Princípios de Escolha em Análise e Topologia

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1 +AC ω e ZF+AC ω(r) Princípios de Escolha em Análise e Topologia Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva IM/UFBA Salvador Bahia Brasil (trabalho conjunto com João Paulo Cirineu de Jesus, Aluno de Doutorado, USP) Salvador Bahia 12 a 14 de Março de 2014

2 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sumário I 1 Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF 2 + AC ω e ZF + AC ω (R) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF + AC ω e ZF + AC ω (R)

3 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sumário II 3 Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável 4 Equivalências com AC ω (R) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω

4 +AC ω e ZF+AC ω(r) Objetivos do Minicurso Neste minicurso, discutiremos (e, em alguns casos, determinaremos exatamente) qual é a necessidade da ação de princípios de escolha para a obtenção de resultados bastante conhecidos de Análise e de Topologia. Os princípios de escolha que estaremos interessados em investigar são: o próprio Axioma da Escolha e algumas versões fracas do mesmo (tais como o Axioma da Escolha Enumerável). A referência principal (em português) sugerida para este minicurso é a dissertação de mestrado de João Paulo, disponível na Internet no banco de dissertações do Programa de Mestrado em Matemática da UFBA, PGMAT-UFBA.

5 +AC ω e ZF+AC ω(r) Notações e terminologia No que segue, ZF é a Axiomática de Zermelo-Fraenkel para a Teoria dos Conjuntos. AC é o Axioma da Escolha. ZFC = ZF + AC. AC ω é o Axioma da Escolha Enumerável i.e., a restrição de AC às famílias enumeráveis de conjuntos não-vazios. AC ω (R) é a restrição de AC ω às famílias (enumeráveis) de subconjuntos não-vazios de R. ω := o conjunto dos números naturais (e o menor ordinal limite). Ingenuamente, é o conjunto N. ω 1 := o primeiro ordinal não-enumerável.

11 +AC ω e ZF+AC ω(r) Notações e terminologia Para X e Y conjuntos, X Y := {f : f é função, f : X Y }. A existência de uma função bijetora entre X e Y será denotada por X Y (que se lê: X é equipotente a Y ). A existência de uma função injetora de X em Y será denotada por X Y (que se lê: X é dominado por Y ).

14 +AC ω e ZF+AC ω(r) Notações e terminologia Para um dado conjunto X, <ω X denota a família de todas as sequências finitas de elementos de X. [X ] <ω denota a família de todos os subconjuntos finitos de X.

15 +AC ω e ZF+AC ω(r) Notações e terminologia Para um dado conjunto X, <ω X denota a família de todas as sequências finitas de elementos de X. [X ] <ω denota a família de todos os subconjuntos finitos de X.

16 +AC ω e ZF+AC ω(r) Enunciados do Axioma da Escolha! Existem várias versões claramente equivalentes do Axioma da Escolha; vamos enunciar algumas dessas versões. O enunciado mais intuitivo do Axioma da Escolha (AC), o qual pode ser facilmente ouvido em qualquer sala de café de qualquer instituto de matemática, possivelmente seja o seguinte: Axioma da Escolha Dada uma família qualquer de conjuntos não-vazios, é possível construir um conjunto escolhendo exatamente um elemento de cada um dos membros dessa família.

17 +AC ω e ZF+AC ω(r) Enunciados do Axioma da Escolha! Axioma da Escolha - 2a. Versão O produto cartesiano de uma família qualquer de conjuntos nãovazios é não-vazio. Axioma da Escolha - 3a. Versão Toda família de conjuntos não-vazios admite uma função-escolha. Def.: Se F é uma família de conjuntos não-vazios, uma função-escolha para F é uma função f : F F tal que f (x) x para todo x F. Observamos que, em todos os enunciados dados, a expressão família qualquer de conjuntos pode ser substituída por família infinita de conjuntos...

18 +AC ω e ZF+AC ω(r) Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Quando precisamos do Axioma da Escolha? Existe uma alegoria devida a Russell que está enunciada em termos de famílias infinitas de pares de meias e de pares de sapatos: Escolher uma meia de cada um entre infinitos pares de meias requer o Axioma da Escolha, mas para sapatos o Axioma não é necessário. Tal alegoria é um célebre exemplo que ilustra bem os contextos onde necessitamos do Axioma da Escolha - e os contextos nos quais não necessitamos dele.

19 +AC ω e ZF+AC ω(r) A estrutura do par de sapatos... Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Dada uma família infinita de pares de sapatos, não precisamos do Axioma da Escolha para escolher exatamente um sapato de cada par: podemos, por exemplo, sempre escolher o sapato correspondente ao pé esquerdo. A estrutura pé-esquerdo/pé-direito de cada par de sapatos nos permite fazer uma escolha não-arbitrária: temos uma regra pré-estabelecida (e bem estabelecida), e observamos que não existe problema algum em fazer escolhas não-arbitrárias, mesmo que estas sejam feitas infinitas vezes! Mesmo as funções elementares mais conhecidas podem ser encaradas como provenientes de escolhas não-arbitrárias...

