Análise III (Análise no IR n )

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1 Análise III (Análise no IR n ) Notas de aulas André Arbex Hallack Agosto/2008

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3 Índice 1 Noções Topológicas no IR n O espaço vetorial IR n Seqüências Topologia usual Limites e continuidade Homeomorfismos Compacidade Conexidade Norma de uma transformação linear Exercícios Diferenciabilidade Definição: diferenciabilidade de uma aplicação Exemplos de aplicações diferenciáveis Funções reais de m variáveis Exercícios A Regra da Cadeia Teorema/Desigualdade do valor médio Exercícios As classes de diferenciabilidade C k O vetor Gradiente Exercícios i

4 3 Derivadas de ordem superior e a Fórmula de Taylor Inversão na ordem de derivação: Teorema de Schwarz Derivadas de ordem superior A Fórmula de Taylor O Teorema da Aplicação Inversa Preliminares O Teorema da Aplicação Injetiva O Teorema da Aplicação Sobrejetiva O Teorema da Aplicação Inversa O Teorema da Aplicação Implícita Exercícios Integrais Múltiplas A definição de integral Caracterização das funções (Riemann-) integráveis Integrabilidade em domínios mais gerais Somas de Riemann Integração repetida Mudança de variáveis Exercícios Referências 115

5 Capítulo 1 Noções Topológicas no IR n 1.1 O espaço vetorial IR n Consideremos o conjunto IR n = { (x 1, x 2,..., x n ) ; x i IR, i = 1, 2,..., n } das n-uplas de números reais. Dados x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) IR n e α IR, definimos: x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) α.x = (αx 1, αx 2,..., αx n ) Estas operações fazem do IR n um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo IR dos números reais. Produto interno no espaço IR n : Definimos o PRODUTO INTERNO CANÔNICO <, > : IRn IR n IR pondo: < x, y > = x 1 y 1 + x 2 y x n y n x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n Normas: A partir do Produto Interno Canônico acima definido, construímos a NORMA (?) EUCLI- DIANA e : IR n IR pondo: x e = < x, x > x IR n 1

6 2 CAPÍTULO 1 Obs.: Outras duas normas (?) se destacam no IR n : A NORMA DO MÁXIMO m : IRn IR dada por x m = max { x 1, x 2,..., x n } x = (x 1,..., x n ) IR n A NORMA DA SOMA s : IR n IR dada por x s = x 1 + x x n x = (x 1,..., x n ) IR n É fácil mostrar (?) que estas duas normas não provêm de produto interno algum no IR n. Para todo x IR n temos (?) : x m x e x s n. x m Métricas, bolas e conjuntos limitados: A partir de qualquer norma no IR n podemos construir, de modo natural, uma métrica d : IR n IR n IR (noção de distância), pondo: d(x, y) = x y x, y IR n Seguem definições de certos lugares geométricos básicos: Definição 1.1. Consideremos uma norma no IR n. Dados um ponto a IR n e um número real r > 0, definimos: (i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x IR n ; x a < r} (ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = {x IR n ; x a r} (iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x IR n ; x a = r} Obs.: É claro que os lugares geométricos acima definidos dependem da norma considerada. A seguir definimos uma relação de equivalência entre normas: Definição 1.2. Duas normas 1 e 2 no IR n são ditas EQUIVALENTES quando, sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, é possível obter uma bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.

7 Noções Topológicas no IR n 3 A equivalência, assim definida, além de SIMÉTRICA (por definição), é REFLEXIVA E TRANSITIVA, sendo portanto uma RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA(?). Proposição 1.3. (?) Duas normas 1 e 2 no IR n são equivalentes se, e somente se, existem constantes k, l > 0 tais que: l. x 2 x 1 k. x 2 x IR n Já vimos antes que x m x e x s n. x m, para todo x IR n. Portanto as normas Euclidiana, do Máximo e da Soma são EQUIVALENTES! Definição 1.4. Um conjunto X IR n é limitado ( em relação à norma ) quando existir uma constante c > 0 tal que x c para todo x X. É imediato que se duas normas 1 e 2 no IR n são equivalentes então um conjunto X IR n é limitado em relação à norma 1 se, e somente se, X é limitado em relação à norma 2. (?) Proposição 1.5. (?) Um conjunto X IR n é limitado (em relação a qualquer norma equivalente à Norma do Máximo) se, e somente se, todas as suas projeções X 1 = π 1 (X), X 2 = π 2 (X),..., X n = π n (X) são conjuntos limitados em IR. 1.2 Seqüências Definição 1.6. Dizemos que uma seqüência (x k ) no IR n converge para o limite a IR n ( em relação à norma ) quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um índice k 0 IN tal que k > k 0 x k a < ɛ. Neste caso escrevemos: a = lim x k ou x k a. De modo equivalente temos que, para cada ɛ > 0, os termos x k estão na bola aberta B(a; ɛ) (em relação à norma considerada), para todo k suficientemente grande. Uma conseqüência importante da definição acima é que, se duas normas no IR n são equivalentes, então a convergência de uma seqüência independe de qual das normas equivalentes é considerada (?).

8 4 CAPÍTULO 1 Conseqüências imediatas: (?) (i) lim x k = a lim x k a = 0 (ii) Toda seqüência convergente é limitada. (iii) Se lim x k = a então toda subseqüência de (x k ) converge para a. (iv) O limite de uma seqüência convergente é único. Uma seqüência ( (x k ) no IR n ) equivale a n seqüências de números reais, ou seja, para todo k IN, x k = x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) n, onde x (k) i = π i (x k ) = i-ésima coordenada de x k. Essas n seqüências são ditas as Seqüências DAS COORDENADAS de (x k ). Proposição 1.7. (?) Uma seqüência (x k ) no IR n converge (em relação a qualquer norma equivalente à Norma do Máximo) para o ponto a = (a 1, a 2,..., a n ) se, e somente se, para cada i = 1, 2,..., n tem-se lim x (k) i = a i, ou seja, cada coordenada de x k converge para a coordenada correspondente de a. Corolário 1. Dadas as seqüências convergentes (x k ), (y k ) no IR n e (α k ) em IR, sejam lim x k = a, lim y k = b e lim α k = α. Então: (i) lim(x k + y k ) = a + b (ii) lim α k.x k = α.a (iii) lim < x k, y k > = < a, b > A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IR n ter dimensão finita: Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass) (?) Toda seqüência limitada (em relação a qualquer norma equivalente à Norma do Máximo) em IR n possui uma subseqüência convergente. Prova: Exercício (Sugestão: use o mesmo resultado em IR para as seqüências das coordenadas, juntamente com a proposição anterior) Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaço IR n são equivalentes. Demonstração: Sejam s : IR n IR a Norma da Soma, dada por x s = x 1 + x x n x = (x 1, x 2,..., x n ) IR n e : IR n IR uma norma qualquer no IR n.

