Teoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros Edição de 7 de Fevereiro de 2017

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1 QUESTÕES PARA AS AVALIAÇÕES Teoria da Probabilidade e Modelos Discretos de Mercados Financeiros Edição de 7 de Fevereiro de 2017 Nota Prévia Todos os exercícios enunciados nas aulas são considerados para o exame, salvo indicação em contrário. 1. Modelo Binomial Questão 1. Considere-se no quadro do modelo binomial a um período. Defina carteira réplica. Defina direito contingente atingível e mercado completo. Motre que se o modelo binomial for livre de arbitragem então é completo. Questão 2. Considere-se no modelo binomial multiperíodo e onde R é a taxa de juro spot para cada período. (1) Mostre que um mercado nestas condições é livre de arbitragem se e só se (1) d (1 + R) u, sendo d e u a razão a que o preço da acção, respectivamente, desce ou sobe em cada período. (2) Sabendo que as probabilidades de martingala Q = (q u, q d ) são definidas pela relação s = R EQ [S t+1 S t = s], mostre que, no caso de se verificar a condição (1), Q é única e dada por q u = (1 + R) d e q d = u (1 + R). Questão 3. Considere-se no quadro do modelo binomial multiperíodo. Defina direito contingente, carteira réplica, valor da carteira réplica, oportunidade de arbitragem e enuncie o princípio de apreçamento livre de arbitragem. Mostre que se um direito contingente X for atingível com uma dada carteira réplica h, se a um dado instante t for possível comprar X a um preço mais barato que Vt h então existe uma oportunidade de arbitragem. Questão 4 (Modelo Binomial Multi-período). No contexto do modelo binomial multiperíodo e, com as notações utilizadas nas aulas e documentos, considere que T = 3, S 0 = 20, u = 1.1, d = 0.9, R = 1%(0.01). (1) Represente num esquema em árvore, tal como realizou na aula, a evolução dos preços aproximados - com duas casas decimais - do activo com risco e colocando na última coluna o valor do cash flow de uma call option X, com strike price K = 18. Justifique os seus cálculos indicando as fórmulas que utilizou e, quais os sucessivos passos dos cálculos correspondendo a uma sub-árvore a um período. (2) Determine Q = (q u, q d ), a probabilidade neutra face ao risco e construa a árvore binomial de preços aproximados para X - com duas casas decimais - representando-os, numa árvore binomial semelhante à usada na aula prática. Justifique os seus 1

2 2 cálculos indicando as fórmulas que utilizou e, quais os sucessivos passos dos cálculos correspondendo a uma sub-árvore a um período. (3) Indique qual é o preço à data t = 0 de X. (4) Construa a carteira réplica de X à data t = 0 e verifique que se trata efectivamente de uma carteira réplica de X. Justifique os seus cálculos indicando as fórmulas que utilizou e quais os sucessivos passos dos cálculos. Questão 5 (Um outro Direito Contingente). Descreva, justificando a sua descrição com uma análise dos cash-flows gerados nos diferentes casos possíveis, a situação prevista para o mercado e a correspondente atitude de um investidor que considera investir na combinações de direitos contingentes seguinte: Preço do activo Posição longa Posição Curta Denominação 10 Call(9.5) + Put(9.5) Short Strangle Questão 6. Considere-se no quadro do modelo binomial multiperíodo. Mostre que a ausência de arbitragem é equivalente a: d < 1 + r < u. Questão 7. Considere-se no quadro do modelo binomial multiperíodo. Defina carteira autofinanciada. Mostre que a variação de valor de uma carteira autofinanciada decorre apenas da variação dos preços dos activos e não da entrada ou saída de capitais da carteira. Questão 8. Considere-se no quadro do modelo binomial multiperíodo. Suponha que a contingent claim X = Φ(S T ) é atingível com a carteira réplica h. Mostre que: (1) Se no momento t for possível comprar X a um preço inferior ao valor de h em t, Vt h (ou vender a um preço superior a Vt h ) então existe uma oportunidade de arbitragem. (2) Se S t = S 0 u k d t k para k = 0,..., t onde k representa o número de movimentos ascendentes u e V t (k) o valor da carteira no momento t quando existirem k subidas u, então V t (k) = R {q uv t+1 (k + 1) + q d V t+1 (k)} e V T (k) = Φ(S 0 u k d T k ) sendo R a taxa de juro por cada período q u = (1 + R) d (3) A carteira réplica é composta por x t (k) = 1 uv t (k) dv t (k + 1) 1 + R e q d = u (1 + R). e y t (k) = 1 V t (k + 1) dv t (k) S t 1 sendo x t (k) e y t (k) as quantidades, respectivamente, de obrigações e acções que compoem a mesma carteira. 2. Teoria das Probabilidades Questão 9 (Esperança Condicional Exemplo no caso discreto). Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas tais que X(Ω) = {x 1,..., x N } e Y (Ω) = {y 1,..., y M }. (1) Defina a esperança condicional E[X Y ].

