s n. Isto é, s(n) = s n e s n é chamado o n-ésimo termo da seqüência s. É claro que sabendo quais são todos os s n nós conhecemos completamente a nossa seqüência s. Por essa razão uma seqüência s: N Q costuma ser indicada com a notação {s n n N}, ou {s n } n N, ou simplesmente s n quando não há perigo de confusão. Exemplo 1. Consideremos a seqüência f : N Q tal que para todo número natural n, f n é a maior fração que tem denominador 10 n e não ultrapassa 1/3. Desse modo, f 0 = 0; f 1 = 0, 3; f 2 = 0, 33; etc. Uma seqüência de números racionais s n é dita limitada quando existem dois números racionais p, q tais que para todo n N: p s n q A seqüência n é limitada pois para todo número n, n 1 A seqüência n 2 não é limitada. Uma seqüência a n é dita crescente se, para todo número natural j : a j a j+1 Como exemplo seja a: N Q tal que para todo n, a n é a maior fração que tem denominador 10 n e não ultrapassa 5/7. O leitor pode mostrar que {a n } é de fato crescente e também limitada, pois para todo n, 0 a n < 5/7. A seqüência b n é chamada decrescente se, para todo número natural j :

4 Seção 2. Pares de Cauchy 2 b j +1 b j Por exemplo, seja {b n } a seqüência tal que para todo n, b n é a menor fração que tem denominador 8 n e é maior do que 1/3. O leitor pode mostrar que {b n } é decrescente, e limitada, pois para todo número natural n, 1/3 < b n 1. Neste exemplo é fácil ver que b 0 = 1 ; b 1 = 3/8 ; b 2 = 22/8 2 ; b 3 = 171/8 3 ; etc. Exercícios 2. { n 1) Mostre que a seqüência n + 1 { n + 2 2) Mostre que a seqüência n + 1 } n N é crescente e limitada. } n N é decrescente e limitada. 3) Para cada número natural n, seja a n a maior fração que tem denominador 7 n e não ultrapassa 3/8, isto é a n 3/8 < a n + 1/7 n. Mostre que {a n } é uma seqüência crescente e limitada. (Sugestão: seja a n = c n /7 n para todo n N. Mostre que c n 7c n c n+1, e portanto a n a n+1 ). 2 Pares de Cauchy Já encontramos em nossos estudos de Matemática problemas dos seguintes tipos: 1) Dado o número natural n, achar as duas frações de denominador 10 n, a n e b n tais que a n < 5 7 ; 5 7 < b n e b n a n = 1 10 n 2) Dado o número natural m, achar as duas frações positivas c m e d m, do denominador 10 m tais que etc. c 2 m < 2 ; 2 < d 2 m e d m c m = 1 10 m No primeiro problema acima, quando o número natural n vai percorrendo o conjunto dos números naturais, as soluções a n formam uma seqüência crescente {a n } e as soluções b n formam uma seqüência decrescente {b n }. É claro também que os termos a n e b n, de mesmo índice, vão ficando cada vez mais próximos à média em que o índice n cresce, pois a diferença b n a n = 1/10 n vai ficando pequena.

5 Seção 2. Pares de Cauchy 3 O segundo problema acima também exibe um fenômeno parecido. Os dois exemplos citados acima e muitos outros (que não daremos agora mas encontraremos mais tarde) sugerem que examinemos com atenção este novo tipo de objeto matemático : um par de seqüências de números racionais {a n, b n } tais que {a n } é crescente, {b n } é decrescente a n b n para todo número natural n e a diferença b n a n vai se aproximando de zero à medida em que o índice n cresce. Não exigiremos, entretanto, que a n ou b n seja fração de denominador 10 n. Esse novo tipo de objeto matemático, o nosso par de seqüências {a n, b n } nas condições acima, nós chamaremos de par de Cauchy e iremos estudar na próxima seção. Definição 3. Dizemos que duas seqüências a n e b n de números racionais formam nessa ordem o par de Cauchy {a n, b n } se as seguintes condições estão verificadas: 1) a n é crescente, b n é decrescente; 2) Para todo n N : a n b n ; 3) Dado qualquer número racional ɛ > 0 existe um número natural n 0 tal que para todo n n 0 : b n a n < ɛ Exemplos 4. 1) Seja r um número racional. Para todo número natural n, seja a n = b n = r. É fácil ver que as três condições acima estão satisfeitas e portanto {a n, b n } é um par de Cauchy. 2) Para todo n N sejam a n = 1 n + 1 e b n = 1. É fácil mostrar n + 1 que {a n, b n } é um par de Cauchy. Exercícios 5. 1) Seja {a n, b n } um par de Cauchy. Mostre que { b n, a n } é um par de Cauchy. 2) Seja {c n, d n } um par de Cauchy tal que para todo n N, c n > 0. Mostre que {1/d n, 1/c n } é um par de Cauchy. (Sugestão: para verificar a condição (3) da definição de par de Cauchy, observe que 1 c n 1 d n = d n c n c n d n d n c n c 2 0 ). 3) Seja {e n, f n } um par de Cauchy tal que para todo n N, f n < 0. Mostre que {1/f n, 1/e n } é um par de Cauchy.