9 Noções Topológicas no IR n 5 Temos: (i) Por transitividade, se mostrarmos que s estará demonstrado. e são equivalentes, então o teorema (ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela é equivalente à Norma do Máximo. Consideremos a Base Canônica β = {e 1, e 2,..., e n } do IR n. Para todo vetor x = (x 1, x 2,..., x n ) IR n, temos: x = x 1 e x n e n x 1. e x n. e n b.( x x n ) = b. x s onde b = max { e 1,..., e n } (repare que este b está bem definido, pois tomamos o máximo em um conjunto finito de números reais). Logo x b. x s para todo x IR n. (1) Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que x s a. x x IR n. De fato: se isto não ocorrer temos que para todo k IN é possível obter um x k IR n tal que x k s > k. x k (pois k não serviria como tal a > 0 ). Tomemos, para cada k IN, u k = pois x k s > 0 k ) x k x k s (note que a seqüência (u k ) está bem definida, Como u k s = 1 para todo k (verifique), temos que (u k ) é limitada em relação à Norma da Soma. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (u k ) tem uma subseqüência (u kj ) convergente (na Norma da Soma) para um ponto u IR n. Temos então que ukj s u s. Logo u s = 1, o que significa que u 0. Agora, dado ɛ > 0, é possível obter k j0 Logo u ukj0 u + u kj0 b. u kj0 u s + 1 k j0 Assim u = 0 u = 0 (contradição!) tal que u kj0 u s < ɛ 2b e 1 k j0 < ɛ 2. < b. ɛ 2b + ɛ 2 = ɛ. Então, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que x s a. x x IR n. (2) Por (1) e (2), s e são equivalentes, qualquer que seja a norma no IR n.

10 6 CAPÍTULO 1 Por transitividade, temos então que duas normas quaisquer no IR n são equivalentes. Obs.: À luz deste último teorema, temos também que os resultados anteriores são válidos para qualquer norma considerada no IR n. Proposição (IR n é Banach) (?) Uma seqüência (x k ) no IR n é convergente (em relação à qualquer norma considerada) se, e somente se, ela é uma Seqüência de Cauchy. Prova: Exercício (Sugestão: use a norma do máximo, a proposição 1.7 e o resultado já conhecido para seqüências de números reais) Prove também o resultado acima sem usar o que já foi provado para seqüências de números reais (?). 1.3 Topologia usual Conjuntos abertos: Definição Um ponto a é dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X IR n quando existe ɛ > 0 tal que B(a; ɛ) X. Se denotarmos por int X o conjunto dos pontos interiores a X (INTERIOR de X), é imediato que int X X. Se a int X então X é dito uma VIZINHANÇA de a. Um conjunto A IR n é dito ser ABERTO (em IR n ) quando A = int A. Um conjunto B X é dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto aberto (em IR n ) A tal que B = X A. Conseqüências imediatas: (?) (i) φ e IR n são abertos. (ii) A interseção A = A 1... A l de uma coleção FINITA de abertos é um aberto. (iii) A reunião A = λ L A λ de uma coleção arbitrária {A λ } λ L de abertos é um aberto. (iv) Toda bola aberta B(a; r) é um conjunto aberto. (v) Para todo X IR n tem-se: int X = A A X A aberto

11 Noções Topológicas no IR n 7 Conjuntos fechados: Definição Um ponto a é dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X IR n quando existe uma seqüência (x k ) em X ( x k X k ) tal que x k a. Se denotarmos por cl X o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), é imediato que X cl X. Um conjunto F IR n é dito ser FECHADO (em IR n ) quando F = cl F. Um conjunto B X é dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto fechado (em IR n ) F tal que B = X F. Dado X IR n, definimos fr X = cl X cl (IR n \X) (FRONTEIRA de X). Sejam Y X IR n. Dizemos que Y é DENSO em X quando X cl Y (todo ponto de X é limite de uma seqüência de pontos de Y ). Conseqüências imediatas: (?) (i) a cl X toda vizinhança de a possui algum ponto de X. (ii) F IR n é fechado A = IR n \F é aberto. (iii) φ e IR n são fechados. (iv) A reunião F = F 1... F l de uma coleção FINITA de fechados é um fechado. (v) A interseção F = λ L F λ de uma coleção arbitrária {F λ } λ L de fechados é um fechado. (vi) Toda bola fechada B[a; r] é um conjunto fechado. (vii) Toda esfera S[a; r] é um conjunto fechado. (viii) Q n é denso no IR n. (ix) Para todo X IR n tem-se: cl X = F F X F fechado Pontos de acumulação: Definição Um ponto a é dito um PONTO DE ACUMULAÇÃO de um conjunto X IR n quando existe uma seqüência (x k ) em X\ {a} ( x k X, x k a k ) tal que x k a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. Se a X não é ponto de acumulação de X, então a é um PONTO ISOLADO de X. Se todos os pontos de X são isolados, X é chamado um conjunto DISCRETO.

12 8 CAPÍTULO 1 Conseqüências imediatas: (?) (i) a X toda vizinhança de a possui algum ponto de X\ {a}. (ii) a X toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X. (iii) Se X φ então X é infinito. (iv) O conjunto X dos pontos de acumulação de X é fechado. (v) Se X IR n é infinito e limitado, então X φ (Bolzano-Weierstrass) 1.4 Limites e continuidade Estudaremos agora noções de limites e continuidade para aplicações f : X IR n, com X IR m. Podemos sempre identificar aplicações como esta através de suas funções coordenadas: A cada aplicação f : X IR m IR n correspondem n funções f 1, f 2,..., f n : X IR dadas por f i = π i f ( i = 1,..., n ), ditas as FUNÇÕES COORDENADAS da aplicação f. Para todo x X temos f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)). Escrevemos f = (f 1, f 2,..., f n ). Limites: Definição Sejam f : X IR m IR n e a X (a é ponto de acumulação de X). Dizemos que b IR n é o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos b = lim x a f(x) quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter δ > 0 tal que x X, 0 < x a < δ f(x) b < ɛ Proposição (?) Sejam f : X IR m IR n e a X. A fim de que lim x a f(x) = b IR n é necessário e suficiente que, para toda seqüência (x k ) em X\ {a} com x k a se tenha f(x k ) b. Proposição (?) Seja a um ponto de acumulação de X IR m. Dada a aplicação f : X IR n, cujas funções coordenadas são f 1, f 2,..., f n : X IR, tem-se lim f(x) = b = (b 1, b 2,..., b n ) IR n x a se, e somente se, lim x a f i (x) = b i i = 1, 2,..., n.

