σ-álgebras, geradores e independência

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1 σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de σ-álgebras. Nos dois casos, prova-se que a condição a ser checada vale se e somente se ela vale sobre os geradores da σ-álgebra em questão. Mostramos também que uma função cumulativa sobre R d é um produto de funções de cada coordenada se e somente se as coordenadas do vetor aleatório correspondendo a F são independentes. Todos os resultados dados aqui podem ser tomados como hipótese nas listas posteriores. 1 A σ-álgebra gerada por X Seja X : Ω Θ, onde (Ω, F) (Θ, G) são espaços mensuráveis. Para B Θ, defina {X B} = X 1 (B) = {ω Ω : X(ω) B}. Definição 1 (σ-álgebra gerada por X). A σ-álgebra gerada por X é o subconjunto σ(x) = {X 1 (B) : B G}. X é dita mensurável (ou variável aleatória) se σ(x) F, isto é: Proposição 2. Temos 1. X 1 (Θ) = Ω, X 1 ( ) = ; B G, X 1 (B) F. 2. para todo A G (X 1 (A)) c = X 1 (A c ); IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, rimfo@impa.br 1

2 3. para toda seqüência {A i } + i=1 em G, + i=1 X 1 (A i ) = X 1 ( + i=1 A i). Por conseguinte, σ(x) é de fato uma σ-álgebra. Prova: [Exercício.] É conveniente saber que a consição definindo mensurabilidade não precisa ser checada para todos os sub-conjuntos de uma σ-álgebra, mas apenas para algum sub-conjunto que a gera. Proposição 3. Seja O um conjunto gerador para G. Então X é mensurável se e somente se X 1 (O) F para todo O O. Prova: O somente se é trivial. Para provar o se, considere G X = {B G : X 1 (B) F}. Usando o raciocínio da proposição anterior, vemos que G X é uma σ-álgebra. Por hipótese, G X contem O; mas então G X σ(o), que é a σ-álgebra gerada por O, que é G. Logo G = G X, o que significa que para todo B G tem-se X 1 (B) F. Exemplo 4. Se Ω, Θ são espaços topológicos com F, G geradas por seus respectivos abertos, toda X : F G contínua é mensurável: de fato, basta tomar O =abertos no resultado acima e notar que X 1 (O) é aberto (logo está em F) para todo O O. Se X : R R é monótona, pode-se tomar O = {(, r] : r R} e provar que X é necessariamente mensurável. Proposição 5. Seja {X i : Ω Θ i } i A uma família de v.a.s, quando cada Θ i é dotado de uma σ-álgebra G i. Considere o vetor X : Ω Θ = i A Θ i ω (X i (ω)) i A. Seja Θ dotado da σ-álgebra produto G. Então X é F/G mensurável. Observação 6. Se X é mensurável, então cada X i o é. [Exercício] Prova: G é gerada por O = {A j {(θ i ) i A Θ : θ j A} : j A, A G j }. Note que X 1 (A j ) = Xj 1 (A) F sempre que A G j, posto que X j é mensrável. Segue que X 1 (O) F para todo O O, o que implica o resultado desejado. 2

3 Exercício 1. Considere novamente o produto cartesiano Θ = i A Θ i, onde cada (Θ i, G i ) é mensurável e G é a σ-álgebra produto. Dado B A, construa de maneira similar Θ = i B Θ i com σ-álgebra G. Então a projeção Π é mensurável: Π : Θ Θ (θ i ) i A (θ j ) j B. Exercício 2. A composição de funções mensuráveis é mensurável. Proposição 7. Seja Y : Ω Γ, onde (Γ, H = B(Γ)) é um espaço métrico separável completo com a σ-álgebra de Borel correspondente. Y é σ(x)/hmensurável se e somente se existe f : Θ Γ G/H-mensurável tal que Y é a composição Y = f(x) f X. A prova requerirá alguns fatos sobre espaços métricos e conjuntos de Borel neles. Observação 8. A hipótese sobre Γ significa que há uma métrica d sobre Γ tal que toda seqüência de Cauchy converge e um conjunto enumerável D que é denso em Γ. Neste caso, se g i : Θ Γ uma seqüência de funções mensuráveis, o conjunto é mensurável. De fato [Exercício], L = n N m N L {θ Θ : lim i g i (θ)} γ D i m gi 1 (B(γ, 1/n)), onde B(x, ɛ) é a bola aberta de raio ɛ ao redor de x. Além disso, se definimos f como sendo igual a lim i g i no conjunto L e igual a um c Γ arbitrário fora dele, f é mensurável [Exercício]. Prova: Mais uma vez a parte somente se é trivial. Para provar o se, seja Y : Ω Γ σ(x)/h mensurável. Suponha primeiro que Y é simples, isto é, que há uma partição Γ = H 1 H 2 H 3... em conjuntos mensuráveis e valores distintos γ k Γ tais que Y (ω) = γ k quando ω H k. Escreveremos: Y = k 1 γ k I Hk. 3

