Givanildo Donizeti de Melo. Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n

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1 Givanildo Donizeti de Melo Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n São José do Rio Preto 2016

2 Givanildo Donizeti de Melo Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de São José do Rio Preto. Orientadora: Prof a Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis São José do Rio Preto 2016

3 Melo, Givanildo Donizeti de. Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n / Givanildo Donizeti de Melo. -- São José do Rio Preto, f. : il. Orientador: Thaís Fernanda Mendes Monis Dissertação (mestrado) Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática. 2. Topologia algébrica. 3. Teoria da dimensão (Topologia). 4. Mergulhos (Matemática) 5. Espaços de funções. I. Monis, Thaís Fernanda Mendes. II. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título. CDU Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto

4 Givanildo Donizeti de Melo Sobre a dimensão do quadrado de um espaço métrico compacto X de dimensão n e o conjunto dos mergulhos de X em R 2n Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de São José do Rio Preto. COMISSÃO EXAMINADORA Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis UNESP - Rio Claro Orientadora Prof. Dr. Thiago de Melo UNESP - Rio Claro Prof. Dr. Daniel Vendrúscolo UFSCar - São Carlos São José do Rio Preto 23 de março de 2016

5 Resumo Nesse trabalho nós estudamos o seguinte resultado: para um espaço métrico compacto X, de dimensão n, o subespaço dos mergulhos de X em R 2n é denso no espaço das funções contínuas de X em R 2n se, e somente se, dim(x X) < 2n. A demonstração apresentada é aquela dada por J. Krasinkiewicz e por S. Spiez. Palavras-chave: Dimensão. Mergulhos. Espaços métricos compactos.

6 Abstract In this work we study the following result: given a compact metric space X of dimension n, the subspace consisting of all embeddings of X into R 2n is dense in the space of all continuous maps of X into R 2n if and only if dim(x X) < 2n. The presented proof is the one given by J. Krasinkiewicz e por S. Spiez. Keywords: Dimension. Embeddings. Compact metric space.

7 Sumário 1 Teoria de dimensão A pequena dimensão indutiva Teoremas de separação e de alargamento para dimensão zero Resultados da teoria de dimensão para espaços de dimensão zero Vários tipos de desconexidade Os teoremas da soma, decomposição, adição, alargamento, separação e produto cartesiano Caracterização da dimensão em termos de funções em esferas Grande dimensão indutiva Dimensão por cobertura Espaço de Baire Mergulho de Variedades Teorema de MergerNöbeling A dimensão do produto cartesiano e mergulhos em R n A densidade dos mergulhos em R 2n de um espaço métrico compacto X de dimensão n implica dim(x X) < 2n Funções transversalmente triviais e mergulhos em R 2n Aplicação do Teorema

8 Introdução A teoria de dimensão apresenta um resultado clássico, devido a K. Menger e G. Nöbeling, que estabelece que todo espaço métrico compacto X de dimensão n pode ser mergulhado em R 2n+1. Mais forte, o resultado estabelece que toda função contínua de X em R 2n+1 pode ser aproximada por um mergulho. Se denotamos por C(X, R 2n+1 ) o espaço de todas as funções contínuas de X em R 2n+1, munido da métrica da convergência uniforme ρ(f, g) = sup{ f(x) g(x) }, x X e se denotamos por E(X, R 2n+1 ) o subespaço de C(X, R 2n+1 ) consistindo dos mergulhos de X em R 2n+1, então o Teorema de MengerNöbeling nos diz que E(X, R 2n+1 ) é denso em C(X, R 2n+1 ). A prova do Teorema de MengerNöbeling (Teorema 1.32) é uma aplicação do Teorema da Categoria de Baire (Teorema 1.26). Estabelecido o Teorema de MengerNöbeling, uma pergunta natural é: para quais espaços métricos compactos X tem-se a propriedade de que toda função contínua f : X R N ser aproximada por um mergulho? Por ora, sabemos apenas que uma condição suciente é que N seja maior que o dobro da dimensão de X. Em 1983, D. McCullough e L. R. Rubin [9] estabeleceram que essa condição também seria necessária no caso em que N é par. pode Acontece que alguns anos depois de publicado o artigo [9], J. Krasinkiewicz e K. Lorentz encontraram um furo na demonstração de um dos lemas cruciais para a conclusão do resultado. Mais tarde, D. McCullough e L. R. Rubin encontraram por si mesmos um contra-exemplo para o resultado que haviam estabelecido em [9]: para cada n 2, eles determinaram um espaço métrico compacto X com E(X, R 2n ) denso em C(X, R 2n ). Curiosamente, todos os contra-exemplos X dados por McCullough e Rubin possuíam a propriedade de que a dimensão do produto cartesiano X X era menor do que o dobro da dimensão de X. Denotando por dim(x) a dimensão do espaço métrico compacto X, a conjectura que então estabeleu-se foi: ``Dado um espaço métrico compacto X de dimensão n, tem-se E(X, R 2n ) denso em C(X, R 2n ) se, e somente se, dim(x X) < 2 dim(x). A conjectura acima foi provada verdadeira em [1] por A. N. Dranisnikov, D. Repovs e E.V. Scepin, nos seguintes termos: 2

9 [[1], Teorema 1.1] Seja X um espaço métrico compacto com dim(x) = n, n 1. Então, E(X, R 2n ) é denso em C(X, R 2n ) se, e somente se, dim(x X) < 2n. Independentemente, J. Krasinkiewicz provou em [4] uma das implicações da conjectura: [4] Seja X um espaço métrico compacto de dimensão n, n 1. Se o subespaço E(X, R 2n ) é denso em C(X, R 2n ) então dim(x X) < 2n. E S. Spiez, também independentemente, provou em [11] a outra implicação da conjectura, com a condição de que dim(x) 3: [11] Se X é um espaço métrico compacto de dimensão n 3 e dim(x X) < 2n então o espaço E(X, R 2n ) é denso em C(X, R 2n ). O objetivo desse trabalho é o de apresentar as demonstrações de J. Krasinkiewicz e de S. Spiez dadas em [4] e [11], respectivamente. O trabalho está organizado do seguinte modo: no Capítulo 1, apresentamos uma discussão razoável sobre a teoria de dimensão. Tal apresentação é baseada em [3]. A teoria de dimensão é um ramo da Topologia especializado na denição e no estudo da noção de dimensão em certas classes de espaços topológicos. Veremos que é possível denir a dimensão de um espaço topológico X de três modos diferentes: via a pequena dimensão indutiva ind(x), via a grande dimensão indutiva Ind(X) ou via a dimensão de cobertura dim(x). Essas três funções dimensão coincidem na classe dos espaços métricos separáveis, i.e., ind(x) = Ind(X) = dim(x) para todo espaço métrico separável X. Uma vez que todo espaço métrico compacto X é separável, quando estivermos tratando dos resultados de [4] e [11], todos os resultados discutidos para ind(x), Ind(X) e dim(x) poderão ser utilizados pois, nesse caso, esses números coincidem. O Teorema de MengerNöbeling é estabelecido ao nal do capítulo, na Subseção Teorema O Capítulo 2 é devotado propriamente aos resultados de [4] e [11]. 3

