O que é Dimensão? Augusto GEROLIN (ENS-Lyon / Université Joseph-Fourier) 3 o EIAGIME - USP. 29 de agosto de 2010

Transcrição

1 O que é Dimensão? Augusto GEROLIN (ENS-Lyon / Université Joseph-Fourier) 3 o EIAGIME - USP 29 de agosto de 2010

2 Outros possivéis títulos para O que é dimensão?

3 Outros possivéis títulos para O que é dimensão? 1. Introdução à Teoria Geométrica da Medida Geometria Fractal Medidas de Hausdorff...

4 O que é dimensão? Estratégia do mini-curso: Apresentar idéias relacionadas a dimensão em dois contextos (geométricos) diferentes: 1. Anaĺıtico (Medidas de Hausdorff)

5 O que é dimensão? Estratégia do mini-curso: Apresentar idéias relacionadas a dimensão em dois contextos (geométricos) diferentes: 1. Anaĺıtico (Medidas de Hausdorff) 2. Algébrico/Lúdico: treços do filme Dimensions une promenade mathématique

6 O conceito primitivo de dimensão

7 O conceito primitivo de dimensão 1. Anos (geração coca-cola): vídeo games.

8 O conceito primitivo de dimensão 1. Anos (geração coca-cola): vídeo games. 2. Graduação, Anos (geração Bourbaki):Álgebra Linear.

9 Dimensão em Álgebra Linear Menor número de vetores geradores do espaço.

10 Dimensão em Álgebra Linear Menor número de vetores geradores do espaço. ou conceitualmente, Número de vetores geradores no espaço Dimensão

11 Imagens

12 Nosso contexto de dimensão A partir do conceito de volume, área, comprimento,etc (medida) de Hausdorff.

13 Nosso contexto de dimensão A partir do conceito de volume, área, comprimento,etc (medida) de Hausdorff. Volume Dimensão Exemplos: Círculo (comprimento): 2πr 1 Quadrado (área): L 2 Bola R 3 (volume) : 4 3 πr 3

14 Um bom conceito de dimensão...

15 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades:

16 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (i) dim(a) é bem definida para todo A R 2 (mais geralmente, subconjunto de R d ).

17 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (i) dim(a) é bem definida para todo A R 2 (mais geralmente, subconjunto de R d ). (ii) dim(a) dim(b) se A B

18 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (i) dim(a) é bem definida para todo A R 2 (mais geralmente, subconjunto de R d ). (ii) dim(a) dim(b) se A B (iii) dim(a B) = max{dim(a), dim(b)}

19 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (i) dim(a) é bem definida para todo A R 2 (mais geralmente, subconjunto de R d ). (ii) dim(a) dim(b) se A B (iii) dim(a B) = max{dim(a), dim(b)} (iv) dim( i N A i ) = sup i N dim(a i )

20 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (v) dim ω(a) = dim(a), onde ω é uma semelhança ou uma aplicação afim.

21 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (v) dim ω(a) = dim(a), onde ω é uma semelhança ou uma aplicação afim. (vi) dim(a) = 0 se A é um conjunto finito ou enumerável.

22 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (v) dim ω(a) = dim(a), onde ω é uma semelhança ou uma aplicação afim. (vi) dim(a) = 0 se A é um conjunto finito ou enumerável. (vii) dim(a) = 2 se A é um aberto de R 2 (igualmente, dim(a) = d se A é um aberto do R d )

23 Um bom conceito de dimensão deve satisfazer algumas propriedades: (v) dim ω(a) = dim(a), onde ω é uma semelhança ou uma aplicação afim. (vi) dim(a) = 0 se A é um conjunto finito ou enumerável. (vii) dim(a) = 2 se A é um aberto de R 2 (igualmente, dim(a) = d se A é um aberto do R d ) (viii) dim(a) = 1 se A é uma curva diferenciável dim(a) = 2 se A é uma superfície diferenciável dim(a) = d se A é uma variedade diferenciável de dimensão d

24 Alguns objetivos desse mini-curso: 1. Definir um conceito de dimensão para os conjuntos anteriores.

25 Alguns objetivos desse mini-curso: 1. Definir um conceito de dimensão para os conjuntos anteriores. 2. Entender como essa noção pode ser generalizada para Fractais.

26 Alguns objetivos desse mini-curso: 1. Definir um conceito de dimensão para os conjuntos anteriores. 2. Entender como essa noção pode ser generalizada para Fractais. Outros problemas relacionados: 3. Mudança de Variáveis: Como entender rigosomente a mudança de variáveis de funções R m R n, m > n?

