Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

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Victoria Alencar Paixão
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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 1 / 25

2 Função de Distribuição Definição 8.1:(Função de Distribuição) Seja X uma variável aleatória em (Ω, P), sua função de distribuição é definida por com x percorrendo todos os reais. F(x) = P(X (,x]) = P(X x), O conhecimento da função de distribuição permite obter qualquer informação sobre a variável. Mesmo que a variável só assuma valores em um subconjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda reta. F é também conhecida como função de distribuição acumulada, por acumular as probabilidades dos valores inferiores a x. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 2 / 25

3 Função de Distribuição PROPRIEDADES: As condições necessárias e suficientes para que uma função seja uma função de distribuição são: Demonstração: (F1) lim F(x) = 0 e lim F(x) = 1; x x (F2) F é contínua à direita, isto é, para x n x tem-se que F(x n ) F(x) lim F(x n) = F(x + ) = F(x) ; x n x (F3) F é não decrescente, isto é, F(x) F(y) sempre que x y, x,y. (F1) Se x n, então [X x n ] = {ω Ω : X(ω) x n } e F(x n ) = P(X x n ) 0. Se x n +, então [X x n ] Ω e F(x n ) = P(X x n ) 1. (F2) Se x n x, então [X x n ] [X x] e, pela continuidade de probabilidade, F(x n ) = P(X x n ) P(X x n ) = F(x). (F3) x y [X x] [X y]. Logo, F(x) = P(X x) P(X y) = F(y). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 3 / 25

4 Exemplos Exemplo 8.1: Seja, F(x) = 0, se x < 0; 1/2, se 0 x < 1; 1, se x 1. Pergunta: F é uma função de distribuição? lim x x 1. F(x) = 0 pois F(x) = 0 para x < 0. lim F(x) = 1 pois F(x) = 1 para x Exceto nos pontos 0 e 1, F é contínua nos reais. Para os pontos 0 e 1 temos continuidade à direita, isto é, F(0) = lim F(x) = 1/2 e F(1) = lim F(x) = 1 x 0 + x 1 + F é não decrescente, isto é, para x < y, temos que F(x) < F(y). Por exemplo, para x = 0 < 1 = y, temos que F(0) < F(1). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 4 / 25

5 Exercícios Exercício 8.1: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F é uma funções de distribuição: 0, se x < 6; a) F(x) = (x 6)/2, se 6 x < 8; 1, se x 8. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 5 / 25

6 Exercícios Exercício 8.2: Seja X uma variável aleatória e F uma função. Verifique que F é uma funções de distribuição: 0, se x < 0; 1/8, se 0 x < 1; b) F(x) = 1/2, se 1 x < 2; 7/8, se 2 x < 3; 1, se x 3. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 6 / 25

7 Variáveis Aleatórias Discretas A classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores que assumem. Essa classificação tem estreita relação com o comportamento da função de distribuição da variável. Construa os gráficos das funções de distribuição do exemplo 8.1 e do exercício 8.1. O que você pode concluir? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 7 / 25

8 Variáveis Aleatórias Discretas Definição 8.2: (Variável aleatória discreta) Uma variável aleatória X é discreta se assume um número enumerável (finito ou infinito) de valores. Isto é, os valores possíveis de X podem ser postos em lista como x 1,x 2,...,x n. EXEMPLOS: Número de filhos; Número de peças defeituosas; Número de tumores detectados por um exame. Definição 8.3: (Função de probabilidade) A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é uma função que atribui probabilidade a cada um dos possíveis valores x i assumidos pela variável aleatória X, isto é, p(x i ) = P(X = x i ) = P({ω Ω : X(ω) = x i }) para todo i = 1,2,...,n e deve satisfazer as seguintes condições: (i) 0 p(x i ) 1, i; (i) n i=1 p(x i) = 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 8 / 25

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10 Variáveis Aleatórias Discretas Definição 8.4: Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição é dada por, F(x) = p(x i ), para todo x. x i x Dada a função de distribuição de uma variável discreta é possível obter a função de probabilidade correspondente. p(x i ) = F(x i ) F(x i ), em que F(x i ) representa o limite de F tendendo a x i pela esquerda (isto é por valores inferiores a x i ). Para as variáveis discretas, a função de distribuição é descontínua e tem a forma de escada. Seus pontos de descontinuidade são os valores assumidos pela variável. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 10 / 25

11 Variáveis Aleatórias Discretas A magnitude de cada salto é p(x i ) = F(x i ) F(x i ). Observação 8.1:Da definição 8.4 segue que P(a < X b) = F(b) F(a); P(a X b) = F(b) [F(a) P(X = a)] = F(b) F(a ); P(a X < b) = [F(b) P(X = b)] [F(a) P(X = a)] = F(b ) F(a ); P(a < X < b) = [F(b) P(X = b)] F(a) = F(b ) F(a). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 11 / 25

12 Exemplos Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 12 / 25

13 Exemplos Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 13 / 25

14 Exemplos Considere um lote com 4 peças, das quais 2 são defeituosas, e retire ao acaso duas peças, com reposição. Seja D=apeçaédefeituosa e P=apeçaéperfeita. Então, Ω={DD,DP,PD,PP} Definindo X como sendo o número de peças perfeitas, temos: ω {DD} {DP,PD} {PP} X(ω) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 14 / 25

15 Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 15 / 25

16 Exemplos Representação Gráfica Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 16 / 25

17 Exemplos EXEMPLO 8.2: Suponha que uma válvula eletrônica seja colocada em um soquete e ensaiada. A probabilidade de que o teste seja positivo é 3/4. Considere uma grande quantidade de válvulas. Os ensaios continuam até que a primeira válvula positiva apareça. Seja a variável aleatória X o número de testes necessários para concluir o experimento. n p(n) = P(X = n) =, n = 1,2, n=1 p(n) = 3 4 = = 1 Assim, como p(n) 0, probabilidade. n e p(n) = 1, temos que p(n) é uma função de n=1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 17 / 25

18 Exemplos Exemplo 2.7 Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: c, para k = 1, 3, 5 P ( X = k ) = 2 c, para k = 2, 4 a) Determine o valor da constante c" que torna legítima a função de probabilidade acima. b) Determine a função de distribuição acumulada F e construa o gráfico. c) Calcule a P(X>1), P(X 3), P(X 4), P(5/2<X 5). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 18 / 25

19 Exemplos EXEMPLO 8.3: Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 19 / 25

20 Exemplos EXEMPLO 8.4: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição dada por: F( 2) = 0.3, F(0) = 0.5, F(1) = 0.6, F(2) = 0.8 e F(5) = 1. a) Obtenha a distribuição de probabilidade de X. b) Calcule P( 1 X 4). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 20 / 25

21 Exercícios Exercícios Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de livros vendidos por semana: x i p(x i ) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10 a) Obtenha a função de distribuição de X. b) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros vendidos por semana. c) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro. d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X 2 +X-2. Qual a distribuição de probabilidade do lucro. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 21 / 25

22 Exercícios Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 22 / 25

23 Exercícios Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 23 / 25

24 Exercícios Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 24 / 25

25 Exercícios Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função de Distribuição 05/14 25 / 25

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