3 3 (2) Seja Λ uma variável aleatória tal que P [Λ = λ 1 ] = p 1, P [Λ = λ 2 ] = p 2. Considere Π uma variável aleatória tal que: k 0, i = 1, 2 P [Π = k Λ = λ i ] = e λ i λk i k!. Determine P [Π = k, Λ = λ i ] e, seguidamente, E[Π Λ] e E[Λ Π]. Questão 10 (Esperança Condicional Caso Geral). Seja um espaço de probabilidade (Ω, A, P) e seja uma variável aleatória integrável X e F A uma sub-álgebra-σ. Defina E[X F]. Questão 11 (Esperança Condicional Exemplo no caso Contínuo). Seja X N(0, Y 2 ) em que Y E(λ). Determine E[X Y ]. Questão 12 (Aditividade da Esperança Condicional). Seja um espaço de probabilidade (Ω, A, P) e sejam duas variáveis aleatórias integráveis X 1 e X 2 e (F ) A uma sub-álgebraσ. Mostre que E[X 1 + X 2 Y ] = E[X 1 Y ] + E[X 2 Y ]. Questão 13 (Martingalas Passeio Aleatório). Seja um espaço de probabilidade (Ω, A, P) e X = (X n ) n 0 um processo estocástico composto de variáveis aleatórias integráveis e adaptado à filtração F = (F n ) n 0. (1) Sob que condições é que X é uma F martingala. (2) Defina o passeio aleatório. Mostre que o passeio aleatório é uma martingala. 3. Processos Estocásticos Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade. A definição seguinte diz-nos que um processo estocástico pode ser considerado como extrair uma função ao acaso de R [0,+ [ de forma a obter uma variável aleatória mas, ao invés do que temos considerado até agora, num espaço de funções. Nesta primeira definição intervêm A a álgebra-σ do espaço de probabilidade. Definição 1. Um processo estocástico X = (X t ) t [0,+ [ é uma função definida em Ω [0, + [ e tomando valores em R (ou R d ou C) tal que: (i) Para cada ω 0 Ω, a primeira secção correspondente X ω0 : [0, + [ R é uma função mensurável, isto é, B B(R) X 1 ω 0 (B) B([0, + [) ; (ii) Para cada t 0 [0, + [, a segunda secção correspondente X t0 : Ω R é uma variável aleatória isto é, B B(R) X 1 t 0 (B) A. Um processo estocástico é caracterizado pelas suas distribuições de ordem finita, ou seja, pelas distribuições de um qualquer número finito de variáveis do processo. Para esta caracterização intervêm P a probabilidade do espaço de probabilidade.

4 4 Proposição 1. Seja um processo estocástico X = (X t ) t [0,+ [. A família de leis de probabilidade L (Xt1,X t2,...,x tn ) para N 1 e t 1, t 2,..., t N [0, + [ em que, para quaisquer B 1, B 2,..., B N B(R) L (Xt1,X t2,...x tn )(B 1 B 2 B N ) = P [X t1 B 1, X t2 B 2,..., X tn B N ] caracteriza a o processo estocástico. a Dois processos estocásticos com as mesmas distribuições de ordem finita são versões um do outro. Questão 14 (Condições de compatibilidade das distribuições de ordem finita). Seja um processo estocástico X = (X t ) t [0,+ [. Mostre que: (j) Sendo S N o grupo das permutações de {1, 2,..., N} se tem que para qualquer σ S N, L (Xtσ(1),X tσ(2),...,x tσ(n) )(B σ(1) B σ(2) B σ(n) ) = (jj) Para qualquer N 1, = L (Xt1,X t2,...,x tn )(B 1 B 2 B N ) ; L (Xt1,...,X tj 1,X tj,x tj+1,...,x tn )(B 1 B 2... B j 1 R B j+1 B N ) = = L (Xt1,...,X tj 1,X tj+1,...,x tn )(B 1 B 2... B j 1 B j+1 B N ). Questão 15 (Aplicação do teorema de existência de Kolmogorov). (1) Enuncie o teorema de existência de Kolmogorov. (2) Considere para N 1 t 1 < t 2 < < t N [0, + [ a probabilidade dada por: νt x 1,t 2,...,t N (B 1 B N ) = = p(t 1, x, x 1 )p(t 2 t 1, x 1, x 2 )... p(t N 1 t N, x N 1, x N )dx 1 dx N, B 1 B N em que se tem B 1, B 2,... B N B(R) e p(t, x, y) = 1 2πt e (x y)2 2t. Mostre a a família de probabilidades (ν x t 1,t 2,...t N ) verifica as hipóteses do teorema de Kolmogorov e tire a conclusão adequada. Observação 1. Para verificar a primeira condição do teorema de Kolmogorov considerase o seguinte. Sendo N 1 e t 1, t 2,..., t N [0, + [ quaisquer, seja σ S N tal que t σ(1) < t σ(2) < < t σ(n) ; define-se para B 1, B 2,... B N B(R), (2) ν x t 1,t 2,...,t N (B 1 B N ) := ν x t σ(1),t σ(2),...,t σ(n) (B σ(1) B σ(n) ). Seja agora, τ S N uma outra permutação. Tem-se que σ τ 1 S N e obviamente, pela condição da escolha de σ, (3) t (σ τ 1 )(τ(1)) < t (σ τ 1 )(τ(2)) < < t (σ τ 1 )(τ(n)), tendo-se então, pela extensão da definição na fórmula (2), que: ν x t τ(1),t τ(2),...,t τ(n) (B τ(1) B τ(n) ) = = ν x t (σ τ 1 )(τ(1)),t (σ τ 1 )(τ(2)),...,t (σ τ 1 )(τ(n)) (B (σ τ 1 )(τ(1)) B (σ τ 1 )(τ(n))).

