Processos de ramificação e o grafo de Erdös Rényi

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1 Processos de ramificação e o grafo de Erdös Rényi 1 de Abril de Básico de processos de ramificação Seja P uma distribuição de probabilidade sobre N := {0, 1, 2, 3,... } com primeiro momento finito. Recorde a notação N que usamos para o conjunto de todas as sequências finitas de naturais, com simbolizando a sequência vazia. O processo de Galton Watson GW (P) é definido a partir de uma sequência iid {N a } a N com lei P através da seguinte regra: sempre nasce; a N nasce se e somente se a = bk com b N nascido e k < N b. O comprimento a de a N é o número de elementos em a. Chamamos de F 0 := {0, Ω} e de F n := σ{n b : b N, b n 1}. Exercício 1 Mostre que o evento {a nasce} está em F a. Defina G n como sendo o número de indivíduos da geração n que nascem: G n := {a N : a = n, a nasce}. Defina ainda µ := k N k P(k) = E [N ] e suponha µ < +. Exercício 2 Deduza do primeiro exercício que cada G n é F n -mensurável. Exercício 3 (Para entregar) Prove que {G n } n N é uma cadeia de Markov homogênea no tempo e calcule suas probabilidades de transição em termos de P. 1

2 Exercício 4 (Para entregar) Suponha que P(0) > 0. Prove que: ( ) P G n = + = P ( n N : G n > 0) = P (G n + ). n N Dito de outro modo: com probabilidade 1, o processo só tem infinitos nascimentos se nunca acaba, o que ocorre se a população na n-ésima geração explode. Exercício 5 Neste exercício µ > 1, ou seja, temos um processo supercrítico. Prove que existem constantes C, c > 1 e um k 0 N tais que Deduza que k k 0 : P (G n c k G n 1 = k) 1 C k. P ( n N, G n > 0) P ( n N G n+1 c G n ) > 0. Exercício 6 (Para entregar) Uma outra abordagem para estudar o processo de ramificação é via funções geratrizes. Dado z C com z 1, defina: F (z) := k N P(k) z k. Mostre que esta série converge absolutamente e que p := P ( n N : G n > 0) é ponto fixo da função F. Deduza uma fórmula implícita para p no caso em que P = Po(λ) é Poisson com média λ. 2 Busca em profundidade, passeios aleatórios e processos de ramificação Aqui vemos uma definição do processo de busca em profundidade na árvore de Galton Watson. A definição que usamos é a seguinte. Começamos com E 0 = e A 0 = ( ). Para cada t N, definidos E i, A i para i t, fazemos: 1. Se A t =, E t+1 = E t e A t+1 =. 2. Se A t = (a 1,..., a r ), ordenamos os filhos f 1,..., f Nar de a r em ordem lexicográfica reversa e fazemos: E t+1 = E t {a r }; A t+1 = (a 1,..., a r 1, f 1,..., f Nar ). 2

3 Observe que E t E t+1 sempre. Exercício 7 (Para entregar) Considere subconjuntos E 0 E t N. Prove que, condicionalmente a E 0 = E 0,..., E t = E t e aos valores de N b para b E t a distribuição de {N a } a N \E t é a mesmo produto de P que era no início do processo. Mostre ainda que A t é função determinística de E 0,..., E t e {N a } a Et. Deduza que, se A t para esta escolha de E 0,..., E t e {N a } a Et, então, chamando de r t o último elemento de r t : ( P N rt = k t i=0{e i = E i } ) b Et {N b = n b } = P(k) para qualquer escolha dos n b s e E i s. Exercício 8 (Para entregar) Seja {D j } j N uma sequência iid com D 1 = d N 1 (ou seja, X = d P). Defina τ como o menor valor de t para o qual t j=1 D j 1 (τ = + se a soma é sempre maior que 1). Prove que: { A t } t N = d t τ 1 + j=1 D j t N Prove ainda que, se T = n G n é a população total do processo, então T = d τ. Exercício 9 Suponha agora que P(0) = P(2) = 1/2. Isto corresponde a um processo de ramificação crítico, isto é, com µ = 1. Dê uma fórmula combinatorial para P (T = t) usando a correspondência com passeios aleatórios. Use isto para obter a estimativa P (T t) 1/ t para t grande. [Kolmogorov mostrou que isto vale em geral se P tem pelo menos dois momentos.] 3 Distância de variação total e acoplamentos Nesta seção Po(λ) é a distribuição Poisson com média λ > 0. Be(p) é a distribuição Bernoulli que põe massa p em 1 e 1 p em 0. d tv é a distância de variação total sobre medidas de probabilidade em N, que tem várias formas possíveis.. 3