13 Noções Topológicas no IR n 9 Continuidade: Definição Uma aplicação f : X IR m IR n é CONTÍNUA NO PONTO a X quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter δ > 0 tal que x X, x a < δ f(x) f(a) < ɛ Se f como acima é contínua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que f é uma aplicação CONTÍNUA. Proposição (?) Seja f : X IR m IR n. A fim de que f seja contínua em a X é necessário e suficiente que, para toda seqüência (x k ) em X com x k a se tenha f(x k ) f(a). Proposição (?) Uma aplicação f : X IR m IR n é contínua se, e somente se, para cada A aberto do IR n (ou para cada F fechado do IR n ), sua imagem inversa f 1 (A) é um conjunto aberto em X (ou f 1 (F ) é um conjunto fechado em X). Proposição (?) A composta de duas aplicações contínuas é contínua. Proposição (?) Seja a X IR m. Dada a aplicação f : X IR n, cujas funções coordenadas são f 1, f 2,..., f n : X IR, tem-se: f é contínua em a se, e somente se, cada uma das suas funções coordenadas f i = π i f : X IR é contínua no ponto a. Corolário 1. Dadas f : X IR m e g : X IR n, seja h = (f, g) : X IR m IR n dada por h(x) = (f(x), g(x)). Então h é contínua se, e somente se, f e g são ambas contínuas. Uma conseqüência deste corolário: se f, g : X IR m IR n e α : X IR são contínuas então são também contínuas (f + g) : X IR n dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x), (α.f) : X IR n dada por (α.f)(x) = α(x).f(x), < f, g > : X IR dada por < f, g > (x) = < f(x), g(x) >. Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X IR m IR n e f = (f 1, f 2,..., f n ) ), para cada função coordenada aplicada em x ( f i (x) ) submetemos as coordenadas do ponto x = (x 1,..., x m ) a operações definidas por funções contínuas, então f é contínua. Exemplos: f(x, y) = (( sen x).y, x 2 y 3, e x cos y) define uma função contínua f : IR 2 IR 3. A função determinante det : M n (IR) IR é contínua.

14 10 CAPÍTULO 1 Continuidade uniforme: Ao estudarmos a continuidade de uma aplicação f : X IR m IR n num ponto do domínio X, o δ obtido para cada ɛ (veja a definição) depende, em geral, não apenas do ɛ dado, mas também depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f. Quando, para cada ɛ dado, for possível obter um δ que dependa apenas de ɛ e portanto sirva (como na definição) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenômeno conhecido como Continuidade Uniforme: Definição Uma aplicação f : X IR m IR n é dita UNIFORMEMENTE CONTÍNUA quando, para cada ɛ > 0 dado, é possível obter δ > 0 tal que x, y X, x y < δ f(x) f(y) < ɛ Resultados relacionados com a continuidade uniforme: (?) (i) Uma aplicação f = (f 1,..., f n ) : X IR m IR n se, suas funções coordenadas f 1,..., f n : X IR n (ii) Uma aplicação f : X IR m IR n é uniformemente contínua se, e somente o são. é uniformemente contínua se, e somente se, para todo par de seqüências (x k ), (y k ) em X, com lim(x k y k ) = 0 tem-se lim[f(x k ) f(y k )] = 0. (iii) Se f : X IR m IR n é uniformemente contínua então, para todo a X, existe o limite lim x a f(x). Uma fonte natural de aplicações uniformemente contínuas: Definição Uma aplicação f : X IR m IR n é dita LIPSCHITZIANA quando existe uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que f(x) f(y) k. x y x, y X Alguns resultados: (i) Toda aplicação lipschitziana é uniformemente contínua. (?) (ii) Toda transformação linear A : IR m IR n contínua e portanto contínua. é lipschitziana (mostre), logo uniformemente (iii) Se ϕ : IR m IR n IR p é uma aplicação bilinear (linear em cada componente) então ϕ é lipschitziana em cada parte limitada de IR m IR n = IR m+n. Portanto toda aplicação bilinear é contínua. Exemplos: multiplicação de números reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canônico ( < x, y > = x 1 y x n y n ); multiplicação de matrizes ( ϕ(a, B) = A.B )

15 Noções Topológicas no IR n 11 (iv) As projeções π i : IR m IR, dadas por π i (x) = x i x = (x 1, x 2,..., x m ) IR m ( i = 1, 2,..., m ), são lineares, logo lipschitzianas e portanto contínuas. 1.5 Homeomorfismos Definição Dados os conjuntos X IR m e Y IR n, um HOMEOMORFISMO entre X e Y é uma bijeção contínua f : X Y cuja inversa f 1 : Y X também é contínua. Diz-se então que X e Y são conjuntos homeomorfos. Resultados imediatos: (i) O inverso de um homeomorfismo é um homeomorfismo. (ii) A composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo. (iii) Se dois conjuntos X e Y são homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topológica, ou seja, um homeomorfismo leva abertos de X em abertos de Y e seu inverso leva abertos de Y em abertos de X. (?) Exemplos: 1) Qualquer aplicação linear invertível A : IR n IR n é um homeomorfismo. 2) As translações T a : IR m IR m, onde T a (x) = x + a, a IR m (fixado). 3) As homotetias H λ : IR m IR m, onde H λ (x) = λ.x, 0 λ IR (fixado). 4) Duas bolas abertas quaisquer no IR m são homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas bolas fechadas arbitrárias no IR m ou duas esferas no mesmo espaço. (?) 5) Toda bola aberta no IR m é homeomorfa ao espaço IR m. (?) 6) Seja f : X IR m IR n uma aplicação contínua. Seu GRÁFICO é o conjunto G IR m IR n formado pelos pontos (x, f(x)), com x X. O domínio X e o gráfico G da aplicação contínua f são homeomorfos.

16 12 CAPÍTULO 1 7) Sejam S m = { x IR m+1 ; < x, x > = 1 } IR m+1 a esfera unitária m-dimensional e p = (0, 0,..., 0, 1) S m seu POLO NORTE. A PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA ϕ : Sm \ {p} IR m é um homeomorfismo. 1.6 Compacidade Definição Um conjunto K IR n será dito um conjunto COMPACTO quando for limitado e fechado. Buscaremos agora novas caracterizações para os compactos do IR n : Teorema (?) Um subconjunto K IR n é compacto se, e somente se, toda seqüência (x k ) K possui uma subseqüência convergente para um ponto de K. Teorema (?) (Propriedade de Cantor) Dada uma seqüência decrescente de conjuntos compactos e não-vazios K 1 K 2... K i..., sua interseção K = (limitada e fechada) não é vazia. i=1 K i Lema (?) Todo conjunto X IR n E = {x 1, x 2,..., x l,...} X, E denso em X. é separável, isto é, possui um subconjunto enumerável