6 Seção 3. Um problema 4 4) Sejam {a n, b n }, {c n, d n } dois pares de Cauchy tais que para todo n N, a n > 0 e c n > 0. Mostre que {a n c n, b n d n } é um par de Cauchy (Sugestão: para verificar a condição (3) da definição de par de Cauchy, observe que portanto b n d n a n c n = b n d n a n d n + a n d n a n c n b n d n a n c n d n (b n a n ) + a n (d n c n ) d 0 (b n a n ) + b 0 (d n c n )) 5) Sejam {a n, b n }, {c n, d n } dois pares de Cauchy. Mostre que {a n + c n, b n + d n } é um par de Cauchy. 6) Sejam {a n, b n } um par de Cauchy e n 0 um número natural. Defina as seqüências a n. b n do seguinte modo: b n = b n0, a n = a n0 para n n 0 b n = b n, a n = a n para n > n 0 Mostre que {a n, b n} é um par de Cauchy 3 Um problema Dado um par de Cauchy {a n, b n }, vamos supor que exista um número racional r tal que para todo n N: a n r b n Queremos saber se é possível existir um outro número racional s, diferente de r, tal que para todo n N: Vamos mostrar que não. a n s b n Se existisse um tal número s, diferente de r, então ou s > r ou s < r. Vamos verificar que s não pode ser maior do que r. De fato, se s > r então s r > 0. De acordo com a condição 3) da definição de par de Cauchy, podemos tomar ɛ = s r (veja página 3) e então existe um número natural n 0 tal que para todo n n 0 acontece isto: 0 b n a n < ɛ

7 Seção 3. Um problema 5 isto é (pois ɛ = s r): Logo b n a n < s r b n + r < s + a n Mas estamos supondo que a n s b n para todo n N. Então e portanto isto é, b n + r < s + a n b n + a n b n + r < b n + a n r < a n Isso é absurdo pois por hipótese a n r b n para todo n. A demonstração de que s não pode ser menor do que r é análoga à anterior, como o leitor pode observar. Conclusão 6. Dado um par de Cauchy {a n, b n }, se existir um número racional r tal que para todo n N acontece isto: a n r b n então r é o único número racional que está assim relacionado com o par de Cauchy {a n, b n }. Por essa razão podemos introduzir a seguinte definição. Definição 7. Dados o par de Cauchy {a n, b n } e o número racional r, nós dizemos que {a n, b n } determina r se para todo n N acontece isto: a n r b n O leitor a esta altura pode fazer a seguinte pergunta: dado um par de Cauchy {c n, d n } sempre existe um número racional s tal que {c n, d n } determina s no sentido da Definição 7 acima? A resposta a essa pergunta é: nem sempre. { É claro que o par de Cauchy n + 1, } determina o número 2, pois para todo n n + 1 N: n n + 1 Vamos agora dar exemplo de um par de Cauchy {a n, b n } que não determina nenhum número racional. As seqüências a n e b n do par {a n, b n } são definidas do seguinte modo: Para cada n N:

8 Seção 3. Um problema 6 a n é a maior fração de denominador 10 n tal que a 2 n 2; b n é a menor fração positiva do denominador 10 n tal que b 2 n 2. É claro que para todo n b n a n = 1/10 n. Logo, dado ɛ > 0, existe n 0 tal que, para n n 0, 1/10 n < ɛ, isto é, b n a n < ɛ. O leitor pode verificar que a n é crescente e b n é decrescente. É claro que para todo n, a n b n. Logo {a n, b n } é de fato um par de Cauchy. Vamos então verificar que não existe nenhum número racional tal que, para todo n N: a n h b n De fato, se um tal número racional h existisse deveria acontecer um destes três casos: 1 - o ) h 2 = 2; 2 - o ) h 2 < 2; 3 - o ) h 2 > 2. Vamos mostrar que nenhum desses casos é possível. 1 - o ) Não existe nenhum número racional h tal que h 2 = 2. De fato, se existe um tal h poderíamos escrevê-lo h = p/q, onde p e q são números naturais primos entre si e q 0. Então viria: p 2 /q 2 = 2 p 2 = 2 q 2. Logo p 2 é par. Portanto p é par. Então p 2 é múltiplo de 4 e como p 2 = 2 q 2 concluímos que q 2 é múltiplo de 2. Isso contraria o fato de que p e q são primos entre si e um particular não podem ser ambos pares. 2 - o ) Vamos mostrar que h 2 < 2 também não é possível: Como b n = (b n h) + h, então [(b n h) + h] 2 = b 2 n > 2 (Por definição de b n, b 2 n > 2). Logo (b n h) h (b n h) + h 2 > 2 Como para todo n N, b n a n = 1/10 n e a n h b n, então 0 < b n h b n a n isto é, 0 < b n h 1 10 n

9 Seção 3. Um problema 7 e então temos Portanto 2 (b n h) h 2h 10 n (b n h) n 1 2h + 102n 10 + n h2 (b n h) 2 + 2(b n h)h + h 2 (1) = [(b n h) + h] 2 = b 2 n > 2 Dado o nosso número racional positivo h, existe um número natural n 0 tal que 10 n 0 > 1 h Logo, para todo n n 0, podemos escrever: 10 n 10 n 0 > 1 h, isto é, 10 n > 1 h ou h > 1 10 n e então concluímos que para todo n n 0 : 1 10 h > 1 n 10 1 n 10 = 1 n 10 2n e assim, de acordo com o resultado (1), obtemos: isto é, para todo n n 0, n N h + 2 n 10 h + n h2 > n 10 h + n h2 > 2 Podemos concluir de (2) que 3h 10 n + h2 > 2 (2) 3h 10 n > 2 h2

