Lista de exercícios 2

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1 Lista de exercícios 2 MAT-160 Topologia Geral Quadrimestre Seja (X, τ) um espaço topológico. Prove que (X, τ) é T 1 se, e somente se, para todo A X existe U τ não vazio tal que A = U. 2. Seja X um espaço topológico. Mostre que X é T 1 se, e somente se, dados A X e x X arbitrários tais que x é ponto de acumulação de A, tem-se que toda vizinhança de x contém innitos pontos de A. 3. Seja X um espaço topológico. Mostre que: (a) X é T 1 se, e somente se, para todo x X e todo sistema fundamental de vizinhanças abertas V x para X em x, tem-se que V V x B = {x}; (b) X é T 2 se, e somente se, para cada x X, a intersecção de todas as vizinhanças fechadas de x em X é igual a {x}. [Obs.: Note que isso não é equivalente à armação para cada x X, a família de todas as vizinhanças fechadas de x em X é um sistema fundamental de vizinhanças para x em X.] 4. Seja X um conjunto innito. (a) Mostre que, se τ é a topologia conita sobre X, então τ é a menor (no sentido da inclusão) topologia T 1 sobre X ou seja, mostre que (X, τ) é um espaço T 1 e que, se τ é uma outra topologia sobre X tal que (X, τ ) é um espaço T 1, então τ τ. (b) Mostre que não existe uma topologia sobre X que é a menor topologia T 2 sobre X. [Sugestão: Exiba duas topologias τ 1 e τ 2 sobre X tais que: (i) os espaços (X, τ 1 ) e (X, τ 2 ) são T 2 ; (ii) τ 1 τ 2 é a topologia conita sobre X.]

2 5. Considere as seguintes armações sobre um espaço topológico X: (i) X é T 2. (ii) Toda sequência em X tem no máximo um limite. (iii) X é T 1. Prove que: (a) (i) (ii) (iii); (b) (iii) (ii) (i); (c) se X tem caráter enumerável, então (ii) (i). 6. Seja τ = {U R : para cada x U \ Q, existe ε>0 tal que ]x ε, x + ε[ Q U}. (a) Para cada i {1, 2, 3, 3 1, 4}, determine se (R, τ) é T 2 i. (b) (R, τ) tem caráter enumerável? (c) (R, τ) é separável? (d) (R, τ) possui base enumerável? 7. Sejam τ 1 e τ 2 topologias sobre um conjunto X tais que τ 1 τ 2. Prove ou dê um contraexemplo: (a) Se (X, τ 1 ) é T 1, então (X, τ 2 ) também é T 1. (b) Se (X, τ 1 ) é T 2, então (X, τ 2 ) também é T 2. (c) Se (X, τ 1 ) é T 3, então (X, τ 2 ) também é T 3. (d) Se (X, τ 1 ) é T 4, então (X, τ 2 ) também é T Sejam X um espaço topológico e Y X um subespaço. Prove que, para i = 1, 2, 3, 3 1 2, se X é T i então Y também é T i. Prove ainda que, se X é T 4 e Y é fechado em X, então Y é T 4.

3 9. Sejam X e Y espaços topológicos. Prove que, para i = 1, 2, 3, 3 1 2, se X e Y são T i então o produto topológico X Y também é T i. 10. O resultado do exercício anterior continua válido para produtos topológicos arbitrários (envolvendo uma quantidade innita de espaços topológicos)? Justique. 11. Mostre que (a) a reta de Sorgenfrey R s é um espaço topológico T 4 ; (b) o produto topológico R s R s não é normal. [Sugestão. Use o Lema de Jones.] 12. Seja X um espaço topológico. Prove que X é T 2 se, e somente se, {(x, x) : x X} é um subconjunto fechado do produto X X. 13. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma função contínua. O gráco de f é o conjunto Gr(f) = {(x, f(x)) : x X} X Y. (a) Prove que X é homeomorfo a Gr(f) (com a topologia de subespaço herdada de X Y ). (b) Prove que, se Y é T 2, então Gr(f) é um subconjunto fechado de X Y. 14. Dizemos que um espaço topológico X é perfeitamente normal se X é normal e todo subconjunto fechado de X é um conjunto G δ i.e., é igual à intersecção de uma família enumerável de abertos de X. Dizemos ainda que X é T 6 se X é T 1 e perfeitamente normal. (a) Prove que um espaço topológico X é T 6 se, e somente se, X é T 1 e, para todo aberto W X, existe uma família de abertos {W n : n N} tal que W = n N W n e W n W para todo n N. (b) Prove que um espaço topológico X é T 6 se, e somente se, X é T 1 e, para quaisquer F, G X fechados em X com F G =, existe uma função contínua f : X [0, 1] tal que f 1 [{0}] = F e f 1 [{1}] = G. 15. Dizemos que um espaço topológico X é T 5 se todo subespaço Y X é T 4. Prove que T 6 T 5 T 4. [Sugestão para a primeira implicação: Mostre que, se X é um espaço topológico T 6, então todo subespaço Y X é T 6. Para tanto, observe primeiro que, para todo A Y, tem-se que A Y = A X Y aqui, A X e A Y denotam, respectivamente, o fecho de A em X e o fecho de A em Y. Então use a caracterização de espaços T 6 obtida no item (a) do exercício anterior.]

4 16. Sejam X um conjunto, d uma métrica sobre X e τ a topologia sobre X associada a d. (a) Prove que, para todo A X, a função é contínua. d(, A) : X R + x d(x, A) def = inf{d(x, a) : a A} (b) Mostre que, dados x X e A X arbitrários, tem-se que d(x, A) = 0 se, e somente se, x A. (c) Conclua que (X, τ) é T 6. [Sugestão: Tome F, G X fechados disjuntos e dena f : X [0, 1] Note que f é contínua e use o exercício 14(b).] x d(x,f ) d(x,f )+d(x,g). 17. Mostre que, se X é um espaço T 3 separável, então existe uma base B de X tal que B 2 ℵ (a) Seja (X, d) um espaço métrico. Dena d : X X R + (x, y) min{d(x, y), 1}. Mostre que d é uma métrica sobre X satisfazendo τ d = τ d. (b) Seja (X n ) n N uma família indexada de espaços topológicos metrizáveis. Prove que o produto topológico X = n N X n é metrizável. [Sugestão. Fixe, para cada n N, uma métrica d n sobre X n que seja compatível com sua topologia. x, y X n. Dena, agora, Pelo item anterior, podemos supor que d n (x, y) 1 para quaisquer d : X X R + ((x n ) n N, (y n ) n N ) e prove que τ d é a topologia produto sobre X.] n=0 d n (x n, y n ) 2 n,

5 19. Demonstre o Teorema da Metrização de Urysohn: Se um espaço topológico é T 3 e possui base enumerável, então ele é metrizável. [Sugestão. Observe, a partir do resultado obtido no exercício anterior, que todo subespaço do produto topológico [0, 1] N é metrizável.] 20. Seja (X, τ) um espaço topológico. Dena τ δ = {A X : a A W X (W é G δ em (X, τ) e a W A)}. (a) Verique que τ δ é uma topologia sobre X. (b) Prove que, se (X, τ) é T 3, então (X, τ δ ) é T [Sugestão: Mostre que (X, τ δ ) possui uma base constituída por conjuntos que são simultaneamente abertos e fechados.]