Teoria da medida e integral de Lebesgue

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1 nálise Matemática III Teoria da medida e integral de Lebesgue Manuel Guerra

2 Conteúdo 1 Introdução 3 2 Noções básicas de teoria de conjuntos Relações de pertença e de inclusão Imagens de conjuntos por funções Infinidades numeráveis e infinidades não numeráveis Álgebras e σ-álgebras de conjuntos 10 4 Medidas positivas 14 5 medida de Lebesgue em R n 17 6 Funções mensuráveis Definição e Propriedades proximações por funções simples Integral de Lebesgue ritmética de elementos de R Integrais de funções simples Integrais de funções não negativas Integrais de funções mensuráveis Conjuntos de medida nula 37 9 Teoremas de Convergência Relação entre o integral de Lebesgue e o integral de Riemann lguns exemplos Integrais em espaços produto Produto de σ-álgebras Produto de medidas Teoremas de Fubini Bibliografia 53 Índice remissivo 54 2

3 1 Introdução teoria do integral de Riemann contém duas importantes fraquezas: 1. Existem muitas funções que não são integráveis no sentido de Riemann. 2. Proposições que envolvam limites de sucessões de funções e/ou de integrais são difíceis de provar no quadro teórico estabelecido pelo integral de Riemann. Estas duas dificuldades estão estreitamente ligadas. Neste capítulo faz-se um breve estudo de uma definição alternativa de integral, o chamado integral de Lebesgue. Em relação ao integral de Riemann, este novo conceito de integral é construído através de uma teoria bastante mais elaborada. No entanto, a maior complexidade da definição é largamente compensada por uma muito maior flexibilidade dos instrumentos teóricos que dela resultam. definição de integral proposta por Lebesgue, requer um certo número de conceitos prévios que, não sendo particularmente difíceis, são relativamente abstractos e a razão de ser da sua introdução só é inteligível uma vez atingida a definição de integral. Para que o aluno tenha alguma justificação intuitiva dos conceitos apresentados nas próximas secções, segue-se uma comparação não rigorosa entre as ideias básicas que condizem às definições de integral segundo Riemann e segundo Lebesgue. Considere-se uma função definida num rectângulo, f : E R n [0, + [. abordagem proposta por Riemann consiste em decompor o domínio de f num número finito de rectângulos arbitráriamente pequenos. Para cada um dos rectângulos em que se decompõe o domínio escolhe-se um valor representativo dos valores tomados por f nesse rectângulo e toma-se como aproximação do integral a soma dos conteúdos dos rectângulos multiplicados pelos correspondentes valores representativos de f. Uma aproximação particular de f é a soma inferior, E L (f, P ) = m inf f (x) C (E i ). x E i i=1 Neste caso, o valor representativo da função em cada um dos rectângulos E i é o valor inf f (x). O x E i integral E f é aproximado pela soma dos conteúdos dos rectângulos de base E i e altura inf f (x), i = x E i 1, 2,..., m. Uma aproximação deste tipo encontra-se ilustrada na figura 1. Uma abordagem alternativa consistem em decompor o conjunto de chegada em pequenos intervalos: [0, + [ = + [iε, (i + 1) ε[, com ε > 0 arbitráriamente pequeno. Em seguida, definem-se os subconjuntos do domínio em que a função toma valores em cada um destes intervalos: {x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[}, i = 0, 1, 2,... soma análoga à soma inferior neste caso seria S (f, ε) = + i=0 iεc ({x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[}). (1) Uma soma deste tipo encontra-se ilustrada na figura 2. Note-se que, mesmo num caso como o que é ilustrado na figura 2, em que o domínio é um subintervalo de R e a função é extremamente regular, os conjuntos {x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[} não são, em geral, rectângulos. Na figura 2 diferentes tons de cinzento marcam diferentes conjuntos {x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[}. Facilmente se verifica que o conjunto {x E : f (x) [3ε, 4ε[} é a união de três rectângulos disjuntos. Para uma função f : E R n [0, + [ genérica, os conjuntos {x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[} não se podem i=0 3

4 Figura 1: Soma inferior associada a uma partição do domínio de f 7ε 6ε 5ε 4ε 3ε 2ε ε 0 Figura 2: sequer escrever como união de um número finito de rectângulos (para verificar este facto, basta considerar uma função como f (x, y) = x 2 + y 2 ). Por este motivo, se quizermos atingir algum grau de generalidade, teremos que substituir o conteúdo C ({x E : f (x) [iε, (i + 1) ε[}) na expressão (1) por algo mais geral. Nesse sentido, note-se que o conteúdo, como foi definido no capítulo sobre o integral de Riemann, é uma função que faz corresponder a cada rectângulo um número real. Dito por outras palavras, o conteúdo é uma função cujo domínio é o conjunto de todos os rectângulos. Para generalizar a expressão (1) precisamos de uma função (indiquemo-la por µ), cujo domínio seja mais vasto do que o conjunto de todos os rectângulos e que tome o mesmo valor que o conteúdo quando o seu argumento é um rectângulo. Temos assim várias questões prévias a resolver antes de chegar à nova definição de integral: Quais são os conjuntos para os quais é possível definir uma generalização do conceito de conteúdo? Dito de outra forma, quais são os conjuntos mensuráveis? Ou ainda, em que 4

5 domínio será possível definir a função µ, acima referida? Qual a maneira correcta de generalizar a função conteúdo, ou seja, como definir a função µ? Quais as funções para as quais as somas do tipo (1) podem ser definidas? Por outras palavras, quais as funções para as quais os conjuntos do tipo {x : f (x) [a, b[} pertencem ao domínio de µ? contece que estas questões admitem respostas muito genéricas, que são apresentadas nas secções 3 a 6 deste texto. ntes, a Secção 2 contém uma breve revisão de alguns aspectos da teoria de conjuntos que são essenciais para a abordagem desta matéria. O integral de Lebesgue é definido na secção 7. s restantes secções tratam algumas propriedades básicas do integral. 2 Noções básicas de teoria de conjuntos 2.1 Relações de pertença e de inclusão Um conjunto,, fica definido quando, dado um elemento x, é possível, pelo menos teóricamente, responder à pergunta x é um elemento de? (2) lguns conjuntos podem ser definidos indicando exaustivamente os elementos para os quais a pergunta (2) tem resposta positiva. Por exemplo, ao escrever { = 1, 2, } 3, está-se a definir o conjunto como sendo o conjunto cujos elementos são os números 1, 2 e 3, com exclusão de qualquer outro elemento. Um modo alternativo de definir um conjunto é formular uma lista de condições que são satisfeitas por todos os elementos do conjunto e que são satisfeitas apenas por elementos do conjunto que se pretende definir. Por exemplo, o conjunto = {x N : x é número primo} está claramente definido do ponto de vista matemático: dado um número natural qualquer a que chamamos x, x é número primo é uma proposição com um valor lógico bem definido. Embora na prática, ao sermos confrontados com um número ímpar muito grande não tenhamos maneira de saber em tempo útil se esse número é ou não primo, o que conta para saber que o conjunto está bem definido é o facto de a proposição x é número primo ter um valor lógico bem definido quando x é um número natural. s expressões x é elemento de, x pertence a e x significam exactamente a mesma coisa. Escrevemos x / para indicar a negação da proposição x (i.e., x não é elemento de ou x não pertence a ). O conjunto vazio merece aqui uma menção especial: trata-se do conjunto indicado pelo símbolo e definido como sendo o conjunto para o qual a proposição x é falsa, qualquer que seja o elemento x (dito de outra maneira, é o conjunto que não tem elementos). Note-se que não damos nenhuma definição do que é que constitui um elemento. Qualquer objecto matemático pode ser um elemento. Em particular, conjuntos podem ser elementos de outros conjuntos. 5

