1 Aula do dia 08/08/2005

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1 Inclui até a aula de 17/10/2005 Referências básicas do curso: [1, 3] 1 Aula do dia 08/08/2005 Teorema 1.1 (de Bernstein-Cantor). Sejam X e Y conjuntos. Suponha que existam f : X Y e g : Y X funções injetoras. Então X e Y são equipotentes. Exemplo 1.2. Reta de Sorgenfrey (R) Ω R é aberto se x Ω, ε > 0 tal que [x, x + ε[ Ω. Note que a topologia de R é mais fina que a topologia usual da reta (uma topologia A é dita mais fina que uma topologia B se A B). É fácil mostrar que R satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade (isto é, todo ponto admite base local enumerável) e o terceiro axioma de enumerabilidade (isto é, admite um denso enumerável). Proposição 1.3. R não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, isto é, não admite uma base enumerável. Dem.: Seja B uma base para R. Para cada x R, fixamos Ω x uma aberto tal que x Ω x [x, x + 1[. Considere ϕ : R B dada por ϕ(x) := Ω x. Note que ϕ é injetora. De fato, suponha x < y. Então x Ω x mas Ω y [y, y + 1[ x. Observe que o segundo axioma de enumerabilidade implica o primeiro e o terceiro axiomas de enumerabilidade. Mas a proposição anterior mostra que a recíproca não é verdadeira. Definição 1.4. Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é: T 0 se, para todos x, y X distintos, existe V aberto tal que x V e y / V ou y V e x / V. T 1 se, para todos x, y X distintos, existe V aberto tal que x V e y / V. equivalente a dizer que, para todo x X, {x} é fechado. Note que isso é T 2 ou Hausdorff se, para todos x, y X distintos, existem U e V abertos disjuntos tais que x U e y V. T 3 se, para todo x X e F X fechado tal que x / F, existem U e V abertos disjuntos tais que x U e F V. Também dizemos que X é um espaço regular. T 4 se, para todos F, G X fechados disjuntos existem U e V abertos disjuntos tais que F U e G V. Também dizemos que X é um espaço normal. Lema 1.5 (de Urysohn). Seja X um espaço normal. Sejam F, G X fechados disjuntos. Então existe f : X [0, 1] contínua tal que f(x) = 0 para todo x F e f(x) = 1 para todo x G. 1

2 Definição 1.6. Seja X um espaço topológico. Se para todo x X e F X fechado tal que x / F existe f : X [0, 1] contínua satisfazendo f(x) = 0 e f(y) = 1 para todo y F, então dizemos que X satisfaz a propriedade T 3 1. Dizemos também nesse caso que X é um espaço de Tychonoff. 2 Proposição 1.7. Seja (X, T ) um espaço topológico. Temos: (i) X é T 1 se, e somente se, para todo x X, {x} é fechado. (ii) X é T 2 se, e somente se, para todo x X, {x} = {Ω : x Ω e Ω T }. (iii) X é T 3 se, e somente se, todo x X admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas. (iv) X é T 4 se, e somente se, para todo F X fechado e todo Ω X aberto tais que F Ω existe um aberto Ω 1 tal que F Ω 1 Ω 1 Ω. Definição 1.8. Seja I um conjunto não vazio. Para cada i I, seja (X i, T i ) um espaço topológico. Considere X = i IX i := {f : I i I X i : f(i) X i (ou, equivalentemente, {(x i ) i I : x i X i }). Consideramos em X a topologia que como base os conjuntos da forma i I V i onde, para cada i I, V i T i e o conjunto {i I : V i X i } é finito. Tal topologia é dita a topologia produto de X e cada aberto desta forma é dito um aberto elementar. 2 Aula do dia 10/08/2005 Lema 2.1. Seja I R não vazio. Temos que ω I (= i I ω) é separável (ie, satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade). Dem.: Seja A 0 o conjunto de todos os conjuntos da forma ]a, b[ I com a, b Q e a < b. Note que A 0 é enumerável. Para cada n 1, considere A n o conjunto de todos os subconjuntos de A 0 com exatamente n + 1 elementos e estes são 2-2 disjuntos. Note que A n é enumerável. Fixemos n 1. Para cada (a 0,..., a n ) ω n+1 e cada {J 0,..., J n } A n (onde J i é menor que J k se i < k. Dizemos que J i < J k se todo elemento de J i é menor que todo elemento de J k ) definimos f {J0,...,J n},(a 0,...,a n) : I ω da seguinte maneira: { ai se x J f {J0,...,J n},(a 0,...,a n)(x) := i 0 caso contrário Note que o conjunto de todas essas funções é enumerável (com n fixado). Considere D o conjunto de todas essa funções com n variando. Note que D também é enumerável. Vamos mostrar que D é denso. Seja V := i I V i aberto elementar. Então existe m ω tal que {i I : V i ω} = {i 0,..., i m } com i 0 < i 1 < < i m. É possível escolher intervalos J 0,..., J n 2-2 disjuntos tais que i l J l para todo l = 0,..., m. Escolhemos b 0 V i0,..., b n V im. Note que assim temos que f {J0,...,J m},(b 0,...,b m) V D. Teorema 2.2. Seja I R não vazio. Para cada i I, seja (X i, T i ) um espaço topológico separável. Então X := i I X i também é separável. 2

3 Dem.: Para cada i I, seja D i denso enumerável de X i. Seja ϕ i : ω D i sobrejetora. Note que, como ω é discreto, ϕ i é contínua. Note também que D := i I D i é denso em X. Considere ϕ : ω I D dada por: ϕ((u i ) i I ) := (ϕ i (u i )) i I Note que ϕ é contínua e sobrejetora. Pelo resultado que diz que, se f é contínua e E é denso, então f(e) é denso, temos o resultado. Proposição 2.3. Sejam ((X i, T i )) i I espaços topológicos tais que cada X i é T 2 e tem mais de um ponto. Se X := i I X i é separável, então I ω. Dem.: Seja D X um denso enumerável. Seja y := (y i ) i I X. Como X é T 2, temos, por 1.7 que {y} = {Ω : y Ω e Ω é aberto} = {Ω : y Ω e Ω é aberto elementar} = {Ω D : y Ω e Ω é aberto elementar} (1) sendo que a última igualdade vale pois, num espaço topológico qualquer, sempre temos que V E = V se V é um aberto e E é um denso. Note que há, no máximo, 2 ω possíveis conjuntos da forma Ω D (pois D é enumerável). Assim, para cada conjunto desta forma, fixamos um aberto elementar V := i I V i cuja intersecção com D seja igual ao próprio conjunto. Note que, como V é básico, o conjunto {i I : V i X i } é finito. Note que se unirmos todos o conjuntos assim obtidos, temos um conjunto K I tal que K 2 ω (pois é união de, no máximo 2 ω conjuntos finitos). Suponha que exista l I K. Seja a X l tal que a y l. Considere x := (x i ) i I X dado por { yi se i l x i := a caso contrário Note que, assim, x D Ω para todo Ω aberto elementar tal que y Ω mas x y, o que contraria (1). Definição 2.4. Seja X um espaço topológico. Chamamos de celularidade de X o menor cardinal infinito κ tal que, se F é uma família de abertos de X 2-2 disjuntos, então F κ. Lema 2.5 (do -sistema). Seja F uma família não enumerável de conjuntos finitos. Então existem r F e F F tais que F é não enumerável e X Y = r para quaisquer X, Y F com X Y. Dem.: Note que podemos supor que todos o elementos de F têm tamanho n. Vamos mostrar o resutado por indução sobre n. Se n = 1, basta tomarmos r :=. Agora suponha mostrado para n e vamos mostrar para o caso n + 1. Suponha que exista x F tal que x A para uma quantidade não enumerável de A s em F. Então basta aplicarmos o caso anterior para a família {A {x} : A F e x A} e tomarmos r := r {a} onde r é o dado pelo caso anterior. Se não acontece de um elemento estar numa quantidade não enumerável de elementos de F, podemos construir uma família {X α : α < ω 1 } F por indução sobre α com a seguinte propriedade: se x β para β < α estão definidos, tomamos X α F disjunto de cada X β. Note que tal família satisfaz o que queremos com r =. 3