10 Capítulo 1 Teoria de dimensão Na teoria de dimensão existem três denições diferentes de dimensão topológica: a pequena dimensão indutiva, a grande dimensão indutiva e a dimensão por cobertura. Neste capítulo apresentaremos também alguns resultados desta teoria como o Teorema da Soma, do Produto Cartesiano, de coincidência entre outros. 1.1 A pequena dimensão indutiva Denição 1.1. Para todo espaço regular X a pequena dimensão indutiva de X, denotada por ind X, é um número inteiro maior ou igual a 1 ou o número innto. Denimos a dimensão ind da seguinte forma: (MU1) ind X = 1 X = ; (MU2) ind X n, onde n = 0, 1,..., se para todo x X e cada vizinhança V X de x existe um conjunto aberto U X tal que x U V e ind U n 1; (MU3) ind X = n se n 1 < ind X n; (MU4) ind X = se ind X > n para todo n = 1, 0, 1,.... A pequena dimensão indutiva ind é também chamada de dimensão de MengerUrysohn. 4

11 Dizemos que ind X > n 1 quando ind X n 1 não é satisfeito. Assumimos que as fórmulas n e n + = + n = + = são verdadeiras para todo n Z. Sejam X e Y espaços regulares. Se X e Y são homeomorfos então ind X = ind Y, i.e., a pequena dimensão indutiva é um invariante topológico. Exemplo 1.1. Se X é um espaço discreto então ind X = 0. A reciproca é falsa. Provaremos neste trabalho que ind Q = 0, assim como Q não é um espaço discreto temos um contra-exemplo para a reciproca do exemplo acima. Sabemos que todo subespaço M de um espaço regular X é também regular. Assim, se a dimensão ind é denida para X, ela também é denida para todo subespaço M de X. Teorema 1.1. Para todo subespaço M de um espaço regular X tem-se ind M ind X. Demonstração. O teorema é óbvio se ind X =. Assim, consideraremos o caso ind X <. Usaremos indução nita sobre ind X para provar o resultado. Claramente, a desigualdade é verdadeira se ind X = 1. Suponha por hipótese de indução que o teorema é válido para todo espaço regular com dimensão n 1. Suponha que ind X = n. Sejam M um subespaço de X, x M e uma vizinhança V M de x. Pela denição de topologia do subespaço, existe V 1 X aberto de X tal que V = M V 1. Como ind X n, existe U 1 X aberto de X tal que x U 1 V 1 e ind( U 1 ) n 1. O conjunto U = M U 1 é aberto em M e satisfaz x U V. A fronteira do conjunto U em M, M (U) = M (M U 1 ) (M\U 1 ). Assim a fronteira M (U) é um subespaço de (U 1 ). Como ind( U 1 ) n 1 segue por hipótese de indução que ind( M (U)) ind( U 1 ) n 1. Logo, ind M n. Portanto, ind M ind X = n. Denição 1.2. Seja X um espaço topológico. Sejam A e B subespaços disjuntos de X. Dizemos que um conjunto L X é uma partição entre A e B se existem conjuntos abertos U, W X satisfazendo as condições A U, B W, U W = e X\L = U W. (1.1) Claramente, a partição L é um subconjunto fechado de X. 5

12 Proposição 1.1. Um espaço regular X tem a pequena dimensão ind X n, com n 0 se, e somente se, para todo x X e cada conjunto fechado B X tal que x / B, existe uma partição L entre x e B tal que ind L n 1. Demonstração. Seja X um espaço regular tal que ind X n com n 0. Considere x X e um conjunto fechado B X tal que x / B. Como X é regular, existe uma vizinhança V X de x tal que V X\B. Por hipótese ind X n, logo existe um conjunto aberto U X tal que x U V e ind( U) n 1. Note que o conjunto L = U é uma partição entre x e B, pois os conjuntos abertos U e W = X\U satisfazem: {x} U, B X\V X\U = W, U W = e X\L = U W. Reciprocamente, suponha que para todo x X e cada conjunto fechado B X tal que x / B, existe uma partição L entre x e B tal que ind L n 1. Assim, dado x e uma vizinhança V X de x, existe L uma partição entre x e B = X\V tal que ind L n 1, com isso existem conjuntos abertos U e W satisfazendo as condições de (1.1). Temos, x U X\W X\B = V e U = (X\U) U (X\U) (X\W ) = X\(U W ) = L, assim ind U n 1. Portanto, ind X n. Observação 1.1. Obviamente, um espaço regular X satisfaz ind X n com n 0 se, e só se, X possui uma base B tal que ind U n 1 para todo U B. Lema 1.1. Se um espaço topológico X tem base enumerável, então toda base B de X contém uma família enumerável B 0 que é uma base para X Demonstração. Ver [3], página 6. A partir do lema acima, reescrevemos a Observação 1.1 na seguinte forma: Teorema 1.2. Um espaço métrico separável X satisfaz ind X n com n 0 se, e somente se, X tem base enumerável B tal que ind U n 1 para todo U B. 6

13 1.2 Teoremas de separação e de alargamento para dimensão zero Um espaço regular X tal que ind X = 0 será chamado um espaço de dimensão zero. Abaixo, reescrevemos os resultados da seção anterior para os espaços de dimensão zero. Proposição 1.2. Um espaço regular X é um espaço de dimensão zero se, e somente se, X é não vazio e para todo x X e cada vizinhança V X de x existe um conjunto aberto e fechado U X tal que x U V. Proposição 1.3. Todo subespaço não vazio de um espaço de dimensão zero é também de dimensão zero. Proposição 1.4. Um espaço regular X é de dimensão zero se, e somente se, X é não vazio e para todo x X e cada conjunto fechado B X tal que x / B o conjunto vazio é uma partição entre x e B. Proposição 1.5. Um espaço métrico separável X é de dimensão zero se, e somente se, X é não vazio e tem uma base enumerável de conjuntos abertos e fechados. Nesta seção introduziremos os teoremas de separação e o teorema de alargamento para dimensão zero. Antes disso, apresentamos alguns exemplos de espaços de dimensão zero. Exemplo 1.2. O espaço dos números irracionais, R\Q R, é de dimensão zero pois possui uma base enumerável que consiste de conjuntos abertos e fechados. A saber, os conjuntos da forma (R\Q) (a, b), onde a, b Q. Similarmente, Q R é de dimensão zero. Também Q n R n é de dimensão zero. Mais geralmente, se um espaço métrico (X, d) não vazio possui cardinalidade menor que a de R, então ind X = 0. De fato, para todo x X e cada vizinhança V X de x existe um número positivo r tal que B(x, r) V, já que V é aberto. Também existe t < r tal que d(x, y) t para todo y X, pois caso contrário todas as esferas de raio menor que r possuiriam um elemento de X e, assim, a cardinalidade de X seria pelo menos a do intervalo (0, r), que por sua vez é igual a de R, o que contradiz a hipótese. Note que U = B(x, t) satisfaz a condição x U V, é aberto e fechado, pois U {y X d(x, y) = t} = ind U = 1. 7