6 Exemplo 1 O conjunto = {, { }, {, { }}}, é perfeitamente legítimo. é um conjunto de três elementos. São eles o conjunto vazio, o conjunto { } (o conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio) e o conjunto de dois elementos {, { }}. relação de inclusão é definida a partir da relação de pertença: Definição 2 Diz-se que o conjunto está contido no conjunto B e só se a proposição (x ) (x B) for verdadeira. Nesse caso escreve-se B. No caso contrário, escreve-se / B. s expressões está contido em B, B contém, B e é subconjunto de B têm o mesmo significado. Exemplo 3 proposição B é verdadeira, qualquer que seja o conjunto B: dado que a proposição x é identicamente falsa, a implicação (x ) (x B) é trivialmente verdadeira. Exemplo 4 Considere-se o conjunto definido no Exemplo 1. s proposições são verdadeiras. s proposições são igualmente verdadeiras, mas a proposição é falsa., { }, {{ }},, { }, {{ }} Considerem-se dois conjuntos,, e suponha-se que todos os elementos de são subconjuntos de. Por outras palavras, suponha-se que a proposição é satisfeita por todo e qualquer elemento ou, de forma equivalente, suponha-se que a proposição é verdadeira. Nesse caso diz-se que é um conjunto de partes de. Notação 5 Conjuntos de partes de outro conjunto são geralmente indicadas por letras maiúsculas do tipo caligráfico:, B, F, etc... O conjunto constituído por todos os subconjuntos de um dado conjunto, chama-se conjunto das partes de e indica-se por P () = { : }. Exemplo 6 Conjuntos de partes de R bem conhecidos são O = { R : é aberto}, F = { R : é fechado}, K = { R : é compacto}. Os termos conjunto, família ou classe são sinónimos. No entanto, é costume usar o termo família para referir um conjunto cujos elementos são também conjuntos. 6

7 2.2 Imagens de conjuntos por funções Dados dois conjuntos, Y, a expressão f : Y indica que f é uma função com domínio e conjunto de chagada Y. Isto é, f faz corresponder a cada elemento x um e um só elemento f (x) Y. Definição 7 Dado um conjunto, a sua imagem pela função f : Y é conjunto f () = {y Y : x, f (x) = y}. Dado um conjunto B Y, a sua imagem inversa pela função f : Y é conjunto f 1 (B) = {x : f (x) B}. Exemplo 8 imagem de um conjunto não vazio por uma função é sempre um conjunto não vazio. No entanto, a imagem inversa de um conjunto não vazio pode ser um conjunto vazio, como mostra o exemplo seguinte: Seja f : R R, definida por f (x) = x 2. Então f 1 (], 0[) =. 2.3 Infinidades numeráveis e infinidades não numeráveis Um dos factos elementares da teoria dos conjuntos é a existência de vários infinitos distintos, ou seja a existência de números transfinitos, maiores do que todo e qualquer número natural, mas distintos entre si. Nesta Secção apresenta-se uma discussão elementar acerca do menor dos números transfinitos (o chamado numerável ), provando-se a existência de pelo menos uma infinidade estritamente maior. Definição 9 Considerem-se dois conjuntos,, Y. Diz-se que o cardinal de não excede o cardinal de Y se existir uma aplicação injectiva, f : Y. Nesse caso escreve-se # #Y. Diz-se que os conjuntos, Y têm cardinais iguais (têm a mesma cardinalidade) se verificarem ambas as relações # #Y, #Y #. Nesse caso escreve-se # = #Y. Se se verificar # #Y mas não verificar #Y #, então escreve-se # < #Y. Proposição seguinte decorre imediatamente da Definição 9: Proposição 10 Se Y, então verifica-se # #Y. Demonstração. Basta notar que se Y, então f (x) = x define uma aplicação injectiva com domínio e conjunto de chegada Y. Definição 11 Diz-se que um conjunto é finito se existir um conjunto Y = {1, 2,..., N} tal que # = #Y. Nesse caso escreve-se # = N. Caso contrário, diz-se que o conjunto é infinito. Se for um conjunto finito e verificar Y, Y, então verifica-se # < #Y. No entanto, este resultado não é necessáriamente verdadeiro quando é um conjunto infinito, como mostra o seguinte exemplo: 7

8 Exemplo 12 Seja, o conjunto dos inteiros positivos pares. Então # = #N. Para verificar este facto, note-se que N implica imediatamente # #N. Para verificar que a desigualdade recíproca, # #N, é também verdadeira, basta constatar que a função f (n) = 2n é uma função injectiva com domínio N e conjunto de chegada. Definição 13 Diz-se que um conjunto é numerável se # = #N. seguinte Proposição dá uma caracterização bastante intuitiva dos conjuntos numeráveis. Proposição 14 Um conjunto é finito ou numerável se e só se existir uma sucessão que percorre todos os elementos de. Demonstração. Suponha-se que é finito ou numerável, e seja f : N, uma função injectiva. Então f admite inversa f 1 : f (). Fixe-se um elemento x 0. Então a sucessão f 1 (n), se n f () ; x n = x 0 se n / f (), percorre todos os elementos de. Suponha-se agora que existe uma sucessão x n, percorrendo todos os elementos de x. Então a função f : N, definida por f (x) = min {n N : x n = x}, x, é injectiva, logo # #N. Mais adiante mostraremos que existem conjuntos não numeráveis e que, em particular, o conjunto R é não numerável. Para já, começaremos por provar que a propriedade que consiste em ser numerável persiste através das operações elementares com conjuntos, desde que elas sejam aplicadas não mais do que uma infinidade numerável de vezes. Mais precisamente temos a seguinte Proposição: Proposição 15 Seja { n, n N} uma sucessão de conjuntos finitos ou numeráveis (i.e., para cada n N, n é um conjunto finito ou numerável). Então, são verdadeiras as seguintes afirmações: 1. n é um conjunto finito ou numerável; 2. n é um conjunto finito ou numerável; 3. O produto cartesiano 1 2 é um conjunto finito ou numerável. Demonstração. proposição 1 decorre imediatamente do facto que n k, k N. Tendo em conta que cada um dos conjuntos n, n N é finito ou numerável, para cada n N existe uma sucessão {x n,k n, k N} que percorre todos os elementos de n. Fixe-se uma tal sucessão para cada conjunto n, n N. Podemos então construir a tabela infinita: x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,n x 2,1 x 2,2 x 2,3 x 2,n x 3,1 x 3,2 x 3,3 x 3,n x n,1 x n,2 x n,3 x n,n (3) 8