4 Neste caso, cada H i está em σ(x); logo há conjuntos E i G que são necessariamente disjuntos tais que H i = X 1 (E i ). Segue-se que Y = g i X, onde g i k 1 γ k I Ek é G/H-mens. Agora considere Y geral. O primeiro passo é provar que Y é o limite de funções simples. Fixe um i N e uma enumeração D = {γ 1, γ 2, γ 3,... }e defina uma partição de G em conjuntos H i,k B(γ k, 1/i)\ B(γ j, 1/i). 1 j<k Note que cada H i,k H e que sua união cobre Γ, posto que {γ i } + i=1 é densa. Se Y i = k 1 γ k I Hi,k, vemos que Y i Y quando i + e que cada Y i é simples. Isto cumpre nosso primeiro passo e nos permite escrever (usando o resultado para funções simples): Y = lim g i(x), onde g i é G/H-mens.. i + Agora considere o conjunto L e uma função f definida como na Observação acima. Note que para todo θ = X(ω) para algum ω Ω temos que lim i + g i (θ) = Y (ω). Logo a imagem de Ω por X está toda contida em L. Segue-se que para todo ω: f(x(ω)) = lim g i(x(ω)) = lim Y i(ω) = Y (ω). i + i + Como f é G/H-mensurável, isto é exatamente o resultado buscado. 2 Independência Agora (Ω, F, P) é um espaço de probabilidade. Definição 9. Seja {F i F} i A uma família de σ-álgebras sobre Ω. Dizemos que esta família é independente quando para todo S A finito e toda escolha de A i F i para i S temos: ( ) P A i = P (A i ). i S i S 4

5 Uma família de v.a. s {X i } i A sobre (Ω, F, P) é independente quando {F i = σ(x i )} i A o for. Observação 10. Com as definições da Proposição 5, se {X i : Ω Θ i } i A é dado, (Θ, G) é o produto de (Θ i, G i ) e X = (X i ) i A, é fácil ver que P X é produto se e somente se a família {X i } i A é independente. Também neste caso basta checar a condição para conjuntos geradores. Proposição 11. Uma família {F i F} i A de σ-álgebras sobre Ω é independente se e somente se existem conjntos geradores O i para cada F i tais que para todo S A finito e toda escolha de O i O i para i S temos: ( ) P O i = P (O i ). i S i S Prova: Usaremos o seguinte exercício: Exercício 3. Dada uma coleção de subconjuntos C F, a família é σ-álgebra. I C {A F : C C, P (C A) = P (C) P (A)} Para provar o teorema, note em primeiro lugar que basta considerar o caso de A finito. Escreva então A = {a 1,..., a n } com n N. Provaremos por indução em k = 1,..., n que, sob as hipóteses do teorema, são independentes. Para k = 1, tome F 1,..., F k, O k+1, O k+2,..., O n C {O i1 O i2 O ir : O il O il, 2 i 1 < i 2 < < i r n}. Veja que, por hipótese, P (O 1 C) = P (O 1 ) P (C) para cada C C e O 1 O 1, logo O 1 I C e, como este conjunto é uma σ-álgebra, σ(o 1 ) = F 1 I C. Exercício 4. Deduza que F 1, O 2, O 3,..., O n são independentes. como fazer o passo indutivo aplicando a mesma idéia. Mostre 5