14 Portanto, X é de dimensão zero. Proposição 1.6. Um subespaço X R não vazio é de dimensão zero se, e somente se, ele não contém nenhum intervalo. Demonstração. De fato, suponha X R de dimensão zero e contendo um intervalo (a, b). Pela Proposição 1.3, ind(a, b) = 0. Assim, para todo x X e cada V (a, b) vizinhança de x existe um conjunto aberto e fechado U X tal que x U V, o que contradiz a conexidade do intervalo (a, b). Logo, X não contém nenhum intervalo. Reciprocamente, suponha que X R não contém nenhum intervalo. Dado x X, os conjuntos da forma X (a, b), onde a < x < b com a e b R, constituem uma base para o espaço X no ponto x. Para cada V = X (a, b) podese encontrar um conjunto aberto e fechado U V tal que x U V. Basta denir U = X (c, d), onde c (a, x)\x e d (x, b)\x. Note que c e d existem pois X não contém nenhum intervalo e, daí, (a, x) X e (x, b) X. Portanto, ind X = 0. Exemplo 1.3. O conjunto de Cantor C R consiste de todos os números de I = [0, 1] que tem uma extensão triádica em que o algarismo 1 não ocorre, isto é, o conjunto dos números da forma 2x i x = 3, onde x i i é igual a 0 ou 1. Note que C = F i, onde o conjunto F 1 é obtido de I removendo o intervalo do meio (1/3, 2/3), o conjunto F 2 é obtido de F 1 removendo os intervalos do meio (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) de ambas as partes de F 1, e assim por diante O conjunto F i consiste de 2 i intervalos disjuntos de comprimento 1/3 i. Como C é fechado em I, temos que o conjunto de Cantor é subespaço compacto de R. Observe também que o conjunto de Cantor é de dimensão zero pois não contém nenhum intervalo. Teorema 1.3 (O primeiro teorema de separação para dimensão 0). Se X é um espaço métrico separável de dimensão zero, então para todo par A, B de subconjuntos disjuntos fechados em X, o conjunto vazio é uma partição entre A e B, isto é, existe um conjunto aberto e fechado U X tal que A U e B X\U. 8

15 Demonstração. Para todo x X temos que x / A ou x / B. Suponha que x / B e tome V = X\B. Logo, existe um conjunto aberto e fechado W x X tal que x W x e A W x = ou B W x =. (1.2) A cobertura aberta {W x } x X de X possui uma subcobertura enumerável {W i } i N, pois X é um espaço métrico separável. Os conjuntos ( ) U i = W xi \ W xj W xi, onde i N, j<i são abertos e constituem uma cobertura do espaço X. Dena U = {U i A U i } e W = {U i A U i = }. Obviamente, A U e segue de (1.2) que B W. Uma vez que os conjuntos U i 's são dois a dois disjuntos, W = X\U, implicando que o conjunto U é aberto e fechado e B X\U. Observação 1.2. Note que na prova do Teorema 1.3 a hipótese de X ser um espaço métrico separável pode ser substituída pela condição de X ser espaço de Lindelöf, isto é, um espaço regular que tem a propriedade que toda cobertura aberta de X possui uma subcobertura enumerável. Denição 1.3. Dois subconjuntos A e B de um espaço topológico X estão separados se A B = = A B. Os conjuntos A e B são separados se, e somente se, eles são disjuntos e abertos (ou fechados) em sua união, isto é, se A B = e o conjunto vazio é uma partição entre A e B no subespaço A B de X. O segundo teorema de separação para dimensão zero será deduzido dos dois seguintes lemas: Lema 1.2. Para todo par A, B de subconjuntos separados no espaço métrico (X, d) existem conjuntos abertos U, W X tais que A U, B W e U W =. Demonstração. Dena f : X R + por f(x) = d(x, A) e g : X R + por g(x) = d(x, B), onde d(x, Z) denota a distância do ponto x a um conjunto Z. Sabemos que f e g são contínuas, pois são funções lipschitzianas. Assim, os conjuntos U = {x X f(x) g(x) < 0} e W = {x X f(x) g(x) > 0} 9

16 são abertos. Note que A U e B W pois f 1 (0) = A, g 1 (0) = B e A e B são separados. A igualdade U W = segue diretamente da denição de U e W. Lema 1.3. Sejam M um subespaço de um espaço métrico X e A, B um par de subconjuntos disjuntos fechados de X. Para toda partição L no espaço M entre M V 1 e M V 2, onde V 1, V 2 são subconjuntos abertos de X tais que A V 1, B V 2 e V 1 V 2 =, existe uma partição L no espaço X entre A e B a qual satisfaz M L L. Se M é um subespaço fechado de um espaço métrico X e A, B um par de subconjuntos disjuntos fechados de X, então para toda partição L no espaço M entre M A e M B existe uma partição L no espaço X entre A e B satisfazendo M L L. Demonstração. Seja L uma partição qualquer no espaço M entre M V 1 e M V 2. Então existem subconjuntos abertos U, W de M tais que M V 1 U, M V 2 W, U W = e M\L = U W. Provemos que A W = = B U. (1.3) De fato, sabemos que V 1 W = M V 1 W U W = e, como o conjunto V 1 é aberto, temos V 1 W =, que implica A W =. Do mesmo modo prova-se B U =. Os conjuntos U e W são disjuntos e abertos na sua união, assim eles estão separados, isto é, U W = = U W. (1.4) Os subconjuntos A U e B W estão separados. Com efeito, seja x (A U ) (B W ). Se x A então, por (1.3), x / W. Sabe-se também que x B W B W. Logo, x B = B é absurdo, pois A B =. Agora se x U, por (1.3) temos x / B = B e por (1.4) x / W. Logo, x / B W, absurdo. Portanto, (A U ) (B W ) =. Do mesmo modo prova-se que (A U ) (B W ) =. Pelo Lema 1.2, existem conjuntos abertos U, W X tais que A U U, B W W e U W =. O conjunto L = X\(U W ) é uma partição no espaço X entre A e B. Note que M L = M\(U W ) M\(U W ) = L. 10

17 O que prova a primeira parte do Lema 1.3. Para provar a segunda parte, seja L uma partição entre M A e M B em M, ou seja, existem conjuntos abertos U 1, W 1 em M satisfazendo: M A U 1, M B W 1, U 1 W 1 = e M\L = U 1 W 1. Como A (M\U 1 ) =, B (M\W 1 ) = e X é um espaço métrico (e assim, X é normal) existem conjuntos abertos V 1, V 2 em X tais que A V 1 V 1 X\(M\U 1 ), B V 2 V 2 X\(M\W 1 ) e V 1 V 2 =. Obviamente, L é uma partição entre M V 1 e M V 2 em M pois os abertos U 1, W 1 em M satisfazem às condições de (1.1). Aplicando a primeira parte do Lema 1.3, existe uma partição L entre A e B em X e M L L. Teorema 1.4 (O segundo teorema de separação para dimensão 0). Se X é um espaço métrico arbitrário e Z é um subespaço separável e de dimensão zero de X, então para todo par A, B de subconjuntos fechados disjuntos de X existe uma partição L entre A e B tal que L Z =. Demonstração. Considere os conjuntos abertos V 1, V 2 X tais que A V 1, B V 2 e V 1 V 2 =. Pelo Teorema 1.3, o conjunto vazio é uma partição no espaço Z entre Z V 1 e Z V 2. Aplicando a primeira parte do Lema 1.3, obtemos a partição L desejada. Proposição 1.7. Seja M um subespaço separável de um espaço métrico X. Então M é de dimensão zero se, e somente se, M e para todo x M e cada vizinhança V de x no espaço X existe um conjunto aberto U em X tal que x U V e M U =. Demonstração. Dado x M e V uma vizinhança de x em X, tome B = X\V. Assim, {x} e B são fechados disjuntos do espaço métrico X. Pelo segundo teorema de separação, existe uma partição L entre {x} e B tal que L M =. Ou seja, existem conjuntos abertos U, W X tal que {x} U, B W, U W = e X\L = U W. 11