17 Noções Topológicas no IR n 13 Lema (Lindelöf) Considere um conjunto arbitrário X IR n. Toda cobertura aberta X A λ admite uma subcobertura enumerável. Chegamos então ao resultado que nos interessa: Teorema Um conjunto K IR n é compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita. Demonstração: ( ) (Exercício) (?) ( ) Borel-Lebesgue: Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado). Seja K A λ uma cobertura aberta de K. Pelo Lema de Lindelöf, ela admite uma subcobertura enumerável K A λi = A λ1 A λ2... Para cada i = 1, 2, 3,... IN ponha K i = K (IR n \ (A λ1... A λi )) i=1 K i K (limitado) K i é limitado. A λ1... A λi é aberto IR n \ (A λ1... A λi ) é fechado. Como K é fechado, temos então que K i é fechado. Assim, para todo i IN, K i é limitado e fechado. Observemos agora que K K 1 K 2 K 3... K i... Dado x K, existe λ i tal que x A λi (pois K A λi ) x K i Logo K i = φ. i=1 Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i 0 tal que K i0 = φ e teremos φ = K i0 = K ( X\ (Aλ1... A λi0 ) ) K (A λ1... A λi0 ) Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita. i=1

18 14 CAPÍTULO 1 Destacamos a seguir os principais resultados relativos à compacidade: Teorema Seja K IR m um conjunto compacto. Se f : K IR n é uma aplicação contínua, então sua imagem f(k) é um conjunto compacto do IR n. Corolário 1. (?) (Weierstrass) Toda função real contínua f : K IR definida num compacto K IR m atinge seu máximo e seu mínimo em K, isto é, existem pontos x 1, x 2 K tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) para qualquer x K. Corolário 2. (?) Seja K IR m compacto. Toda aplicação contínua f : K IR n é fechada, ou seja, se F K é fechado, então f(f ) IR n é fechado. Corolário 3. (?) A inversa de uma bijeção contínua definida num compacto é uma função contínua, isto é, toda bijeção contínua definida num conjunto compacto é um homeomorfismo sobre sua imagem. Teorema (?) Toda aplicação contínua f : K IR n definida num conjunto compacto K IR m é uniformemente contínua. 1.7 Conexidade Definição Uma CISÃO de um conjunto X IRn é uma decomposição X = A B, onde A e B são disjuntos ( A B = φ ) e abertos em X. Todo conjunto X IR n admite a chamada CISÃO TRIVIAL X = X φ. Um conjunto X IR n ele é dito DESCONEXO. é dito CONEXO quando só admite a cisão trivial. Caso contrário

19 Noções Topológicas no IR n 15 Proposição (?) Uma decomposição X = A B é uma cisão de X se, e somente se, nenhum dos conjuntos A, B contém um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos cl A B = φ = A cl B. Proposição (?) X IR é conexo se, e somente se, X é um intervalo da reta. Destacamos a seguir o principal resultado relativo à conexidade: Teorema Seja X IR m um conjunto conexo. Se f : X IR n é uma aplicação contínua, então sua imagem f(x) é um conjunto conexo do IR n. Corolário 1. (?) (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : X IR uma função real contínua, definida num conjunto conexo X IR m. Se existem a, b X e d IR tais que f(a) < d < f(b), então existe c X tal que f(c) = d. Veremos a seguir uma série de resultados sobre conexidade: Proposição (?) (Teorema da Alfândega) Seja X IR n. Se um conjunto conexo C IR n contém um ponto a X e um ponto b X, então C contém algum ponto da fronteira de X. Sugestão: use que IR n = int X fr X int (IR n \X) Lema (?) Seja X = A B uma cisão do conjunto X IR n. Se Y X é conexo e não-vazio então ou Y A ou Y B.

20 16 CAPÍTULO 1 Proposição (?) Se X IR n é conexo e X Y cl X, então Y é conexo. Corolário 1. Se X IR n é conexo e Y é formado a partir de X adicionando-se alguns ou todos os pontos de seu fecho, então Y é conexo. Teorema A reunião de uma família de conjuntos conexos com um ponto em comum é um conjunto conexo. Corolário 1. (?) A fim de que X IR n seja conexo é (necessário e) suficiente que, para quaisquer a, b X, exista um conjunto conexo C ab com a, b C ab X. Corolário 2. (?) Dados X IR m e Y IR n, o produto cartesiano X Y IR m+n é conexo se, e somente se, X e Y são conexos. Definição (Componentes conexas) Seja X IR n. Para cada ponto x X, definimos a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reunião C x de todos os subconjuntos conexos de X que contêm o ponto x. É imediato que C x é o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que contém o ponto x. Segue também que, dados dois pontos x, y X, suas componentes conexas C x, C y X, ou coincidem ou são disjuntas (?). em Assim, a relação x e y pertencem à mesma componente conexa em X é uma relação de equivalência em X (?) e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de equivalência, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.

21 Noções Topológicas no IR n 17 Proposição (?) Seja h : X Y um homeomorfismo. Se C x é a componente conexa do ponto x em X, então D y = h(c x ) é a componente conexa do ponto y = h(x) em Y. Portanto, um homeomorfismo h : X Y estabelece uma bijeção entre as componentes conexas de X e as componentes conexas de Y. (?) (Exemplos) Um CAMINHO num conjunto X IR n é uma aplicação contínua f : I X definida num intervalo I IR. Dizemos que os pontos a, b X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X quando existe um caminho f : I X tal que a, b f(i) Por exemplo, se X é convexo então cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X, a saber, o caminho retilíneo [a, b] = { t.a + (1 t).b ; t [0, 1] }. Se a, b X podem ser ligados por um caminho f : I X então existe um caminho ϕ : [0, 1] X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b. (?) Um conjunto X IR n é dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos a, b X podem ser ligados por um caminho em X. Por exemplo: todo conjunto convexo é conexo por caminhos. Teorema Todo conjunto conexo por caminhos é conexo. (Exercício) Obs.: Nem todo conjunto conexo é conexo por caminhos: Exemplo: X = {(x, sen 1/x) ; x (0, + )} {(0, 0)} IR 2 por caminhos. é conexo mas não é conexo Isto não ocorre se o conjunto em questão for aberto: Teorema Se A IR n é aberto e conexo então A é conexo por caminhos. Prova: Exercício.

22 18 CAPÍTULO Norma de uma transformação linear Seja A : IR m IR n uma transformação linear. Fixadas duas normas: m em IR m e n em IR n, existe c > 0 tal que Ax n c. x m x IR m Temos então: x m = 1 Ax n c e podemos definir... Definição Fixadas duas normas: m em IR m e n em IR n, definimos uma norma (?) em L(IR m ; IR n ) = M n m (IR) = IR nm pondo, para cada transformação linear A : IR m IR n L(IR m ; IR n ) : A = sup { Ax n ; x m = 1 } Proposição Nas condições da definição acima, temos: A = sup { Ax n ; x m 1 } = inf { c > 0 ; Ax n c. x m x IR m } Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IR m e IR n, temos uma norma em L(IR m ; IR n ) = M n m (IR) = IR nm. De qualquer jeito, não vamos esquecer que as normas obtidas neste último espaço são todas equivalentes. Proposição (?) Nas mesmas condições da definição anterior, temos: Ax n A. x m x IR m AB A. B se B L(IR p ; IR m ) e A L(IR m ; IR n ) Obs.: Na segunda parte da proposição acima, consideramos a mesma norma em IR m.

