Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos

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1 MAT 1351 Cálculo para funções uma variável real I Curso noturno de Licenciatura em Matemática 1 semestre de 2016 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos Definição de função contínua. Sejam I intervalo de R, f : I R uma função dada e x I dado. f é dita contínua em x se lim f(x). f é dita contínua em I (ou, simplesmente, contínua) se é x x contínua em todos os pontos de I. Exercício 1. Dê a definição de função contínua usando ε e δ. Marque as principais diferenças entre as definições de limite de uma função em um ponto e de função contínua. O conceito de continuidade de uma função é pontual. Ou seja, dizemos que uma função é contínua em um ponto. Outros conceitos, já encontrados, são só globais: invertibilidade, limitação de uma função, monotonia. Não faz sentido, por exemplo, dizer que uma função é limitada (ou inversível, ou crescente) em um ponto. Em particular, não faz sentido dizer que uma função é constante em um ponto. Exemplos: diretamente da definição segue que são contínuas: os polinômios P (x), as funções racionais P (x)/q(x) nos pontos x tais que Q(x) 0. Vamos ver em seguida uma prova do fato que n x é contínua. Ou seja: podemos provar com a definição (uso de ε e δ) que lim x = x e, dado n N que lim n x = n x. Isto dá a continuidade das funções x x x x raizes em todos os pontos. Nas próximas aulas vamos ver uma demonstração mais fácil deste fato. Definição: se f : I R é descontínua em x I, dizemos que x é um ponto de descontinuidade. Não faz sentido dizer que x é um ponto de descontinuidade para f se x não pertence ao domínio da função. Se um ponto não pertence ao domínio de uma função, simplesmente ele é desconsiderado em relação à continuidade ou descontinuidade. Exercício 2. Determine em quais pontos são contínuas as funções seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): 1/x se x 0 x se x 2 1/x, g(x) = 1 2x se x < 3. x + 3 se x > 1 x 2 se x > 1 g(x) = 1 se x = 1 2 x 2 se x < 1. x 2 se x < 1. Exercício 3. Determine em quais pontos são contínuas a função sinal, a função parte inteira e a função de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade). 1 se x < 0 Lembramos que a função sinal de x, definida em R, sign (x) = 0 se x = 0 1 se x > 0. 1 se x Q A função de Dirichlet, f : R R, 0 se x R \ Q. 1

2 2 Teorema (Álgebra das funções contínuas sem prova). Sejam f, g : I R contínuas em um ponto x I. Então, são contínuas em x: f + g, f g, f g, f/g se x 0. Teorema (sem prova). Seja f : I R contínua em x I. Seja J um intervalo que contém Im f e seja g : J R contínua em y = f(x). Então, g f é contínua em x. Exercício 4. Determine em quais pontos são contínuas as funções seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade): x/ x se x 0 x + 2 se x 0 x x se x < 0. x + x x 2 se x 0 [x] 2 x 2 Exercício 5. (muito díficil) Seja f : (0, 1] R definida como 1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m n) 0 se x é irracional. Prove que f é contínua nos pontos irracionais de (0, 1] e discontínua nos racionais. Vamos ver agora os teoremas clássicos das funções contínuas. Entre as consequências deles, poderemos finalmente definir a função raiz quadrada (mais em geral a raiz n-esima). Teorema 1 (Conservação do sinal). (com demonstração) Seja f : E R uma função contínua em um ponto x E. Suponhamos f(x) > 0. Então existe uma vizinhança de x, (x δ, x + δ), tal que f(x) > 0 para todo x (x δ, x + δ) E. O leitor não terá dificuldade em adaptar o resultado acima ao caso em que f(x) seja negativo. A demonstação do teorema acima se encontra no arquivo pdf complementos aula Exercício 6. Prove os três itens da álgebra das funções contínuas. Exercício 7. Prove (usando ε e δ) que a composição de funções contínuas é uma função contínua. Exercício 8. Prove o Teorema de conservação do sinal. A teoria das funções contínuas poderia ser elaborada para uma análise matemática baseada nos números racionais. Todos os resultados acima continuariam valendo. O seguinte não. Ele precisa do axioma da continuidade. Não é por acaso que é dado para funções definidas em intervalos. Teorema 2 (de anulamento). (com demonstração) Seja f : [a, b] R uma função contínua (em [a, b]). Suponhamos f(a) f(b) < 0. Então, existe um ponto c (a, b) tal que f(c) = 0. A demonstação do teorema acima se encontra no arquivo pdf complementos aula Exercício 9. Todas as hipóteses do enunciado acima são importantes para a demonstração (geralmente é assim: se um teorema é corretamente expresso, não tem hipóteses supérfluas). O leitor procure exemplos de funções contínuas em conjuntos que não são intervalos para as quais o teorema de anulamento não vale.