18 Para provar que M U = basta mostrar que U L, ou seja, X\L X\ U. De fato, seja x X\L = U W. Então x U ou x W. Se x U, como U é aberto, segue que x / U. Agora, se x W, como W é aberto, segue que x / U. Portanto, x U V e M U =. Reciprocamente, suponha M não vazio e que para todo x M e cada vizinhança V de x no espaço X existe um conjunto aberto U em X tal que x U V e M U =. Seja V uma vizinhança de x em M, i.e., V = V M para algum aberto V de X contendo x. Então, para U aberto em X tal que x U V e M U =, temos que U = U M é uma vizinhança de x em M, U V e U em M é vazia. Portanto, ind M = 0. Proposição 1.8. Um subespaço M de um espaço métrico separável X é de dimensão zero se, e somente se, M e X tem uma base enumerável B tal que M U =, para todo U B. Demonstração. Suponha M de dimensão zero. Então, para todo x M e cada vizinhança V de x no espaço X, existe um conjunto aberto U X tal que x U V e M (U) = M U =. Assim C = {U X aberto U M = } é uma base de X. Como X é separável segue que X tem base enumerável. Pelo Lema 1.1, C contém uma família enumerável B que é uma base para X. Reciprocamente, suponha M e que X tem uma base enumerável B tal que M U =, para todo U B. Então, B M = {U M U B} é uma base enumerável para M e M (U M) = M U =. Logo, pelo Teorema 1.2, segue que ind M = 0. Podemos perguntar neste momento se todo subespaço de dimensão zero de um espaço pode ser ampliado para um subespaço de dimensão zero com alguma propriedade. O exemplo do subespaço Q de R mostra que, geralmente, subespaços de dimensão zero não podem ser ampliados a subespaços de dimensão zero fechados. O teorema abaixo mostra que estes subespaços podem ser ampliados para G δ conjuntos de dimensão zero. Denição 1.4. Um subconjunto A do espaço X é um G δ conjunto se A é uma interseção enumerável de conjuntos abertos de X. E, A é um F δ conjunto se A é uma união enumerável de conjuntos fechados. 12

19 Exemplo 1.4. Seja (X, d) um espaço métrico. Todo subconjunto fechado B X é um G δ conjunto e todo subconjunto aberto U X é um F δ conjunto. O conjunto dos números irracionais, R\Q, é um G δ conjunto. De fato, como Q é enumerável, podemos escrever Q = {x 0, x 1, x 2,...}. Considere U i = R\{x i }, que é um subconjunto aberto de R. Portanto, R\Q = U i. Teorema 1.5 (O teorema de alargamento para dimensão 0). Para todo subespaço separável de dimensão zero Z de um espaço métrico X, existe um G δ conjunto Z em X tal que Z Z e Z é de dimensão zero. Demonstração. Como todo subconjunto fechado de um espaço métrico é um G δ conjunto, temos que Z é G δ conjunto em X. Se existe um G δ conjunto em um subespaço que é um G δ conjunto em X, então este subconjunto é um G δ conjunto no espaço X. Assim, podemos assumir que Z = X, com isso X é separável. Pela Proposição 1.8, temos uma base enumerável B em X tal que Z U = para todo U B. Note que F = { U U B} é um F δ conjunto, e seu complementar, Z = X\F, é um G δ conjunto que contém o conjunto Z. Da Proposição 1.8, segue que Z é de dimensão zero pois X tem base enumerável B e Z U = para todo U B. O Teorema 1.3 fornece duas propriedades equivalentes para espaços métricos separáveis de dimensão zero: a propriedade que o conjunto vazio é uma partição entre quaisquer dois conjuntos fechados disjuntos A, B e a propriedade que o conjunto vazio é uma partição entre todo x X e cada conjunto fechado B tal que x / B. Exemplo 1.5. Considere o espaço de Hilbert H cujos elementos são sequências (x i ) i N números reais tais que a série é convergente. Para todo x = (x i ) H, a norma de x é x 2 i x = x 2 i, de 13

20 e a distância entre x = (x i ) e y = (y i ) é denida por d(x, y) = (x i y i ) 2. Com isso, (H, d) é um espaço métrico. Mostraremos que no subespaço H 0 = {x H x i Q, i N} de H, o conjunto vazio é uma partição entre quaisquer dois pontos distintos x, y e ainda H 0 não é de dimensão zero. Considere um par x = (x i ), y = (y i ) de pontos distintos de H 0. Então, existe i 0 N tal que x i0 y i0. Sem perda de generalidade, pode-se assumir que x i0 < y i0. Tome t R\Q tal que x i0 < t < y i0, e dena W = {z H 0 z i0 < t}. Veja que W é um conjunto aberto e fechado em H 0. Como x W H 0 \{y}, o conjunto vazio é uma partição entre x e y. Agora, seja x 0 H 0 a sequência cujos termos são todos iguais a zero e seja V = B(x 0, 1) = {x H 0 x < 1}. Mostremos que toda vizinhança U de x 0 que está contida em V possui fronteira não nula, ou seja, U. Deniremos, por indução, uma sequência a 1, a 2,... de números racionais tal que x k = (a 1, a 2,..., a k, 0, 0,...) U e d(x k, H 0 \U) 1/k, (1.5) para k = 1, 2,.... As condições em (1.5) estão satisfeitas para k = 1 se a 1 = 0. Suponha que os números racionais a 1, a 2,..., a m 1 satisfazem as condições em (1.5) para k m 1. A sequência x m i = (a 1, a 2,..., a m 1, i/m, 0, 0,...) é um elemento de H 0 para i = 1, 2,..., m. Como x m 0 um i 0 < m tal que x m i 0 U e x m i 0 +1 / U. = x m 1 U e x m m / U pois x m m 1, existe Para k = m e a m = i 0 m vemos facilmente que as condições em (1.5) estão satisfeitas e, assim, k a sequência a 1, a 2,... está denida. Da primeira parte de (1.5) segue que < 1 para k = 1, 2,..., daí a 2 i = lim k k a 2 i 1. Logo, a = (a i ) i N H 0 e a U. Por outro lado, da segunda parte de (1.5), segue que a H 0 \U. Deste modo, a U e, portanto, U. Logo, H 0 não é de dimensão zero. 14 a 2 i