20 +AC ω e ZF+AC ω(r) Meias são indistinguíveis entre si! Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF O problema surge quando consideramos os infinitos pares de meia: em um par de meias, ambas as meias são indistinguíveis uma da outra, e portanto, para escolhermos uma das meias de cada par, necessariamente essa escolha acaba sendo arbitrária! Observamos que a Lógica Finitária nos permite fazer um número finito de escolhas arbitrárias, sem maiores complicações: toda a problemática que estamos descrevendo é a que aparece quando temos que fazer um número infinito de escolhas arbitrárias: é exatamente esse o momento em que o Axioma da Escolha é indispensável.

21 +AC ω e ZF+AC ω(r) Reconhecendo resultados válidos em ZF! Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Quais são, portanto, os critérios para sabermos que um determinado resultado matemático pode ser provado em ZF - isto é, sem o uso do Axioma da Escolha? Vejamos: Um resultado é válido em ZF quando... Dada uma asserção matemática ϕ, ela é válida em ZF quando ocorrer um dos seguintes dois casos: 1 Sua prova não envolve escolhas arbitrárias, i.e., sempre que, durante a demonstração, escolhemos elementos em conjuntos não-vazios, essa escolha segue uma regra pré-estabelecida e bem-estabelecida. 2 Aparecem na demonstração escolhas arbitrárias, mas elas são feitas apenas um número finito de vezes.

22 +AC ω e ZF+AC ω(r) Reconhecendo resultados válidos em ZF! Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Quais são, portanto, os critérios para sabermos que um determinado resultado matemático pode ser provado em ZF - isto é, sem o uso do Axioma da Escolha? Vejamos: Um resultado é válido em ZF quando... Dada uma asserção matemática ϕ, ela é válida em ZF quando ocorrer um dos seguintes dois casos: 1 Sua prova não envolve escolhas arbitrárias, i.e., sempre que, durante a demonstração, escolhemos elementos em conjuntos não-vazios, essa escolha segue uma regra pré-estabelecida e bem-estabelecida. 2 Aparecem na demonstração escolhas arbitrárias, mas elas são feitas apenas um número finito de vezes.

23 +AC ω e ZF+AC ω(r) Ou seja: temos que ser cuidadosos... Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Notar que as idéias que apresentamos nos dois casos do slide anterior podem ser resumidos na seguinte frase: Em resumo... O Axioma da Escolha somente é necessário nos casos em que precisarmos de infinitas escolhas arbitrárias. Veremos a seguir uma série de resultados onde não é necessário o uso de nenhum princípio de escolha i.e., não precisamos nem do Axioma da Escolha e nem de versões fracas do mesmo. Os colegas poderão perceber que as demonstrações tendem a ser bastante cuidadosas!

24 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equipotência e Dominação em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF) Um conjunto possui uma bijeção com uma parte própria (i.e., é equipotente a um subconjunto próprio) se, e somente se, N X. É bastante sabido que, em ZFC, a propriedade de possuir bijeção com uma parte própria caracteriza os conjuntos infinitos inclusive, esta é a definição de conjunto infinito que aparece no famoso Dicionário Aurélio!!! No entanto, essa é uma questão que depende essencialmente de princípios de escolha, conforme será discutido em todo o minicurso.

25 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equipotência e Dominação em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF, Schröder-Bernstein-Cantor) Se X e Y são conjuntos tais que X Y e Y X, então X e Y são equipotentes. Com o auxílio do teorema anterior (e ainda usando que N N é enumerável), mostra-se em ZF que os conjuntos R, P(N) e N N são todos equipotentes entre si.

26 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equipotência e Dominação em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF) - pág. 30 O produto cartesiano R R é equipotente ao próprio conjunto R dos números reais. Com o auxílio do teorema acima, e mais alguns resultados técnicos, podemos mostrar que: <ω R R [R] <ω pode ser indexado por R. Note a diferença sutil entre os dois itens acima... Em breve veremos que essa diferença não ocorre para N!

27 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equipotência e Dominação em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF) - pág. 30 O produto cartesiano R R é equipotente ao próprio conjunto R dos números reais. Com o auxílio do teorema acima, e mais alguns resultados técnicos, podemos mostrar que: <ω R R [R] <ω pode ser indexado por R. Note a diferença sutil entre os dois itens acima... Em breve veremos que essa diferença não ocorre para N!