4 d tv (µ, ν) := sup A N µ(a) ν(a) = k N(µ(k) ν(k)) + = 1 2 µ(k) ν(k). k N Às vezes falaremos também de d tv sobre outros espaços. Exercício 10 Fixe λ, η > 0. Até o último item do problema, suporemos também que λ > η. Seja {I i } + i=1 uma sequência iid com I 1 = d Be(η/λ). Considere uma variável aleatória P = d Po(λ) independente das I i s. 1. Prove que P := P i=1 I i = d Po(η). 2. Mostre que P P = P i=1 (1 I i) 0 e que E [P P ] = λ η. 3. Estime P (P P ) via a desigualdade de Markov e use este valor para mostrar que d tv (Po(λ), Po(η)) λ η. 4. Deduza que d tv (Po(λ), Po(η)) λ η para quaisquer λ, η > 0. Exercício 11 Tome 0 p 1. Mostre que Po(p)(k) Be(p)(k) se e somente se k = 1. Use isto para deduzir que: d tv (Po(p), Be(p)) = p (1 e p ) p 2. Exercício 12 Prove que, se µ n e ν n são medidas produto sobre N n, então d tv (µ n, ν n ) n d tv (µ, ν). Exercício 13 Sejam P n, Q n as distribuições de dois vetores aleatórios X = (X i ) n i=1, Y = (Y j) n j=1 Nn. Sejam P, Q as distribuições de S X := n i=1 X i e S Y := sup n i=1 Y i (respectivamente). Prove que: d tv ( P, Q) d tv (P n, Q n ). Exercício 14 Combine os fatos acima para provar que: n N, p [0, 1], c [0, + ) : d tv (Po(c), Bin(n, p)) p 2 n + c pn. 4

5 4 O grafo aleatório G(n, p) Nesta seção suporemos que p = c/n com 0 < c < + fixo e n +. Lembre-se que neste modelo cada par não ordenado u, v [n] tem probabilidade p de estar conectado por uma aresta (uṽ). Além disto, supomos que estes eventos são todos independentes. Isto significa que as variáveis: ( ) [n] I uv := I [u v], {u, v} 2 são iid Be p. A busca em profundidade neste grafo é feita de forma ligeiramente diferente do que vimos antes. Dado v [n], queremos descobrir quem é a componente conexa C(v) de v no grafo G(n, p). Começamos neste caso com E 0 = e A 0 = (v). Para cada t N, definidos E i, A i para i t, fazemos: 1. Se A t =, E t+1 = E t e A t+1 =. 2. Se A t = (a 1,..., a r ), definimos {f 1 > f 2 > > f k } := {w [n]\(e t A t ) : I war = 1} e fazemos E t+1 = E t {a r }; A t+1 = (a 1,..., a r 1, f 1,..., f k ). Exercício 15 Prove que E t = C(v) para todo t n. De fato, se t é tal que A t =, então E t = C(v) Exercício 16 (Para entregar) Para cada t N e par {u, v} ( ) [n] 2, defina: { Juv t Iuv, se u E := t ou v E t? se não. Mostre que A i e E i, i t, são funções determinísticas do vetor (J t uv) uv ( [n] 2 ). (Intuitivamente, J t uv =? significa que o valor de I uv não foi consultado até o tempo t. Exercício 17 (Para entregar) Considere um evento da forma: A := {Juv t = a uv } uv ( [n] 2 ) 5

6 onde cada a uv {0, 1,?}. Considere agora um evento da forma: B := uv ( [n] 2 ) : a uv=? {I uv = b uv } com cada b uv {0, 1}. Prove que A e B são independentes. Exercício 18 Chame t := A t+1 A t 1. de l t = 1 + t 1 i=0 i. Prove que, condicionalmente a ( i ) i t, e t 1 t + 1 = d δ 0 no evento {1 + i = 0} i=0 t 1 t + 1 = d Bin(n t l t, p) se 1 + i > 0. Deduza um análogo do Exercício 8 para este caso. Exercício 19 Exercícios 11.1 e 11.3 do Grimmett. i=0 6