4 A demonstração acima encontra-se em [2]. Proposição 2.6. Sejam (X i ) i I espaços topológicos separáveis. Então X := i I X i tem celularidade enumerável. Dem.: Suponha que exista C uma família não enumerável de abertos não vazios de X 2-2 disjuntos. Podemos supor que os elementos de C são abertos elementares. Seja W = i I W i C. Note que J W := {i I : W i X i } é finito. Pelo lema do -sistema 2.5, temos que existem C C não enumerável e r I finito tal que J W J W = r para todos W, W C distintos. Sejam W, W C distintos. Seja l I r. Note que W l W l D. Como W W =, temos que existe k r tal que W k W k =. Isto é, temos que G := {W r : W F } é uma família de abertos de X r 2-2 disjuntos. Por 2.2, temos que X r é separável e, portanto, tem celularidade enumerável. Absurdo. 3 Aula do dia 15/08/2005 Definição 3.1. Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é um espaço compacto se todo recobrimento aberto seu admite um subrecobrimento finito. Definição 3.2. Seja X um conjunto. Dizemos que um conjunto não vazio F (X) é um filtro sobre X se valem as seguintes condições: (a) / F ; (b) Se a, b F então a b F ; (c) Se a F e b X é tal que a b, então b F. Dizemos que F é um ultrafiltro se F é um filtro e se, para qualquer G filtro tal que G F temos G = F. Exemplo 3.3. (a) Sejam X um espaço topológico e x X um ponto qualquer. Então {V X : V é vizinhança de x} é um filtro sobre X. (b) Sejam X um conjunto e x X um ponto qualquer. Então {Y X : x Y } é um ultrafiltro sobre X. Proposição 3.4. Sejam X um conjunto e F um filtro sobre X. São equivalentes: (i) F é ultrafiltro sobre X; (ii) para todo Y X, temos que ou Y F ou X Y F. Teorema 3.5. Seja F um filtro sobre X. Então existe G F ultrafiltro sobre X. 4

5 Definição 3.6. Sejam X um espaço topológico e F um ultrafiltro sobre X. Dizemos que x X é um ponto aderente a F se x Y para todo Y F. Dizemos que F converge para x (e denotamos por F x) se, para qualquer V vizinhança de x, temos V F. Proposição 3.7. Seja X um espaço topológico. São equivalentes: (i) X é compacto; (ii) toda família de fechados de X com a propriedade da intersecção finita 1 (p.i.f.) tem intersecção não vazia; (iii) todo filtro sobre X tem um ponto aderente; (iv) todo ultrafiltro sobre X é convergente. Dem.: i ii): Seja A família de subconjuntos fechados de X satisfazendo p.i.f.. Suponha A =. Temos que C := {X Y : Y A} é um recobrimento aberto de X. Como X é compacto, existe C C finito tal que C = X. Assim, {Y A : X Y C } = o que contraria nossa hipótese. ii iii): Seja F um filtro sobre X. Considere A := {Y : Y F }. Como A tem p.i.f., por (ii) temos que existe y Y F Y. Note que y é ponto aderente a F. iii iv): Seja F um ultrafiltro sobre X. Seja y X um ponto aderente a F. Vamos mostrar que F y. Seja V vizinhança de y. Por 3.4 temos que ou V F ou X V F. Suponha X V F. Como y ponto aderente a F, temos que y X V. Absurdo pois y V e V (X V ) =. iv i): Seja C recobrimento aberto de X. Suponha que C não admite subrecobrimento finito. Temos que {X y C Y : C C finito} é base de um filtro 2 F sobre X. Por 3.5, temos que existe G F ultrafiltro sobre X. Por (iv), temos que existe x X tal que G x. Seja Y C tal que x Y. Considere C := {Y }. Note que X Y G e, portanto, Y / G o que contraria o fato que G x pois Y é vizinhança de x. Teorema 3.8 (de Tychonoff). Seja I um conjunto não vazio. Para cada i I, seja X i um espaço topológico compacto. Temos que i I X i é compacto. Dem.: Suponha X := i I X i. Para cada i I considere pr i : X X i a projeção na i-ésima coordenada. Seja U ultrafiltro sobre X. Considere, para cada i I U i := {pr i [A] : A U} Note que U i é ultrafiltro sobre X i. Para cada i I, seja a i X i tal que U i a i. Considere a := (a i ) i I. Vamos mostrar que, dado V aberto elementar de X tal que a V, temos que V U. Sejam V := i I V i um aberto elementar e J := {i I : V i X i }. Suponha J. Seja j J. Como a j V j, temos que V j U j. Logo, pela definição de U j, existe A j U tal que V j = pr j [A j ]. Assim, pr 1 j [V j ] U. E, como V = j J pr 1 j [V j ] U temos o resultado. Definição 3.9. Seja (X, T ) um espaço topológico. Dizemos que X é metrizável se existe uma métrica d sobre X tal que T coincide com a topologia induzida por d. 1 dados a 1,..., a n elementos da famíla temos que n i=1. 2 B é base de F se F = {Y : Y b para algum b B}. 5

6 Proposição Seja X um espaço metrizável e compacto. Então X tem base enumerável. Dem.: Seja d uma métrica sobre X. Para cada n ω, seja B n := {B(x, 1 n ) : x X}. Como X é compacto, existe A n X finito tal que {B(x, 1 n ) : x A n} é um recobrimento de X. Considere B := {B(x, 1 n ) : x A n para algum n}. Note que B é enumerável e que é base para X. Teorema Seja X um espaço T 2, normal e com base enumerável. Então X é metrizável. Dem.: Seja B uma base enumerável para X. Para cada (U, V ) B B com U V, considere f (U,V ) : X [0, 1] contínua tal que { 0 se t U f (U,V ) (t) = 1 se t X V Seja D := {(U, V ) B B : U V }. Considere ϕ : X [0, 1] D dada por: ϕ(x) := (f (U,V ) (x)) (U,V ) D Como [0, 1] D é métrico, se mostrarmos que ϕ é injetora, contínua e aberta sobre sua imagem, teremos que X é metrizável. ϕ é injetora: sejam x, y X distintos. Como X é T 2 e normal e, portanto, regular, existem U, V B tais que x U U V. Assim, f (U,V ) (x) = 0 e f (U,V ) (y) = 1 e, portanto, ϕ(x) ϕ(y). ϕ é contínua: Seja V = (U,V ) D V (U,V ) um aberto elementar de [0, 1] D. Seja D := {(U, V ) D : V (U,V ) [0, 1]}. Para cada (U, V ) D, seja U (U,V ) := f 1 (U,V ) (V (U,V )). Note que U (U,V ) é aberto (pois f (U,V ) é contínua). Note que (U,V ) D (U (U,V )) é aberto (pois D é finito) e que ϕ 1 (V ) = (U,V ) D (U (U,V )). ϕ é aberta sobre sua imagem: Seja V 0 X aberto básico não vazio. Seja x := (x (U,V ) ) (U,V ) D ϕ(v 0 ). Seja y V 0 tal que ϕ(y) = x. Seja U 0 V 0 aberto básico tal que y U 0 U 0 V 0. Vamos mostrar que W := (U,V ) D W (U,V ) onde W (U,V ) := { [0, 1 2 [ se (U, V ) = (U 0, V 0 ) [0, 1] se (U, V ) (U 0, V 0 ) Note que W é aberto e que ϕ(y) = x W. Resta mostrarmos que W ϕ[x] ϕ[v 0 ]. Seja z X tal que ϕ(z) W. Então f (U0,V 0)(z) W (U0,V 0) = [0, 1 2 [ e, portanto z V pela definição de f (U 0,V 0). 4 Aula do dia 17/08/2005 Teorema 4.1 (de Urysohn-Alexandroff). Seja X um espaço topológico compacto e T 2. Então X é metrizável se, e somente se X tem base enumerável. Dem.: ) : Imediato por ) : Imediato por 3.11 apenas notando que T 2 e compacto implica normal. 6