28 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equipotência e Dominação em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Observamos que a afirmação Para todo conjunto infinito X, o produto cartesiano X X é equipotente a X não só necessita do Axioma da Escolha em sua demonstração como, na verdade, é equivalente a ele! Existem mais equivalências para o Axioma da Escolha que são deste tipo... Exercício. (Para quem conhece Teoria dos Conjuntos) Usando a Função de Hartogs, prove: O Axioma da Escolha é equivalente à seguinte asserção: quaisquer conjuntos X e Y, ou X Y ou Y X. Dados

29 +AC ω e ZF+AC ω(r) O que é um conjunto enumerável? Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Um conjunto é dito enumerável se: (i) for finito; ou (ii) se for equipotente a ω. Como reconhecer um conjunto enumerável em ZF? Teorema (ZF) Folklore, págs. 11 e 12 Dado um conjunto não-vazio X, as seguintes asserções são equivalentes: (i) X é enumerável. (ii) X ω. (iii) X pode ser indexado por ω. (iv) X pode ser indexado por um conjunto enumerável. (v) X é a imagem de uma função definida num conjunto enumerável.

30 +AC ω e ZF+AC ω(r) Enumerabilidade em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF) - págs. 31 e 32 A família das sequências finitas de elementos de N e a família dos subconjuntos finitos de N são conjuntos enumeráveis. Notar que a boa ordenação de ω faz com que, para conjuntos infinitos, as noções de: ser indexado por N; ser dominado por N; e ser equipotente a N coincidam! Por isso o enunciado do teorema acima é mais sucinto (em comparação com o feito para R)...

33 +AC ω e ZF+AC ω(r) Enumerabilidade em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Com apenas um número finito de escolhas arbitrárias, podemos provar os seguintes teoremas: Teorema (ZF) A união de qualquer família finita de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. Teorema (ZF) O produto cartesiano de qualquer família finita de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. A célebre asserção Uma reunião enumerável de enumeráveis é enumerável esta sim, depende de princípios de escolha!

34 +AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia Geral em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF), pág.33 Todo espaço pseudométrico e separável possui uma base enumerável de abertos. Teorema (ZF), pág.33 Se um espaço topológico X, τ tem base enumerável, então τ R. Teorema (ZF), pág.33 Se um espaço topológico X, τ for T 0 e de base enumerável, então X R.

35 +AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia Geral em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF), pág.34 Dados um espaço topológico X e um subconjunto A de X, então A é subespaço compacto se, e somente se, toda família de subconjuntos abertos de X que cobre A possui uma subfamília finita que cobre A. A demonstração anterior é muito instrutiva: convidamos os colegas a identificar os momentos em que não há escolhas arbitrárias, assim como os momentos em que elas ocorrem, porém apenas um número finito de vezes! Teorema (ZF), pág.35 Todo intervalo fechado e limitado de R é um subespaço compacto.

36 +AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia geral em ZF Quando o Axioma da Escolha é realmente necessário? Teoria dos Conjuntos em ZF Topologia Geral em ZF Teorema (ZF), pág.36 Todo espaço métrico separável é paracompacto. Observamos que, do último teorema, e do fato de que não necessitamos do Axioma da Escolha para concluir que a reta é um espaço métrico separável, temos que a paracompacidade de R pode ser estabelecida mesmo sem o uso do Axioma da Escolha; o mesmo não ocorre para espaços métricos em geral!

37 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Apresentaremos agora resultados são provados com o auxílio do Axioma da Escolha Enumerável, e destacaremos exatamente quais são as passagens de suas demonstrações onde escolhas arbitrárias serão necessárias mas verificaremos que essas escolhas ocorrem no máximo um número enumerável de vezes! Ou seja, aqui o trabalho, em geral, consiste em verificar cuidadosamente que as demonstrações usuais as que conhecemos e que estão nos livros de Análise ou Topologia já estão naturalmente redigidas nas condições do Axioma da Escolha Enumerável, ou então podem ser adequadamente modificadas para que estejam sob essas condições.

38 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Teorema (ZF + AC ω ) Todo conjunto infinito é Dedekind-infinito, i.e., é equipotente a um subconjunto próprio. Com relação a essa implicação infinito Dedekind-infinito, destacamos que a implicação contrária não necessita de nenhum princípio de escolha, seguindo do bastante conhecido Princípio da Casa dos Pombos! E destacamos ainda que no chamado Modelo Básico de Cohen (no qual falha o Axioma da Escolha Enumerável) existe um subconjunto infinito da reta que não é Dedekind-infinito; trataremos de tal modelo mais adiante.

39 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω O seguinte teorema é um caso clássico de uso despercebido de um princípio de escolha: o momento exato em que o Axioma da Escolha Enumerável é usado é bastante sutil! Teorema (ZF + AC ω ) A união de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Observamos que o teorema anterior já garante que ω 1 é um cardinal regular! Essa informação tem consequências topológicas importantes, conforme destacaremos muito em breve.

