Probabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período

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1 Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

2 Sumário 1 Apresentação do Curso 2 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Limites e Desigualdades Operações com Limites 3 Séries Numérica Séries Convergentes 4 Convergência de Variáveis Aleatórias Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

3 Apresentação do Curso Conteúdo Programático 1. Revisão básica de sequências e séries. Limites de sequências e sequências convergentes. Valores de aderência. liminf e limsup de uma sequência de números reais. sequências especiais:cauchy, Fibonacci, sequencia do numero e. 2. Convergência de séries. Critérios de convergência de séries numéricas. 3. Introdução à Lei dos grandes números e exemplos 4. Convergência em probabilidade e convergência quase-certa de sequências de variáveis aleatórias. 5. Sequências de eventos. Liminf e limsup de uma sequências de eventos; lemas de Borel-Cantelli. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

4 Apresentação do Curso Conteúdo Programático 6. Lei fraca dos grandes números. Lei forte de Kolmogorov e sua recíproca. 7. Funções características. Propriedades de funções características. Definição de convergência em distribuição. Funções características e convergência em distribuição. Teoremas de Slutsky. Método delta. 8. Funções características de vetores aleatórios e Função geratriz de momentos de vetores aleatórios. 9. Teorema central do limite para sequências i.i.d. 10. Teorema central do limite de Lindeberg e Teorema central do limite de Liapunov. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

5 Sequências de Números Reais Limite de uma sequência Sequência Uma sequência de números reais é uma função f : N R que associa a cada número natural n um número real f (n) = x n chamado o n-ésimo termo da sequência. Notação: (x 1, x 2,..., x n,... ) ou (x n ) n N Example 1 1 Sequência dos números pares, em que x n = 2n; 2 Sequência dos números ímpares, em que x n = 2n + 1; 3 Sequência definida por x n = ( 1) n 1 ; 4 Sequência dos números primos, (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... ) Observação 2.1 Não confunda a sequência (x n ) n N com o conjunto {x 1, x 2,..., x n,... } dos seus termos. Por exemplo a sequência (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,... ) é diferente da sequência (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1,... ), mas o conjunto dos seus termos são iguais {0, 1}. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

6 Séries Numérica Séries Convergentes Definição Dada uma sequência {a n } n N e seja s n = n i=1 a n, então s = lim n s n é denominada uma série. Em que s n é denominada as reduzidas ou somas parciais da série s e a parcela a n é o n-ésimo termo ou termo geral da série. Se o limite s = lim n s n existir, diremos que a serie é convergente e s = n=1 a n será chamada a soma da serie. Se s = lim n s n não existir, diremos que a serie é divergente. Às vezes é conveniente considerar séries do tipo n=1 a n, que começam com a 0 em vez de a 1. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

7 Séries Numérica Séries Convergentes Exemplo Seja a n = a n, com 0 < a < 1, então s n = n=0 an = 1 + a +... a n +... é crecente e limitada pois a n < 1 1 a pois s n = 1 an+1 1 a. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

8 Conceitos Básicos Diremos que uma sequência de eventos (A n ) n N é monótona não-decrescente se A n A n+1 para todo n N e denotaremos por A n. Da mesma forma, diremos que uma sequência de eventos (A n ) n N é monótona não-crescente se A n A n+1 para todo n N e denotaremos por A n. O limite superior de uma sequência de eventos (A n ) n N é definido por: lim sup A n = lim A n = n=1 k=n A k Isto significa que o lim sup A n é o conjunto dos elementos de Ω que pertencem a um número infinito dos A n, por esta razão frequentemente denominamos o lim sup A n pelo conjunto {A n infinita vezes} Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

9 Conceitos Básicos Do mesmo modo, definimos limite inferior por: lim inf A n = lim A n = n=1 k=n A k Isto significa que o lim inf A n é o conjunto dos elementos de Ω que estão em todos os A n a partir de um certo n. Por essa razão, frequentemente denominamos o lim inf pelo conjunto, {A n ocorre para todo n suficientemente grande} Se uma sequência de eventos (A n ) n N tem limite, então, lim A n = lim A n = lim n A n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

10 Teorema Seja (A n ) n N uma sequência de eventos em Ω, então: (i) ω lim sup A n se, e somente se, ω A n para um número infinito de índices; (ii) ω lim inf A n se, e somente se, ω / A n para um número finito de índices; Demonstração: Parte (i) Vamos primeiro provar que ω lim sup A n = n=1 k=n A k = ω A n para um número infinito de índices. De fato, seja B n = k=n A k, então B n B n+1 n 1, logo (B n ) n N é uma sequência monótona não crescente, portanto ω lim sup A n = ω n=1 B n = ω B n para todo n 1, mas isso implica que ω A n para um número infinito de índices, pois caso contrário, suponha que ω A n apenas para um número finito de índices, Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