7 Lema 4.2. Seja X um espaço T e T 2 não vazio. Então existe um homeomorfismo ϕ entre X e um subespaço de [0, 1] C onde C := {f X [0,1] : f é contínua}. Dem.: Considere ϕ : X [0, 1] C dada por ϕ(x) := (f(x)) f C Vejamos que ϕ é um homeomorfismo sobre sua imagem. ϕ é injetora: Basta notar que X é T e que os unitários de X são fechados. ϕ é aberta sobre sua imagem: Seja V X aberto não vazio. Seja x := (x f ) f C ϕ(v ). Seja y V tal que ϕ(y) = x. Seja g C tal que g(y) = 0 e g(z) = 1 para todo z / V. Vamos mostrar que W := f C W f onde { [0, 1 W f := 2 [ se f = g [0, 1] se f g Note que W é aberto e que ϕ(y) = x W. Resta mostrarmos que W ϕ[x] ϕ[v ]. Seja z X tal que ϕ(z) W. Então g(z) 1 e, portanto, z V pela definição de g. ϕ é contínua: Seja V = f C V f um aberto elementar de [0, 1] C. Seja A := {f C : V f [0, 1]}. Para cada f A, seja U f := f 1 (V f ). Note que U f é aberto (pois cada f A é contínua). Note que f A (U f ) é aberto (pois A é finito) e que ϕ 1 (V ) = f A (U f ). Definição 4.3. Sejam X Y espaços topológicos. Dizemos que X tem a propriedade da extensão de funções contínuas de X se, para toda f : X [0, 1] contínua, existe g : Y [0, 1] contínua que estende g. Lema 4.4. Usando a notação de 4.2, temos que ϕ[x] tem a propriedade da extensão de funções contínuas de ϕ[x]. Dem.: Seja f : ϕ[x] [0, 1] contínua (isto é, f C). Definimos g : [0, 1] C [0, 1] por g(y) = pr f (y) para todo y [0, 1] C. Note que, assim definida, g é contínua pois pr f é contínua. Vejamos que de fato ela estende f. Seja ϕ(x) ϕ[x]. Temos g(ϕ(x)) = pr f (ϕ(x)) = f(x) pela definição de ϕ. Proposição 4.5. Sejam Z um conjunto e X, Y z, com z Z, espaços topológicos. Seja f : X z Z Y z. Temos que f é contínua se, e somente se, para todo z Z, pr z f é contínua. Dem.: ) Imediato pois composta de contínuas é contínua e pelo fato que as projeções são contínuas. ) Sejam z 1,..., z n Z e V 1,..., V n abertos de Y z1,..., Y zn respectivamente. Basta mostramos que f 1 (prz 1 1 (V 1 ) prz 1 n (V n )) é aberto (pois intersecções finitas de abertos da forma prz 1 (V z ) formam uma base para z Z Y z). Mas f 1 (πz 1 1 (V 1 ) prz 1 n (V n )) = f 1 (prz 1 1 (V 1 )) f 1 (prz 1 n (V n )) = (pr z1 f) 1 (V 1 ) (pr zn f) 1 (V n ) que é aberto pois pr z f é contínua para todo z. 7

8 Lema 4.6. Usando a notação de 4.2 temos que, dada f : ϕ[x] K função contínua onde K é um compacto T 2, temos que existe g : ϕ[x] K extensão contínua de g. Dem.: Podemos repetir a construção de 4.2 e supor K [0, 1] I para algum I. Seja f : ϕ[x] K contínua. Para cada i I, considere f i := pr i f : ϕ[x] [0, 1]. Note que f i é contínua pois pr i é contínua. Por 4.4 temos que existe g i : ϕ[x] [0, 1] extensão contínua de f i. Considere g : βx [0, 1] I dada por g(y) = (g i (y)) i I. Temos que g é contínua por 4.5. Resta mostrar que, de fato, g[ϕ[x]] K. Para isso, suponha que não. Então existe z [0, 1] I K. Como K é compacto e, portanto, fechado (já que [0, 1] I é T 2 ) temos que existe V vizinhança aberta de z tal que V K =. Assim, como g é contínua, g 1 [V ] é um aberto não vazio. Seja x g 1 (V ) ϕ[x]. Note que g(x) K V o que contraria como tomamos V. Teorema 4.7 (da Compactificação de Stone-Čech). Seja X espaço T e T 2. Então existe um espaço compacto e T 2 denotado por βx satisfazendo: (i) X é denso em βx. (ii) βx tem a propriedade da extensão de funções contínuas de X. Além disso, βx é o único espaço, a menos de homeomorfismo, com tais propriedades. Tal espaço é dito o compactificado de Stone-Čech de X. Dem.: A existência segue de 4.4. Vejamos a unicidade. Seja Y espaço compacto T 2 tal que X Y e Y tem a propriedade da extensão de funções contínuas de X. Considere id : X Y a função contínua id(x) = x. Pela propriedade da extensão de funções contínuas de Y, temos que existe f : βx Y contínua extensão de id. Por outro lado, pela propriedades da extensão de funções contínuas de βx, podemos tomar g : Y βx contínua que estende a identidade de X βx. Note que f g X = g f X = id. Como X é denso, temos que f e g são uma a inversa da outra e, portanto, βx e Y são homeomorfos. Corolário 4.8. Sejam X espaço T e T 2 e K um espaço compacto e T 2. Se f : X K é uma função contínua, então existe g : βx K extensão contínua de f. Dem.: Imediato por 4.7 e por 4.6. Definição 4.9. Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é localmente compacto se, para todo x X, x admite sistema fundamental de vizinhanças compactas. Teorema Seja (X, T ) um espaço T 2, localmente compacto e não compacto. Considere Y := X { } e B := T {Ω Y : Ω e X Ω é compacto em X}. Temos: (i) B gera uma topologia T sobre Y ; (ii) (X, T ) é um subespaço topológico aberto de (Y, T ); (iii) X é denso em (Y, T ). Chamamos o espaço (Y, T ) de compactificado de Alexandroff de X. 8