3 3 Exercício10. Prove que a equação x 3 + x = a possui uma e só uma solução real para cada a R dado. 11. Prove que a equação x 8 + 5x 5 6x 4 + 2x 3 + 3x 1 = 0 possui pelo menos uma solução real. Exercício 12. O teorema de anulamento é um teorema de existência e não fornece diretamente uma técnica para encontrar a solução de uma equação 0. Todavia, um algoritmo para aproximar soluções de equações 0 é fácil para ser determinado. Seja f : [a, b] R contínua e tal que f(a) f(b) < 0. Seja c 1 = a + b o ponto médio do intervalo. Se f(c 1 ) = 0, o problema é resolvido. Senão, 2 o novo intervalo [a 1, b 1 ] é obtido escolhendo aquela metade de [a, b] tal que f(a 1 ) f(b 1 ) < 0. Continuando o processo, não temos nenhuma certeza de encontrar uma solução, mas sim uma sua aproximação. Se, digamos, ao passo n, observamos que b n a n = b a, o ponto médio c do n-ésimo intervalo tem uma 2n distância menor de b a de uma solução da equação (embora não tenhamos a menor ideia de quem seja 2n+1 a solução exata). Consequência importante do Teorema de anulamento e o seguinte Teorema dos valores intermediários. Teorema 3 (dos valores intermediários). (com demonstração) Sejam I um intervalo de R e f : I R uma função contínua. Então, a imagem de f é feita por todos os valores entre inf(f) e sup(f). Observação 4. O teorema é falso se o domínio não é um intervalo (pense em 1/x que não admite zero como imagem). Corolário 5. Uma função contínua aplica intervalos em intervalos. Graças ao teorema dos valores intermediários podemos finalmente resolver o problema da imagem de x 2 (e de muitas outras funções). Pegamos por exemplo o domínio [0, 2] e f : [0, 2] R, definida por x 2. Pelas propriedades algébricas dos números reais sabemos provar que: a) f(x) 0 para todo x; b) f é estritamente crescente; c) atinge o máximo em x = 2 e o mínimo em x = 0; d) o máximo vale 4 e o mínimo 0. Portanto a imagem de f é contida em [0, 4], mas podemos afirmar que coincide com [0, 4] só usando o teorema dos valores intermediários. O teorema dos valores intermediários permite (finalmente) provar a existência da raiz quadrada de um número positivo. Seja de fato a > 0 dado e seja a função x 2 a. Tal função é negativa em zero e positiva para x suficientemente grande. Portanto se anula em um ponto b, evidentemente positivo. Ou seja existe b tal que b 2 = a. Este b é a raiz quadrada de a, cuja unicidade já foi provada. Portanto podemos definir agora f : [0, + ) R, x. Exercício 13. Raiz n-ésima. Analogamente podemos definir a raiz n-ésima de um número positivo se n for par, e de um número real qualquer se n for impar. O leitor pode provar que a raiz existe e que n x é definida em [0, + ) se n é par e em R se n é impar. O exercício seguinte concerne uma parte já tratada no curso. Aqui é um lembrete. Exercício 14. Potências com expoente racional. Usando a definição de raiz n-ésima e, em particular, o fato de que ela existe, podemos definir uma potência com expoente racional. Começamos definindo x 0 = 1 para cada x 0. Esta definição, absolutamente abstrata, permite a extensão das propriedades das potências aos casos que envolvem x 0 : sabemos que x m /x m = 1. por outro lado, se queremos aplicar x m /x m = x m m, a única possibilidade é dada da escolha acima.