21 1.3 Resultados da teoria de dimensão para espaços de dimensão zero Provaremos nesta seção dois resultados importantes para espaços de dimensão zero: o Teorema da Soma e o Teorema do Produto Cartesiano. Nas próximas seções provaremos estes resultados para espaços de dimensões quaisquer. Outro teorema abordado será o Teorema do Espaço Universal para dimensão zero: o conjunto de Cantor e o espaço dos números irracionais são espaços universais para a classe dos espaços métricos separáveis de dimensão zero. Este resultado foi estabelecido por W. Sierpi ński em Teorema 1.6 (O teorema da soma para dimensão 0). Se X é um espaço métrico separável tal que X = zero. F i, onde os F i 's são subespaços fechados de dimensão zero, então X é de dimensão i N Demonstração. Considere um par de subconjuntos fechados disjuntos A, B no espaço X. Para concluir que X é de dimensão zero, vamos mostrar que o conjunto vazio é uma partição entre A e B, isto é, existem conjuntos abertos U, W de X tais que A U, B W, U W = e X = U W. (1.6) Sejam U 0, W 0 conjuntos abertos de X tais que A U 0, B W 0, e U 0 W 0 =. (1.7) Vamos denir indutivamente duas sequências U 0, U 1, U 2,... e W 0, W 1, W 2,... de subconjuntos abertos de X satisfazendo as seguintes condições para i = 0, 1, 2,...: U i 1 U i, W i 1 W i se i 1 e U i W i =. (1.8) F i U i W i, onde F 0 =. (1.9) Claramente os conjuntos U 0, W 0 denidos acima satisfazem ambas as condições para i = 0. Suponha, por hipótese de indução, que os conjuntos U i, W i satisfazem (1.8) e (1.9) para todo i < k. Como F k é de dimensão zero e os conjuntos U k 1 F k e W k 1 F k são fechados e disjuntos em F k, existe um subconjunto aberto e fechado V de F k (pelo Teorema 1.3) tal que U k 1 F k V e W k 1 F k F k \V. (1.10) 15

22 O conjunto F k sendo fechado em X, implica que os conjuntos V e F k \V são também fechados em X; segue de (1.10) que (U k 1 V ) [W k 1 (F k \V )] = (V W k 1 ) [U k 1 (F k \V )] =, assim existem conjuntos abertos U k, W k X satisfazendo U k 1 V U k, W k 1 (F k \V ) W k e U k W k =. Os conjuntos U k, W k satisfazem (1.8) e (1.9) para i = k, assim podemos construir as sequências U 0, U 1, U 2,... e W 0, W 1, W 2,... desejadas. Segue de (1.7), (1.8) e (1.9) que U = U i e W = i=0 i=0 satisfazem (1.6). Corolário 1.1. Se um espaço métrico separável X pode ser representado como a união de uma sequência F 1, F 2,... de subespaços de dimensão zero, onde F i é F δ conjunto i, então X é de dimensão zero. Corolário 1.2. Se um espaço métrico separável X = A B, onde A e B são subespaços de dimensão zero, com um deles fechado, então X é de dimensão zero. Demonstração. Suponha que A é fechado. O conjunto aberto X\A B é de dimensão zero pois B é de dimensão zero. Como todo subconjunto aberto de um espaço métrico é um F δ conjunto e X = A (X\A), segue do Corolário 1.1 que X é de dimensão zero. Corolário 1.3. Se juntarmos um número nito de pontos a um espaço métrico separável de dimensão zero, obtemos então um espaço métrico separável de dimensão zero. Demonstração. Seja X = Y {x 1,..., x n }, onde Y é um espaço métrico separável de dimensão zero. Como Y é separável, segue que X também o é. O subconjunto {x 1,..., x n } é fechado de X. Então, pelo Corolário 1.2, X é de dimensão zero. Teorema 1.7 (O teorema do produto cartesiano para dimensão 0). O produto cartesiano X = X i de uma família {X i } i J de espaços regulares é de dimensão zero se, e somente se, i J todos espaços X i são de dimensão zero. 16 W i

23 Demonstração. Suponha X de dimensão zero. Logo, X é não vazio e, então, cada X i é homeomorfo a um subespaço não vazio de X. Logo, todos os subespaços X i são de dimensão zero. Por outro lado, se todos os X i 's são de dimensão zero, então existem bases B i de X i formadas por conjuntos abertos e fechados de X i. Logo, os conjuntos da forma U i X i, i S i J S onde S é um subconjunto nito de J e U i B i para i S, constituem uma base para X e são abertos e fechados em X. Portanto, X é de dimensão zero. Seja (I, ) um conjunto dirigido. Dado uma família (X i ) i I de espaços topológicos, se existir uma família de funções contínuas πj i : X j X i para todo i j com as seguintes propriedades (1) πi i é a identidade em X i para todo i; (2) πj i = πk i πk j para todo i k j; então o par (X i, πj) i é chamado de sequência inversa de espaços topológicos e funções contínuas sobre I. O limite da sequência inversa (ou limite inverso) é um par (X, π i ), onde X é um espaço topológico e {π i : X X i } i I é uma família de funções contínuas satisfazendo π i = πj i π j para todo i j e, além disso, se (Y, ψ i ) é outro limite para a sequência inversa, então existe uma única função contínua ϕ : Y X tal que o diagrama comute (equivalentemente ψ i = π i ϕ para todo i) Y ψ j π j X ϕ π i ψ i X j π i j X i. Observamos que o limite inverso pode ser visto como um subconjunto do produto cartesiano X i. De fato, sejam i I { } X = x i I X i x i = π i j(x j ), i j I 17

24 e π i : X X i a restrição em X da projeção canônica, para i I. Note que π i = πj i π j para todo i j. Agora, se (Y, ψ) é um limite para a sequência inversa (X i, πj), i provemos que existe uma função contínua ϕ : Y X tal que ψ i = π i ϕ. De fato, dena ϕ : Y X por ϕ(y) = (ψ i (y)) i I. Veja que ϕ é contínua porque suas funções coordenadas o são e ϕ(y) = (ψ i (y)) i I X, pois para i j, πj(ψ i j (y)) = ψ i (y). Obviamente ψ i = π i ϕ e, portanto, (X, π i ) é o limite inverso. Corolário 1.4. O limite de uma sequência inversa (X i, πj) i de espaços de dimensão zero é ou de dimensão zero ou vazio. Demonstração. Como o limite inverso é um subconjunto do produto X i, que é de dimensão i I zero, segue imediatamente que o limite da sequência inversa (X i, πj) i é ou de dimensão zero ou vazio. Agora com os Teoremas da soma e do produto cartesiano temos mais exemplos de espaços de dimensão zero. Exemplo 1.6. Para todo par k, n Z satisfazendo 0 k n e n 1, denote por Q n k o subespaço de R n consistindo de todos pontos que tem exatamente k coordenadas racionais. Provaremos que Q n k é um espaço de dimensão zero. Para cada escolha de k números naturais distintos i 1,..., i k não maiores que n e cada escolha n de k números racionais r 1,..., r k, o produto cartesiano R i, onde R ij = {r j } para j = 1,..., k n e R i = R para i i j, é um subespaço fechado de R n. Assim, Q n k R i é um subespaço fechado de Q n k. n Como o espaço Q n k R i é homeomorfo ao subespaço de R n k com todas as coordenadas irracionais, segue do Exemplo 1.2 e Teorema 1.7 que este espaço é de dimensão zero. Veja que Q n k n é a união enumerável dos subespaços Q n k R i e, assim, pelo Teorema 1.6, Q n k é de dimensão zero. Denição 1.5. Dizemos que um espaço topológico X é universal em uma classe K de espaços topológicos se X pertence a K e todo espaço na classe K é homeomorfo a um subespaço de X. Provaremos agora que o conjunto de Cantor, C, e o espaço dos números irracionais, R\Q, são espaços universais para a classe de todos espaços métricos separáveis de dimensão zero. Para isso 18