9 Dem.: (i) Exercício. (ii) Basta notar que X T e que, dado U T temos que U X T. (iii) Imediato pela definição de B e pelo fato de X não ser compacto. Proposição Sejam X e Y espaços topológicos T 2 tais que X é localmente compacto e denso em Y e Y é compacto. Então X é aberto em Y. Dem.: Seja x X. Então existe V aberto de X tal que x V V X X tal que V X é compacto em X. Note que, asim, V X também é compacto em Y. Seja W aberto de Y tal que V = W X. Como X é denso em Y, temos que W X Y = W Y. Por outro lado, W X Y V X X. Assim, W é um aberto de Y contido em X. Definição Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é enumeravelmente compacto se todo recobrimento aberto enumerável admite subrecobrimento finito. Definição Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é seqüencialmente compacto se toda seqüência de pontos de X possui subseqüência convergente. Proposição Seja X um espaço enumeravelmente compacto. Então todo subconjuto infinito de X tem ponto de acumulação. Dem.: Seja A X infinito. Suponha que A não tem pontos de acumulação. Note que podemos supor A enumerável. Para cada x X, temos que existe W x vizinhança aberta de x tal que (W x {x}) A =. Note que, se x / A, então W x A = e, portanto, A é fechado. Note também que, se x A, então W x A = {x}. Seja C := {X A} {W x : x A} Note que C é um recobrimento aberto enumerável de X. Logo, existe C C finito tal que C = X. Assim, existe A A finito tal que x A W x A. Absurdo pois x A W x A = A que é um conjunto finito. 5 Aula do dia 22/08/2005 Proposição 5.1. Seja X um espaço metrizável. Se X é enumeravelmente compacto, então X tem base enumerável. Dem.: Seja d uma métrica compatível com a topologia de X. Seja n 1. Seja x 0 X. Se B(x 0, 1 n ) = X, tomamos A n := {x 0 }. Se não, considere x 1 X B(x 0, 1 n ). Se B(x 0, 1 n ) B(x 1, 1 n ) = X, tomamos A n := {x 0, x 1 }. Se não, considere x 2 X (B(x 0, 1 n ) B(x 1, 1 n )) e continuamos o processo. Note que existe um p ω em que o processo pára, isto é, que x A p B(x, 1 n ) = X. De fato, se não existe tal p, temos que existe (x m ) m ω tal que x m+1 / k<m B(x k, 1 d ). Note que F := {x m : m ω} é um fechado de X. Logo, C := {X F } {B(x m, 1 n ) : m ω} é um recobrimento aberto e enumerável de X. Mas, por sua construção temos que C não admite subrecobrimento finito, o que contraria o fato que X é enumeravelmente compacto. Considere B := x A n {B(x, 1 n )}. Note que B é enumerável e que é base para X. 9

10 Corolário 5.2. Seja X metrizável. Então X é compacto se, e somente se, X é enumeravelmente compacto. Dem.: ) : Imediato. ) : Seja C recobrimento aberto de X. Seja B base enumerável de X. Considere D := {b B : u C b u} Note que D é enumerável e que é um recobrimento de X. Logo, existe D D subrecobrimento finito. Para cada d D, considere u d C tal que d u d. Note que C := {u d : d D } é um subrecobrimento finito de X. Proposição 5.3. Seja X espaço topológico T 2. Temos que X é enumeravelmente compacto se, e somente se, para todo A X infinito, A admite ponto de acumulação em X. Dem.: ) : Imediato por 4.14 ) : Seja (U n ) n ω um recobrimento aberto de X. Suponha que (U n ) n ω não admita subrecobrimento finito. Para cada n ω, seja x n U n tal que x n / k<n U k. Seja a ponto de acumulação de {x n : n ω}. Seja n tal que a U n. Como X é T 2, U n {x n : n ω} é infinito. Então existe m > n tal que x m U n, o que contraria como tomamos x m. Proposição 5.4. Seja X um espaço metrizável. Então X é enumeravelmente compacto se, e somente se, X é seqüencialmente compacto. Dem.: ) : Seja A X infinito enumerável. Vamos mostrar que A tem ponto acumulação e concluir o resultado por 5.3. Escreva A = {a n : n ω} com os a n s 2-2 disjuntos. Por hipótese, podemos tomar b limite de alguma subseqüência de (a n ) n ω. Note que b é ponto de acumulação de A. ) : Seja (b n ) n ω seqüência de pontos de X. Note que podemos supor que T := {b n : n ω} é infinito. Por 5.3, temos que existe b ponto de acumulação de T. Definimos (n p ) p ω por indução sobre p da seguinte maneira 1 n p := min{n ω : n > n p 1 e b n B(b, ) {b}} p + 1 Note que b np b. Com base em 5.2 e 5.4, o seguinte resultado é imediato: Teorema 5.5. Seja X metrizável. As seguintes condições são equivalentes: (i) X é compacto; (ii) X é enumeravelmente compacto; (iii) X é seqüencialmente compacto. 10

11 Proposição 5.6. βω = 2 2ω. Dem.: Seguindo a notação de 4.2, considere C o conjunto das funções contínuas de ω em [0, 1]. Note que, como a topologia de ω é discreta, temos que C = [0, 1] ω. Lembramos que βω [0, 1] C e, portanto βω [0, 1] C = (2 ω ) 2ω = 2 2ω. Assim, só precisamos nos preocupar com a outra desigualdade. Por 2.2 temos que existe D [0, 1] C denso enumerável. Seja f : ω D [0, 1] C bijeção. Por 4.8, temos que existe F : βω [0, 1] C extensão contínua de f. Note que F é sobre pois F [βω] é compacto e, portanto, fechado. Assim, [0, 1] C = D F [βω] e, portanto, βω 2 2ω. Exercício 5.1. Mostre que todo fechado infinito de βω tem cardinalidade 2 2ω. Note que, pelo exercício anterior, temos que não existem seqüências convergentes não trivias em βω. Corolário 5.7. βω é um espaço compacto, T 2 mas não é seqüencialmente compacto. Exemplo 5.8. Seja I um conjunto não enumerável. Considere {0, 1} I com a topologia discreta em {0, 1} e Σ := {(x i ) i I {0, 1} I : {i I : x i 0} é enumerável} com a topologia induzida por {0, 1} I. compacto. Para ver que Σ não é compacto, basta notar que Σ = {0, 1} I. Vamos mostrar que Σ é seqüencialmente compacto mas não é Vamos mostrar que Σ é seqüencialmente compacto. Seja (b n ) n ω seqüência de pontos de Σ. Escreva b n = (b n i ) i I. Sejam J n := {i I : b n i 0} e J := n ω J n. Note que J é enumerável. Seja i I J. Note que b n i = 0 para todo n. Considere pr J : {0, 1} I {0, 1} J projeção. Note que {0, 1} J é metrizável (pois J é enumerável) e é compacto. Logo, existem K ω infinito e a {0, 1} J tais que pr J (b n ) n K a. Defina a {0, 1} I dado por { a ai se i J i := 0 caso contrário Note que b n n K a. Definição 5.9. Seja X um conjunto totalmente ordenado por. Definimos em X uma topologia, dita a topologia da ordem, que tem como sub base 1 intervalos da forma {x X : y < x} e {x X : y > x} onde y X. 1 A é uma sub base de T se {a 1 a n : a 1,..., a n A} é uma base para T. 11

12 6 Aula do dia 24/08/2005 Proposição 6.1. Seja F βω conjunto infinito e fechado. Então F = 2 2ω. Dem.: Seja b ponto de acumulação de F. Note que b F. Vamos contruir as seqüências (a n ) n ω e (V n ) n ω tais que, para todo n ω, temos: a n V n ; V n é aberto; V n V m = se n m. Para construir tal seqüência, tomamos a 0 como qualque ponto de F distinto de b. Por βω ser T 2, temos que existe U 0 e V 0 abertos tais que b U 0, a 0 V 0, U 0 V 0 =. Suponha agora construidos a n s e V n s para n < k (também supomos os U n s construidos). Tomamos a k F U k {b}. Novamente por T 2, existem U e V abertos disjuntos tais que b U e a k V. Tome V k := V k 1 V e U k := U k 1 U. Seja A := {a n : n ω}. Note que A é discreto e, portanto, homeomorfo a ω. Seja g : A [0, 1] uma função contínua. Considere G : ω [0, 1] dada por { g(ai ) se n V G(n) := i ω 0 caso contrário Seja G : βω [0, 1] extensão contínua de G. Temos G(a i ) G[V i ] G[V i ] = G[V i ω βω ] G[V i ω] βω = {g(a i )} Assim, temos que G estende g para βω (e, em particular, estende para A). Logo, A tem a propriedade da extensão de funções contínuas de A e, como A é denso em A e A é compacto, temos que A é homeomorfo a βω (pois ω é homemorfo a A e por 4.7). Assim, por 5.6 e por A F, temos o resultado. Definição 6.2. Seja X um conjunto. Denotamos por Sq(X) o seguinte conjunto: Sq := {s : existe n ω tal que s é uma função de n em X} No caso em que s Sq(X), doms = n e x X, denotamos por s x a função g : n + 1 X tal que g(k) = s(k) para todo k < n e g(n) = x. Proposição 6.3. Seja X espaço topológico compacto, T 2 e sem pontos isolados. Então X 2 ω. Dem.: Para cada s Sq({0, 1}) com s 1, definimos a s e V s tais que: (i) a s V s ; (ii) V s é aberto; (iii) V s 0 V s 1 = ; 12