9 Todos os elementos de n se encontram na tabela (3), que pode ser percorrida na sua totalidade pela ordem x 1,1, x 1,2, x 2,1, x 1,3, x 2,2, x 3,1, x 1,4, x 2,3, x 3,2, x 4,1, x 1,5, x 2,4, x 3,3, x 4,2, x 5,1,... (percorrendo sucessivas diagonais do lado superior direito para o lado inferior esquerdo). Então, a função que faz corresponder a cada elemento x n o número mínimo de passos que são necessários para o encontrar percorrendo a( tabela do ) modo indicado é uma função injectiva de domínio n e conjunto de chegada N. Logo, # n #N. proposição 3 prova-se de modo análogo usando a tabela em vez da tabela (3). (x 1,1, x 2,1 ) (x 1,1, x 2,2 ) (x 1,1, x 2,3 ) (x 1,1, x 2,n ) (x 1,2, x 2,1 ) (x 1,2, x 2,2 ) (x 1,2, x 2,3 ) (x 1,2, x 2,n ) (x 1,3, x 2,1 ) (x 1,3, x 2,2 ) (x 1,3, x 2,3 ) (x 1,3, x 2,n ) (x 1,n, x 2,1 ) (x 1,n, x 2,2 ) (x 1,n, x 2,3 ) (x 1,n, x 2,n ) Corolário 16 Os seguintes conjuntos são numeráveis: Z, Q, Q n. Demonstração. Z = N {0} { n, n N}, logo a Proposição 15 garante que Z é numerável. Considere-se o conjunto = {(m, n) : m Z, n N, m e n não admitem divisor comum}. Então, Z N e a aplicação f : Q definida por f (m, n) = m n é bijectiva, logo #Q = # # (Z N). Logo, a Proposição 15 garante que Q é numerável. este resultado, por sua vez permite concluir, também pela Proposição 15, que Q n é numerável. Proposição 17 #R > #N (R não é um conjunto numerável). Demonstração. demonstração faz-se por absurdo. Suponha-se que R é numerável. Então, o intervalo [0, 1] é também numerável e existe uma sucessão {x n [0, 1], n N}, que percorre todos os elementos desse intervalo. Para cada elemento x n, fixe-se uma representação decimal x n = 0.b 1,n b 2,n b 3,n b 4,n... (b i,n representa a i-ésima casa decimal do número x n ). Considere-se o número y cuja representação decimal é y = 0.c 1 c 2 c 3 c 4..., em que 6, se b i,i {0, 1, 2, 3, 4} ; c i = 3, se b i,i {5, 6, 7, 8, 9}. 9

10 Facilmente se verifica que y [0, 1] e y x n > 10 n, n N. Isto prova que não existe nenhum inteiro n que verifique y = x n, o que contraria a definição da sucessão {x n }. Logo, o intervalo [0, 1] não pode ser numerável e a fortiori, R também não. 3 Álgebras e σ-álgebras de conjuntos Definição 18 Considere-se um conjunto e seja, um conjunto de partes de. Diz-se que é uma álgebra de partes de se verificar as seguintes propriedades: 1. ; 2. c ; 3., B B. Diz-se que uma álgebra é uma σ-álgebra se verificar também a condição ( ) 3.a Qualquer sucessão { n, n N} verifica n. Observação 19 Qualquer σ-álgebra é também uma álgebra, mas o recíproco não é verdadeiro, como mostra o seguinte exemplo: Exemplo 20 O conjunto = { N : é finito ou c é finito} é uma álgebra de partes de N. O aluno deve tentar verificar que as três condições da Definição são satisfeitas. No entanto, o conjunto não é uma σ-álgebra. Para verificar este facto, basta notar que o conjunto dos números pares é união de uma sucessão de conjuntos finitos (logo, pertencentes a ), mas nem ele nem o seu complementar são finitos. Exemplo 21 Dado um conjunto não vazio,, o conjunto das partes de, P (), é uma σ-álgebra. Esta é a maior σ-álgebra de partes de, no sentido em que contém todas as outras σ-álgebras de partes de. família = {, } é também uma σ-álgebra. Esta é a menor σ-álgebra de partes de, no sentido em que está contida em qualquer outra σ-álgebra de partes de. Exemplo 22 Considere-se uma experiência aleatória com espaço de resultados Ω e espaço de acontecimentos F. F é uma σ-álgebra de partes de Ω. Proposição 23 Considere-se um conjunto e seja, um conjunto de partes de. é uma álgebra de partes de se e só se verificar as seguintes propriedades: 1. ; 2. c ; 3., B B. 10

11 Demonstração. Seja, uma álgebra de partes de. Pela condição 1 da definição,, logo a condição 2 da definição garante que = c, ou seja, satisfaz a condição 1 da Proposição. Sejam, B. Pela condição 2 da definição, verifica-se c, B c. Pela condição 3 da definição, verifica-se ( c B c ). Pela condição 2 da definição, verifica-se ( c B c ) c. Tendo em conta que ( c B c ) c = ( c ) c (B c ) c = B, fica provado que satisfaz a condição 3 da Proposição. Logo, qualquer álgebra de partes de satisfaz as condições da Proposição. gora, seja um conjunto de partes de satisfazendo as condições da Proposição. s condições 1 e 2 implicam que. Dados dois conjuntos, B, a condição 2 da Proposição implica que c, B c, e a condição 3 implica que ( c B c ). Finalmente, a condição 2 da Proposição implica que B = ( c B c ) c. Logo, qualquer conjunto de partes de que verifique as condições da Proposição é uma álgebra. Proposição 24 Considere-se um conjunto e seja, um conjunto de partes de. é uma σ-álgebra de partes de se e só se verificar as seguintes propriedades: 1. ; 2. c ; ( ) 3. Qualquer sucessão { n, n N} verifica n. Demonstração. demonstração é análoga à demonstração da Proposição 23. Seja, uma σ-álgebra de partes de. o demonstrar a Proposição 23 já se provou que satisfaz a condição 1. Considere-se uma sucessão { n, n N}. Pela condição 2, a sucessão { c n, n N} é uma sucessão de elementos de, logo ( n = c n) c. Isto prova que satisfaz as Recíprocamente, suponha-se que é uma família de partes de que condições da Proposição. satisfaz as condições da Proposição. o demonstrar a Proposição 23 já se provou que. Dada uma sucessão { n, n N}, a condição 2 garante que a sucessão { c n, n N} é uma sucessão de elementos de, logo ( c n = n) c. Logo, é uma σ-álgebra de partes de. Dado um conjunto não vazio,, e uma σ-álgebra de partes de,, as expressões e é um conjunto mensurável em relação a são sinónimas. Quando é claro pelo contexto qual é a σ-álgebra a que nos referimos, diz-se apenas que é mensurável (sem indicar explícitamente a σ-álgebra). Proposição 25 Considere-se uma família { i, i I}, de σ-álgebras de partes de um mesmo conjunto. Então, o conjunto i é também uma σ-álgebra de partes de. i I Observação 26 Note-se que a Proposição 25 não depende de nenhuma hipótese relativa à cardinalidade da família { i, i I}. Esta pode ser finita, numerável ou não numerável. Demonstração da Proposição 25. Tendo em conta que cada família i é uma σ-álgebra de partes de, verifica-se i, i I. Logo, verifica-se i I i. 11

12 Considere-se um conjunto i. Isso significa que i, i I. Tendo em conta que cada i I família i é uma σ-álgebra de partes de, isso implica c i, i I, ou seja c i I i. { Finalmente, considere-se uma sucessão n } i, n N. Então, verifica-se n i, n N, i i I I. Tendo em conta que cada família i é uma σ-álgebra de partes de, isso implica n i, i I, ou seja n i I i. Observação 27 proposição 25 garante que a intersecção de σ-álgebras de partes de um mesmo conjunto é sempre uma σ-álgebra. O mesmo não é verdade em relação a uniões de σ-álgebras, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 28 Sejam: = {1, 2, 3, 4} ; 1 = {, {1}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} ; 2 = {, {4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}}. Facilmente se verifica que 1 e 2 são ambas σ-álgebras de partes de. No entanto, 1 2 = {, {1}, {4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} não é uma σ-álgebra (nem sequer, uma álgebra) dado que {1}, {4} 1 2, mas {1} {4} = {1, 4} / 1 2. Proposição 29 Seja, uma σ-álgebra de partes de. Qualquer que seja o conjunto B, a família { B : } é uma σ-álgebra de partes de B. Demonstração. Seja à = { B : }. Tendo em conta que = B, B = B, conclui-se que {Ãn Ã, B Ã. Considere-se uma sucessão }. Ã, n N Por definição existe uma sucessão { n, n N} tal que Ãn = n B, n N. Então, à n = ( n B) = ( ) n B Ã. Definição 30 Considere-se um conjunto e seja, uma família de partes de. Chama-se σ- álgebra gerada por (indica-se por σ ()) à menor σ-álgebra de partes de que contém : σ () = F. (4) F é σ-álgebra de partes de, F 12