10 Seção 3. Um problema 8 ou, visto ser 2 h 2 > 0 : qualquer que seja n n 0. Ora, (3) é absurdo pois dado o número racional um número natural n maior do que n 0 tal que 3h 2 h 2 > 10n (3) 3h 2 h 2 < 10n Está pois mostrado que h 2 não pode ser menor do que 2. 3h > 0 sempre existe 2 h2 3 - o ) Deixamos a cargo do leitor mostrar que o terceiro caso, isto é, h 2 > 2, também não pode ocorrer (Sugestão: observe que a n = (a n h) + h, a 2 n < 2 e mostre que a hipótese h 2 > 2 conduz a absurdo). Uma observação final: acabamos de ver que dado um par de Cauchy arbitrário {a n, b n } nem sempre podemos garantir a existência de um número racional r que tenha a seguinte propriedade: a n r b n, n N Sabemos também que quando um tal número r existe, então não é possível existir um outro número s racional, diferente de r e que também satisfaça as condições a n s b n para todo n N. É essa a razão pela qual, quando a n r b n para todo n N, podemos dizer que o par de Cauchy {a n, b n } determina o número racional r. Nesse caso seria fácil obtermos um outro par de Cauchy, diferente de {a n, b n } e que também determina o mesmo número r. Com efeito, é suficiente tomarmos a n = a n 1 n + 1 b n = b n + 1 n + 1 para todo n N. É claro que a n a n, b n b n e a n a n r b n b n, isto é, a n r b n. O leitor pode verificar que {a n, b n} é um par de Cauchy e como a n r b n, então {a n, b n} determina o número r. Moral da história: um par de Cauchy pode determinar no máximo um número racional. Mas um número racional pode ser determinado por muitos pares de Cauchy diferentes.

11 Seção 4. Comparação de pares de Cauchy 9 4 Comparação de pares de Cauchy Definição 8. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n } nós dizemos que {a n, b n } é estritamente menor do que {c n, d n }, e escrevemos {a n, b n } < {c n, d n }, se existir algum índice n 0 N tal que b n0 < c n0 Geometricamente a definição acima significa isto: para n > n 0 : a n0 a n b n b n0 c n0 c n d n d n0 Definição 9. Dado dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n }, quando {a n, b n } < {c n, d n } nós dizemos que {c n, d n } é estritamente maior do que {a n, b n } e escrevemos {c n, d n } > {a n, b n }. Observação 10. Consideremos os dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n } tais que para todo n N, a n = b n = 1 e c n = 1 1 n + 1, d n = n + 1. É fácil ver que {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {c n, d n }. O leitor observa que tanto {a n, b n } como {c n, d n } determinam o mesmo número racional 1. Problema 11. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n }, {c n, d n }, suponhamos que existe um número racional r tal que a n r b n para todo n N (isto é, {a n, b n } determina o número r). Suponhamos ainda que {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {c n, d n }. Mostrar que {c n, d n } então determina o mesmo número racional r. Solução. Como {a n, b n } não é estritamente menor do que {c n, d n } podemos afirmar que para todo n N : c n b n (4) Como {a n, b n } não é estritamente maior do que {c n, d n }, concluímos que para todo n N: a n d n Para provarmos que {c n, d n } determina r precisamos mostrar que para todo n N temos: c n r d n.

12 Seção 4. Comparação de pares de Cauchy 10 Ora, se a afirmação: Para todo n N, c n r d n fosse falsa, então deveria existir um número natural n 0 tal que um desses dois casos seguintes aconteceria: 1 - o ) r < c n0 ; 2 - o ) d n0 < r. Vamos mostrar que (1 - o ) não pode ocorrer. De fato, se r < c n0, então c n0 r > 0 e para todo n n 0, c n r c n0 r > 0. Tomemos o número racional positivo c n0 r. Como {a n, b n } é um par de Cauchy, existe n 1 > n 0 tal que para todo n n 1 acontece isto: Então para todo n n 1 temos b n a n < c n0 r b n a n < c n r pois c n0 r c n r e b n a n < c n0 r para n n 1. Então concluímos que para n n 1 : b n c n < a n r (5) Mas em virtude do resultado (4) concluímos que b n c n 0 e portanto o resultado (5) acima implica que a n r > 0 para todo n n 1. Isso contraria a hipótese de ser a n r para todo n N. Deixamos a cargo do leitor mostrar que não podemos ter d n0 < r para nenhum n 0 N. Assim fica demonstrado que se {a n, b n } determina o número racional r e {c n, d n } é um par de Cauchy que não é nem estritamente maior nem estritamente menor do que {a n, b n }, então {c n, d n } determina o mesmo número racional r. O resultado acima serve de motivação para a seguinte definição: Definição 12. Dados dois pares de Cauchy {a n, b n } e {c n, d n }, dizemos que {a n, b n } é equivalente a {c n, d n } e escrevemos {a n, b n } {c n, d n } se {a n, b n } não é nem estritamente maior nem estritamente menor que {c n, d n }.

13 Seção 5. Adição de pares de Cauchy 11 Deixamos a cargo do leitor mostrar as seguintes propriedades da relação introduzida acima. Para facilitar a escrita usaremos letras gregas para indicar pares de Cauchy. I) α α para todo par de Cauchy α; II) α β = β α; III) Se α β e β γ, então α γ; IV) Se α α, β β e α > β, então α > β. Sugestão: para demonstrar a propriedade III, suponha que ela não seja verdadeira e mostre que isso conduz a absurdo. Tome α = {a n, b n }, β = {c n, d n }, γ = {e n, f n }. Então se α não é equivalente a γ, então ou α > γ ou γ > α. Mostre que nenhum desses casos pode ocorrer. Exercícios 13. 1) Sejam {a n, b n } e {c n, d n } dois pares de Cauchy. Mostre que {a n, b n } {c n, d n } se e só se para todo n, a n d n e c n b n. 2) Sejam r, s números racionais e {a n, b n } um par de Cauchy que determina r, e {c n, d n } um par de Cauchy que determina s. Mostre que {a n + c n, b n + d n } é um par de Cauchy que determina r + s. 3) Sejam r, s números racionais positivos, {a n, b n } um par de Cauchy que determina r e {c n, d n } um par de Cauchy que determina s. Suponhamos que para todo n N, a n > 0 e c n > 0. Mostre que {a n c n, b n d n } é um par de Cauchy que determina r. s e {1/b n, 1/a n } é um par de Cauchy que determina 1/r. 4) Seja m um número natural e {a n, b n } um par de Cauchy. Considere as seqüências a n, b n definidas do seguinte modo: b n = b m e a n = a m para n m b n = b n e a n = a n para n > m Mostre que {a n, b n} é um par de Cauchy equivalente a {a n, b n }. 5 Adição de pares de Cauchy Dados dois pares de Cauchy α = {a n, b n } e β = {c n, d n }, podemos formar o par de Cauchy {a n + c n, b n + d n }, que chamaremos de soma dos pares de Cauchy α e β e escreveremos: {a n, b n } + {c n, d n } = {a n + c n, b n + d n }