13 (iv) V s 0, V s 1 V s. Fazemos isso da seguinte maneira. Se s = 1, então s = {(0, 0)} =: s 0 ou s = {(0, 1)} =: s 1. Tomamos a s0 e a s1 dois pontos distintos quaisquer. Como X é compacto T 2 e, portanto, regular, temos que existem V s1 e V s2 vizinhanças de a s1 e a s2 respectivamente tais que V s1 V s1 =. Dado s Sq(X), como X não tem pontos isolados, existem a s 0 e a s 1 dois pontos distintos. Novamente, como X é regular, podemos tomas V s 0 e V s 1 vizinhanças de a s 0 e a s 1 respectivamente e satisfazendo (iii) e (iv). Considere ϕ : {0, 1} ω X dada por ϕ(f) := x n ω V f n Note que existe pelo menos um x como acima (e escolhemos um deles) pois X é compacto. Lema 6.4. Seja A R não enumerável. Então existe a A tal que para toda vizinhança V de A, temos que V A é não enumerável. Dem.: Suponha que não. Então, para cada a A, existe V a vizinhança tal que V a A é enumerável. Seja B uma base enumerável de R. Para cada a A, considere B a B tal que a B a V a. Note que a a B a A. Como só existe uma quantidade enumerável de B a s e cada um deles só tem uma quantidade enumerável de elementos de A, temos que a A B a A é enumerável. Mas isso contraria o fato que A é não enumerável. Note que a última demonstração serve para qualquer espaço que tenha base enumerável. Proposição 6.5. Seja F R fechado. Então ou F é enumerável, ou R = 2 ω. Dem.: Suponha F não enumerável. Note que podemos supor F limitado 1 e, portanto, compacto. Considere o seguinte conjunto: Por 6.4, temos que M. M := {x F : Se V é vizinhança de x, então V F é não enumerável} Vamos mostrar que M é fechado e, portanto, compacto. Suponha que não. Então existem x M M e V vizinhança de x tais que V F é enumerável. Note que existe m V M, o que contraria a definição de M. Vamos agora mostrar que M não tem pontos isolados. Suponha que não e sejam z M e Ω aberto tais que Ω M = {z}. Note que F M é enumerável, pois, caso contrário, por 6.4, existiria x F M tal que x M. Com isso, temos: Assim, z / M, absurdo. Ω F = Ω (F M) Ω }{{}} {{ M } enumerável {z} Proposição 6.6. Seja f : ω 1 R contínua (ω 1 com a topologia da ordem). Então existe β ω 1 tal que f(α) = f(β) para todo α β. 1 existe n tal que [ n, n] F é não enumerável 13

14 Dem.: Seja n 1. Vamos mostrar que existe β n ω 1 tal que f(α) f(β n ) 1 n Suponha que não exista tal β n. Então podemos tomar (γ m ) m ω e (α m ) m ω tais que γ 1 < α 1 < γ m < α 1 < ω 1 e tais que f(α m ) f(γ m ) > 1 n. Note que sup{γ m : m ω} = sup{α m : m ω}. Seja δ < w 1 tal sup. Como f é contínua, temos que f(γ m ) f(δ) e f(α m ) f(δ). Logo, f(α m ) f(γ m ) 0, o que contraria como tomamos os α m s e os γ m s. Seja β := sup{β n : n ω}. Note que β ω 1 e que satisfaz o que desejamos. Proposição 6.7. βω 1 é homeomorfo a ω Dem.: Note que ω é compacto e que ω 1 = ω Seja f : ω 1 [0, 1] função contínua. Por 6.6, temos que existem x [0, 1] e β ω 1 tais que f(α) = x para todo α β. Seja F : ω [0, 1] dada por { f(α) se α < ω1 F (α) = x se α = ω 1 Note que F é contínua e estende f. Assim, temos o resultado por Aula do dia 29/08/2005 Definição 7.1. Seja X um espaço toplógico. Dizemos que X é um espaço de Lindelöf se todo recobrimento aberto de X admite subrecobrimento enumerável. Proposição 7.2. Seja X espaço topológico satisfazendo o segundo axioma de enumerabilidade. Então X é de Lindelöf. Dem.: Seja C um recobrimento aberto de X. Seja B uma base enumerável para X. Considere A := {B B : existe C C tal que B C}. Note que A é um recobrimento aberto enumerável de X. Para cada A A seja C A C tal que A C A. Note que C := {C A : A A} é um subrecobrimento de C e que é enumerável. Exemplo 7.3. Lembre que R (a reta de Sorgenfrey) não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Mas, vamos mostrar, é de Lindelöf. Seja C um recobrimento aberto de R. Podemos supor que C é formado por abertos básicos (isto é, da forma [a, b[ com a < b). Considere Ω := {]a, b[: [a, b[ C} Note que Ω é aberto em R (com a topologia usual). Note também que {]a, b[: [a, b[ C} é um recobrimento aberto do subespaço real Ω. Assim, como Ω R é de Lindelöf 1, existe A C tal que Ω = {]a, b[: Note que, como R satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, Ω também satisfaz. E, portanto, é de Lindelöf por 14

15 [a, b[ A}. Vamos mostrar que R Ω é enumerável (note que isso é suficiente para o que desejamos). Seja x R Ω. Note que, então, não existe [a, b[, com a < x < b, tal que [a, b[ A. Para cada x R, existe b x R tal que [x, b x [ A. Fize r x Q tal que x < r x < b x. Só precisamos mostrar que, dados x, y R Ω distintos, temos b x b y. Suponha, sem perda de generalidade, que x < y. Note que, pela definição de Ω, r x < y. Como y < r y, temos o resultado. Definição 7.4. Seja X espaço topológico. Seja A uma família de subconjuntos de X. Dizemos que A é uma família localmente finita se, para cada x X, existe V vizinhança de x tal que {A A : A V } é finito. Definição 7.5. Seja X espaço topológico. Sejam C e C 0 recobrimentos abertos de X. Dizemos que C 0 refina (ou é um refinamento de) C se, cada elemento de C 0 está contido em algum elemento de C. Definição 7.6. Seja X espaço topológico. Dizemos que X é um espaço paracompacto se todo recobrimento aberto seu admite um recobrimento aberto localmente finito que o refina. Observação 7.7. Note que compacto implica paracompacto. Proposição 7.8. Se X é de Lindelöf e T 3 então X é paracompacto. Dem.: Seja C recobrimento aberto de X. Para cada x X, seja Ω x C tal que x Ω x. Como X admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas (por ser T 3 ), é possível fixar V x vizinhança aberta de x tal que V x Ω x. Note que W := {V x : x X} é um recobrimento aberto de X. Como X é de Lindelöf, W admite subrecobrimento enumerável W. Se W é finito, acabamos. Se não, escreva W = {V xn : n ω}. Definimos U 0 := V x0 e U n+1 := Ω xn+1 (V x0 V xn ). Note que {U n : n ω} refina C e é um recobrimento aberto de X. Resta mostrarmos que é localmente finito. Seja z X. Então existe x n tal que z V xn. Note que, se k > n, U k V xn = pela definição de U k. Observação 7.9. Pela proposicao anterior, a reta de Sorgenfrey é um espaço paracompacto. Lema Sejam X e Y espaços topológicos com Y compacto. Seja C recobrimento aberto de X Y. Seja x X. Então existe C x C finito e W x vizinhança aberta de x tais que W x Y C x Dem.: Para cada y Y existem A y e B y abertos tais que (x, y) A y B y e A y B y está contido em algum elemento de C. Note que {B y : y Y } é um recobrimento aberto de Y. Portanto, existe Y x Y finito tal que {B y : y Y x }. Note que W x := y Y x A y é uma vizinhança aberta de x. Para cada B y, seja C y C tal que W x B y C y. Note que W x e C x := {C y : y Y x } satisfazem o que desejamos. Corolário Sejam X um espaço de Lindelöf e Y um espaço compacto. Então X Y é de Lindelöf. 15