11 Teorema Demonstração: logo, seja m n o maior desses índices, então ω / B mn+1 = k=m n+1 A k. Nessas condições, segue que se ω B n para todo n 1 e (B n ) n N é monótona não crescente implica que existe uma subsequência (A mn ) n N para a qual ω A mn para todo n 1. Reciprocamente, se existe uma subsequência (A mn ) n N para a qual ω A mn para todo n 1 issso implica que ω B n para todo n 1 logo ω n=1 B n = lim sup A n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

12 Teorema Demonstração: Parte (ii). Mostremos agora que se ω lim inf A n então ω / A n para um número finito de índices. De fato, seja C n = k=n A k, então C n C n+1 n 1, logo (C n ) n N é uma sequência monótona não decrescente, portanto, ω lim inf A n = ω n=1 C n = ω C n0 para algum n 0 isso implica que ω A n para todo n suficientemente grande n n 0. Logo, ω / A n para um número finito de A n. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

13 Teorema Demonstração: Mostremos agora que ω / A n para um número finito de A n implica ω lim inf A n De fato, se ω / A n para um número finito de A n então tomando n suficientemente grande n > n 0, implica que ω A n para todo n, isso implica que ω C n0 = k=n ) A k, logo ω n=1 C n portanto ω lim inf A n.. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

14 Propriedades do Limsup e do Liminf lim inf A n lim sup A n. De fato, seja B n = k=n A k e C n = k=n A k, portanto B n e C n com B n C n para todo n 1, logo lim inf A n = n=1c n n=1b n = lim sup A n. ( ) c lim inf A n = lim sup A c n. De fato, ( lim inf A n ) c = ( n=1 C n ) c = n=1 C c n = n=1 k=n Ac k = lim sup Ac n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

15 Teorema Seja (A n ) n N uma sequência monótona de eventos, então: Se A n, então lim n A n = n=1 A n; Se A n, então lim n A n = n=1 A n Demonstração: De fato, se A n, então e por outro lado, logo, lim inf A n = n=1 k=n A k = n=1a n lim sup A n = n=1 k=n A k n=1a n = lim inf A n lim inf A n lim sup A n lim sup A n = lim inf A n = n=1a n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

16 Teorema Considere agora que A n, então lim sup A n = n=1 k=n A k = n=1a n e lim inf A n = n=1 k=n A k n=1a n = lim sup A n por outro lado lim inf A n lim sup A n logo, lim sup A n = lim inf A n = n=1a n Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

17 Definição: Medida de Probabilidade Uma função P, definida na σ-álgebra F de subconjuntos de Ω e com valore em [0, 1], é uma medida de probabilidade se satisfaz: (A1) P(Ω) = 1; (A2) Para todo A F, P(A) 0; (A3) Para toda sequência (A n ) n N em F, mutuamente exclusivos tem-se que ( ) P n=1 A n = P(A n ). n=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

18 Propriedades (P1) P(A) = 1 P(A c ); (P2) P(B) = P(A B) + P(A c B); (P3) Se A B então P(A) P(B); (P4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B); (P5) Para uma sequência (A n ) n N qualquer em F, tem-se que, ( ) P n=1 A n P(A n ). n=1 (P6) Se A n A então P(A n ) P(A). De forma similar se A n A então P(A n ) P(A). Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

19 Propriedades: Demonstração Vamos demonstrar apenas as propriedade (P5) e (P6). Para provar a propriedade (P5), basta escrever n=1 A n como uma união de eventos disjuntos. Assim n=1a n = A 1 (A 2 A c 1) (A 3 A c 1 A c 2) = A 1 n=2 A n n 1 i=1 Ac i portanto, por (A3) segue que Agora note que, ( ) P n=1 A n = P(A 1 ) + ( ) P(A n ) P A n n 1 i=1 Ac i n=2 ( ) P A n n 1 i=1 Ac i ( ) = P n=1 A n P(A n ). n=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20

20 Lema de Borel Cantelli Seja (A n ) n N uma sequência de eventos em (Ω, F, P)com p n = P(A n ) para todo n 1, então: (i) Se n=1 p n < então P(lim sup A n ) = P(A n i.v) = 0; (ii) Se n=1 p n = e (A n ) n N é uma sequência de eventos independentes, então P(lim sup A n ) = P(A n i.v) = 1; Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período / 20