14 Seção 6. Multiplicação de pares de Cauchy 12 Vamos indicar com Ô o par de Cauchy {e n, f n } tal que e n = f n = 0 para todo n N. Dado o par de Cauchy α = {a n, b n }, podemos formar o par de Cauchy α = { b n, a n }, que chamaremos de simétrico de α. O leitor pode verificar que são válidas as seguintes propriedades, onde as letras gregas indicam pares de Cauchy: 1) α α e β β = α + β α + β ; 2) α α = α α ; 3) α+ Ô = α; 4) α+( α) Ô (Observe que não temos igualdade, e sim equivalência); 5) α + β = β + α; 6) (α + β) + γ = α + (β + γ); 7) α > β = α + γ > β + γ para todo par de Cauchy γ. 6 Multiplicação de pares de Cauchy Já sabemos que quando {a n, b n } e {c n, d n } são pares de Cauchy tais que para todo n N a n > 0 e c n > 0, então {a n c n, b n d n } também é um par de Cauchy. Se além disso {a n, b n } determinar o número racional positivo r e {c n, d n } determinar o número racional positivo s, então é fácil mostrar que {a n c n, b n d n } determina o número r. s. Em vista disso é natural que coloquemos a seguinte definição: Definição 14. Se α = {a n, b n } e β = {c n, d n } são pares de Cauchy tais que para todo n N, a n > 0 e c n > 0 então chamamos de produto de α por β o par de Cauchy {a n c n, b n d n } e escrevemos: {a n, b n } {c n, d n } = {a n c n, b n d n } Antes de prosseguirmos, vamos resolver o seguinte exercício: Exercício 15. Seja {a n, b n } um par de Cauchy estritamente maior que o par de Cauchy ˆ0 (veja página 12). Então existe um par de Cauchy {a n, b n} tal que {a n, b n } {a n, b n} e a n > 0 para todo n N. Solução. Como {a n, b n } > ˆ0, então existe um índice n 0 N tal que a n0 > 0. Para todo n n 0 teremos a n > 0. Consideremos as seguintes seqüências a n, b n:

15 Seção 6. Multiplicação de pares de Cauchy 13 b n = b n0 e a n = a n0 para n n 0 b n = b n e a n = a n para n > n 0 O leitor pode verificar que {a n, b n} é um par de Cauchy equivalente a {a n, b n } e tal que para todo n N, a n > 0. Vamos escolher, no exemplo acima, o índice n 0 de tal modo que a n0 seja o primeiro termo maior do que zero na seqüência a n (isto é, a n0 > 0 e a j 0 para j < n 0 ). Diremos então que {a n, b n} é o par de Cauchy associado a {a n, b n }. Definição 16. Sejam {a n, b n }, {c n, d n } pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0. Seja {a n, b n} o par associado a {a n, b n } e {c n, d n} o par associado a {c n, d n }. (Sabemos então que a n > 0 e c n > 0 para todo n e {a n, b n } {a n, b n}, {c n, d n } {c n, d n}, colocamos por definição: {a n, b n } {c n, d n } = {a nc n, b nd n}) Exercícios 17. As letras gregas indicam pares de Cauchy estritamente maiores do que 0. Mostre que: 1) α β = β α 2) (α β) γ = α (β γ) 3) α α, β β = α β α β 4) Seja ˆ1 o par de Cauchy {e n, f n } tal que e n = f n = 1 para todo n. Seja α um par de Cauchy estritamente positivo. Verifique que α ˆ1 α 5) Seja α = {a n, b n } um par de Cauchy tal que a n > 0 para todo n, e consideremos o par de Cauchy α 1 = { 1/ b n, 1/a n }. Mostre que α α 1 ˆ1. O par α 1 é chamado o inverso de α. 6) Sejam α e β dois pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0 e seja α o par de Cauchy associado a α, e β o par de Cauchy associado a β. Mostre que α β = (α ) 1 (β ) 1 (isto é, se dois pares de Cauchy estritamente maiores do que ˆ0 são equivalentes, então os inversos de seus respectivos associados também são equivalentes).

16 Seção 7. Os números reais 14 7 Os números reais Seja Q o conjunto dos números racionais. Sabemos que Q Q é o conjunto dos pares ordenados de números racionais, isto é: Ora, as funções f : N Q Q chamar de A. Q Q = {(a, b) a Q e b Q} formam um conjunto que podemos Que é um elemento de A? Um elemento de A é uma função f : N Q Q que pode ser pensada como um par de seqüências de números racionais {a n, b n }. Em particular um par de Cauchy pertence a A, isto é, os pares de Cauchy formam um subconjunto de A. Seja então o conjunto dos pares de Cauchy e já sabemos que A. Dado um par de Cauchy α, vamos junta num conjunto α todos os pares de Cauchy equivalentes a α. Isto é, α = {α α α} Diremos que α é o número real determinado pelo par de Cauchy α. O par de Cauchy α é então chamado um representante do número real α. Vamos mostrar que dois pares de Cauchy equivalentes determinam o mesmo número real, isto é: Proposição 18. α β = α = β. Demonstração. Como α e β são subconjuntos de, para provarmos que α = β temos que mostrar que α β e β α. Por definição temos: α = {α α α} β = {β β β} e por hipótese sabemos que α β. Então β α, pois β α. Dado β β, temos β β e como β α, temos β α, isto é β α. Portanto todo elemento de β é também elemento de α, isto é β α. De modo análogo podemos mostrar que α β e assim fica provado que α β = α = β Vamos chamar de R o conjunto de todos os números reais.