25 usaremos o fato que ambos espaços podem ser representados como produto cartesiano enumerável de espaços discretos. Proposição 1.9. O conjunto de Cantor C é homeomorfo ao produto cartesiano D ℵ 0 = onde D i = {0, 1} para i = 1, 2,.... Demonstração. Para cada x C a representação na forma x = 0 ou 1, é única. Assim, podemos denir uma função bijetora f : D ℵ 0 C {x i } 2x i 3 i. D i, 2x i 3 i, onde os x i's são iguais a Dena f j : D ℵ 0 I = [0, 1] por f j ({x i }) = 2x j para j = 1, 2,.... Observe que f 3 j j é contínua para todo j e que a série f i é uniformemente convergente para f. Logo, f é contínua. Como D ℵ 0 é compacto e C é Hausdor, segue que f é um homeomorsmo. Concluímos que o conjunto de Cantor é de dimensão zero pois D ℵ 0 é de dimensão zero. Lema 1.4. Sejam d uma métrica arbitrária no espaço R\Q que gera a topologia induzida de R e ɛ > 0. Para todo conjunto aberto não vazio U R\Q, existe uma sequência F 1, F 2,... de subconjuntos simultaneamente abertos e fechados de R\Q, não vazios, dois a dois disjuntos, tais que U = F i e os diâmetros de todos os conjuntos F i com respeito a d são menores que ɛ. Demonstração. Considere um intervalo (a, b) R com extremidades racionais tais que (a, b) R\Q U e o divida em ℵ 0 intervalos não vazios, dois a dois disjuntos, (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ),..., com extremidades racionais. Assim temos (a, b) R\Q = A i, onde A i = (a i, b i ) R\Q, com a i, b i Q e A i A j = quando i j. Considere A 0 = U\(a, b), os conjuntos A 0, A 1, A 2,... são aberto em R\Q e pela Proposição 1.5 para cada i = 0, 1, 2,... existem conjuntos abertos e fechados A i,1, A i,2,... em R\Q todos de diâmetro menores que ɛ tais que A i = A i,j. Considere j=1 B i,j = A i,j \ k<j A i,k 19

26 para j = 1, 2,.... Os subconjuntos B i,j são abertos e fechados em R\Q, dois a dois disjuntos, cuja união é igual a A i. Para completar a prova basta organizar todos os conjuntos não vazios B i,j em uma simples sequência F 1, F 2,.... Denição 1.6. Um espaço topológico (X, τ) é completamente metrizável se existe uma métrica d em X tal que (X, d) é um espaço métrico completo e d induz a topologia τ. Lema 1.5. Todo G δ conjunto X em um espaço completamente metrizável X 0 é também completamente metrizável. Demonstração. Sejam d uma métrica no espaço X 0 tal que (X 0, d) seja completo e X = onde G i é aberto em X 0 para i = 1, 2,.... G i, Denimos os conjuntos fechados F i = X 0 \G i e as funções contínuas f i : X R por f i (x) = 1 d(x, F i ) para i = 1, 2,.... Note que f(x) = (x, f 1(x), f 2 (x),...) dene um mergulho f : X X i, onde X i = R para i 1. i=0 Como o produto cartesiano de uma quantia enumerável de espaços completamente metrizáveis e um subespaço fechado de um espaço completamente metrizável são completamente metrizáveis, para completar a prova é suciente mostrar que f(x) é um subconjunto fechado de X i. Mostremos que todo x = {x i } de f(x). X i \f(x) possui uma vinhança V contida no complementar i=0 Primeiro considere o caso onde x 0 X. Como x / f(x), existe k > 0 tal que x k f k (x 0 ). Sejam U 1 e U 2 vizinhanças disjuntas de x k e f k (x 0 ) em R. Como a função f k é contínua, existe uma vizinhança U 0 X 0 de x 0 tal que f k (U 0 X) U 2. Facilmente verica-se que onde p i denota a projeção de x = {x i } V = p 1 0 (U 0 ) p 1 (U 1) X i em X i. i=0 Agora, considere o caso onde x 0 k X i \f(x), i=0 / X. Assim, x 0 F k para algum k > 0. Considere um número r > 0 tal que x k + 1 < 1/r e seja U 0 = B(x 0, r) e U 1 = {x R x < x k + 1}. Logo, x = {x i } V = p 1 0 (U 0 ) p 1 (U 1) 20 k X i \f(x), i=0 i=0

27 que conclui a prova. Proposição Um espaço métrico X é completo se, e somente se, para toda sequência decrescente F 1 F 2 F 3 de subconjuntos fechados não vazios de X, com lim diam(f n ) = n 0, existe um ponto a X tal que F n = {a}. Demonstração. Ver [8], página 189. n=1 Proposição O espaço dos números irracionais R\Q é homeomorfo ao produto cartesiano N ℵ 0 = N i, onde N i é o espaço discreto dos números naturais N, para i = 1, 2,.... Demonstração. Sabemos que R\Q é um G δ conjunto. Assim, pelo Lema 1.5, R\Q é completamente metrizável, isto é, existe uma métrica d em R\Q tal que (R\Q, d) é um espaço métrico completo. Pelo Lema 1.4, para ɛ = 1, existem subconjuntos não vazios, abertos e fechados F 1, F 2,... em R\Q, dois a dois disjuntos, tais que Como F k1 propriedades tais que R\Q = k 1 =1 F k1 e diam(f k1 ) < 1. é aberto, então pelo mesmo lema, para ɛ = 1/2 existem subconjuntos com as mesma F k1 = k 2 =1 F k1 k 2 e diam(f k2 ) < 1 2. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente temos, para toda sequência k 1, k 2,..., k i de números naturais existe um subconjunto aberto e fechado F k1 k 2...k i R\Q = k 1 =1 F k1 e F k1 k 2...k i = em R\Q tal que F k1 k 2...k i k (1.11) k=1 F k1 k 2...k i e diam(f k1 k 2...k i ) < 1 i (1.12) F k1...k i F m1...m i = se (k 1,..., k i ) (m 1,..., m i ). (1.13) Segue de (1.11) e (1.12) que para todo (k i ) N ℵ 0 os subconjuntos F k1, F k1 k 2,... de R\Q formam uma sequência F k1 F k1 k 2 F k1 k 2 k 3... de conjuntos fechados não vazios com o diâmetro 21