27 Alguns objetivos desse mini-curso: Mudança de Variáveis: Nós conhecemos um exemplo muito simples: o Teorema de Fubini pode ser considerado como uma mudanca de variáveis z R m+n (x, y) R m R n, onde z = (x, y) e nós podemos escrever ( ) f (z)dλ m+n (z) = f (x, y)dλ n (y) λ. m(x) R m+n R m R n

28 Alguns objetivos desse mini-curso: Mudança de Variáveis: Nós conhecemos um exemplo muito simples: o Teorema de Fubini pode ser considerado como uma mudanca de variáveis z R m+n (x, y) R m R n, onde z = (x, y) e nós podemos escrever ( ) f (z)dλ m+n (z) = f (x, y)dλ n (y) λ. m(x) R m+n R m R n Evidentemente, não há problema quando a mudança de variável é feita para um produto cartesiano. Mas, para o caso de uma mudança de coordenadas polares?

29 Alguns objetivos desse mini-curso: Mudança de Variáveis: x R d (r, σ) R + S n 1 onde: r. = x e σ = x x

30 Alguns objetivos desse mini-curso: Mudança de Variáveis: x R d (r, σ) R + S n 1 onde: r. = x e σ = x x Qual é o significa da expressão dσ?

31 Alguns objetivos desse mini-curso: 1. Dimensão e Medidas em referências abstratas: Dado um espaço métrico abstratamente (X, d) podemos refinir medidas ( volumes ) e dimensão naturais para este espaço?

32 Programa do Curso (Tentativa) Segunda-Feira: dimensão em Espaços razoáveis (a) Medidas de Hausdorff (b) Dimensão de Hausdorff

33 Programa do Curso (Tentativa) Segunda-Feira: dimensão em Espaços razoáveis (a) Medidas de Hausdorff (b) Dimensão de Hausdorff Terça-Feira: Fractais (a) Exemplos (b) Calculo das dimensões de certos fractais

34 Programa do Curso (Tentativa) Quinta-Feira: Aplicações e Pesquisa (a) Mudança de Variáveis (b) Dimensão de Variedades (c) Transporte Ótimo, Sistemas Dinâmicos, um resultado de Cédric Villani (opcional)

35 Programa do Curso (Tentativa) Quinta-Feira: Aplicações e Pesquisa (a) Mudança de Variáveis (b) Dimensão de Variedades (c) Transporte Ótimo, Sistemas Dinâmicos, um resultado de Cédric Villani (opcional) Ao final de cada será exibido um trecho do filme Dimension une promenade mathématique

36 Medidas de Hausdorff

37 Contrução das Medidas de Hausdorff Para fixar idéias pense na reta real R, e considere A R

38 Contrução das Medidas de Hausdorff Para fixar idéias pense na reta real R, e considere A R µ(a) = { } I j : A j N I j, onde cada I j é intervalo aberto j N

39 Contrução das Medidas de Hausdorff Para fixar idéias pense na reta real R, e considere A R µ(a) = inf { } I j : A j N I j, onde cada I j é intervalo aberto j N

40 Contrução das Medidas de Hausdorff Caso R d : Um calculo simples mostra que o volume de uma bola d dimensional é dado por π d 2 onde α(d) = Γ( d 2 + 1). vol(b r (x)) = α(d)r d

41 Contrução das Medidas de Hausdorff Caso R d : Um calculo simples mostra que o volume de uma bola d dimensional é dado por π d 2 onde α(d) = Γ( d 2 + 1). vol(b r (x)) = α(d)r d Logo, uma maneira natural de definir uma medida d-dimensional para o espaço R n é calcular, para A R d, { } µ d (A) = inf α(d)rk d : A j NB rk (x k ) j N

42 Contrução das Medidas de Hausdorff µ d (A) = lim ɛ 0 inf { α(d)rk d j N } : A j NB rk (x k ) e r k ɛ

43 Contrução das Medidas de Hausdorff µ d (A) = lim ɛ 0 inf { α(d)rk d j N } : A j NB rk (x k ) e r k ɛ Problemas: 1. Se tomarmos essa expressão como definição de uma medida de Hausdorff, ela não será invariante por restrição.

44 Contrução das Medidas de Hausdorff µ d (A) = lim ɛ 0 inf Problemas: { α(d)rk d j N } : A j NB rk (x k ) e r k ɛ 1. Se tomarmos essa expressão como definição de uma medida de Hausdorff, ela não será invariante por restrição. 2. Limite Existe???

45 Contrução das Medidas de Hausdorff Definition (Medidas de Hausdorff) Sejam A R n e d R +. Definimos a Medida de Hausdorff d-dimensional por H d (A) = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ no qual, C k são subconjuntos arbitrarios do R n, r(c k ) = diam(c k )/2 e α(d) = π d 2 Γ( d 2 +1).

46 Contrução das Medidas de Hausdorff H d (A). = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ Observações (a) Observe que a função H d : A P(R) H d (A) [0, ], conforme colocada anteriormente, está bem definida.

47 Contrução das Medidas de Hausdorff H d (A). = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ Observações (a) Observe que a função H d : A P(R) H d (A) [0, ], conforme colocada anteriormente, está bem definida. De fato, coloquemos H d ɛ (A). = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ

48 Contrução das Medidas de Hausdorff H d (A). = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ Observações (a) Observe que a função H d : A P(R) H d (A) [0, ], conforme colocada anteriormente, está bem definida. De fato, coloquemos H d ɛ (A). = lim ɛ 0 inf { j N } α(d)r(c k ) d : A j N C k e diam(c k ) ɛ H d ɛ (A) é descrescente e limitada inferiormente (pelo 0), logo o limite existe (e coincide com o supremo).