4 4 Em seguida: dados x real e positivo e m, n inteiros positivos, definimos precisamente: x m/n = n x m = ( n x ) m. Podemos ir além: dados x R e m inteiro positivo, definimos As duas definições acima permitem definir x m = 1 x m. x m/n = n x m = ( n x ) m, x > 0, m, n Z, m, n 0. Observamos o seguinte. a) A função x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida em 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. b) A função x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida aos x 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores e raizes de índice par de números negativos. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. c) O leitor prove que as potências de expoente racional verificam as clássicas propriedades das potências: x r x s = x r+s, x r y r = (xy) r, (x r ) s = x rs. (O caso do expoente inteiro é imediato e não precisa ser aprofundado.) d) A potência 0 0 não é definida. O leitor pode tentar explicar quais possíveis problemas encontraria uma tentativa de associar um valor a 0 0. Observação 6. O passo seguinte seria a definição de potência com expoente real. Nos cursos de Cálculo não é dedicado muito espaço ao aprofundamento deste conceito, e são usadas sem grandes problemas funções do tipo x α, onde x é real e positivo e α é real, e a x, onde a é real e positivo e x é real. (É inclusive definida a função x x para todo x real e positivo.) Fica claro que, por exemplo, 2 π não pode significar o produto do número 2 por si π vezes. Uma possibilidade para definir 2 π e obté-lo como um processo de aproximação de sequências de potências 2 m/n quando os expoentes racionais aproximam π. Mais simplesmente podemos definir 2 π = sup2 m/n, onde m, n N, e m/n < π}. por esta via não é particularmente difícil (mas não é totalmente trivial) provar que 2 x é estritamente crescente. Fica mais complicado todavia provar a continuidade e a derivabilidade. Uma outra aplicação do teorema dos valores intermediários é a existência de, pelo menos, uma solução real de qualquer equação polinomial de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) é um polinômio de grau impar, lim x + P (x) = + se o coeficiente da potência de grau máximo é positivo (, se negativo) e lim x P (x) = (+, se aquele coeficiente é negativo). Exercícios: 15. Construa algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um número positivo e para determinar uma solução (aproximada) de uma equação polinomial de grau impar (escolha o polinômio e o erro na aproximação). 16. Seja f : R R contínua. Suponhamos que x 5 < f(x) < x + 1 para cada x R. Prove que a equação 0 possui pelo menos uma solução. 17. Procure Im f, onde f é a função do exercício acima.

5 É interessante a relação entre continuidade e invertibilidade de uma função. É importante lembrar (ou observar, se não lembra) que é óbvio que uma função estritamente monótona é inversível. O vice-versa é falso. Exercício 18. Consideramos as funções seguintes: g(x) = x 1 se x [2, 3] 3 x se x [1, 2] h(x) = 5 x se x [2, 3] Desenhe o gráfico de f, g e h. Determine se são contínuas, inversíveis, monótonas, e se o domínio é um intervalo. Se são inversíveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se são contínuas, monótonas, e se o domínio é um intervalo. Em particular, a função f do exercício é contínua e inversível, mas a inversa é descontínua. A h é contínua e inversível, mas não é monótona. Esta falta de propriedade acontece porque o domínio não é um intervalo. Teorema (monotonia de uma função inversível). contínua e inversível. Então é monótona. (Sem prova) Seja I intervalo, f : I R O resultado mais importante é o seguinte (cuja prova é baseada no teorema acima) Teorema (continuidade da função inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I R contínua e inversível. Então a função inversa f 1 é contínua. A continuidade da função n x, definida em [0, + ) se n é par, e em R se n é impar, é uma conseqüência do teorema acima, embora possa ser provado provado que lim x x x = x (aula 25 março). Concluímos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso. Lembre que, dada f : A R, onde A é um conjunto qualquer, o máximo de f é definido como o máximo da imagem de f, se existe. Enquanto o mínimo de f é definido como o mínimo da imagem de f (se existe). Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma função f : [a, b] R contínua possui máximo e mínimo. Exercícios: 19. Seja f : [0, 1] R, x [x] ([x] é a parte inteira de x). Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 20. Seja f : [0, 1) R, x. Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 21. Seja f : [0, + ) R, x. Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada? 22. Procure exmplos de funções que não respeitam algumas das hipóteses do Teorema de Weierstrass, mas que possuem máximo e mínimo. 5

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