13 Proposição 25 garante que σ () existe, qualquer que seja a família de partes de,. Para verificar isto, basta notar que, por definição, P () e P () é uma σ-álgebra. Logo, o termo do lado direito da igualdade (4) está bem definido. Pela Proposição 25, trata-se de uma σ-álgebra. Proposição 31 Considerem-se duas famílias de partes de um mesmo conjunto, 1, 2, tais que 1 2. Então σ ( 1 ) σ ( 2 ). Demonstração. Basta notar que qualquer σ-álgebra que contenha 2 tem necessariamente que conter 1. Proposição 32 Para que se verifique σ () = é necessário e suficiente que seja uma σ-álgebra. Demonstração. Decorre imediatamente da Definição. Uma σ-álgebra particularmente importante é a σ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos. Definição 33 Considere-se um caso R n. Chama-se σ-álgebra de Borel à σ-álgebra gerada pela família dos conjuntos abertos, ou seja B () = σ ({ : é aberto}). σ-álgebra de Borel de um conjunto indica-se por B (). Proposição 34 σ-álgebra de Borel de R é gerada por qualquer uma das seguintes famílias: 1. a família dos conjuntos fechados; 2. a família dos intervalos ], a], a R; 3. a família dos intervalos ], a[, a R; 4. a família dos intervalos [a, + [, a R; 5. a família dos intervalos ]a, + [, a R. Demonstração. Seja F = {B R : B é fechado}, a família dos conjuntos fechados. Qualquer fechado é o complementar de um aberto, logo F B (R). Pelas Proposições 31 e 32, isto implica que σ (F) B (R). (5) Igualmente, qualquer aberto é o complementar de um fechado, pelo que { R : é aberto} σ (F), logo B (R) σ (F). (6) s duas inclusões (5), (6) significam σ (F) = B (R). Vamos agora provar que σ ({], a] : a R}) = B (R). Note-se que {], a] : a R} F. Logo, a Proposição 31 garante que σ ({], a] : a R}) B (R). 13

14 Para provar que B (R) σ ({], a] : a R}), basta provar que qualquer aberto é elemento de σ ({], a] : a R}). Para isso, vamos começar por provar que qualquer intervalo aberto é elemento de σ ({], a] : a R}). Intervalos do tipo ]c, + [ satisfazem esta condição porque são complementares de intervalos do tipo ], c]. Intervalos do tipo ], c[ também são elementos de σ ({], a] : a R}) porque são união numerável de intervalos do tipo ], a]: ], c[ = ], c 1 ]. n Tendo em conta que ]a, b[ = ]a, + [ ], b[, conclui-se que todos os intervalos abertos são elementos de σ ({], a] : a R}). Considere-se um conjunto aberto, R. Para cada ponto x existe um intervalo ]a x, b x [, tal que x ]a x, b x [, a x Q, b x Q. Logo, verifica-se = ]a x, b x [. (7) a Dado que o conjunto dos racionais é numerável, a Proposição 15 garante que só existe uma infinidade númerável de intervalos ]a x, b x [ com as propriedades indicadas. Logo, acabámos de provar que qualquer conjunto aberto é união numerável de elementos de σ ({], a] : a R}) e por isso é um elemento de σ ({], a] : a R}). O mesmo raciocínio com pequenas adptações mostra que B (R) = σ ({[a, + [: a R}). lém disso, ], a] =]a, + [ c, ], a[= [a, + [ c, pelo que um raciocínio análogo ao utilizado para provar que σ (F) = B (R) mostra que σ ({[, a] : a R}) = σ ({]a, + ] : a R}) ; σ ({[, a[: a R}) = σ ({[a, + ] : a R}). demonstração da Proposição 34 não fica completa se não incluir a demonstração de que qualquer subconjunto aberto de R é união numerável de intervalos abertos. Com efeito, conjuntos que são união não numerável de elementos de uma σ-álgebra não são necessáriamente elementos dessa σ- álgebra, como mostra o seguinte exemplo. Exemplo 35 Seja = { R : é finito ou numerável ou c é finito ou numerável}. O aluno deve verificar que é uma σ-álgebra. Os intervalos [0, + [, ], 0[ não são numeráveis, logo [0, + [ /. No entanto, [0, + [ pode ser representado através da união (não numerável) de conjuntos finitos: 4 Medidas positivas [0, + [ = x [0,+ [ {x}. Definição 36 Considere-se um conjunto e uma σ-álgebra de partes de,. Diz-se que uma aplicação µ : [0, + ] é uma medida se verificar as seguintes condições: 14

15 1. µ( ) = 0; 2. Qualquer que seja a família { n, n N} que verifique n m = n m, satisfaz ( ) µ n = µ ( n ). Nesse caso, o tripleto (,, µ) chama-se um espaço de medida. Exemplo 37 Considere-se uma σ-álgebra, de partes de, e considere-se a aplicação µ : [0, + ], definida por: { #, se é finito; µ () = + se é infinito. µ é uma medida, chamada medida de contagem. Exemplo 38 Considere-se uma σ-álgebra, de partes de, e considere-se um ponto particular (fixo), x. Seja µ : [0, + ], definida por: { 1, se x ; µ () = 0 se x /. µ é uma medida, chamada medida de massa unitária concentrada no ponto x. Definição 39 Um espaço de medida, (,, µ) diz-se finito se se verificar µ () < +. (,, µ) diz-se σ-finito se existir uma sucessão { k, k N} que verifique = k, µ ( k ) < +, k N. Note-se que o facto de um espaço de medida (,, µ) ser finito não implica que o conjunto seja um conjunto finito. Exemplo 40 Considere-se um espaço de medida, (,, µ), em que µ é uma medida unitária concentrada num ponto. Então (,, µ) é um espaço de medida finito (qualquer que seja a cardinalidade de ). Exemplo 41 Considere-se a aplicação µ : P (N) [0, + ], definida por µ () = k 2 k, N. (N, P (N), µ) é um espaço de medida e verifica µ (N) = 1 (logo, é um espaço de medida finito). Exemplo 42 Considere-se um espaço de medida, (, P (), µ), em que µ é a medida de contagem. Então, 1. (, P (), µ) é um espaço de medida finito se e só se for um conjunto finito; 15