49 Contrução das Medidas de Hausdorff (b) É um bom exercicio verificar que a definição de Medidas de Hausdorff é imutável se impusermos que os subconjuntos C k sejam abertos (resp. fechados).

50 mas, sobretudo, (c) (Generalização para espaços métricos) É imediato verificar que a definição dada anteriormente pode ser facilmente generalizada para um espaço métrico qualquer..

51 Proposition (medida de Hausdorff é uma medida de Borel) Para todo d R +, a aplicação H d é uma medida exterior sobre R n, e define uma medida sobre a σ algebra B(R n ) (subconjuntos borelianos de R n ).

52 EXEMPLOS (i) H 0 é a medida da contagem.

53 EXEMPLOS (i) H 0 é a medida da contagem. (ii) Sobre o conjunto dos numeros reais, H 1 é a medida de Lebesgue (isto é, em intervalos é o comprimento).

54 EXEMPLOS (i) H 0 é a medida da contagem. (ii) Sobre o conjunto dos numeros reais, H 1 é a medida de Lebesgue (isto é, em intervalos é o comprimento). (iii) Em R 2, H 1, é a medida de Lebesgue de um segmento de reta.

55 EXEMPLOS (i) H 0 é a medida da contagem. (ii) Sobre o conjunto dos numeros reais, H 1 é a medida de Lebesgue (isto é, em intervalos é o comprimento). (iii) Em R 2, H 1, é a medida de Lebesgue de um segmento de reta. (iv) Se f : R n R m é Lipchitz, então H d [f (A)] k d H d [A], para todo conjunto boreliano A R n.

56 EXEMPLOS (i) H 0 é a medida da contagem. (ii) Sobre o conjunto dos numeros reais, H 1 é a medida de Lebesgue (isto é, em intervalos é o comprimento). (iii) Em R 2, H 1, é a medida de Lebesgue de um segmento de reta. (iv) Se f : R n R m é Lipchitz, então H d [f (A)] k d H d [A], para todo conjunto boreliano A R n. (v) Pode-se mostrar que se I = [x, y] é uma segmento de reta em R 2 (não reduzido a um ponto), então [H] 1 = x y, se d = 1, [H] 1 = 0, se d < 1; [H] 1 é não finito, se d > 1.

57 Propriedade Fundamental Proposition Seja [0, 1[ n R n. Então H d ([0, 1[ n ) é não finito, se d > n; finito se d = n; e H d ([0, 1[ n ) = 0, se d < n. Em particular, 1. se d < n, então H d [Ω] =, para todo aberto Ω R d. 2. se d > n, então H d é identicamente nula.

58 Dimensão

59 Ao menos uma dimensão dá uma medida não trivial! Proposition Seja A R n, então (i) Se H d [A] < para um certo d 0, então H d 1 [A] = 0 para todo d 1 > d;

60 Ao menos uma dimensão dá uma medida não trivial! Proposition Seja A R n, então (i) Se H d [A] < para um certo d 0, então H d 1 [A] = 0 para todo d 1 > d; (ii) Se H d [A] > 0 para um certo d 0, então H d 2 [A] = para todo d 2 < d;

61 Ao menos uma dimensão dá uma medida não trivial! Proposition Seja A R n, então (i) Se H d [A] < para um certo d 0, então H d 1 [A] = 0 para todo d 1 > d; (ii) Se H d [A] > 0 para um certo d 0, então H d 2 [A] = para todo d 2 < d; (iii) para todo d > n, temos H d [A] = 0.

62 Ao menos uma dimensão dá uma medida não trivial! Proposition Seja A R n, então (i) Se H d [A] < para um certo d 0, então H d 1 [A] = 0 para todo d 1 > d; (ii) Se H d [A] > 0 para um certo d 0, então H d 2 [A] = para todo d 2 < d; (iii) para todo d > n, temos H d [A] = 0. Dito de outro modo: Existe um d 0 real tal que a função d H d [A] vale quando d é estritamente menos que d 0 e, é nula quando é maior que d 0.

63 Dimensão de Hausdorff Definition (Dimensão de Hausdorff) Seja A R n. A dimensão de Hausdorff de A - denotada por dim H (A) - é definida por dim H (A). = inf {d; H d (A) = 0} [0, n]

64 Dimensão de Hausdorff Definition (Dimensão de Hausdorff) Seja A R n. A dimensão de Hausdorff de A - denotada por dim H (A) - é definida por dim H (A). = inf {d; H d (A) = 0} [0, n] De maneira equivalente: dim H (A) é o único d 0 tal que H d (A) =, para todo d < d 0, e H d (A) = 0, para todo d > d 0.