17 Seção 7. Adição de números reais 15 Definição 19. Sejam α e β dois números reais. Dizemos que α é estritamente maior do que β e escrevemos α > β se para todo α α e todo β β acontece isto: α > β (isto é, o par de Cauchy α é estritamente maior que o par de Cauchy β ). O leitor pode verificar que é válido o seguinte resultado: Proposição 20. Dados dois números reais α e β então acontece um e um só dos seguintes casos: 1 - o ) α = β ; 2 - o ) α > β ; 3 - o ) β > α. Exercício 21. Sejam α, β dois pares de Cauchy tais que α > β. Mostre que α > β, isto é, se α β e β β então α > β. 7.1 Adição de números reais Sejam α, β dois números reais. Seja α β um representante de α, e β β um representante de β, como α e β são pares de Cauchy nós podemos formar o par de Cauchy α + β, e depois tomamos o número real determinado por α + β. Com essas notações: Definição 22. α + β = (α + β ) Observação 23. A soma de dois números reais está bem definida, pois se em lugar de α α tivéssemos tomado α α e em lugar de β β escolhêssemos β β, teríamos (conforme exercício da página 12): α + β α + β como dois pares de Cauchy equivalentes determinam o mesmo número real (veja Proposição 18). Temos: (α + β ) = (α + β ) Observação 24. A razão pela qual passamos dos pares de Cauchy aos números reais é que desse modo conseguimos substituir a relação de equivalência entre pares de Cauchy pela relação de igualdade entre números reais. Intuitivamente dois pares de Cauchy equivalentes {a n, b n } e {a n, b n} tais que a n a n ou b n b n não devem apenas por causa dessa circunstância ser considerados diferentes pois, sendo equivalentes, determinam o mesmo número, conforme vimos em exemplos anteriores a propósito de números racionais. (Por exemplo, os pares de Cauchy {a n, b n } e {a n, b n} tais que a n = b n = 0 e a n = 1/(n + 1), b n = 1/(n + 1) determinam o número 0).

18 Seção 7. Adição de números reais 16 Proposição 25. Sejam α, β e γ números reais. Então: Demonstração. α > β α + γ > β + γ exercício Definição 26. Seja r um número racional e consideremos o par de Cauchy ˆr = {a n, b n } tal que para todo n natural, a n = b n = r. O número real determinado pelo par de Cauchy ˆr será escrito r. Seja α um número real. Vamos mostrar que a equação tem no máximo uma solução. α + x = 0 De fato, suponhamos que x 1 e x 2 fossem dois números reais diferentes e tais que α + x 1 = 0 α + x 2 = 0 Como x 1 x 2, em virtude da Proposição 20 podemos admitir por exemplo que x 1 > x 2. Ora, a Proposição 25 acima garante-nos que x 1 > x 2 x 1 + α > x 2 + α e assim vemos que se x 1 + α = 0, então 0 > x 2 + α isto é, x 2 não é solução da equação dada. Portanto a equação acima tem no máximo uma solução. O leitor pode verificar sem dificuldade que, se {a n, b n } é um par de Cauchy representante de α, então o par de Cauchy { b n, a n } tem a seguinte propriedade: {a n, b n } + { b n, a n } ˆ0 Desse modo, chamando de α o número real determinado pelo par de Cauchy { b n, a n }, temos α + ( α ) = 0 Fica pois mostrada a seguinte Proposição 27. Dado o número real α, a equação α + x = 0 tem uma única solução. Essa solução é indicada com a notação α. Isto é, α + ( α ) = 0. A adição de números reais tem propriedades semelhantes as da adição de números racionais. Isto é, sendo α, β, γ números reais o leitor pode verificar que são válidas as seguintes propriedades:

19 Seção 7. Multiplicação de números reais 17 α + β = β + α (α + β ) + γ = α + (β + γ ) α + 0 = α Para todo α real existe um número real α tal que α + ( α ) = Multiplicação de números reais À página 12 tratamos da multiplicação de dois pares de Cauchy estritamente maiores de que ˆ0. Vamos agora usar os resultados lá obtidos para discutirmos agora a multiplicação de números reais. Definição 28. Sejam α e β dois números reais estritamente maiores do que 0. Sejam {a n, b n } um par de Cauchy representante de α e {c n, d n } um par de Cauchy representante de β. Então esses dois pares de Cauchy são ambos estritamente maiores do que ˆ0. De acordo com a definição dada na página 12 podemos considerar o produto desses dois pares de Cauchy {a n, b n } {c n, d n } que vamos chamar de γ. Então, por definição, α β = γ. Observação 29. Suponhamos que {a n, b n } e {a n, b n} sejam dois pares de Cauchy equivalentes que determinam o número real estritamente maior do que 0, α. Sejam {c n, d n } e {c n, d n} dois pares de Cauchy equivalentes que determinam o número real estritamente maior do que 0, β. Então, conforme o exercício 3 da página 11, {a n, b n } {c n, d n } {a n, b n} {c n, d n}. Assim sendo, temos ({a n, b n } {c n, d n }) = ({a n, b n} {c n, d n}) Isso mostra que quando α, β são dois números reais estritamente maiores do que 0, então o produto α β definido acima está de fato bem definido e não depende de como escolhemos um representante para α e outro representante para β a fim de, a partir deles, determinarmos α β. Para completarmos a definição do produto de dois números reais, precisamos tratar dos casos em que ao menos um dos fatores não é um número real estritamente maior do que 0. Definição 30. Seja α um número real qualquer. Então colocamos: α 0 = 0