40 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia Geral em ZF + AC ω Um típico resultado de Topologia no qual é bastante evidente que apenas enumeráveis escolhas arbitrárias são necessárias na demonstração é o seguinte: Teorema (ZF + AC ω ) Dados um espaço topológico X, um ponto z X e um subconjunto A X, se X satisfizer o primeiro axioma da enumerabilidade e z A, então existe uma sequência (x n ) n 1 de pontos de A que é tal que x n z. Recomendamos ao aluno menos experiente que faça a demonstração, inicialmente, para espaços métricos!

41 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia Geral em ZF + AC ω Teorema (ZF + AC ω ) Todo espaço topológico enumeravelmente compacto e discreto é finito. Lema (ZF + AC ω ) Dado um espaço topológico X que seja T 1, são equivalentes: (i) X é enumeravelmente compacto. (ii) Todo subconjunto infinito de X tem um ponto de acumulação. (iii) Todo subconjunto infinito e enumerável de X tem um ponto de acumulação. (iv) Toda família localmente finita de subconjuntos não-vazios de X é finita.

42 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) A topologia de ω 1 sob AC ω Teorema (ZF + AC ω ) Todo espaço topológico T 1, enumeravelmente compacto e paracompacto é compacto. Teorema (ZF + AC ω ) O primeiro ordinal não-enumerável (denotado por ω 1 ), munido da topologia da ordem, não é paracompacto. Com relação ao teorema anterior, destacamos que é consistente que o primeiro ordinal não-enumerável seja paracompacto: na verdade, tal fenômeno a paracompacidade de ω 1 ocorrerá em qualquer modelo onde esse ordinal tenha cofinalidade enumerável.

43 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Algumas equivalências envolvendo funções regressivas Dado um ordinal α, uma função regressiva em α é uma f : α α satisfazendo f (β) < β para todo 0 < β < α. Teorema (ZF - Good, Tree, 1995; de Jesus, da Silva 2012) Considere o primeiro ordinal não-enumerável ω 1, munido da topologia da ordem. São equivalentes: (i) ω 1 é regular, i.e., cf (ω 1 ) = ω 1. (ii) Toda função regressiva f : ω 1 ω 1 é constante em um subconjunto ilimitado. (iii) Toda função contínua f : ω 1 R é constante em um segmento final. (iv) ω 1 não é paracompacto.

44 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Espaços de base enumerável em ZF + AC ω Teorema (ZF + AC ω ), pág.38 Todo espaço topológico com base enumerável é tal que qualquer base contém uma subfamília enumerável que também é base. Teorema (ZF + AC ω ), pág. 38 Todo espaço topológico com base enumerável é separável. Teorema (ZF + AC ω ), pág.39 Todo espaço topológico com base enumerável é Lindelöf. Teorema (ZF + AC ω ), pág.39 Todo espaço pseudométrico Lindelöf tem base enumerável.

45 +AC ω e ZF+AC ω(r) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) As equivalências para pseudométricos sob AC ω Analisando os últimos resultados em conjunto, temos o quadro completo sob o Axioma da Escolha Enumerável: Corolário (ZF + AC ω ), pág.40 Dado um espaço pseudométrico X, são equivalentes: (i) X tem base enumerável. (ii) X é tal que toda base de abertos possui uma subfamília enumerável que também é base. (iii) X é separável. (iv) X é Lindelöf. Destacamos que existe na literatura um exemplo consistente de um espaço métrico compacto (logo Lindelöf) que não tem base enumerável, e, conseqüentemente, não é separável! Ver pág. 80.

46 +AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia em ZF + AC ω (R) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Refinando um pouco as demonstrações, podemos obter alguns dos resultados anteriores com uma hipótese consistentemente mais fraca a saber, AC ω (R), o Axioma da Escolha Enumerável para Subconjuntos da Reta! Teorema (ZF + AC ω (R)), pág.41 Todo espaço topológico enumerável é Lindelöf. Teorema (ZF + AC ω (R)), pág.41 Todo espaço topológico com base enumerável é tal que qualquer base de abertos contém uma subfamília enumerável que também é base.

47 +AC ω e ZF+AC ω(r) Topologia em ZF + AC ω (R) AC ω O Axioma da Escolha Enumerável Teoria dos Conjuntos em ZF + AC ω Topologia Geral em ZF + AC ω Espaços topológicos e pseudomét. em ZF+AC ω e ZF+AC ω(r) Teorema (ZF + AC ω (R)), pág.41 Todo espaço topológico T 0 que tem base enumerável é separável. Teorema (Herrlich e Strecker 97, ZF + AC ω (R)), pág.42 Todo espaço topológico que tem base enumerável é Lindelöf.

48 +AC ω e ZF+AC ω(r) O Modelo Básico de Cohen Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável A invenção do método de forcing nos anos 60 do séc. XX (por Cohen) é normalmente mais lembrada por sua relação com a independência da Hipótese do Contínuo em relação aos axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos; no entanto, exatamente no mesmo trabalho também foi verificada a independência do Axioma da Escolha com relação a esses mesmos axiomas! O chamado Modelo Básico de Cohen (o qual denotaremos por M1, seguindo a literatura atual) é o modelo apresentado naquela ocasião por Cohen, no qual valem os axiomas de ZF mas não é válido AC e sequer AC ω é válido. Nesse modelo, temos fatos possivelmente chocantes para o leitor que está acostumado a usar, ainda que implicitamente, o Axioma da Escolha em sua matemática do dia-a-dia.