23 Noções Topológicas no IR n Exercícios 1. Se c [a, b] = { t.a + (1 t).b ; t [0, 1] } então b a = b c + c a. Se a norma provém de um produto interno, vale a recíproca. Para uma norma arbitrária, pode-se ter a igualdade acima com c [a, b]. 2. Se a norma provém de um produto interno e a b em IR n são tais que a r e b r então (1 t).a + t.b < r para todo t (0, 1) (ou seja, a esfera não contém segmentos de reta). 3. Qualquer que seja a norma adotada no IR n (n > 1), a esfera unitária S n 1 = { x IR n ; x = 1 } é um conjunto infinito. 4. Um conjunto X IR n é dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b X, o SEGMENTO (RETILÍNEO) [a, b] = { t.a + (1 t).b ; t [0, 1] } que os liga cumpre [a, b] X. Mostre que a interseção de uma família arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo. 5. Dado X IR n, a ENVOLTÓRIA CONVEXA DE X é a interseção co (X) de todos os subconjuntos convexos do IR n que contêm X. Prove que co (X) é o conjunto de todas as combinações lineares α 1 x α k x k tais que x 1,..., x k X, α 1 0,..., α k 0 e α α k = Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IR n é também convexo. 7. As seguintes afirmações a respeito de uma seqüência (x k ) de pontos do IR n são equivalentes: (a) lim x k = + ; (b) (x k ) não possui subseqüência convergente ; (c) Para todo conjunto limitado L IR n, o conjunto dos índices k tais que x k L é finito. 8. Prove que lim x k = a em IR n se, e só se, lim < x k, y > = < a, y > para todo y IR n. 9. Toda matriz n n é limite de uma seqüência de matrizes invertíveis n n. 10. Se nenhum ponto do conjunto X IR n é ponto de acumulação então se pode escolher, para cada ponto x X, uma bola aberta B x, de centro x, de tal maneira que, para x y em X se tenha B x B y = φ. 11. Todo conjunto discreto é enumerável. Em outras palavras: todo conjunto não-enumerável contém (pelo menos) um ponto de acumulação.

24 20 CAPÍTULO Se A IR n é aberto então sua fronteira fr A tem interior vazio. Dê exemplo de um conjunto X IR n cuja fronteira fr X seja um conjunto aberto. 13. Se F IR n é fechado então sua fronteira fr F tem interior vazio. 14. Seja E IR n um subespaço vetorial. Se E IR n então int E = φ. 15. A IR n é aberto se, e somente se, A cl (IR n \A) = φ. 16. Seja B(X; ɛ) a reunião das bolas abertas B(x; ɛ) de raio ɛ e centro em algum ponto x X. Prove que cl X = B(X; ɛ). ɛ>0 17. (i) Mostre que para toda seqüência decrescente F 1 F 2... F k... de conjuntos fechados e não-vazios F k IR n, com lim diam F k = 0 ( diam X = sup { d(x, y) ; x, y X} ), existe um ponto a IR n tal que F k = {a}. k=1 (ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F = F k, onde cada F k é fechado em IR n e tem k=1 interior vazio, então int F = φ. (Sugestão: olhe o livro sobre Espaços Métricos do Elon) (iii) O que podemos concluir se IR n = F k, onde cada F k é fechado no IR n? k=1 18. Seja f : X IR n contínua. Dada uma seqüência x k em X com lim x k = a X e f(x k ) c para todo k IN então f(a) c. 19. Sejam f, g : X IR n contínuas no ponto a X. Se f(a) g(a) então existe uma bola B de centro a tal que x, y B f(x) g(x). 20. Seja f : X IR n contínua no ponto a X. Se f(a) não pertence a B[b; r] IR n então existe δ > 0 tal que x X, x a < δ f(x) B[b; r]. 21. Sejam f : X IR n e a X. Suponha que, para todo ɛ > 0, exista g : X IR n, contínua no ponto a, tal que f(x) g(x) < ɛ para todo x X. Então f é contínua no ponto a. 22. Seja f : IR m IR n contínua. Se X IR m é limitado então f(x) IR n é limitado. 23. Se f : IR m IR n é contínua então, para cada parte limitada x IR m, a restrição f X é uniformemente contínua.

25 Noções Topológicas no IR n Se a aplicação linear A : IR m IR n é injetiva, então existe c > 0 tal que Ax c x para todo x IR m. 25. Se B é a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IR n, a aplicação contínua f : B IR n x definida por f(x) = não é uniformemente contínua. 1 x 26. Considerando as seqüências de pontos z k = (k, 1/k) e w k = (k, 0) no IR 2, prove que a aplicação ϕ : IR 2 IR dada por ϕ(x, y) = xy não é uniformemente contínua. Use um argumento análogo para provar que uma aplicação bilinear ϕ : IR m IR n IR p só é uniformemente contínua se for identicamente nula. 27. O cone C = { (x, y, z) IR 3 ; z 0, x 2 + y 2 z = 0 } é homeomorfo ao IR Estabeleça um homeomorfismo entre IR n+1 \ {0} e S n IR. 29. O quadrante P = { (x, y) IR 2 ; x 0, y 0 } é homeomorfo ao semi-plano superior S = { (x, y) ; y 0 }. 30. Os conjuntos X = { (x, y) IR 2 ; y = 0, 0 < x < 1 } e Y = { (x, y) IR 2 ; y = 0 } são homeomorfos, mas não existe um homeomorfismo h : IR 2 IR 2 tal que h(x) = Y. 31. Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos X = { x IR n ; 0 < x 1 } (bola unitária fechada menos a origem) e Y = { y IR n ; y 1 } (complementar da bola unitária aberta). 32. Seja f : IR 2 IR definida por f(x, y) = (x2 y)y x 4 se 0 < y < x 2 e f(x, y) = 0 nos demais pontos. Prove que o limite de f(x, y) é zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao longo de qualquer reta que passe pela origem, mas não se tem lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) 33. Seja f : IR 2 IR definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) = x2 y 2 se (x, y) (0, 0). ( ) x 2 + y ( ) 2 Mostre que lim lim f(x, y) lim lim f(x, y). x 0 y 0 y 0 x O conjunto das matrizes invertíveis n n é aberto no IR n O conjunto das aplicações lineares injetivas é aberto em L(IR m ; IR n ). Idem para as sobrejetivas. 36. f : X IR n é contínua se, e só se, para todo Y X, tem-se f(x cl Y ) cl f(y ).