28 convergindo para zero. Então, pela Proposição 1.10, o conjunto F k1 k 2...k i contém exatamente um ponto, que denotaremos por f((k i )). Assim, denimos a função f : N ℵ 0 R\Q. Note que f é injetora por (1.13) e sobrejetora por (1.11). Provemos que os subconjuntos F k1 k 2...k n formam uma base para R\Q. Dado x U, onde U é aberto de R\Q, existe ɛ > 0 tal que B(x, ɛ/2) U. Tome n N tal que 1 < ɛ. Assim, n F k1...k n B(x, ɛ/2) x F k1...k n U. Agora, seja y F k1...k i F m1...m j com i < j. Então, F k1...k i F m1...m i e, assim, (k 1... k i ) = (m 1... m i ). Sabemos que F k1...k i...m j F k1...k i, logo x F m1...m j = F k1...k i F m1...m j. A função f é um homeomorsmo, pois f 1 (F k1...k j ) = {k 1 } {k 2 }... {k j } i=j+1 ( ) f {k 1 } {k 2 }... {k j } N i = F k1...k j. i=j+1 N i e Temos que o espaço dos números irracionais é de dimensão zero pois N ℵ 0 é de dimensão zero. Corolário 1.5. O conjunto de Cantor é homeomorfo a um subespaço do espaço dos números irracionais. Teorema 1.8 (O teorema do espaço universal para dimensão 0). O conjunto de Cantor e o espaço dos números irracionais são espaços universais para a classe dos espaços métricos separáveis de dimensão zero. Demonstração. Pelo Corolário 1.5, é suciente mostrar que para todo espaço métrico separável de dimensão zero X existe um mergulho f : X D ℵ 0. Segue da Proposição 1.5 que o espaço X tem base enumerável B = {U i } formada por conjuntos abertos e fechados. Para cada i = 1, 2,... dena uma função contínua f i : X D i = {0, 1} por 1, se x U i, f i (x) =, 0, se x X\U i 22

29 ou seja, f i = χ Ui. Considere a função contínua f : X D ℵ 0 denida por f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),...). Para todo k N, temos f(u k ) = f(x) {{x i } D ℵ 0 x k = 1}. Logo, a função f é injetora e aberta, pois {{x i } D ℵ 0 x k = 1} é um conjunto aberto em D ℵ 0. Portanto, f é um mergulho. Pala demonstração do Teorema 1.8, temos que o conjunto dos números irracionais pode ser mergulhado no conjunto de Cantor. Por isso dizemos que ambos espaços são universais para a classe dos espaços métricos separáveis de dimensão zero. Os Teoremas de compacticação e de mergulho são consequências do Teorema do espaço universal. Teorema 1.9 (O teorema de compacticação para dimensão 0). Para todo espaço métrico separável de dimensão zero X existe uma compacticação de dimensão zero X, isto é, um espaço métrico compacto X de dimensão zero que contém um subespaço denso homeomorfo a X. Demonstração. Como C é universal, seja f : X C um mergulho do espaço X de dimensão zero no conjunto de Cantor C. Como o conjunto de Cantor é compacto, segue que f(x) é compacto e, assim, X = f(x) é uma compacticação de X. Note que X é de dimensão zero, pois X C e X. Teorema 1.10 (O teorema do mergulho para dimensão 0). Todo espaço métrico separável de dimensão zero pode ser mergulhado em R. Observe que a teoria desenvolvida nesta seção é obtida principalmente dos seguintes teoremas: os teoremas de separação, da soma e do espaço universal. Todos os outros resultados ou são elementares ou decorrem diretamente destes. 1.4 Vários tipos de desconexidade Vamos comparar a classe de espaços de dimensão zero com outras três classes de espaços de Hausdor desconexos. Primeiramente deniremos uma quase componente de um espaço X. 23

30 Denição 1.7. Dizemos que x y se, e somente se, não existe separação X = A B tal que x A e y B. A classe de equivalência de x, denotada por [x], é chamada quase componente. Equivalentemente, um conjunto não vazio K X é uma quase componente de X se K pode ser representado como a interseção de conjuntos abertos e fechados e para todo conjunto aberto e fechado U X tal que K U temos K U. Denição 1.8. Um espaço topológico X é chamado totalmente desconexo se para todo par distinto x e y em X, existe um conjunto aberto e fechado U X tal que x U e y X\U, isto é, se o conjunto vazio é uma partição entre quaisquer dois pontos distintos do espaço X. Claramente, todo espaço de dimensão zero é totalmente desconexo. Espaços totalmente desconexos são caracterizados pela propriedade que suas quase componentes são conjuntos unitários. As quase componentes de um espaço X constituem uma decomposição de X em subconjuntos fechados dois a dois disjuntos. Denição 1.9. Um espaço topológico X é chamado hereditariamente desconexo se X não contém nenhum subespaço conexo de cardinalidade maior do que um. Todo espaço totalmente desconexo é hereditariamente desconexo. De fato, se X é totalmente desconexo, então para cada subespaço M X que contém pelo menos dois pontos distintos x, y, os conjuntos M U e M\U, onde U é um subconjunto aberto e fechado de X tal que x U e y X\U, formam uma decomposição do espaço M em dois subconjuntos abertos não vazios. Assim, o espaço M não é conexo. Espaços hereditariamente desconexos são caracterizados pela propriedade que suas componentes conexas são conjuntos unitários. Lembremos que a componente conexa do ponto x em um espaço topológico X é denida como o maior subconjunto conexo, não vazio, de X contendo x. As componentes conexas de um espaço X constituem uma decomposição para este em subconjuntos fechados, dois a dois disjuntos. Denição Um espaço topológico X é chamado puntiforme, ou descontínuo, se X não contém nenhum subespaço continuum de cardinalidade maior do que um. Claramente, todo espaço hereditariamente desconexo é puntiforme. Se o espaço for compacto, a recíproca é verdadeira. Podemos facilmente vericar que as três classes de espaços acima são fechadas com respeito a operação subespaço. Agora, mostraremos que nos espaços localmente compactos não vazios, as três classes coincidem com a classe de espaços de dimensão zero. 24

31 Denição Um espaço X é dito localmente compacto se para todo x X existem K X compacto e V X aberto tais que x V K. Lema 1.6. Em todo espaço Hausdor compacto, as quase componentes e as componentes conexas coincidem. Demonstração. Para começar, provemos que em um espaço topológico arbitrário X as quase componentes contém as componentes. Considere uma componente S do espaço X. Sejam x S e K a quase componente de X que contém x. Mostremos que S K. Com efeito, dado um conjunto aberto e fechado U X que contém x, os conjuntos S U e S\U são abertos disjuntos em S e S U. Segue da conexidade de S que S\U =, ou seja, S U. Como K é a interseção de todos os subconjuntos abertos e fechados de X que contém x, temos S K. Para completar a prova é suciente mostrar que as quase componentes de um espaço compacto são conexas. Suponha que existe uma separação K = A B com A, B fechados disjuntos em K e A. Pela normalidade dos espaços compactos de Hausdor, existem conjuntos abertos V, W X tais que A V, B W e V W =. Denote por U a família de subconjuntos abertos e fechados de X satisfazendo U = K. Como U = K = A B V W, a família F = {U\(V W ) U U } de subconjuntos fechados de X tem interseção vazia, ou seja, (U\(V W ) = U \(V W ) =. Segue da compacidade de X que uma subfamília nita de F também tem interseção vazia, isto é, existe um número nito de conjuntos U 1,..., U k U satisfazendo U = U 1... U k V W e o conjunto U é aberto e fechado. Note que V U V U = V [(V W ) U] = [(V V ) (V W )] U = V U, e assim, o conjunto V U é aberto e fechado. Sabemos que A V U K V U, e daí B K W V U W V W =. Portanto, a quase componente K é conexa. 25