49 +AC ω e ZF+AC ω(r) Horrores em Topologia e Análise! Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Vamos usar, nas seguintes transparências, partes de algumas transparências utilizadas no ciclo de palestras Cem Anos do Axioma da Escolha ministrado em 2008, em Maringá, na IV Bienal da SBM (e também num ciclo de palestras no Programa de Verão do IM/UFBA). A quarta palestra se chamava, exatamente, Horrores da Matemática sem o Axioma da Escolha! Esse material tem o esboço das demonstrações: os detalhes (feitos posteriormente) podem ser vistos nas págs. 67 a 72 da dissertação.

50 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sobre infinitos e D-infinitos Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Trabalhando com o método de forcing, Cohen demonstrou que o seguinte fato é valido em M1 : Fato válido em M1 No modelo M1, existe um subconjunto C R que é infinito, porém é Dedekind-finito. Lembramos ao colega que os Dedekind-finitos são os conjuntos que não possuem bijeções com partes próprias e que tais conjuntos são exatamente os que não possuem subconjuntos infinitos enumeráveis. Portanto, em M1 existe um conjunto C que é infinito mas não possui nenhum subconjunto infinito enumerável.

51 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sobre conjuntos bem ordenados Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável A existência desse subconjunto C tem várias outras conseqüências algumas bastante chocantes! Fato válido em M1 R não pode ser bem-ordenado. Basta ver que C não pode ser bem-ordenado. De fato, se C pudesse ser bem ordenado ele deveria ter um ordinal como seu tipo de ordem, e como C é infinito então esse ordinal (que possuiria pelo menos uma bijeção com C, a saber o isomorfismo de ordem) deveria ser maior ou igual a ω, o que é um absurdo pois C não possui subconjuntos enumeráveis infinitos.

52 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Vamos ver agora algumas conseqüências da existência desse tal conjunto C na Análise e na Topologia!!! Fato válido em M1 Existem um subconjunto A R e um número real x R tais que x A mas nenhuma seqüência de pontos de A converge para x. Tal subconjunto A vai ser um subconjunto de C. Afirmamos inicialmente que C contém algum ponto de acumulação, i.e., existe um ponto x em C tal que qualquer vizinhança de x contém pontos de C diferentes de x.

53 +AC ω e ZF+AC ω(r) Construindo um ponto de acumulação Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável De fato: suponha por absurdo que todos os pontos de C sejam isolados. Como Q Q é enumerável em ZF, podemos considerar {I n : n < ω} uma enumeração de todos os intervalos da reta com extremos racionais. A cada ponto c de C, associamos o número natural n c = min{n ω : I n C = {c}} A associação c n c seria portanto uma injeção de C em ω o que é um absurdo pois nesse caso C seria enumerável, e C não tem sequer subconjuntos enumeráveis.

54 +AC ω e ZF+AC ω(r) Construindo A e x Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Podemos considerar então um número real x tal que x C e x é ponto de acumulação de C. Seja então A = C \ {x}; note que x A. Como C é Dedekind-finito, então A é Dedekind-finito, logo A também não possui subconjuntos enumeráveis, e portanto todas as seqüências convergentes de pontos de A são quase-constantes. Segue que nenhuma seqüência de pontos de A converge para x.

55 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Sobre compactos e sequencialmente compactos O desfile de monstruosidades continua!!! Fato válido em M1 Existe um subconjunto X dos números reais que não é nem limitado e nem fechado mas que é tal que toda seqüência em X possui subseqüência convergente. De fato, basta considerar o conjunto A = C \ {x} usado na demonstração anterior. A é Dedekind-finito e não é fechado, pois x / A e x A. A partir disso, temos:

56 +AC ω e ZF+AC ω(r) Podemos supor s.p.g. A ilimitado... Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Se A for ilimitado, podemos considerar A = X. Toda seqüência em A assume apenas finitos valores (pois A não possui subconjuntos enumeráveis infinitos!) logo qualquer seqüência de pontos de A possui subseqüências constantes. Se A for limitado, consideramos um intervalo aberto com um dos extremos dado pelo ponto de acumulação x e que tenha infinitos pontos de A. Considerando um homeomorfismo adequado entre esse intervalo e R, tomamos a imagem pelo homeomorfismo de tais pontos de A: esse será um conjunto ilimitado e, por combinatória, Dedekind-finito. Argumentando novamente por pontos isolados, podemos retirar um ponto dessa imagem e estaremos exatamente nas condições do caso anterior.