26 22 CAPÍTULO O conjunto das matrizes n n com determinante 1 é um conjunto fechado, ilimitado e com interior vazio em IR n O conjunto dos valores de aderência de uma seqüência limitada é um conjunto compacto e não-vazio. 39. As matrizes ortogonais n n formam um subconjunto compacto do IR n Todo conjunto infinito X IR n possui um subconjunto não-compacto. 41. Seja X IR n. Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, então X é compacto. 42. Seja f : IR m IR n contínua. As seguintes afirmações são equivalentes: (a) lim f(x) = ; x (b) A imagem inversa f 1 (K) de todo compacto K IR n é compacta. 43. Sejam X IR m, K(compacto) IR n, f : X K IR p contínua e c IR p. Suponha que, para cada x X, exista um único y K tal que f(x, y) = c. Prove que esse y depende continuamente de x. 44. Toda aplicação localmente lipschitziana definida num conjunto compacto é lipschitziana. 45. Um subconjunto conexo não-vazio X Q n consta de um único ponto. 46. Um conjunto conexo enumerável X IR n possui no máximo um ponto. 47. O conjunto das matrizes invertíveis n n é um aberto desconexo em IR n2. Também é desconexo (mas não aberto) o conjunto das matrizes ortogonais. 48. Se X IR n é compacto, então toda aplicação contínua aberta f : X S n é sobrejetiva. 49. Seja X IR m. Uma aplicação f : X IR n diz-se localmente constante quando para cada x X existe uma bola B de centro x tal que f (B X) é constante. X é conexo se, e somente se, toda aplicação localmente constante f : X IR n é constante. 50. Se X IR n é conexo por caminhos e f : X IR n é contínua, então f(x) é conexo por caminhos. 51. Se X IR m e Y IR n são conexos por caminhos então X Y IR m+n é conexo por caminhos.

27 Noções Topológicas no IR n A reunião de uma família de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum é conexa por caminhos. 53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode não ser conexo por caminhos. 54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IR n são conjuntos abertos. 55. Dada uma aplicação linear A : IR m IR n e fixadas normas em IR m e IR n, a imagem por A da esfera unitária S = { x IR m ; x = 1 } é um conjunto limitado no IR n. Pondo, para cada A L(IR m ; IR n ), A = sup { Ax ; x S }, a função A A é uma norma no espaço vetorial L(IR m ; IR n ), para a qual vale a desigualdade Ax A x para todo x IR m. Além disso, se A L(IR m ; IR n ) e B L(IR n ; IR p ) então, fixadas normas em IR m, IR n e IR p, tem-se BA B A. 56. Seja G o grupo das matrizes invertíveis n n. Mostre que se A G e Ax c. x para todo x IR n então A 1 1/c. Conclua que se X G e X A < c/2 então X 1 2/c. Em seguida, use a identidade X 1 A 1 = X 1 (I XA 1 ) para mostrar que lim X A X 1 = A 1. Logo, f : G G dada por f(x) = X 1 é contínua. 57. Dada A L(IR m ; IR n ), supomos fixadas normas em IR m e IR n e definimos, como antes, A = sup { Ax ; x IR m, x = 1 }. Mostre que, com essa definição de também A = inf { c IR ; Ax c x para todo x IR m }. 58. Defina convergência e convergência absoluta (ou normal) de uma série A, temos xk, cujos termos x k = (x k1, x k2,..., x kn ) pertencem ao IR n. Prove que a série x k converge (resp. converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1,..., n, a série k x ki converge (resp. converge absolutamente). Conclua que toda série absolutamente convergente no IR n é convergente. 59. Dada uma seqüência de aplicações lineares A k : IR m IR n, suponha que para todo x IR m exista Ax = lim A k x. Prove que a aplicação linear A : IR m IR n assim definida é k linear, que lim A k = A relativamente a qualquer norma em L(IR m ; IR n ) e que a convergência A k x Ax é uniforme em qualquer parte limitada de IR m. 60. Mostre que para toda aplicação X L(IR n ) IR n2, a série k=0 X k k! é absolutamente convergente. Indiquemos sua soma por e X. Usando que e X e Y = e X+Y se XY = Y X, conclua que para toda X L(IR n ) temos que e X é invertível, com (e X ) 1 = e X.

28 24 CAPI TULO 1

29 Capítulo 2 Diferenciabilidade 2.1 Definição: diferenciabilidade de uma aplicação Definição 2.1. Uma aplicação f : U IR n, definida no aberto U IR m diz-se diferenciável no ponto a U quando existe uma transformação linear T : IR m IR n tal que, para todo v IR m com a + v U, temos r(v) f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com lim v 0 v = 0 A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma boa aproximação linear para f numa vizinhança de a. Essa boa aproximação de f(a + v) por f(a) + T (v) numa r(v) vizinhança de a é expressa pela condição lim v 0 v = 0. Pondo ρ(v) = r(v) v ponto a por: se v 0 e ρ(0) = 0, podemos exprimir a diferenciabilidade de f no f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) v com lim v 0 ρ(v) = 0 Alguns resultados imediatos: Seja f : U(aberto) IR m IR n uma aplicação diferenciável no ponto a U. Então existe uma transformação linear T : IR m IR n tal que, para todo v IR m com a + v U: f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) v com lim v 0 ρ(v) = 0 25

30 26 CAPÍTULO 2 (A) f é contínua em a Antes do próximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional. Seja f : U IR n definida num aberto U IR m. A derivada direcional de f num ponto a U, relativamente a um vetor v IR m definição: f (a) = lim v t 0 f(a + tv) f(a) t IR n quando existir tal limite é, por Se f = (f 1, f 2,..., f n ), onde f i : U IR (i = 1,..., n) são as funções coordenadas de f, então ( f v (a) = f1 v (a),..., f ) n v (a) Quando v = e j é o j-ésimo vetor da base canônica do IR m, escrevemos f x j (a). (B) T (v) = f v (a) v IRm

31 Diferenciabilidade 27 Conseqüências de (B): (i) A derivada direcional de f em a, se f é diferenciável em a, depende linearmente do vetor relativamente ao qual é considerada. (ii) A transformação linear T : IR m IR n que dá a boa aproximação para f perto de a é única e chamada a derivada de f no ponto a, que indicaremos por f (a) ou D f (a). (iii) Podemos obter a matriz que representa a transformação linear f (a) em relação às bases canônicas de IR m e IR n, que será uma n m matriz chamada a matriz jacobiana de f no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-ésima coluna é dada por f (a).e j = T (e j ) = f ( f1 (a) = (a),..., f ) n (a) IR n x j x j x j onde e j é o j-ésimo vetor da base canônica do IR m (j = 1, 2,..., m). Então: Jf(a) = [f (a)] = f 1 x 1 (a) f 2 x 1 (a). f n x 1 (a) f 1 x 2 (a)... f 2 x 2 (a).... f n x 2 (a)... f 1 x m (a) f 2 x m (a). f n x m (a) (C) Temos: f(a + v) = f(a) + f r(v) (a)(v) + r(v) com lim v 0 v = 0 Se f = (f 1, f 2,..., f n ) e r = (r 1, r 2,..., r n ), a condição acima é equivalente a f i (a + v) = f i (a) + para todo i = 1, 2,..., n. Temos então o... [ fi x 1 (a) f i x 2 (a)... ] f i r i (v) (a) v + r i (v) com lim x m v 0 v = 0