16 Dem.: Seja C um recobrimento aberto de X Y. Para cada x X, sejam W x e C x dados por Note que {W x : x X} é um recobrimento aberto de X. Logo, existe X X enumerável tal que {W x : x X } é um recobrimento de X. Note que {C x : x X } é um sub-recobrimento enumerável de X Y. Corolário Sejam X um espaço paracompacto e Y um espaço compacto. Então X Y é um espaço paracompacto. Dem.: Seja C um recobrimento aberto de X Y. Para cada x X, sejam W x e C x dados por Note que {W x : x X} é um recobrimento aberto de X. Como X é paracompacto, existe A refinamento de {W x : x X} que recobre X e é localmente finito. Para cada A A, seja x tal que A W x e C A := {(A Y ) C : C C x }. Vamos mostrar que C := {C A : A A} satisfaz o que desejamos. Note que é um recobrimento de X Y que refina C. Resta mostrarmos que é localmente finito. Seja (x, y) X Y. Seja V vizinhança de x tal que {V A : A A} seja finito. Note que V Y intercepta apenas uma quantidade finita de elementos de C. 8 Aula do dia 31/08/2005 Proposição 8.1. Sejam X um espaço enumeravelmente compacto e Y um espaço compacto. Então X Y é enumeravelmente compacto. Dem.: Seja C um recobrimento aberto enumerável de X Y. Considere A o conjunto dos subconjuntos finitos não vazios de C. Como C é enumerável, A também é enumerável. Para cada A A, considere Ω A := {x X : W vizinhança aberta de x tal que W Y A} Note que Ω A é aberto em X. Note também que {Ω A : A A} é um recobrimento aberto enumerável de X (por 7.10). Como X é enumeravelmente compacto, existe A A finito tal que {Ω A : A A } = X. Para cada A A seja C A C finito tal que Ω A Y C A. Note que {C A : A A } C é um subrecobrimento finito de X Y. Lema 8.2. Sejam X um espaço topológico e F uma família localmente finita em X. Então F = {F : F F}. Dem.: : Seja x F. Como F é localmente finita, existe V aberto tal que x V e {F F : V F } é finito. Então, existem F 1,..., F n F tais que x n i=1 F n. Logo, existe F i F tal que x F i e, portanto, x {F : F F}. : Basta notar que F F para F F. Proposição 8.3. Seja X espaço paracompacto T 2. Então X é T 3. 16

17 Dem.: Sejam x X e F X um fechado não vazio tais que x / F. Para cada y F, existem U y e Ω y abertos disjuntos tais que x U y e y Ω y. Assim, x / Ω y. Considere C := {Ω y : y F } {X F } Note que C é um recobrimento aberto de X. Como X é paracompacto, existe D recobrimento aberto de X, localmente finito e que refina C. Note que W := {U D : U F } F. Como W é aberto, se mostrarmos que x / W, acabamos. Como D é localmente finita, temos, por 8.2, temos que W = {U : U D e U F }. Como U Ω y para algum y e x / Ω y, temos o resultado. Proposição 8.4. Seja X um espaço topológico. As seguintes propriedades são hereditárias para subespaços fechados 1 (i) compacto; (ii) enumeravelmente compacto; (iii) paracompacto; (iv) seqüencialmente compacto; (v) Lindelof. Dem.: As demonstracões de (i), (ii), (iii), e (v) são análogas umas às outras. Vamos então mostrar (iii). Seja F X fechado. Seja C recobrimento aberto de F. Para cada C C, considere Ω C aberto de X tal que C = Ω C F. Temos que C := {Ω C : C C} {X F } é um recobrimento aberto de X. Como X e paracompacto, existe D recobrimento aberto de X, localmente finito e que refina C. Considere D := {D F : D D e D F } Note que D é um recobrimento aberto de F, localmente finito e que refina C. Vamos agora mostrar (iv). Seja F X. Seja (x n ) n ω seqüência de pontos em F. Como X é J seqüencialmente compacto, temos que existem x X e J ω infinito tais que x n x. Como F é fechado, temos que x F. Então (x n ) n J é uma subseqüência convergente em F. Definição 8.5. Sejam X e Y espaços topológicos. Denotamos por C(X, Y ) o conjunto das funções de X em Y contínuas. Proposição 8.6. Seja X espaço T e T 2. Então C(X, R) é denso em R X. Dem.: Seja V := x X aberto elementar não vazio. Sejam x 1,..., x n X tais que {x 1,..., x n } = {x X : V x R}. É preciso mostrar que existe f : X R contínua tal que, para cada i = 1,..., n, temos que f(x i ) V xi. Como X é T 2, existem U 1,..., U n abertos 2-2 disjuntos tais que x i U i para i = 1,..., n. Para cada i, seja r i V xi. Como X é T 3 1, para cada i existe f i : X R contínua tal que f(x 2 i ) = r i e f(y) = 0 para todo y X U i. Considere n f := Note que f satisfaz o que desejamos. 1 Isto é, se X tem a propriedade P, então F X fechado também tem a propriedade P. i=1 f i 17

18 Proposição 8.7. C(ω 1, R) não tem um denso enumerável. Dem.: Suponha por absurdo que existe D C(ω 1, R) denso enumerável. Para cada f D, existe, por 6.6, α f < ω 1 tal que, para todo β tal que α f β < ω 1 temos f(α f ) = f(β). Seja γ := sup{α f : f D}. Como D é enumerável, temos que γ < ω 1. Note que A := {f(γ) : f D} é enumerável. Sejam r, s R A distintos e U e V abertos (de R) disjuntos tais que r U e s V. Considere W := α ω 1 W α aberto elementar de R ω1 tal que U se α = γ + 1 W α := V se α = γ + 2 R caso contrário Note que W C(ω 1, R) é não vazio (contém, por exemplo, a função que vale s em todos os pontos menos em γ + 1 onde vale r), mas W D =. Observação 8.8. O último resultado mostra que, ao contrário dos dois outros axiomas, o terceiro axioma de enumerabilidade não é hereditário (pois, por 2.2, R ω1 é separável e temos que C(ω 1, R) R ω1 ). 9 Aula do dia 12/09/2005 Exercício 9.1. Seja X um espaço T 1 e C uma família não vazia e localmente finita de subconjuntos não vazios de X. Mostre que, se A C é tal que A Y é unitário para todo Y C, então A é fechado. Dem.: Note que A = Y C (Y A) e que {Y A : Y C} é localmente finito. Assim, por 8.2, temos que A = Y C Y A. Como X é T 1 e, portanto, cada unitário é fechado, temos o resultado. Definição 9.1. Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é um espaço σ-compacto se existem (K n ) n ω compactos de X tais que X = n ω K n. Proposição 9.2. Seja X um espaço localmente compacto. Então X é de Lindelöf se, e somente se X é σ-compacto. Dem.: ) : Para cada x X, seja V x vizinhança compacta de x. (x n ) n ω tais que X = n ω V x n. Como X é de Lindelöf, existem ) : Sejam (K n ) n ω compactos tais que X = n ω K n. Seja C recobrimento aberto de X. Para cada n ω, existe C C finito tal que C K n (pois K n é compacto). Note que n ω C n é um subrecobrimento enumerável de C. Proposição 9.3. Seja X um espaço localmente compacto, T 2 e não compacto. Seja Y := X { } o compactificado de Alexandroff de X. Se X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então Y também satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade se, e somente se, X é σ-compacto. 18