57 +AC ω e ZF+AC ω(r) Podemos supor s.p.g. A ilimitado... Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Se A for ilimitado, podemos considerar A = X. Toda seqüência em A assume apenas finitos valores (pois A não possui subconjuntos enumeráveis infinitos!) logo qualquer seqüência de pontos de A possui subseqüências constantes. Se A for limitado, consideramos um intervalo aberto com um dos extremos dado pelo ponto de acumulação x e que tenha infinitos pontos de A. Considerando um homeomorfismo adequado entre esse intervalo e R, tomamos a imagem pelo homeomorfismo de tais pontos de A: esse será um conjunto ilimitado e, por combinatória, Dedekind-finito. Argumentando novamente por pontos isolados, podemos retirar um ponto dessa imagem e estaremos exatamente nas condições do caso anterior.

58 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Sobre compactos e sequencialmente compactos Temos mais uma conseqüência drástica portanto!!! A equivalência entre as asserções: A R é compacto. A R é sequencialmente compacto, i.e., toda seqüência de pontos de A possui subseqüencia convergente. depende do Axioma da Escolha. De fato: acabamos de exibir um subconjunto da reta que é sequencialmente compacto, mas não é compacto! Observe que, mesmo em ZF, os subconjuntos compactos da reta são exatamente os limitados e fechados - por quê?

59 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Compacidade em espaços métricos e princípios de escolha Mais geralmente, podemos dizer ainda: As caracterizações usuais da compacidade em espaços métricos dependem de princípios de escolha Seja M um espaço métrico. A equivalência entre as asserções: M é compacto. Todo subconjunto infinito de M possui ponto de acumulação. Toda seqüência em M admite subseqüência convergente. depende de princípios de escolha.

60 +AC ω e ZF+AC ω(r) Conseqüencias em análise e topologia Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável O colega pode checar (exercício!) que sob AC ω, vale a equivalência entre as asserções. No entanto, no modelo M1, acabamos de checar que essa equivalência não vale (para o caso particular de um subconjunto da reta). E observe que só nos preocupamos em destruir a equivalência: descobrir quais implicações entre esses conceitos ainda continuam verdadeiras sem AC é um excelente exercício!

61 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Sobre funções contínuas e sequencialmente contínuas Pensam que não tem mais nada para fazer com os conjuntos C e A e aquele número real x? Tem mais!!! Fato válido em M1 Existem uma função f : R R e um número real x tal que f não é contínua em x mas para toda seqüência (x n ) tal que x n x tem-se que f (x n ) f (x). Em palavras: f é sequencialmente contínua em x, mas não é contínua em x. De fato: tomemos o mesmo x já utilizado anteriormente (aquele x tal que A = C \ {x}...) e defina f : R R pondo f (y) = 1 se y A e f (y) = 0 caso contrário. Tal f não é contínua em x, pois f (x) = 0 mas qualquer vizinhança de x possui pontos de A nos quais a função vale 1.

62 +AC ω e ZF+AC ω(r) Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Sobre funções contínuas e sequencialmente contínuas Pois bem. Observe agora que qualquer seqüência (x n ) de números reais não pode assumir infinitos valores em A, pois A é Dedekind-finito. Em particular, se (x n ) é uma seqüência que converge para x então x n / A para n suficientemente grande. Segue que f (x n ) = 0 para n suficientemente grande e portanto f (x n ) 0 = f (x). Logo, f é seqüencialmente contínua em x, mas não é contínua em x!!!

63 +AC ω e ZF+AC ω(r) Uma grande sutileza... Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Aqui temos uma grande sutileza: para cada ponto x, a asserção Se uma função real de variável real é sequencialmente contínua em x, então ela é contínua em x não é, como se pode ver, um teorema de ZF (e, mais adiante, veremos que tal afirmação é na verdade equivalente a AC ω (R)!). No entanto, se supusermos que uma função real de variável real é sequencialmente contínua em todos os pontos de R, pode-se provar em ZF que tal função é contínua este é um ponto no qual vale a pena pensar um pouco! Existem questões sutis de Lógica envolvidas...

64 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sobre espaços de base enumerável Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Chamamos agora a atenção para o seguinte fato: a família enumerável de todos os intervalos de extremos racionais {I n : n ω} que utilizamos agora há pouco é, claramente, uma base para a topologia de R. Segue portanto mais um horror do modelo de Cohen: Fato válido em M1 Existem espaços métricos de base enumerável que não são separáveis. De fato, basta tomar C o conjunto infinito e Dedekind-finito, com a topologia de subespaço de R. A família {I n C : n ω} é uma base enumerável para o subespaço C, mas C não possui nenhum denso enumerável - pois C não possui subconjunto enumerável.