20 Seção 7. Multiplicação de números reais 18 Observação 31. Suponhamos que α seja um número real estritamente menor do que 0. Então o leitor pode verificar que α é um número real estritamente maior do que 0. Definição 32. Sejam α e β dois números reais tais que α é estritamente menor do que 0 e β é estritamente maior do que 0. Então colocamos α β = (( α ) β ) Definição 33. Sejam α e β dois números reais estritamente menores do que 0. Então colocamos α β = ( α ) ( β ) Observação 34. Com as quatro definições estudadas acima, o produto de dois números reais fica definido em todos os casos possíveis. O leitor pode verificar que a multiplicação de números reais tem propriedades semelhantes às da multiplicação de números racionais: 1 - o ) α β = β α ; 2 - o ) (α β ) γ = α (β γ ); 3 - o ) α (β + γ ) = α β + α γ ; 4 - o ) α 0 = 0 ; 5 - o ) α β = 0 α = 0 ou β = 0 ; 6 - o ) α 1 = α ; 7 - o ) Se α < β e γ > 0 então α γ < β γ ; 8 - o ) Se α, β são números reais e α 0 então existe um único número real γ tal que α γ = β Tal número real γ é indicado com a notação γ = β α.

21 Seção 7. Os números reais e os números racionais Os números reais e os números racionais Proposição 35. Sejam α um número real e d um número racional positivo. Então existem números racionais r e s tais que r < s, s r < d e r < α < s (Para a definição de r veja a página 16). Demonstração. Dado o número real α, seja {a n, b n} um par de Cauchy representante de α. É fácil conseguirmos um outro par de Cauchy {a n, b n }, equivalente a {a n, b n}, tal que a seqüência a n seja estritamente crescente (isto é, a j < a j +1 para j N) e b n seja estritamente decrescente (isto é, b j +1 < b j para j N). Como {a n, b n } é um par de Cauchy, dado o nosso número racional d > 0 existe n 0 tal que para n n 0, acontece isto: b n a n < d. Em particular, temos b n0 a n0 < d. Tomemos r = a n0 e s = b n0. Então r < s, s r < d, e como ˆr < {a n, b n } < ŝ, então r < α < s Observação 36. Na proposição acima, se tivermos α > 0 conseguimos um número racional r tal que 0 < r < α. Exercícios 37. 1) Sejam α, β dois números reais tais que α < β. Mostre que existe um número racional q tal que α < q < β. 2) Sejam α, β dois números reais estritamente positivos.mostre que existe um número natural n tal que α < n β. 3) Mostre que não existe nenhum número racional h tal que h 2 = 3. 4) Mostre que existe um número real positivo α tal que α 2 = 3 (Sugestão: dê um par de Cauchy que represente o α pedido). Vamos agora considerar a função ϕ : Q R que a cada número racional r associa o número real r (veja página 16). Quais são as propriedades da função ϕ? O leitor pode verificar facilmente que para todo a, b, Q: 1 - a ) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) isto é, (a + b) = a + b ; 2 - a ) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) isto é, (a b) = a b ; 3 - a ) Se a < b então ϕ(a) < ϕ(b) isto é, a < b = a < b ;

22 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais a ) Vamos agora considerar a imagem Q em R do conjunto Q através da função ϕ. Isto é, Q = ϕ(q) R. O conjunto Q é por assim dizer uma cópia do conjunto Q pois em Q operamos com os elementos de Q da mesma maneira como operamos com os elementos de Q. A (3 a -) propriedade acima nos mostra que se a, b Q e a b então a b. Podemos então tratar os elementos de Q como se fossem números racionais. É nesse sentido que podemos dizer que os números racionais Q formam um subconjunto dos números reais. A proposição 35 pode agora ser vista deste modo: dado um número real α e um número racional d > 0, sempre existem números racionais r e s cuja distância a α é menor do que d, tais que r < α < s. 7.4 Interpretação geométrica dos números reais Sobre uma reta marcamos dois pontos distintos O, U, escolhemos como sentido positivo de percurso da reta o que vai de O para U: O U P Em seguida, dado um número racional p qualquer, marcamos na reta acima o ponto P de tal modo que a medida algébrica do segmento OP feita com a unidade OU seja expressa pelo número dado p. (Assim, se p > O, então o ponto P se ache à direita de O, e se p < O, o ponto P está à esquerda de O). Assim a cada número racional p podemos associar um ponto bem determinado, P, de nossa reta. Se chamássemos de Q o conjunto de todos os pontos de nossa reta que são correspondentes de números racionais, então aconteceria o seguinte: há pontos na nossa reta que não pertencem a Q! Isto é, existem em nossa reta acima, pontos I que não são correspondentes de nenhum número racional, pois o segmento OI não pode ser medido algebricamente com o segmento OU de maneira que a medida seja um número racional. Dado o número real α, suponhamos que {a n, b n } seja um par de Cauchy representante de α. Os termos a n, b n são números racionais. Vamos então, para cada n N, achar os pontos A n e B n correspondentes a a n e b n, respectivamente. Pois bem, existe na reta um e um só ponto A tal que para todo n, A pertence ao segmento de extremidades A n e B n : É natural então associarmos o número real α ao ponto A acima descrito. Com isso acontece o seguinte: cada ponto da reta é o correspondente de um