32 28 CAPÍTULO 2 Teorema 2.2. A aplicação f : U IR n é diferenciável no ponto a U se, e somente se, cada uma das suas funções coordenadas f 1, f 2,..., f n : U IR é diferenciável em a. Corolário 1. A aplicação f = (g, h) : U IR n IR p, dada por f(x) = (g(x), h(x)) é diferenciável no ponto a U se, e somente se, cada uma das aplicações g : U IR n e h : U IR p é diferenciável em a. Em caso afirmativo, temos: f (a) = (g (a), h (a)) : IR m IR n IR p. 2.2 Exemplos de aplicações diferenciáveis A) Aplicações constantes: Uma aplicação constante é diferenciável em todo ponto e sua derivada em qualquer ponto é a transformação linear nula O. B) Transformações lineares: Qualquer transformação linear T : IR m IR n é diferenciável em todos os pontos a IR m e D T (a) = T (a) = T a IR m. C) Aplicações bilineares: Qualquer aplicação bilinear ϕ : IR m IR n IR p é diferenciável em cada ponto (a, b) IR m IR n e ϕ (a, b) = D ϕ (a, b) : IR m IR n IR p é a transformação linear dada por: ϕ (a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) (v, w) IR m IR n

33 Diferenciabilidade 29 D) Aplicações k-lineares: Qualquer aplicação k-linear µ : IR m 1 IR m 2... IR m k IR p é diferenciável em cada ponto (a 1, a 2,..., a k ) e D µ (a 1,..., a k ) (v 1,..., v k ) = µ(v 1, a 2,..., a k ) + µ(a 1, v 2, a 3,..., a k )+...+ µ(a 1,..., a k 1, v k ) Exemplo: det : IR n2 = IR n IR n... IR n IR é n-linear e portanto é diferenciável em cada n n matriz real A. Dada A = (A 1, A 2,..., A n ), onde cada A i = (a i1 a i2... a in ) é a i-ésima linha de A, temos que det (A) : IR n2 IR é a transformação linear dada por det (A)(V ) = n det(a 1,..., A i 1, V i, A i+1,..., A n ) n n matriz real V i=1

34 30 CAPÍTULO 2 E) A derivada da análise na reta : Sejam f : U (aberto) IR IR e a U. Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite lim t 0 f(a + t) f(a) t = f (a) IR Já vimos que f é derivável em a se, e somente se, existir uma constante c IR tal que, para todo t IR onde a + t U, tenhamos f(a + t) = f(a) + c t + r(t) com lim t 0 r(t) t = 0 Em caso afirmativo, temos ainda que f (a) = c. Se considerarmos a transformação linear T : IR IR dada por T (x) = c.x observarmos que lim t 0 r(t) t = 0 lim t 0 r(t) t = 0 podemos então concluir que x IR e f é derivável em a f é diferenciável em a F) Caminhos diferenciáveis: Um caminho em IR n é uma aplicação f : I IR n cujo domínio é um intervalo I IR. O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I IR n definido por: em um ponto a int I é df (a) = lim dt t 0 f(a + t) f(a) t IR n desde que esse limite exista

35 Diferenciabilidade 31 Temos f = (f 1, f 2,..., f n ), f i : I IR, i = 1, 2,..., n. O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada f i for derivável (ou seja, diferenciável) em a. Isto ocorrerá portanto se, e somente se, f for diferenciável em a. (ver teorema 2.2). Teremos, em caso afirmativo: df dt (a) = df 1 dt (a). df n dt (a) = f 1(a). f n(a) que pode ser visto tanto como um vetor em IR n df (o vetor velocidade (a) de f em a) dt quanto como uma transformação linear de IR em IR n (a derivada de f em a, dada por f (a)(t) = df (a) t ). dt Aplicação: Dada uma aplicação f : U (aberto) IR m IR n diferenciável em a U, tentaremos obter, via caminhos, uma interpretação para f (a)(v), onde v IR m. Dado v IR m, consideremos um caminho α : ( ɛ, ɛ) U IR m dado por α(t) = a + tv = v (v é o vetor veloci- Temos que dα (0) = lim dt t 0 dade de α em t = 0) α(0 + t) α(0) t = lim t 0 a + tv a t Geometricamente, a imagem do caminho α é uma curva (neste caso um segmento de reta) em U, passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a. Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : ( ɛ, ɛ) f(u) IR n, correspondente à aplicação de f ao caminho α (composição). Geometricamente, a imagem do caminho γ é uma curva em f(u), passando por f(a). Temos: dγ (0) = lim dt t 0 (f α)(t) (f α)(0) t = lim t 0 f(a + tv) f(a) t = f v (a) = f (a)(v)

36 32 CAPÍTULO 2 Portanto, f (a)(v) é o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, é o vetor tangente à imagem de γ, em f(a) ): G) Funções de uma variável complexa: Seja f : U C C função de uma variável complexa z definida num aberto U C. f é derivável em z 0 U quando existe o limite lim h 0 f(z 0 + h) f(z 0 ) h = f (z 0 ) Temos que f é derivável em z 0 se, e somente se, existe uma constante complexa c = a + ib tal que, se z 0 + h U, temos f(z 0 + h) = f(z 0 ) + c h + r(h) com Em caso afirmativo, temos ainda f (z 0 ) = c = a + ib. lim h 0 r(h) h = 0 Seja f : U (aberto) C C derivável em z 0 U com f (z 0 ) = a + ib C. Pela associação C IR 2, que faz corresponder a cada complexo x + iy o par (x, y) e vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicação definida num aberto U IR 2 e tomando valores em IR 2 : f : U IR 2 IR 2, z 0 = (x 0, y 0 ) f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) Consideremos a transformação linear T : IR 2 IR 2 número complexo c = a + ib correspondente à multiplicação pelo

37 Diferenciabilidade 33 Dado h IR 2 tal que z 0 + h U temos: f(z 0 + h) = f(z 0 ) + T (h) + r(h) com lim h 0 r(h) h = 0 Portanto f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) vista como aplicação f : U IR 2 IR 2 é diferenciável no ponto z 0 = (x 0, y 0 ) e temos ainda: H) Inversão de matrizes: Seja U = GL(IR n ) o conjunto das n n matrizes invertíveis. Temos que o conjunto U IR n2 é aberto em IR n2 (espaço das n n matrizes), pois U = det 1 (IR \ {0}) e det é uma função contínua. Seja f : U IR n2 dada por f(x) = X 1 (inversão da matriz X) X U. Esta aplicação f é diferenciável em toda matriz A U e sua derivada em cada matriz A U é a transformação linear f (A) : IR n2 IR n2 dada por: f (A)(V ) = A 1 V A 1