6 Mostraremos agora que tomar funções de variáveis aleatórias independentes preserva a independência. Proposição 12. Considere v.a. s {X i : Ω Θ i } i A independentes sobre (Ω, F, P) (onde cada Θ i tem uma σ-álgebra correspondente). Se para cada i A f i : Θ i Γ i é mensurável (para uma certa σ-álgebra corrrespondente), então {f i (X i ) : Ω Γ i } i A também é família independente. Prova: σ(f i (X i )) σ(x i ) para todo i. O seguinte resultado mostra que vetores construídos disjuntamente a partir de v.a. s independentes são também independentes. Proposição 13. Sejam {X i : Ω Θ i } i A v.a. s independentes sobre (Ω, F, P). Considere uma partição A = j U A j de A e considere os vetores Y j (X i ) i Aj, que são mensuráveis na σ-álgebra produto correspondente (cf. Proposição 5). Então {Y j } j U é independente. Definimos: Definição 14. Se {G i } i U são σ-álgebras sobre o mesmo espaço, denotaremos a σ-álgebra gerada por sua união por i U G i. Na situação da proposição acima, σ(y j ) i Aj σ(x i ). Portanto, basta provar que: Proposição 15. Seja {F i F} i A uma família de σ-álgebras independentes sobre (Ω, F, P). Considere uma partição A = j U A j de A e considere as σ-álgebras G j = i Aj F i. Então {G j } j U é independente. Prova: Tome O j = i Aj F i para cada j e aplique o resultado sobre conjuntos geradores (a hipótese vale para O i O i pela independência das F i s). 3 Independência em R Proposição 16. Seja X = (X 1,..., X d ) R d um vetor aleatório com função cumulativa F : R d R. As coordenadas de X são independentes se e somente se existem F i : R R tais que: r R d, F (r) = F 1 (r 1 )... F d (r d ). (1) 6

7 Prova: A parte somente se é trivial: basta tomar cada F i como a função cumulativa de X i. Para a parte se, suponha que (1) vale. Note que tomando valores absolutos, podemos supor que F i 0. Começamos mostrando que: Afirmação 17. Para cada i há um m i R tal que F i (r i ) > 0 para todo r i m i. De fato, em caso contrário haveria uma seqúência {r i,n } n com r i,n + e F i (r i,n ) = 0 sempre. Neste caso teríamos lim inf F (r) lim F (r i,n, r i,n,..., r i,n ) = 0, r 1,...,r d + n o que contradiz o requerimento que F (r) 1 quando r 1,..., r d +. Agora mostraremos que F 1 é não-decrescente; uma prova análoga mostra que todas as F i também o são. Seja m = max 1 i d m i. Então F i (m) > 0 para todo i. Se r 1 s 1, o fato de que F é crescente em cada variável mostra que F (r 1, m, m, m,..., m) F (s 1, m, m, m,..., m), o que implica que F 1 (r 1 )F 2 (m)... F d (m) F 1 (s 1 )F 2 (m)... F d (m) F 1 (r 1 ) F 1 (s 1 ) já que os outros termos no produto são positivos. Isto mostra que F 1 (r 1 ) F 1 (s 1 ) sempre que r 1 s 1, como desejado. É fácil usar um método semelhante para mostrar que cada F i é contínua à direita: se r 1,n r 1, F (r 1,n, m, m, m,..., m) F (r 1, m, m, m,..., m) F 1 (r 1,n ) F 1 (r 1 ). Para provar que F 1 (r 1 ) 0 quando r 1 (e analogamente para toda F i ), recordamos que se r 1, F (r) 0. Tomando r = (r 1, m,..., m), deduzimos o resultado desejado. Agora consideramos lim ri + F i (r i ). Como cada F i é crescente, deduzimos que os limites F i (+ ) = lim i + F i (r i ) existem e (pela Afirmação) são positivos. De fato, como F (r) 1 quando cada coordenada cresce, temos: F 1 (+ )F 2 (+ )... F n (+ ) = 1. Logo podemos substituir cada F i por F i /F i (+ ) (o que não muda F ) e imaginar que F i (+ ) = 1. 7

8 Segue dos resultados provados acima que podemos supor que cada F i em (1) é uma cdf. Como ) F (r) = P X ( d i=1(, r i ] = F 1 (r 1 )... F d (r d ), vemos que P X coincide com a medida-produto determinada por F 1 F d sobre um conjunto de geradores da σ-álgebra de Borel. Segue que a distribuição de X é produto e que os X i s têm de ser independentes. 8