5 5 Mas como (σ τ 1 ) τ = σ tem-se, de novo pelas fórmulas (2) e (3) que ν x t (σ τ 1 )(τ(1)),t (σ τ 1 )(τ(2)),...,t (σ τ 1 )(τ(n)) (B (σ τ 1 )(τ(1)) B (σ τ 1 )(τ(n))) = = ν x t 1,t 2,...,t N (B 1 B N ) ou seja, finalmente que, ν x t τ(1),t τ(2),...,t τ(n) (B τ(1) B τ(n) ) = ν x t 1,t 2,...,t N (B 1 B N ), isto é, a primeira condição de consistência do teorema de Kolmogorov. Questão 16 (O processo Browniano). Seja (1) Mostre que: p(t, x, y) = 1 2πt e (x y)2 2t. + p(t, x, y)dy = 1, isto é que p(t, x, y) é uma densidade de probabilidade. (2) Mostre que existe um processo estocástico (Bt x ) t [0,+ [, o processo Browniano, tal que: isto é tal que B x t N(x, t). z R, P [B x t z] = z p(t, x, y)dy Proposição 2. Seja B x = (B x t ) t [0,+ [ o processo Browniano começado em x [0, + [. Tem-se que: (i) B x 0 0. (ii) B x t N(x, t). (iii) Para s < t, B x t B x s N(0, t s). (iv) Para s < t v < u, B x u B x v B x t B x s. (v) Para ω num conjunto de probabilidade um, a primeira secção B x ω (ver a definição (1) acima) é uma função contínua de [0, + [ em R. As propriedades (i) a (v) caracterizam B x Observação 2. O processo Browniano B x tem, portanto as seguintes propriedades que o caracterizam. (i) O processo começa em x; (ii) As variáveis do processo são Gaussianas; (iii) Os incrementos do processo são Gaussianos e estacionários; (iv) Os incrementos do processo são independentes; (v) As trajectórias do processo são contínuas com probabilidade um. Definição 2. Um processo estocástico X = (X t ) t [0,+ [ é Gaussiano se e só se qualquer combinação linear de variáveis do processo é Gaussiana a. a Ver, também, a definição dada na aula.

6 6 Proposição 3. Um processo estocástico X = (X t ) t [0,+ [ Gaussiano é caracterizado pela suas funções média e covariância dadas, respectivamente, por: e m t = E [X t ], Γ(s, t) = E [(X t m t )(X s m s )]. Observação 3. O resultado enunciado na questão seguinte dá-nos uma outra caracterização do processo Browniano. Questão 17 (Covariância do processo Browniano). Considere o processo Browniano começado em zero (B 0 t ) t [0,+ [ (B t ) t [0,+ [. Mostre que, para s, t [0, + [, E [B t B s ] = min(s, t). Questão 18 (A martingala Browniana). Seja F = (F t ) t 0 a filtração natural associada ao processo Browniano começado em zero (B 0 t ) t [0,+ [ (B t ) t [0,+ [, isto é, tal que: F t = σ ({B s : s t}). Mostre usando as propriedades que caracterizam o processo Browniano (ver a proposição 2) que: s t, E [B t F s ] = B s, e, relembrando a definição de martingala, conclua que (B t ) t [0,+ [ é uma F-martingala.