32 Teorema Zero dimensionalidade, total desconexidade, hereditariamente desconexidade e puntiforme são classes equivalentes em espaços localmente compactos não vazios. Demonstração. É suciente provar que todo espaço localmente compacto puntiforme não vazio é de dimensão zero. Suponha que X é puntiforme. Sejam x X e V X uma vizinhança de x. Pela compacidade local do espaço X, existe uma vizinhança W X de x tal que W V e W é compacto. O subespaço M = V W do espaço X é compacto e puntiforme, assim ele é hereditariamente desconexo. Pelo Lema 1.6, a componente {x} do espaço M pode ser representada como a interseção de uma família U de subconjuntos abertos e fechados de M. Segue da compacidade de M que existe um número nito de conjuntos U 1, U 2,..., U k U tal que a interseção U = U 1 U k é disjunta do conjunto M\(V W ). O conjunto U é fechado em M e, assim, é fechado em X, mas por outro lado U é aberto em V W. Logo, U é aberto e fechado em X. Como x U V, o espaço X é de dimensão zero. 1.5 Os teoremas da soma, decomposição, adição, alargamento, separação e produto cartesiano Sabemos que todo subespaço M de um espaço regular X tem ind M ind X. Com isso, podemos perguntar se entre os subespaços de um espaço X de dimensão n pode-se encontrar subespaços de todas as dimensões entre 0 e n 1. A resposta é sim e, além disso, o próximo teorema garante que existem subespaços fechados de dimensões intermediárias. Teorema Se X é um espaço regular e ind X = n 1, então para cada k = 0, 1,..., n 1 o espaço X contém um subespaço fechado M tal que ind M = k. Demonstração. É suciente mostrar que X contém um subespaço fechado M tal que ind M = n 1. Como ind X > n 1, existe um ponto x X e uma vizinhança V X de x tal que para todo conjunto aberto U X satisfazendo a condição x U X temos ind U > n 2. Por outro lado, como ind X n, existe um conjunto aberto U X satisfazendo a condição acima e tal que ind U n 1. O subespaço fechado M = U do espaço X tem a dimensão ind M = n 1. Lema 1.7. Se X = Y Z é um espaço métrico separável, onde ind Y n 1 e ind Z 0, então ind X n. 26

33 Demonstração. Considere um ponto x X e uma vizinhança V X do ponto x. Pelo Teorema 1.4, existem conjuntos abertos disjuntos U, W X tais que x U, X\V W e [X\(U W )] Z =. Claramente, x U V e, como U [X\(U W )] X\Z Y, temos ind U ind Y n 1. Segue que ind X n. Teorema 1.13 (Teorema da Soma). Se X = F i é um espaço métrico separável, onde os F i 's são subespaços fechados tais que ind F i n, então ind X n. Demonstração. Vamos aplicar indução sobre n. Para n = 0 o teorema já foi provado. Assuma que o teorema vale para dimensões menores que n e considere um espaço X = F i, onde F i é fechado e ind F i n com n 1 para i = 1, 2,.... Aplicando o Teorema 1.2, escolha para cada i, uma base enumerável B i de F i tal que ind U n 1 para todo U B i. Pela hipótese de indução, o subespaço Y = { U : U B i } do espaço X satisfaz a desigualdade ind Y n 1. Considere Z i = F i \Y ; como F i tem base enumerável B i tal que Z i U Z i Y =, para todo U B i, segue da Proposição 1.8 que ind Z i 0. Logo, pelo Teorema da soma para dimensão 0, o subespaço Z = Z i = X\Y do espaço X também satisfaz ind Z 0, pois os subespaços Z i = F i \Y = F i Z são fechados em Z. Assim, pelo Lema 1.7, temos ind X n. Corolário 1.6. Se X = F i é um espaço métrico separável, onde os F i 's são F δ conjuntos tais que ind F i n, então ind X n. Demonstração. Note que X = F i = E i,j, onde E i,j é fechado. Como ind E i,j ind F i n, segue do Teorema 1.13 que ind X n. j=1 Corolário 1.7. Se X = A B é um espaço métrico separável, um deles fechado, tal que ind A n e ind B n, então ind X n. Demonstração. Suponha que A é fechado, então B é aberto. Portanto, ind X n pelo Corolário 1.6. Logo, A e B são F δ conjuntos. Corolário 1.8. Se Y = X {a 1,..., a n }, onde X é um espaço métrico separável tal que ind X n e {a 1,..., a n } é um número nito de pontos em X, então Y é um espaço métrico separável e ind Y n. 27

34 Demonstração. Y = X {a 1,..., a n } é um espaço métrico separável pois X é métrico e separável. Como ind{a 1,..., a n } = 0 n, ind X n e {a 1,..., a n } é fechado, segue do Corolário 1.7 que ind Y n. Notemos que o Teorema da soma desempenha um papel importante na teoria de dimensão dos espaço métricos separáveis. De fato, todos os resultados desta seção seguem ou do Teorema da soma ou de um dos teoremas de decomposição que são consequências do Teorema da soma. Aplicando o Teorema da soma, mostra-se que a condição no Lema 1.7 caracteriza espaço métricos separáveis de dimensão n: Teorema 1.14 (O primeiro teorema da decomposição). Um espaço métrico separável X satisfaz ind X n com n 0 se, e somente se, X = Y Z tais que ind Y n 1 e ind Z 0. Demonstração. Considere um espaço métrico separável X tal que ind X n, com n 0. Pelo Teorema 1.2, o espaço X tem base enumerável B tal que ind U n 1 para todo U B. Segue do Teorema da soma que o subespaço Y = { U U B} tem dimensão n 1 e, da Proposição 1.8, o subespaço Z = X\Y tem dimensão 0. A recíproca já foi provada no Lema 1.7. Teorema 1.15 (O segundo teorema da decomposição). Um espaço métrico separável X satisfaz ind X n com n 0 se, e somente se, X = n+1 Z i, tal que ind Z i 0, i. Demonstração. Como ind X n segue do Teorema 1.14 que X = Y 1 Z 1 com ind Y 1 n 1 e ind Z 1 0. De mesmo modo, como ind Y 1 n 1 segue que Y 1 = Y 2 Z 2 com ind Y 2 n 2 e ind Z 2 0. Sucessivamente temos ind Y n 1 1 Y n 1 = Y n Z n com ind Y n 0 e ind Z n 0. Chame Y n = Z n+1, logo X = n+1 Reciprocamente, suponha que X = Z i, com ind Z i 0. n+1 Z i, tal que ind Z i 0. Usaremos a indução sobre n para provar que ind X n. Para n = 0, claramente o resultado é válido. Por hipótese de indução, 28