23 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 21 A 1 A 2 A n A B n B 2 B 1 único número real e cada número real pode ser representado na nossa reta através de um único ponto. A proposição 35 significa geometricamente que perto de cada ponto A que representa um número real α é sempre possível encontrar pontos R e S tais que A pertence ao segmento de extremos R e S, e R e S são pontos correspondentes a números racionais: A R S Exercício 38. Sejam α n uma seqüência crescente de números reais, e β n uma seqüência decrescente de números reais tais que para todo n N, α n β n. Mostre que se p, q são dois números naturais quaisquer, então α p β q. Proposição 39. Sejam α um número real e {r n, s n } um par de Cauchy que determina o número real ρ. Suponhamos que para todo n N, α < s n. Então α ρ. Demonstração. Seja {a n, b n } um par de Cauchy representante do número real α. Precisamos mostrar que {a n, b n } não é estritamente maior do que {r n, s n }. Que aconteceria se {a n, b n } fosse estritamente maior do que {r n, s n }? Então existiria um número natural n 0 tal que s n0 < a n0 (6) Seja {e n, f n } o par de Cauchy tal que para todo n N, e n = f n = s n0. Então, em virtude de (6), teríamos: {e n, f n } < {a n, b n } (7) Mas {e n, f n } determina o número real s n 0 e {a n, b n } determina o número real α. Logo, (7) implica que s n 0 < α e isso contraria a hipótese de ser α < s n para todo n N. 1 1

24 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 22 Exercício 40. Sejam β um número real e {r n, s n } um par de Cauchy que determina o número real ρ. Suponhamos que para todo n N, r n < β. Mostre que então ρ β. Observação 41. O leitor deve notar na proposição 42 seguinte que as seqüências α n, β n de números reais que lá consideramos têm propriedades semelhantes as das seqüências de números racionais que entram na formação de um par de Cauchy. Proposição 42. Sejam α n, β n duas seqüências de números reais tais que 1 - o ) α n é crescente e β n é decrescente; 2 - o ) α n β n para todo n N; 3 - o ) Dado qualquer número real positivo ɛ, existe um número natural n 0 (que pode depender de ɛ) tal que para todo n n 0 β n α n < ɛ Então existe um e um só número real ρ tal que α n ρ β n para todo n N. Observação 43. Quando estudamos pares de Cauchy {a n, b n }, onde a n, b n eram números racionais, vimos que nem sempre existia um número racional r tal que a n r b n para todo n N. Na proposição 42 acima estamos considerando pares de Cauchy {α n, β n}, onde agora α n, β n são números reais. A proposição 42 então afirma que nesse caso sempre existe um número real ρ tal que α n ρ β n para todo n N. Demonstração. (da Proposição 42) Primeiramente vamos exibir um número real ρ que tem a propriedade enunciada na proposição 42, isto é, α n ρ β n para todo n N. Para apresentarmos ρ basta que demos um par de Cauchy {r n, s n }, representante de ρ. O par de Cauchy {r n, s n } é construído definindo as seqüências r n, s n por indução do seguinte modo: Para n = 0, tomamos como r 0 um número racional menor do que α 0 e tal que α 0 r 0 < 1;

25 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 23 Suponhamos que já foram definidos os termos r n para n = 0, 1,..., p, de maneira que r 0 < r 1 <... < r p, r n < α n e α n r n < 1 n + 1 Vamos então definir o termo seguinte, r p+1 : Como α αp+1 que, para n = 0,..., p e r p < α p, podemos tomar um número racional r p+1 tal r p < r p+1 < α p+1 α p+1 r p+1 < 1 p + 2 Está pois completamente definida a seqüência r n e podemos lembrar outra vez quais são suas propriedades: r n é crescente; r n < α n para todo n N; α n r n < 1 n + 1 para todo n N. De modo parecido podemos definir a seqüência s n de maneira tal que s n é decrescente; β n < s n para todo n N; s n β n < 1 n + 1 para todo n N. r n s n α n β n Afirmamos que {r n, s n } é um par de Cauchy. É claro que r n s n para todo n, pois r n < α n β n < s n. Pela definição de r n e s n, vemos que r n é crescente e s n é decrescente. Falta apenas verificarmos a 3 - a condição da definição de

26 Seção 7. Interpretação geométrica dos números reais 24 um par de Cauchy. Isto é, precisamos mostrar que dado qualquer número racional d > 0, existe n 0 N tal que para n n 0, s n r n < d Ora, dado o nosso d > 0, conseguimos um n 1 natural tal que para n n 1 β n α n < d 3 (usando a nossa hipótese 3 sobre as seqüências α n e β n). Agora tomamos n 0 > n 1 tal que É claro que para n n 0, teremos portanto Assim, para n n 0, temos 1 n < d 3 1 n + 1 < d. Finalmente, observamos que 3 s n r n = s n β n + β n α n α n r n s n r n = (s n βn) + (βn αn) + (αn r n ) < 1 n (β n αn) + 1 n + 1 s n r n < d 3 + d 3 + d 3 = d O par de Cauchy {r n, s n } determina o número real ρ. É fácil ver que (conforme exercício da página 21) dados dois números naturais p, q quaisquer, α p < s q (8) Usando a proposição 39, concluímos de (8) que α p ρ para todo número natural p. De modo análogo podemos mostrar que ρ β p para todo p N. Deixamos a cargo do leitor mostrar que não pode existir um outro número real σ, diferente de ρ, tal que α n σ β n para todo n N.