19 Dem.: ): Seja (V n ) n ω base local para. Note que, para cada n, X V n é compacto e que X = n ω X V n. ): Sejam (K n ) n ω compactos tais que X = n ω K n. Para cada x K 0, seja V x vizinhança aberta de x tal que V x é compacto. Como K 0 é compacto, existem x 1,..., x n K 0 tais que K V x1 V xn. Note que L 0 := V x1 V xn é um compacto que contém K 0. Construido L n compacto, defina, para cada x L n K n+1, V x vizinhança aberta tal que V x é compacto. Como L n K n+1 é compacto, existem x 1,..., x m L n tais que L n K n+1 V x1 V xm. Defina L n+1 := V x0 V xm. Temos então que X = n ω L n, L n L n+1 e, se K X é um compacto, então existe n ω tal que K L n. De fato, seja K compacto. Note que {intl n : n ω} é um recobrimento aberto de K. Logo, admite um subrecobrimento finito. Como L n L n+1, existe n ω tal que K L n. Vamos mostrar que {Y L n : n ω} é uma base local para. Seja V vizinhança aberta de. Então Y V é compacto, logo, existe L n tal que Y V L n e, portanto, V Y L n. Note que no resultado anterior, tendo em vista 9.2, podemos substituir σ-compacto por Lindelöf. Proposição 9.4. Seja X um espaço localmente compacto, paracompacto e T 2. Então existem (A ξ ) ξ<κ abertos fechados de X tais que X = ξ<κ A ξ e cada A ξ é uma união enumerável de subconjuntos compactos. Dem.: Para cada x X, seja V x vizinhança de x tal que V x é compacto. Como X é paracompacto, existem C uma cobertura por abertos que refina {V x : x X} e que é localmente finita. Note que, como é um refinamento, dado C C, temos que C é um compacto. Fixe C C. Seja B 0 := C. Para cada n 1, considere B n+1 := {C C : C B n } Note que, como C é localmente finito, temos, por 8.2, que cada B n é compacto. Considere A 0 := n ω B n. Definimos A ξ da seguinte maneira: escolhemos C C tal que C η<ξ A η = (se não existe, terminamos o processo e tomamos κ := ξ). Tomamos C 0 := C e Definimos A ξ := n ω C n. C n+1 := {C C : C C n } Antes de mostrarmos o que (A ξ ) ξ<κ satisfaz o que desejamos, mostremos o seguinte fato: Se C C é tal que C A ξ, então C A ξ. Sejam C e A ξ com tais propriedades. Seja x A ξ C. Então, pela construção de A ξ, existe C n tal que x C n. Logo, C C n+1 A x i. Vamos agora mostrar que (A ξ ) ξ<κ satisfaz o que desejamos. Seja x X. Então existe C C tal que x C. Pela construção, existe um A ξ tal que C A ξ. Então, pelo comentário acima, C A ξ e, portanto x A ξ. Ou seja, acamos de mostrar que X = ξ<κ A ξ. Que cada A ξ é união enumerável de compactos segue do fato que cada C para C C é compacto. Para ver que cada A ξ é aberto fechado, basta notar que, para cada x X, existe C C tal que x C. Como C é aberto, concluimos o resultado pelo comentário feito acima. 19

20 10 Aula do dia 19/09/2005 Proposição Seja X espaço T 2. Então {(x, x) X X : x X} é fechado em X X. Dem.: Seja (x, y) X X com x y. Sejam U e V abertos disjuntos tais que x U e y V. Note que U V {(a, a) : a X} = e, como (x, y) U V, temos o resultado. Definição Sejam X um conjunto e κ um cardinal. Denotamos por [X] κ o conjunto {a X : a = κ}. E denotamos por [X] κ o conjunto {a X : a κ}. Exemplo Produto de (dois) enumeravelmente compactos não é necessariamente enumeravelmente compacto. Vamos definir (A ξ ) ξ<ω1 e (B ξ ) ξ<κ famílias de subconjuntos de βω tais que: se ξ < η então A ξ A η e B ξ < B η ; dados ξ, η < ω 1 temos que A ξ B η = ω; A ξ 2 ω e B ξ 2 ω. Sejam A 0 = B 0 := ω. Suponha definidos (A ξ ) ξ<κ e (B ξ ) ξ<κ. Para cada X [ ξ<κ A ξ] ω, escolha a X ponto de acumulação de X em βω tal que a X / ξ<κ B ξ. Note que sempre podemos fazer isso pois ξ<κ B ξ 2 ω e por que todo subconjunto infinito e fechado de βω tem cardinalidade 2 2ω (por 5.1). Defina A κ := {a X : X [ A ξ ] ω } Para cada X [ ξ<κ B ξ] ω seja b X ponto de acumulação de X em βω tal que b X / ξ κ A ξ. Defina ξ<κ ξ<κ B κ := {b X : X [ B ξ ] ω } ξ<κ Note que todo subconjunto infinito de A ξ admite ponto de acumulação em A ξ+1 (e analogamente para B ξ ). Defina A := ξ<ω 1 A ξ e B := ξ<ω 1 B ξ. Vamos mostrar que A e B são enumeravelmente compactos. Por 5.3, basta mostrarmos que, dado X [A] ω, existe a A ponto de acumulação de X. Seja X [A] ω. Então existe ξ < ω 1 tal que X A ξ. Pelo comentário acima, existe a A ξ+1 A ponto de acumulação para X. Note que vale o análogo para B. Vamos agora mostrar que A B não é enumeravelmente compacto. Novamente por 5.3, basta mostrarmos que existe X [A B] ω tal que X não tenha ponto de acumulação. Considere := {(n, n) A B : n ω}. Note que é discreto (e, portanto, não tem pontos de acumulação em si mesmo) e que é fechado (por 10.1 e pelo fato que (A B) {(x, x) : x βω} = ). Logo, é fechado em A B e, por ser discreto, não tem pontos de acumulação em A B. ξ<κ A ξ B ξ Lema Seja X espaço topológico que verifica o primeiro axioma de enumerabilidade. Seja A X. Se x A, então existe (a n ) n ω seqüência de pontos de A tal que a n x. Dem.: Seja (V n ) n ω sistema fundamental de vizinhanças de x. Note que podemos supor V n+1 V n. Para cada n ω, escolha a n V n A. 20