16 2. (, P (), µ) é um espaço de medida σ-finito se e só se for um conjunto finito ou numerável. Exemplo 43 Diz-se que um espaço de medida, (,, µ), é um espaço de propabilidades se verificar µ () = 1. Esta é uma importante classe de espaços de medida. Proposição seguinte resume as principais propriedades elementares das medidas. Proposição 44 Seja µ : [0, + ], uma medida. Então µ verifica as seguintes propriedades: 1. µ () µ (B), sempre que B e, B ; ( 2. lim µ ( n ) = µ n ), sempre que n, n n+1, n N; ( 3. lim µ ( n ) = µ n ), sempre que n, n+1 n, n N e µ ( 1 ) < +. Demonstração. Considerem-se dois conjuntos, B, com B. Então B pode ser decomposto na união de dois conjuntos disjuntos: B = (B c ). Pela definição de σ-álgebra, verifica-se (B c ). Logo, µ (B) = µ () + µ (B c ) µ (), o que prova a proposição 1. Para provar a proposição 2, suponha-se que n n+1, n N e considere-se a sucessão B 1 = 1 ; B n = n c n 1, n = 2, 3, 4,... Facilmente se verifica que todos os conjuntos B n são elementos da σ-álgebra e k=1 B n B m =, n m; n n = B k, n N; k=1 n = Então usando a definição de medida,obtém-se ( n ) ( ) ( ) n lim µ ( n ) = lim µ B k = lim µ (B k ) = µ (B k ) = µ B n = µ n. n n k=1 Para provar a proposição 3, suponha-se que n+1 n, n N, com µ ( 1 ) < +. Então, 1 pode ser decomposta na união de dois conjuntos disjuntos ( ) ( ( ) c ) 1 = n 1 n. B n. k=1 Logo, ( ) ( ( ) c ) ( ) ( ) µ ( 1 ) = µ n + µ 1 n = µ n + µ ( 1 c n). 16

17 Note-se que ( 1 c n) ( 1 n+1) c, n N. Logo, a proposição anterior garante que ( ) µ ( 1 ) = µ n + lim µ ( 1 c n). Somando e subtraindo a sucessão µ ( n ) µ ( 1 ) < + dentro do limite, obtém-se ( ) µ ( 1 ) = µ n + lim (µ ( 1 c n) + µ ( n ) µ ( n )) = ( ) = µ n + lim (µ ( 1 ) µ ( n )) = ( ) = µ n lim µ ( n ) + µ ( 1 ), ( ) o que é equivalente a µ n lim µ ( n ). 5 medida de Lebesgue em R n O objectivo desta secção é construir uma medida que a cada rectângulo de R n faz corresponder o respectivo conteúdo. Notação 45 Em tudo o que se segue, E indica um rectângulo aberto de R n (n fixo mas arbitrário). Isto é, E é o produto cartesiano de n intervalos abertos limitados: C (E) indica o conteúdo do rectângulo E: Começamos por definir a seguinte aplicação: E = ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [... ]a n, b n [. C (E) = b 1 a 1 b 2 a 2... b n a n. Definição 46 Seja P (R n ) = { : R n }, o conjunto de todas as partes de R n. Considere-se a aplicação λ : P (R n ) [0, + ], definida por { } λ () = inf E k. C (E k ) : aplicação λ chama-se medida exterior de Lebesgue. Proposição 47 medida exterior de Lebesgue goza das seguintes propriedades: 1. λ ( ) = 0; 2. λ () λ (B), sempre que B R n ; ( ) 3. λ k λ ( k ), qualquer que seja a sucessão { k R n, k N}. 17

18 Demonstração. proposição 1 decorre imediatamente da definição. Considerem-se conjuntos, B, com B R n. Então, B E k implica E k. Este facto implica inf { C (E k ) : E k } inf { C (E k ) : B e prova a proposição 2. Considere-se agora uma sucessão { k R n, k N}. Considere-se uma pequena constante ε > 0. Então, existe uma família de rectângulos I = {E k,j, k, j N}, tal que I é numerável e verifica ( ) Logo, λ k k j N E k,j, j N C (E k,j ) j N E k } C (E k,j ) λ ( k ) + ε, k N. 2k k E k,j. j N ( λ (k ) + ε 2 k ), o que implica ( ) λ k ε + λ ( k ). Esta desigualdade é verdadeira para qualquer ε > 0, pelo que ( ) ( λ k lim ε + ) λ ( k ) = λ ( k ). ε 0 +, medida exterior de Lebesgue, λ : P (R n ) [0, + ] não é uma medida porque ( existem ) sucessões { k R n, k N} que verificam k j =, k j e verificam também λ k < λ ( k ). construção de tais sucessões não é apresentada neste texto, mas o aluno interessado pode construir uma tal sucessão baseando-se no Exemplo 51. No entanto, provaremos imediatamente a seguir que a medida exterior de Lebesgue restringida à σ-álgebra de Borel é uma medida. Definição 48 Um conjunto R n diz-se mensurável em relação à medida exterior de Lebesgue se verificar λ (B) = λ ( B) + λ ( c B), B R n. (8) Também se diz que é λ-mensurável ou ainda que é mensurável no sentido de Lebesgue. Teorema 49 Seja M (R n ) = { R n : é λ-mensurável}. Então: 1. M (R n ) é uma σ-álgebra de partes de R n ; 2. B (R n ) M (R n ) ; 3. medida exterior de Lebesgue, restrita a M (R n ) é uma medida. 18

19 Demonstração. Note-se que λ ( ) = 0 e B = R n B, qualquer que seja B R n. Então: λ (B) = λ ( ) + λ (R n B) = λ ( B) + λ ( c B), ou seja, M (R n ). Tendo em conta que ( c ) c =, imediatamente resulta da Definição 48 que M (R n ) c M (R n ). Considerem-se dois conjuntos 1, 2 M (R n ). Dado que 1 é λ-mensurável, resulta que Logo, λ (B ( 1 2 )) = λ (B ( 1 2 ) 1 ) + λ (B ( 1 2 ) c 1), B R n. λ (B ( 1 2 )) + λ (B ( 1 2 ) c ) = λ (B 1 ) + λ (B 2 c 1) + λ (B c 1 c 2). (9) Tendo em conta que 2 é λ-mensurável, verifica-se λ (B c 1) = λ ((B c 1) 2 )+λ ((B c 1) c 2). Logo, a igualdade (9) reduz-se a λ (B ( 1 2 )) + λ (B ( 1 2 ) c ) = λ (B 1 ) + λ (B c 1). Usando mais uma vez a λ-mensurabilidade de 1, esta igualdade reduz-se a λ (B ( 1 2 )) + λ (B ( 1 2 ) c ) = λ (B), B R n. Isto prova que M (R n ) é uma álgebra. Considere-se agora uma sucessão { k M (R n ), k N}, a partir da qual se constrói a sucessão à 1 = 1 ; k à k+1 = k+1 j=1 j c, k N. Por construção, verifica-se } Ãk Ãj =, j k. Dado que M (R n ) é uma álgebra, todos os elementos da sucessão {Ãk, k N são elementos de M (R n ). Então, qualquer que seja B R n, verifica-se ( ) ( ) λ (B) = λ B Ã1 + λ B Ãc 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) = λ B Ã1 Ã2 + λ B Ã1 Ãc 2 + λ B Ãc 1 Ã2 + λ B Ãc 1 Ãc 2 = ( ) ( ) ( ) c ) = λ B Ã1 + λ B Ã2 + λ B (Ã1 Ã2. Suponha-se que para algum k N, se verifica k ( ) k λ (B) = λ B Ãj + λ B Então, λ (B) = = k j=1 j=1 j=1 à j c ( ( ) ( )) λ B Ãj Ãk+1 + λ B Ãj Ãc k+1 + j=1. (10) ( ( ) c ) ( ( ) c ) k k +λ B à j Ãk+1 + λ B à j Ãc k+1 = k j=1 ( ) ( ) λ B Ãj + λ B Ãk+1 j=1 k+1 + λ B j=1 à j c,. 19