65 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sobre espaços de base enumerável Pontos aderentes e sequências Compacidade e compacidade sequencial Continuidade e continuidade sequencial Espaços de base enumerável Um fato um pouco mais sutil que é válido em M1 é o seguinte: Fato válido em M1 Existe um espaço métrico que é separável, e, consequentemente, tem base enumerável, mas não é Lindelöf. Estamos enunciando este fato aqui porque, conforme veremos a seguir, temos certeza que N não é Lindelöf em M1... De fato, Herrlich e Strecker conseguiram definir exatamente quais são os modelos nos quais N é Lindelöf!!!

66 +AC ω e ZF+AC ω(r) Determinando exatamente a necessidade de princípios de escolha... Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Mostramos que certos resultados de Análise e Topologia são obtidos assumindo-se (ainda que implicitamente) princípios de escolha: em seguida, vimos (via M1) que se retirarmos esses princípios de escolha, tais resultados não são mais necessariamente válidos. Nesta última seção, vamos justificar o motivo de não podermos descartar princípios de escolha: vamos mostrar que vários resultados bastante conhecidos de Análise e de Topologia são, na verdade, equivalentes a princípios de escolha. As principais referências para esta seção são trabalhos relativamente recentes (anos 90) de Herrlich, em parceria com coautores (Strecker, Bentley).

67 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω (R) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Herrlich e Strecker apresentaram nove equivalências para a asserção N é Lindelöf ; na dissertação, verificamos que poderiam ser incluídas mais duas equivalências. Teorema (ZF - Herrlich, Strecker 1997; de Jesus, da Silva 2010) São equivalentes: (0) Todo espaço topológico enumerável é Lindelöf. (1) N é Lindelöf. (2) Q é Lindelöf. (3) R é Lindelöf. (4) Todo espaço topológico que tem base enumerável é Lindelöf. (5) Todo subespaço de R é separável. (6) Todo espaço topológico T 0 que tem base enumerável é separável. (continua...)

68 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω (R) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω (7) Dados um número real x e um subconjunto A R, x está no fecho de A se, e somente se, existe uma sequência de pontos de A que converge para x. (8) Dados um número real x e uma função real de variável real f, então f é contínua em x se, e somente se, f é sequencialmente contínua em x. (9) Todo subconjunto ilimitado de R possui um subconjunto enumerável ilimitado. (10) AC ω (R). Veja o esquema de implicações na pág. 73!!!

69 +AC ω e ZF+AC ω(r) As implicações cruciais... Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω As implicações mais críticas do teorema anterior (que são as contribuições originais de Herrlich e Strecker) são: (1) (9) (10) (4) Observamos ainda que uma análise cuidadosa da demonstração ainda nos permite incluir mais uma equivalência!

70 +AC ω e ZF+AC ω(r) Mais equivalências com AC ω (R) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Teorema (ZF), pág de Jesus, da Silva 2012 As seguintes asserções são equivalentes: (i) AC ω (R). (ii) Todo espaço topológico T 0 de base enumerável é separável. (iii) Todo espaço métrico de base enumerável é separável. As equivalências acima seguem da observação de que, na demonstração do teorema original, a asserção que efetivamente se usa na demonstração é: todo subespaço de R é separável ; a partir dessa informação, mostra-se a mais crucial de todas as asserções, que é a asserção (9) a qual pode ser traduzida em termos mais simples como todo subconjunto ilimitado de R contém uma sequência que diverge para +!!!

71 +AC ω e ZF+AC ω(r) Algumas observações Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω É bastante interessante termos incluído uma asserção sobre espaços métricos, de cunho bastante geral, nas equivalências de Herrlich e Strecker para AC ω (R): conforme será visto em breve, em geral temos mais informação sobre o consistency strength de afirmações sobre espaços pseudométricos! A asserção que acabamos de citar, a (9), é utilizada para implicar AC ω (R) por sua relação com uma equivalência para AC ω (R) em termos de sequências. Não vamos entrar em detalhes sobre essa equivalência aqui neste minicurso, mas observamos que essa equivalência é análoga à que apresentaremos logo em seguida, para AC ω.

72 +AC ω e ZF+AC ω(r) Algumas observações Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω É bastante interessante termos incluído uma asserção sobre espaços métricos, de cunho bastante geral, nas equivalências de Herrlich e Strecker para AC ω (R): conforme será visto em breve, em geral temos mais informação sobre o consistency strength de afirmações sobre espaços pseudométricos! A asserção que acabamos de citar, a (9), é utilizada para implicar AC ω (R) por sua relação com uma equivalência para AC ω (R) em termos de sequências. Não vamos entrar em detalhes sobre essa equivalência aqui neste minicurso, mas observamos que essa equivalência é análoga à que apresentaremos logo em seguida, para AC ω.

73 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Sequências e AC ω O que segue é uma espécie de caracterização combinatória (em termos de sequências) para o Axioma da Escolha Enumerável. Teorema (ZF) - Folklore, pág. 42 São equivalentes: (i) AC ω. (ii) Toda família enumerável infinita de conjuntos não-vazios contém uma subfamília infinita que admite uma função-escolha. (iii) Para toda família enumerável infinita F={X n : n 1} de conjuntos não-vazios existe uma sequência s = x k k 1 em F tal que {n 1 : im(s) X n } é um conjunto infinito.