38 34 CAPÍTULO Funções reais de m variáveis Seja f : U IR m IR uma função real de m variáveis definida num aberto U IR m. Temos: f é diferenciável em a U se, e somente se, existe uma transformação linear T : IR m IR (funcional linear) tal que, sempre que a + v U, temos: f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com lim v 0 r(v) v = 0 Em caso afirmativo, temos T = f (a) (IR m ), derivada de f em a. Equivalentemente, f é diferenciável em a U se, e somente se, existirem constantes A 1, A 2,..., A m tais que, para todo v = (v 1, v 2,..., v m ) IR m com a + v U, tem-se: f(a + v) = f(a) + A 1 v 1 + A 2 v A m v m + r(v) com lim v 0 Como Jf(a) = [ f x 1 (a) f x 2 (a)... r(v) v = 0 ] f (a), chegamos a outra definição equivalente: x m f é diferenciável em a U se, e só se, existirem as derivadas parciais e, para todo vetor v = (v 1, v 2,..., v m ) IR m com a + v U tivermos f f (a),..., (a) x 1 x m f(a + v) = f(a) + f x 1 (a).v f x m (a).v m + r(v) com lim v 0 r(v) v = 0

39 Diferenciabilidade 35 A diferencial Seja f : U (aberto) IR m IR uma função diferenciável em a U. Sua derivada f (a), em a, é uma transformação linear f (a) : IR m IR, ou seja, um funcional linear sobre IR m, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f no ponto a: df(a) = f (a) : IR m IR, df(a) (IR m ) Para todo vetor v = (v 1, v 2,..., v m ) IR m, temos: df(a)(v) = f v (a) = m j=1 f x j (a).v j Nosso interesse agora será, uma vez que df(a) (IR m ), exprimir df(a) como combinação linear de funcionais que formem uma base de (IR m ). Para tal, utilizaremos a base dual da base canônica de IR m : Sejam B = {e 1, e 2,..., e m } a base canônica do IR m e B sua base dual, em (IR m ). Temos B = {π 1, π 2,..., π m }, onde π j : IR m IR é dado por π j (x 1,..., x m ) = x j, para todo j = 1, 2,..., m (π j é a projeção na j-ésima coordenada). É comum denotarmos π j por x j. Logo B = {x 1, x 2,..., x m } (aqui cada x j é um funcional linear). Para todo j = 1,..., m temos que x j = π j : IR m IR é uma transformação linear, logo diferenciável em todos os pontos de IR m e sua derivada (diferencial) em cada ponto é a própria transformação linear x j. Portanto: x j = dx j (x) x IR m, j = 1,..., m. Logo escreveremos x j = dx j, para todo j = 1,..., m. Assim, B = {dx 1, dx 2,..., dx m } é a base dual da base canônica do IR m. Para todo j = 1,..., m temos: df(a)(e j ) = f x j (a) e pela relação entre B e B, temos: df(a) = f (a).dx 1 + f (a).dx f (a).dx m x 1 x 2 x m Conseguimos portanto escrever df(a) como combinação linear dos funcionais da base B (que são também diferenciais), dual da base canônica B de IR m.

40 36 CAPÍTULO 2 Uma útil condição suficiente Teorema 2.3. Se uma função f : U (aberto) IR m IR possui derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhança de a U e cada uma delas é contínua no ponto a U, então f é diferenciável em a.

41 Diferenciabilidade 37 Um exemplo interessante Seja f : U IR 2 IR uma função contínua definida num aberto U IR 2. Considere o conjunto S = gr f = {(x, y, f(x, y)); (x, y) U} IR 3 (gráfico de f). Seja g : U S a aplicação dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)). Temos g = (g 1, g 2, g 3 ), sendo suas funções coordenadas dadas por: g 1 (x, y) = x, g 2 (x, y) = y, g 3 (x, y) = f(x, y) Já vimos que g é um homeomorfismo de U em S, ou seja, S é topologicamente idêntico a um pedaço U do plano (S é uma superfície). Consideremos agora f diferenciável em a U. É imediato então que g é diferenciável em a (olhe para as funções coordenadas de g). Fixemos v IR 2. O caminho α : ( ɛ, ɛ) U dado por α(t) = a + tv é geometricamente um segmento de reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0) Temos então (veja Aplicação do exemplo F) que g α : ( ɛ, ɛ) S é um caminho cuja imagem é uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g (a)(v) como vetor tangente:

42 38 CAPÍTULO 2 Procedendo desta forma para cada vetor v IR 2, temos que g (a)(v) fornece um vetor tangente a uma curva na superfície S, no ponto g(a) Vamos dar uma olhada para Jg(a) = [g (a)] = g 1 x (a) g 1 y (a) g 2 x (a) g 2 y (a) = g 3 x (a) g 3 y (a) f x (a) f y (a) (matriz de g (a) em relação às bases canônicas) Temos que a dimensão da imagem de g (a) é igual a 2 e portanto o conjunto dado por T g(a) (S) = { g(a) + g (a)(v), v IR 2} é um plano (plano tangente ao gráfico S de f em g(a) = (a, f(a)) ).

43 Diferenciabilidade Exercícios 1. (Derivadas direcionais) Sendo f (x)(h) = lim das derivadas em questão, calcule: t 0 f(x + th) f(x) t e admitindo a existência a) f (z)(h), com z = (4, 1), h = (1, 2) e f : IR 2 IR 2 dada por f(x) = (x 2 + y, x + y 2 ). b) ϕ (x)(v), onde x, v IR m são vetores quaisquer e ϕ : IR m IR é definida por ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IR m IR funcionais lineares. c) ξ (x)(h), onde h IR m é um vetor arbitrário e ξ : U IR é definida do seguinte modo no aberto U IR m : são dadas f, g : U IR p diferenciáveis e ξ(x) = < f(x), g(x) >, para todo x U, é o produto interno dos vetores f(x) e g(x). 2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaço das matrizes n n (se achar conveniente, identifique E com IR n2 ). Defina f : E E pondo f(x) = X 3 para cada matriz X. Mostre que f é diferenciável em todos os pontos de E (use o método do exercício anterior para determinar o candidato a f (X)). 3. (Diferenciabilidade) Sejam f : U(aberto) IR m IR n e a U. Mostre que se f é diferenciável em a não podemos garantir a existência do limite f(a + v) f(a) lim v 0 v. f(a + v) f(a) Mostre também que se existe o limite lim v 0 v diferenciabilidade de f em a. então não podemos garantir a 4. (Diferenciabilidade e derivadas direcionais) Seja det : IR 32 IR a função determinante. Se A = e V = obtenha det (A) de duas maneiras diferentes: V (i) Usando det V (A) = det (A) (V ) (lembre que det é função 3-linear neste caso); (ii) Pela definição (via limite) de derivada direcional., 5. (Diferenciabilidade) Sejam U IR m e f, g : U IR n diferenciáveis no ponto a U, com f(a) = g(a). Mostre que f (a) = g (a) se, e só se, lim v 0 f(a + v) g(a + v) v = 0.