20 o que prova que a igualdade (10) se verifica para todo k N. Tendo em conta que B ( ) c k B à j, a igualdade (10) implica que j=1 λ (B) k j=1 ( ) λ B Ãj c + λ B à j, k N. j N Fazendo k, obtém-se λ (B) ( c ) λ B Ãj + λ B à j. j N j N ( ) c à j j N Então, a Proposição 47 implica que λ (B) λ ( Ãj) c B + λ B à j = j N j N c ou seja, j N = λ B à j + λ B à j = j N j N = λ B j + λ B j λ (B), j N j N j M (R n ), pelo que M (R n ) é uma σ-álgebra. c Considere-se agora uma sucessão { k M (R n ), k N}, em que k j =, k j. Então, mantendo a mesma notação, verifica-se Ãk = k, k N. plicando a igualdade (10) ao conjunto B = j, obtém-se j N Fazendo k, obtém-se λ j = j N k λ ( j ) + λ j=1 j=k+1 j λ j λ ( j ). j N j N k λ ( j ). ( ) Uma vez que a Proposição 47 garante que λ j λ ( j ), provou-se que λ : M (R n ) j N j N [0, + ] é uma medida. Falta apenas provar que B (R n ) M (R n ). Para isso, começaremos por provar que todos os semiespaços do tipo R n k ], a[ R k 1, com k {1, 2,..., n}, a R são λ-mensuráveis. Considerese um conjunto B R n. Fixe-se ε > 0 e fixe-se uma família de rectângulos abertos, {E j, j N}, tal que B E j, C (E j ) λ (B) + ε. Seja = R n k ], a[ R k 1, um semiespaço (fixo mas j N j N arbitrário). Então, para todo e qualquer j N, E j é o conjunto vazio ou é um rectângulo aberto. Por outro lado, existe um rectângulo aberto, Ẽ j que contém E j c e satisfaz ) C (Ẽj C (E j c ) + ε 2 j. j=1 20

21 Então, λ (B) j N j N = j N C (E j ) ε = j N (C (E j ) + C (E j c )) ε ( ) C (E j ) + C (Ẽj ε ) 2 j ε = C (E j ) + ) C (Ẽj 2ε λ (B ) + λ (B c ) 2ε. j N Fazendo ε 0 +, obtém-se λ (B) λ (B ) + λ (B c ). Como a Proposição 47 garante que λ (B) λ (B ) + λ (B c ), conclui-se que é λ-mensurável, logo M (R n ) contém a σ-álgebra gerada por = { R n k ], a[ R k 1 : k {1, 2,..., n}, a R }. demonstração do Teorema fica concluída provando que σ () = B (R n ). demonstração deste facto é inteiramente análoga à demostração da Proposição 34: Qualquer semiespaço do tipo R n k ], a] R k 1 se pode representar como a intersecção de uma infinidade numerável de elementos de : R n k ], a] R k 1 = j N ( ] R n k, a + 1 [ ) R k 1. j Logo, σ () contém todos os semiespaços do tipo R n k ]a, + [ R k 1. Qualquer rectângulo aberto é intersecção de 2n semiespaços abertos, logo é também elemento de σ (). Considere-se um conjunto aberto, R n e fixe-se um ponto x. Então, existe um rectângulo do tipo E (x) = ]a 1 (x), b 1 (x)[ ]a 2 (x), b 2 (x)[... ]a n (x), b n (x)[, com a j (x), b j (x) Q, j = 1, 2,..., n, tal que Então, é união de rectângulos abertos, = x E (x). x E (x). proposição 15 e o Corolário 16 garantem que só existe uma infinidade numerável de rectângulos cujos vértices têm coordenadas racionais. Conclui-se então que é união de uma infinidade numerável de elementos de σ (), logo é ele próprio um elemento de σ (). Isto prova que qualquer aberto é elemento de σ (), logo B (R n ) σ (). Tendo em conta que todos os elementos de são abertos, obtém-se imediatamente a inclusão recíproca: σ () B (R n ). Notação 50 σ-álgebra M (R n ) é chamada σ-álgebra de Lebesgue (em R n ). restrição de λ a M (R n ) é chamada medida de Lebesgue (em R n ). O seguinte exemplo mostra que existem conjuntos que não são mensuráveis no sentido de Lebesgue (logo, a medida exterior de Lebesgue λ : P (R n ) [0, + ] não pode ser uma medida). 21

22 Exemplo 51 Para cada x [0, 1], considere-se o conjunto x = {y [0, 1] : y x Q}. O axioma da escolha garante que existe um conjunto B [0, 1] que verifica x [0, 1], # (B x ) = 1. Para cada x R, considere-se o conjunto B + x, definido por B + x = {z : z = x + y, y B}. Vai-se provar que B verifica as seguintes condições: 1. (B + q) (B + p) =, p, q Q, p q; 2. [0, 1] (B + p) [ 1, 2]. p Q [ 1,1] Fixem-se p, q Q, com p q, e suponha-se que existe x (B + q) (B + p). Tal significa que existem z 1, z 2 B, tais que x = z 1 + p = z 2 + q. Isso implica z 2 z 1 = p q Q, ou seja, z 2 z1. Isto implica # (B z1 ) 2, o que é uma contradição, pelo que não pode existir x (B + q) (B + p). inclusão (B + p) [ 1, 2] é imediatamente satisfeita, dado que B [0, 1]. Considere-se p Q [ 1,1] um número x [0, 1]. Por hipótese, existe z B x e verifica z x 1 (dado que ambos são elementos de [0, 1]). Logo, (z x) Q [ 1, 1], ou seja, x (B + p). p Q [ 1,1] Suponha-se que B M (R). partir da Definição 46, facilmente se constata que Então verifica-se λ ([ 1, 2]) λ λ (C + p) = λ (C), C M (R), p R. p Q [ 1,1] (B + p) = p Q [ 1,1] λ (B + p) = p Q [ 1,1] λ (B). Tendo em conta que λ ([ 1, 2]) < + e que o somatório da direita é constituído por uma infinidade de parcelas idênticas, a desigualdade acima implica Mas, por outro lado verifica-se 1 = λ ([0, 1]) λ λ (B) = 0. p Q [ 1,1] (B + p). Isto implica 1 0, o que é claramente uma contradição. Logo, B não pode ser mensurável no sentido de Lebesgue. 22

23 seguinte Proposição decorre imediatamente da Definição 46: Proposição 52 Considere-se um conjunto B R n. Se B é finito ou numerável, então λ (B) = 0. Demonstração. Se B é finito ou numerável, então existe uma sucessão {x k R n, k N} que percorre todos os elementos de B. Considere-se uma tal sucessão e fixe-se um pequeno ε > 0. Existe uma sucessão de rectângulos {E k, k N}, tal que Então, λ (B) C (E k ) < ε x k E k, C (E k ) < ε, k N. 2k 1 2 k = ε. Fazendo ε 0, conclui-se que λ (B) 0. recíproca da Proposição 52 não é verdadeira. Isto é, existem conjuntos não numeráveis cuja medida de Lebesgue é nula, como mostra o seguinte exemplo: Exemplo 53 O conjunto de Cantor pode ser definido do seguinte modo: Seja {C k, k N} a sucessão de conjuntos definida pelo seguinte esquema recursivo: C 1 = [0, 1]; para cada k N, C k+1 é o conjunto fechado que se obtém eliminando o terço médio de cada um dos 2 k intervalos que constituem C k. Então, o conjunto de Cantor é C = C k. Para provar que λ (C) = 0, basta provar que λ ([0, 1] \C) = 1. Para isso, note-se que λ ([0, 1] \C 1 ) = 1 3 ; λ ([0, 1] \C 2 ) = λ ([0, 1] \C 1 ) λ (C 1) = ; ( λ ([0, 1] \C 3 ) = λ ([0, 1] \C 2 ) λ (C 2) = ( 2 3 ) 2 )... Por indução, facilmente se verifica que Então, a Proposição 44 garante que λ ([0, 1] \C k ) = 1 3 k 1 ( ) j 2, k N. 3 j=0 λ ([0, 1] \C) = lim k λ ([0, 1] \C k) = 1 3 j=0 ( ) j 2 = 1. 3 Falta provar que C não é numerável. Note-se que qualquer número x [0, 1] admite uma representaçãos na base 2: x = a k (x) 2 k, a k (x) {0, 1} k N. dmite também uma representação na base 3: x = b k (x) 3 k, b k (x) {0, 1} k N. 23