21 Lema Seja X espaço T 2 e que verifica o primeiro axioma de enumerabilidade. Seja A X. Então A A ω. Dem.: Por 10.4 temos que, para cada x A, existe (a x n) n ω A tal que a x n x. Como X é T 2, temos que, se x y, então {a x n : n ω} {a y n : n ω}. Logo, A A ω. Proposição Seja X espaço compacto T 2 que verifica o primeiro axioma de enumerabilidade. Então X 2 ω. Dem.: Vamos supor X infinito. Para cada x X, seja W x sistema fundamental de vizinhanças abertas enumerável de x. Seja A 0 X infinito tal que A 0 2 ω. Vamos definir uma família (B ξ ) ξ<ω1 de fechados tais que B ξ 2 ω e B ξ B η se ξ < η. Seja B 0 := A 0. Note que, por 10.5, B 0 2 ω. Suponha definidos (B ξ ) ξ<κ para κ < ω 1. Se κ é limite, definimos B κ := ξ<κ B ξ. Se κ = κ + 1, considere A := {W x : x B κ }. Seja C A finito. Se X C =, considere b C X C. Note que existem, no máximo, (2 ω ) ω = 2 ω b C s desta forma. Defina B κ := B κ {b C : se X C } Seja Y := ξ<ω 1 B ξ. Note que Y 2 ω. Note que Y é fechado pois seja x Y. Por 10.4, existe (y n ) n ω Y tal que y n x. Note que existe ξ < ω 1 tal que (y n ) n ω B ξ. Logo, x B ξ B ξ+1 Y. Vamos agora mostrar que X = Y (note que isso resolve o que queremos). Suponha que não. Seja z X Y. Como X é T 2, para cada y Y, existe V y W y tal que z / V y. Note que {V y : y Y } é um recobrimento de Y. Como Y é compacto (pois é fechado num compacto), existem y 1,..., y n Y tais que C := {V y1,..., V yn } é um recobrimento de Y. Seja ξ < ω 1 tal que y 1,..., y n B ξ. Como X C, existe b C X C tal que b C B ξ+1. Absurdo pois b ξ Y e C Y. Corolário Seja X espaço compacto T 2 que verifica o primeiro axioma de enumerabilidade e que não tenha pontos isolados. Então X = 2 ω. Dem.: Imediato por 10.6 e Aula do dia 21/09/2005 Exemplo O Triádico de Cantor. Considere K 0 := [0, 1], K 1 := K 0 ] 1 3, 2 3 [, K 3 := K 2 (] 1 9, 2 9 [ ] 7 9, 8 9 [)... Defina K = n ω K n. Note que [0, 1] = { n=0 a n : a n {0, 1, 2}} e que K = { n=0 a n : a n {0, 2}}. Proposição K como subespaço de [0, 1] é homeomorfo a {0, 1} ω (= 2 ω ). Corolário K ω é homeomorfo a K. 21

22 Definição Sejam X um espaço topológico e F X fechado. Dizemos que F é um retrato de X se existe f : X F contínua tal que f(x) = x para todo x F. Proposição Seja F 2 ω fechado não vazio. Então F é retrato de 2 ω. Dem.: Por motivos de notação, vamos considerar ω = {1,..., n,...}. Dados x := (x n ) n ω, y := (y n ) n ω 2 ω, considere 1 d(x, y) := 3 n x n y n Note que d é uma métrica compatível com a topologia de 2 ω. Dado x 2 ω defina n=1 d(x, F ) := inf{d(x, y) : y F } Primeiramente, vamos mostrar que, se d(x, F ) = r, então existe um único y x F tal que d(x, y x ) = r. Seja x X. Para cada n ω, seja y n F tal que d(x, F ) d(x, y n ) d(x, F ) + 1 n. Como F é compacto (pois é um fechado num compacto) temos que existem (y nk ) k ω subseqüência e y x F tais que y nk y x. Note que d(x, y x ) = d(x, F ). Agora sejam t, z F tais que d(x, t) = d(x, z) = d(x, F ). Suponha t z. Seja m ω mínimo tal que t m z m (escrevendo x = (x n ) n ω, z = (z n ) n ω e t = (t n ) n ω ). Suponha sem perda de generalidade que z m = 0 (e, portanto t m = 1). Temos 1 3 m x m 1 + Se x m = 1, temos que m O caso x m = 0 é análogo. n=m+1 n=m n x n t n = 1 3 m x m + 3 n x n z n = n=m+1 1 n=m+1 3 n x n t n 1 3 n x n z n n=m = 1 1 n 2 3 m. Absurdo. Defina f(x) := y x. Note que, se x F, então f(x) = x. Assim, só nos resta mostrar que f é contínua. Sejam (x n ) n ω X e x X tais que x n x. Basta mostrar que f(x n ) f(x). Note que d(x n, F ) d(x, F ). Suponha por absurdo que não aconteça f(x n ) f(x). Seja ε > 0. Então existe J ω infinito tal que para todo n J, d(f(x n ), f(x)) ε. Como F é compacto, existe K J infinito e n y F tais que x k K nk y. Como d é contínua, d(x n, f(x n )) n k K d(x, y). Como d(x n, f(x n )) d(x, F ), temos que d(x, y) = d(x, F ). Assim, pela unicidade de f(x), temos que f(x) = y, o que contraria como tomamos y. Proposição Seja X compacto não vazio, T 2 e que satisfaça o segundo axioma de enumerabilidade. Então existe F 2 ω fechado não vazio e g : F X contínua e sobrejetora. Dem.: Suponha X infinito. Seja B := {U n : n ω} base de abertos. Para cada n, considere f n : {0, 1} (X) dada por f n (0) = U n e f n (1) = X U n. Seja F o conjunto das seqüências (a n ) n ω {0, 1} ω tais que n ω f n(a n ). Temos: (a) Dado y X, existe (a n ) n ω tal que y n ω f n(a n ). De fato, defina, para cada n, a n := { 0 se y Un 1 se y / U n (b) Se n ω f n(a n ), então n ω f n(a n ) é unitário. De fato, suponha x, y n ω f n(a n ) distintos. Como X é T 2, existem U k, U l B tais que x U k e y U l. Note que, assim, y / U k. Como x n ω f n(a n ), f k (a k ) = U k. Logo, y / n ω f n(a n ), contradição. 22

23 Por (a), temos que F não vazio. Vamos agora mostrar que é fechado. Suponha que exista (a n ) n ω F F. Então n w f n(a n ) =. Como X é compacto e, para cada n ω, f n (a n ) é fechado, temos que existem n 1,..., n p tais que f n1 (a n1 ) f np (a np ) =. Considere V := n ω V n tal que V n := { {ani } se n {n 1,..., n p } {0, 1} caso contrário Como (a n ) n ω F, V F. Mas se (b n ) n ω V F, temos que f n1 (b n1 ) f np (b np ) = e, portanto, (b n ) n ω / F, absurdo. Considere g : F X dada por g((a n ) n ω ) = x onde x é o único ponto tal que x n ω f n(a n ) (a unicidade segue por (b)). Note que temos que g é sobrejetora por (a). Resta mostrar que g é contínua. Seja b = (b n ) n ω. Seja Ω aberto tal que g(b) Ω. Note que existe n tal que f 1 (b 1 ) f n (b n ) Ω (pois, suponha que não. Então, para cada n, o conjunto n i=0 f i(b i ) (X Ω) é um fechado não vazio. Logo, com X é compacto, n ω f n(b n ) (X Ω). Por (b) temos que n ω f n(b n ) = {g(b)}. Como g(b) Ω, chegamos a uma contradição). Considere V := ({b 0 } {b n } {0, 1}...) V. Note que g(b) g[v ] Ω. Corolário Seja X compacto e T 2. Então existe f : {0, 1} ω X contínua e sobrejetora. Dem.: Imediato por 11.6 e por Definição Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é extremamente desconexo se para qualquer A X aberto, temos que A é aberto. Exercício Mostre que βω βω não é homeomorfo a βω. Roteiro: (1) Mostre que βω é extremamente desconexo. Para isso, considere Ω aberto não vazio de βω. Considere χ Ω ω : ω {0, 1} que é contínua. Considere f a extensão de χ Ω ω. (2) Mostre que βωω não é extremamente desconexo. Para isso considere o conjunto {(n, n) : n ω}. 12 Aula do dia 26/09/2005 Definição Seja X um espaço topológico. Chamamos de peso de X o menor cardinal infinito β tal que existe B base de X tal que B β. Neste caso, denotamos β por w(x). Proposição Sejam Y X espaços topológicos. Então w(y ) w(x). Proposição Sejam X e Y espaços topológicos não vazios. Então w(x Y ) = w(x)w(y ). 23