27 Seção 7. Supremo e ínfimo Supremo e ínfimo Daqui por diante os números reais serão indicados quase sempre com letras latinas minúsculas e eventualmente com letras gregas minúsculas, mas sem o asterisco ( ). Definição 44. Seja A um conjunto não vazio de números reais. Dizemos que A é superiormente limitado se existe algum número real M tal que para todo a A, a M. Definição 45. Seja A um conjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. Dizemos que o número real s é o supremo de A se estão satisfeitas as duas seguintes condições: 1 - a ) a s, a A; 2 - a ) Se r é um número real tal que a r para todo a A, então s r. Observação 46. A segunda condição acima na definição de supremo nos diz que entre todos os números reais que majoram o conjunto A, o número s é o menor. Exemplo 47. Seja A = {x R x < 1}. Vamos mostrar que o supremo de A é 1. De fato, pela própria definição de A, a < 1, a A Suponhamos que o número real r seja tal que a r, a A. Vamos mostrar que 1 r. De fato, em caso contrário teríamos r < 1. Ora, o número x = (r + 1)/ 2 é maior do que r e menor do que 1. Portanto r não satisfaz a condição de ser maior ou igual a qualquer elemento de A. Fica assim mostrado que o supremo de A é de fato 1. Definição 48. Seja A um conjunto não vazio e inferiormente limitado de números reais. Então o número real m é chamado o máximo de A se estão satisfeitas as duas seguintes condições: 1 - a ) m A; 2 - a ) a m, a A. Observação 49. É claro que se um conjunto A tem máximo m, então m é também o supremo de A. O conjunto A = {x R x < 1} tem supremo final a 1, mas não tem máximo, pois 1 / A.

28 Seção 7. Supremo e ínfimo 26 Exercícios 50. Ache o supremo dos seguintes conjuntos: B = {x R 7x + 1 < 4x + 5} { } 1 F = y R y + 1 < 0 Proposição 51. Seja A um conjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. Então existe um número real σ tal que σ é o supremo de A. Demonstração. Se o conjunto A tiver um máximo m, então é claro que m também é o supremo de A. Vamos então supor que o nosso conjunto A não tem máximo e vamos provar que existe o supremo de A. Constituiremos duas seqüências r n, s n de números reais de modo que 1 - o ) r n é crescente, s n é decrescente; 2 - o ) para todo n N, r n < s n ; 3 - o ) dado ɛ > 0, existe n 0 N tal que para n n 0, s n r n < ɛ; 4 - o ) para cada n N, a s n, a A; 5 - o ) para cada n N, existem elementos a A tais que r n < a < s n As seqüências r n e s n são definidas por indução do seguinte modo: Como A é não vazio e superiormente limitado podemos considerar dois números reais, r 0 e s 0 tais que r 0 A (pois A ) a < s 0, a A (pois A: superiormente limitado) Consideremos o número real m 1 = r 0 + s 0 2 r 0 n 1 s 0 Dois casos são possíveis (visto A não ter máximo, por hipótese) 1 - o ) a < m 1, a A;

29 Seção 7. Supremo e ínfimo o ) a A tal que m 1 < a. No primeiro caso tomamos: No segundo caso tomamos: r 1 = r 0 e s 1 = m 1 r 1 = m 1 e s 1 = s 0 Suponhamos que já foram escolhidos os números reais r n, s n para n = 0,..., p de maneira tal que 1 - o ) r n r n+1 < s n+1 s n para n = 0,..., p o ) a < s n a A, n = 0,..., p 3 - o ) Para cada n = 0,..., p, existe a A tal que r n < a < s n 4 - o ) s n r n = s 0 r 0 2 n Vamos então dizer como tomar os termos seguintes r p+1 e s p+1 : r p m 1 s p Consideramos o número real m p+1 = (s p + r p )/2. Então (pela hipótese de A não ter máximo) são possíveis dois casos: 1 - o ) a < m p+1, a A; 2 - o ) existem a A tais que m p+1 < a. No primeiro caso definimos No segundo caso definimos, r p+1 = r p e s p+1 = m p+1 r p+1 = m p+1 e s p+1 = s p O leitor pode verificar que as seqüências r n e s n satisfazem as 5 propriedades enunciadas no começo desta demonstração, isto é, à página 26. Em particular as três primeiras propriedades implicam, pela proposição 42, que as seqüências r n e s n determinam um número real σ tal que para todo n N: r n < σ < s n

30 Seção 7. Supremo e ínfimo 28 Vamos mostrar que σ é o supremo de A: 1 o -) a σ, a A De fato, suponhamos que isso não fosse verdade. elemento x A tal que σ < x. Então existiria um σ x Como x σ > 0, podemos achar um número natural n 0 tal que s n0 r n0 < ɛ, isto é, s n0 r n0 < x σ. Mas isso é absurdo pois r n0 < σ e x < s n0 (Observe que s n0 r n0 < x σ σ r n0 < x s n0. Como r n0 < σ, então σ r n0 > 0. Como x < s n0, então x s n0 < 0. Um número negativo não pode ser maior que um positivo). Está então mostrado que para todo a A: a σ 2 - o ) Se ρ é um número real tal que a ρ, a A, então σ ρ. Em outras palavras, precisamos mostrar que qualquer número real menor do que ρ é superado por algum elemento de A. De fato, dado δ > 0, consideremos número real σ δ. Podemos achar um número natural n 0 tal que s n0 r n0 < δ como σ < s n0, temos σ r n0 < δ. Portanto como r n0 < σ, temos σ δ < r n0 < σ. Ora, como existem elementos a A tais que r n0 < a < s n0, concluímos que existem números a A tais que σ δ < a Então σ δ não é maior ou igual a qualquer elemento de A. Como δ > 0 é arbitrário concluímos que se ρ a, a A, então δ σ. Isto é, σ é o supremo de A. Definição 52. Um subconjunto não vazio de números reais, B, é inferiormente limitado se existe um número real m tal que m b, b B. Definição 53. Seja B um subconjunto não vazio e superiormente limitado de números reais. O número real f é o ínfimo de B se as duas condições seguintes estão verificadas: 1 - a ) f b, b B; 2 - a ) Se g b, b B, então g f. Deixamos a cargo de leitor a demonstração da seguinte proposição: 1

31 Seção 7. Supremo e ínfimo 29 Proposição 54. Seja B R um subconjunto não vazio e inferiormente limitado de números reais. Então existe um número real f tal que f é o ínfimo de B.