24 Pode-se verificar que o conjunto C k contém todos os números do intervalo [0, 1] que verificam b j (x) 1, j k. Logo, C contém todos os números do intervalo [0, 1] que verificam Considere-se a aplicação em que f (x) = b k (x) 1, k N. φ (a k (x)) 3 k, x [0, 1], 0, se a = 0; φ (a) = 2, se a = 1. s considerações acima provam que f é uma aplicação injectiva com domínio no intervalo [0, 1] e imagem no conjunto de Cantor. 6 Funções mensuráveis 6.1 Definição e Propriedades Definição 54 Considerem-se dois conjuntos não vazios,, Y. Sejam, F, σ-álgebras de partes de e de Y, respectivamente. Uma função f : Y diz-se mensurável em relação às σ-álgebras e F se verificar f 1 (B), B F. Quando Y R n, diz-se que f é mensurável em relação a se for mensurável em relação às σ- álgebras e B (Y ) (i.e., excepto indicação do contrário, considera-se que F é a σ-álgebra de Borel). Uma função ( f : R n R m diz-se Boreliana se for mensurável em relação às σ-álgebras =B (R n ), F=B R m). Uma função f : R n R m diz-se mensurável ( no sentido de Lebesgue se for mensurável em relação às σ-álgebras =M (R n ), F=B R m). Exemplo 55 Considere-se a função característica de um conjunto, 1, se x ; f (x) = 0, se x /. Note-se que, para qualquer B R, se obtém, se 0 / B e 1 / B; f 1 (B) =, se 0 / B e 1 B; c, se 0 B e 1 / B;, se 0 B e 1 B. Logo, f é mensurável se e só se. 24

25 Exemplo 56 Relembre-se o exemplo 51, em que se mostrou que existem subconjuntos de R que não são mensuráveis no sentido de Lebesgue. O Exemplo 55 mostra que existem funções reais de variável real que não são mensuráveis em relação à medida de Lebesgue. Observação 57 Se = P (), então, todas as funções de domínio são mensuráveis. Este facto poderia sugerir que toda a teoria aqui exposta é inútil porque seria possível escolher uma σ-álgebra suficientemente rica para tornar qualquer função mensurável. Tal não acontece porque, em geral, não é possível definir uma boa medida numa σ-álgebra demasiado grande. Para ilustrar deste facto, considere o caso da medida de Lebesgue: medida exterior de Lebesgue não é uma medida na σ-álgebra P (R n ). Para tornar a medida exterior de Lebesgue numa medida é necessário restringi-la a uma menor σ-álgebra (a σ-álgebra de Lebesgue). Exemplo 58 Seja = {1, 2, 3}. família = {, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}} é uma σ-álgebra de partes de. função f : R, definida por f (x) = x 2 não é mensurável em relação a : f 1 ({4}) = {2} /. Exemplo 59 função de Dirichlet, f : [0, 1] R, 1, se x [0, 1] Q; f (x) = 0 se x [0, 1] \Q, é Boreliana. Para qualquer B R, verifica-se, se 0 / B e 1 / B; f 1 (B) = [0, 1] Q, se 0 / B e 1 B; [0, 1] \Q, se 0 B e 1 / B; [0, 1], se 0 B e 1 B. Logo, para mostrar que f é Boreliana basta mostrar que [0, 1] Q B ([0, 1]). Esta última condição é verdadeira porque [0, 1] Q é união de uma família numerável de conjuntos fechados: [0, 1] Q = x [0,1] Q {x}. Exemplo 60 Considere-se uma experiência aleatória com espaço de resultados Ω e espaço de acontecimentos F. Chama-se variável aleatória a qualquer função : Ω R, mensurável em relação à σ-álgebra F. Proposição 61 Considere-se uma função f : Y, e seja F, uma família de partes de Y. Então σ ({ f 1 () : F }) = { f 1 () : σ (F) }. Demonstração. Vamos começar por provar que a família = { f 1 () : σ (F) } é uma σ-álgebra. Note-se que f 1 ( ) = {x : f (x) } =. Logo,. 25

26 Considere-se um conjunto B. Por definição existe σ (F) tal que B = f 1 (). Então B c = {x : f (x) } c = {x : f (x) / } = {x : f (x) c } = f 1 ( c ), pelo que B B c. Igualmente, dada uma sucessão {B k, k N}, existe uma sucessão { k σ (F), k N} que verifica B k = f 1 ( k ), k N. Então, B k = {x : k N, x B k } = { x : k N, x f 1 ( k ) } = = {x : k N, f (x) k } = = f 1 ( ou seja, k ). Por hipótese, { x : f (x) k σ (F), B k. k } = Isto prova que é uma σ-álgebra. Tendo em conta que { f 1 () : F }, conclui-se que σ ({ f 1 () : F }). Falta apenas provar que σ ({ f 1 () : F }). Seja à = σ ({ f 1 () : F }), e considere-se a família de partes de Y : { } F = Y : f 1 () Ã. Facilmente se verifica que F F. Então, se se provar que F é uma σ-álgebra, poder-se-à concluir que σ (F) F, o que implica Ã. demonstração de que F é uma σ-álgebra segue o raciocínio usado nos outros casos. Y F é satisfeita porque f 1 (Y ) = Ã. Dado um conjunto F, verifica-se f 1 ( c ) = ( f 1 () ) { ( ) c Ã. Dada uma sucessão k F, k N }, verifica-se f 1 k = f 1 ( k ) Ã. Logo, F é uma σ-álgebra e a Proposição fica demonstrada. Proposição 61 tem o seguinte Corolário, que fornece um critério simplificado para provar a mensurabilidade de uma função. Corolário 62 Considerem-se dois conjuntos não vazios,, Y. Seja, uma σ-álgebra de partes de e seja F, uma família de partes de Y (não necessáriamente uma σ-álgebra). Uma função f : Y é mensurável em relação às σ-álgebras e σ (F) se e só se f 1 (B), B F. Demonstração. Uma vez que F σ (F), a condição é óbviamente necessária. Para provar que é também suficiente, basta notar que a Proposição 61 garante que { f 1 () : σ (F) } = σ ({ f 1 () : F }) e que σ ({ f 1 () : F }) é satisfeita se e só se { f 1 () : F }. O seguinte exemplo mostra uma aplicação útil deste Corolário. 26