74 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Um espaço topológico devido a Bentley e Herrlich Exemplo (ZF, Bentley, Herrlich 1998) - pág. 82 Suponha que AC ω não seja válido. Então existe um espaço pseudométrico compacto (portanto, Lindelöf) que tem base enumerável e não é separável. Seja F = {X n : n 1} nas condições da negação de (iii) do teorema anterior i.e., nenhuma sequência na união da família pode intersectar infinitos X n s. Definimos B n = X n {n} para todo n 1, e em seguida definimos X := { 0, 0 } n 1 B n e uma função d : X X R da seguinte maneira:

75 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Um espaço topológico devido a Bentley e Herrlich d ( x, n, y, m ) := 0, se n = m; 1, n + m se n m e n m = 0; 1 n m, se n m e n m 0. A ausência de sequências intersectando infinitos X n s garante que esse espaço não é separável! As demais propriedades são fáceis de serem checadas.

76 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Equivalências com AC ω O exemplo anterior é utilizado na demonstração das seguintes equivalências: Teorema (ZF, Bentley Herrlich 98, de Jesus da Silva 2012) - p. 82 São equivalentes: (i) AC ω. (ii) Todo espaço topológico de base enumerável é separável. (iii) Todo espaço pseudométrico Lindelöf é separável. (iv) Todo espaço pseudométrico compacto é separável.

77 +AC ω e ZF+AC ω(r) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Equivalências com AC ω Já sabemos de antemão que (ii), (iii) e (iv) necessitam de no máximo enumeráveis escolhas arbitrárias em suas demonstrações. Segue que (i) implica todos os demais itens. Por outro lado, o Exemplo de Bentley e Herrlich nos fornece uma prova por contraposição para todas as recíprocas! O resultado original de Bentley e Herrlich listava as três primeiras equivalências: introduzimos a quarta e última na dissertação.

78 +AC ω e ZF+AC ω(r) Sutilezas entre AC ω e AC ω (R) Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Observamos que a asserção Todo espaço topológico de base enumerável é separável é equivalente a AC ω ; por outro lado, já tínhamos observado que, se acrescemos como hipótese o axioma de separação T 0, obtemos uma asserção (mais fraca, obviamente) que é, por sua vez, equivalente a AC ω (R)!!! Os espaços pseudométricos desempenham um papel importante neste gap : o exemplo de Bentley e Herrlich é pseudométrico, e notem que se um espaço pseudométrico é T 0, automaticamente temos um espaço métrico! Estamos interessados em continuar pesquisando esses gaps entre: espaços topológicos em geral e espaços T 0, espaços pseudométricos e espaços métricos, AC ω e AC ω (R).

79 +AC ω e ZF+AC ω(r) Para finalizar, um problema em aberto! Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Para encerrar este minicurso, apresentamos uma questão que propusemos em nosso artigo apresentado no XVI EBL, em Petrópolis, 2012: Questão (de Jesus, da Silva 2012) A asserção Todo espaço métrico Lindelöf é separável é equivalente a AC ω? Em caso negativo, existe algum princípio de escolha estritamente mais fraco com relação ao qual essa asserção é equivalente?

80 +AC ω e ZF+AC ω(r) Referências Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω H. Bentley e H. Herrlich, Countable choice and pseudometric spaces, Topology and its Applications 85, 1-3 (1998), C. Good e I. Tree, Continuing horrors of topology without choice, Topology and its Applications 63, 1 (1995), H. Herrlich e G. Strecker, When is N Lindelöf?, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 38, 3 (1997), P. Howard e J. E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 59, American Mathematical Society (Providence RI, 1998), viii pp. T. Jech, The Axiom of Choice, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, Vol. 75, Amsterdam, North Holland, 202 pp. J. P. C. de Jesus, Espacos métricos e topológicos na ausência do Axioma da Escolha (in Portuguese), MSc Dissertation, Federal University of Bahia (Salvador, Bahia, Brazil, 2010), 116 pp.

81 +AC ω e ZF+AC ω(r) Agradeço a todos pela atencão!!! Equivalências com AC ω(r) Sequências e o Axioma da Escolha Enumerável Equivalências com AC ω Nosso objetivo foi o de expor aos colegas a necessidade da ação de princípios de escolha em nossa matemática do dia-a-dia: a partir de agora, lembrem-se sempre que certas asserções da Análise e da Topologia são, na verdade, princípios de escolha! (por serem equivalentes a estes, não é mesmo?) Espero sinceramente que tenham aproveitado este minicurso! Até a próxima! Vamos discutir Lógica e Teoria dos Conjuntos? samuel@ufba.br