27 Exemplo 63 Qualquer função contínua f : R n R é Boreliana. Para provar este facto, basta recordar que uma função é contínua se e só se f 1 () for aberto sempre que for aberto. Tendo em conta que B (R) = σ ({ R : é aberto}), o resultado decorre imediatamente do Corolário 62. seguinte Proposição estende o resultado do exemplo anterior. Proposição 64 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. Seja f : R n uma função mensurável em relação a, e seja g : Y R n R m, uma função boreliana, tal que g f : R m exista. Então g f é mensurável em relação a. Demonstração. Seja R m, um conjunto aberto. Tendo em conta que g é boreliana, verifica-se que g 1 () B (R n ). gora, tendo em conta a mensurabilidade de f, conclui-se que (g f) 1 () = f 1 ( g 1 () ). Logo, o resultado decorre do Corolário 62. Proposição 64 implica imediatamente a mensurabilidade de um grande número de funções: Corolário 65 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. funções mensuráveis em relação a. Então as funções f + g; Sejam f, g : R αf, (α R, constante); f g; f g (no caso g (x) 0, x ); f, são mensuráveis em relação a. Teorema 66 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. Seja { f k : R, k N }, uma sucessão de funções mensuráveis em relação a. Então as funções são mensuráveis em relação a. f (x) = inf f k (x), f (x) = sup f k (x), Demonstração. Uma pequena adaptação da demonstração da Proposição 34 prova que B ( R ) = σ ({[, a[ : a R}). Logo, o Corolário 62 mostra que para provar que f é mensurável, basta provar que f 1 ([, a[), a R. Note-se que { } f 1 ([, a[) = x : inf f k (x) < a = {x : k N, f k (x) < a} = = {x : f k (x) < a} = f 1 k ([, a[). Por hipótese, verifica-se f 1 k ([, a[), k N. Logo, f 1 ([, a[). Para provar que f é mensurável, basta notar que sup f k (x) = inf ( f k (x)) e aplicar o resultado anterior, juntamente com o Corolário 65. O Teorema 66 tem o seguinte importante Corolário: 27

28 Corolário 67 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. Seja { f k : R, k N }, uma sucessão de funções mensuráveis em relação a. Então as funções são mensuráveis em relação a. f (x) = lim inf f k (x), f (x) = lim sup f k (x), Demonstração. Considere-se a sucessão g k (x) = inf f m (x), k N. O Teorema 66 garante que m k esta é uma sucessão de funções mensuráveis. O mesmo teorema garante que f (x) = sup g k (x) é mensurável. demosntração de que f é mensurável é análoga, notando que f (x) = inf sup f m (x). m k 6.2 proximações por funções simples Definição 68 Uma função f : R diz-se simples se tomar apenas um número finito de valores, isto é, se f () for um conjunto finito. Notação 69 Dado um conjunto, a função característica de indica-se por χ, isto é: 1, se x ; χ (x) = 0, se x c. Exemplo 70 função de Dirichlet:, 1, se x Q; f (x) = 0, se x R\Q, é uma função simples boreliana. Exemplo 71 função f : [0, 1] R, é uma função simples boreliana. 10 f (x) = χ [ k 1 10,1] (x) k=1 Proposição 72 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. Para que uma função f : R seja simples e mensurável em relação a, é necessário e suficiente que f seja combinação linear de um número finito de funções características de conjuntos mensuráveis. Isto é, é necessario e sufficiente que existam 1, 2,..., m, α 1, α 2,..., α m R, tais que f (x) = m α k χ k (x), x. (11) k=1 Demonstração. Suponha-se que f é simples e mensurável e seja f () = {y 1, y 2,..., y m } então f admite uma representação do tipo indicado: f (x) = m y k χ f 1 ({y k }) (x). (12) k=1 28

29 Logo, a condição é necessária. Falta provar que é também suficiente. Fixe-se uma função do tipo (11). Então { } m f () y = α k β k : (β k {0, 1}, k = 1, 2,..., m) k=1 é finito, ou seja, f é simples. lém disso, cada uma das funções x χ k (x) é mensurável. Logo, o Corolário 65 garante que f é mensurável. Observação 73 Na Proposição 72 não se exige que a representação (11) verifique k j =, j k. No entanto, é uma consequência imediata da Definição que qualquer função simples mensurável admite uma representação do tipo (11) que verifica esta condição. Para verificar este facto basta notar que (12) é uma tal representação. Teorema 74 Considere-se um conjunto, munido de uma σ-álgebra. Seja f : [0, + ], uma função mensurável em relação a. Existe uma sucessão de funções simples mensuráveis em relação a, {s k : [0, + [, k N} que verifica: 1. 0 s 1 (x) s 2 (x)... s k (x)... f (x), x ; 2. lim k + s k (x) = f (x), Demonstração. Seja x. s k (x) = 2 2k 1 j=1 j 2 k χ f 1 ([ j 2 k, j+1 2 k [) (x) + 2k χ f 1 ([2 k,+ ]) (x), x. Proposição 72 garante que {s k } é uma sucessão de funções mensuráveis. Facilmente se verifica que 0 s k (x) f (x), x, k N. Fixem-se x, k N. Se f (x) [ [ 0, 1 2, então sk (x) = 0 s k k+1 (x). Se f (x) [ j, j+1 [ 2 k 2, k 1 j < 2 k, então s k+1 (x) = s k (x) se f (x) [ j 2 k, 2j+1 2 k+1 [ ; s k (x) k+1, se f (x) [ 2j+1 2 k+1, j+1 2 k [. Se f (x) [ 2 k, + [, então s k (x) + j 1 se f (x) [ 2 k + j 1, 2 k + j [ 2 s k+1 (x) = k+1 2 k+1 2, j = 1, 2,..., 2 2k+1 ; k+1 s k (x) + 2 k, se f (x) [ 2 k+1, + ]. Isto prova que s k (x) s k+1 (x), x, k N. Finalmente, note-se que f (x) [ 0, 2 k] implica 0 f (x) s k (x) 1 2 k, pelo que se verifica lim s k (x) = f (x), k + sempre que f (x) [0, + [. Se x verificar f (x) = +, então s k (x) = 2 k, k N. Logo, também neste caso se verifica lim s k (x) = f (x). k + 29

30 7 Integral de Lebesgue 7.1 ritmética de elementos de R No que se segue, é necessário realizar operações aritméticas que envolvam os números + e. Isto significa que, em muitas ocasiões se vai considerar como conjunto dos numeros com os quais se realizam operações aritméticas, o conjunto R = [, + ], em vez do habitual conjunto R. Por isso, é necessário estender as regras habituais da aritmética em R de modo a acomodar os dois números extraordinários,, +. Essa estensão é feita convencionando as seguintes regras: Definição 75 soma com infinitos é definida por: a + = +, a > ; a =, a < +. diferença + não fica definida. multiplicação com infinitos é definida por +, a ]0, + ] ; a (+ ) = 0, se a = 0;, a [, 0[. definição de multiplicação com infinito dada acima define uma operação entre dois números (constantes) e não deve ser confundida com as regras para o cálculo do limite de um produto de duas sucessões. ssim, dadas duas sucessões {a k }, {b k }, com lim a k = 0, lim b k = +, dizer que o limite lim (a k b k ) é uma indeterminação indica apenas o facto elementar de que o conhecimento de que os termos a k são cada vez mais pequenos e os termos de b k são cada vez maiores não é só por si suficiente para prever o comportamento do produto a k b k : para tal é necessário estudar a rapidez relativa com que a k 0 e b k (daí as habituais técnicas de levantamento de indeterminações ). 7.2 Integrais de funções simples Definição 76 Considere-se um espaço de medida, (,, µ), e seja s : [0, + ], uma função simples mensurável em relação a, com s () = {y 1, y 2,..., y m }. Chama-se integral de s pela medida µ estendido ao conjunto, ao número s dµ [0, + ], definido por m s dµ = y k µ ( s 1 ({y k }) ). k=1 Exemplo 77 É sabido que a função de Dirichlet, f : [0, 1] R, definida por 1, se x [0, 1] Q; f (x) = 0 se x [0, 1] \Q, não é integrável no sentido de Riemann. No entanto, ela é integrável em ordem à medida de Lebesgue: No Exemplo 59, vimos que é uma função Boreliana, logo é mensurável em relação à σ-álgebra de Lebesgue. Pela Definição 14, temos f dλ = 0 λ ([0, 1] \Q) + 1 λ ([0, 1] Q) = 0. [0,1] 30