Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. um evento elementar. E = E[X j ] X j.

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. um evento elementar. E = E[X j ] X j."

Pedro Lucas Aires
5 Há anos
Visualizações:

1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V G da Silva Notas de aula Algoritmos Avançados I (Aula 04 Conteúdos da aula: [CLR09: cap 7 e 9][MIE05 4, 5] Vamos estudar nesta aula três algoritmos aleatorizados Primeiramente a versão do Quicksort que faz escolhas aleatórias de pivots Depois veremos o algoritmo Selection que encontra o i-ésimo menor elemento de um vetor Por fim apresentamos um algoritmo aleatorizado que retorna um corte mínimo de um grafo Revisão informal de probabilidade discreta Enumeramos abaixo alguns tópicos vistos em sala de aula: Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Família F = {E, E, } de eventos Um evento E i é um subconjunto de Ω Um elemento de Ω é dito um evento elementar Função de probabilidade P r : F R Normalmente sobrecarregamos a notação de probabilidade permitindo escrever P r(i para elementos i Ω (ao invés de escrever P r({i} Seja E Ω, P r(e = p(i i S Uma variável aleatória é uma função X : Ω R A esperança de uma variável aleatória X é definida por E[X] = i Ω X(iP r(i Linearidade da Esperança: Se X,, X n são variáveis aleatórias definidas sobre Ω, então E = E[X j ] j= X j Se X é uma variável de indicadora de um experimento com probabilidade de sucesso p, então E[X] = p Se X é uma variável geométrica com parâmetro p, então E[X] = p Probabilidade condicional: Dados X, Y Ω, P r(x Y = P r(x Y P (Y Os eventos X e Y são independentes P r(x Y = P r(xp r(y Desigualdade de Markov: P r(x a E[X]/a j=

2 Análise do Quicksort Aleatorizado (ou seja, com os pivots escolhidos aleatoriamente Teorema: Para qualquer vetor de entrada, o Quicksort Aleatorizado tem tempo esperado de execução O(n log n Prova: Este é um esboço da prova (detalhes vistos em sala de aula Ω: Cada possível sequência de escolhas aleatórias de pivots σ = {p, p, p 3, } é um elemento de Ω C(σ é uma variável aleatória que conta o número de comparações feita pelo algoritmo para a sequência σ de pivots (observe que o tempo de execução do algoritmo é dominado pelo número de comparações O que queremos provar? Queremos mostrar que E[C] = O(n log n Notação: z i é o i-ésimo menor elemento do vetor de entrada A Para σ Ω e índices i < j definimos a variável aleatória X ij (σ que conta quantas vezes z i e z j são comparados para um σ dado Observe que na execução do algoritmo qualquer par de elementos de A é comparado ou 0 ou vez apenas (isso pode não ser claro de início, mas convidamos o aluno a pensar minuto a respeito e se convencer que isso é verdade Portanto X ij é uma variável indicadora Portanto, σ, C(σ = n i= j=i+ X ij (σ Pela linearidade da esperança e como X ij é uma va indicadora: E[C] = n E[X ij ] = n P r[ z i é comparado com z j ] i= j=i+ i= j=i+ Queremos saber agora qual é a probabilidade P r( z i é comparado com z j Fixe z i, z j, para i < j e considere o conjunto S = {z i, z i+,, z j, z j } Note que enquanto nenhum destes elementos forem escolhidos como pivot, eles são passados para a mesma chamada recursiva Considere o momento em que o primeiro elemento de S é escolhido como pivot Temos duas possibilidades: ( O pivot escolhido é z i ou z j ( O pivot escolhido é um elemento de S \ {z i, z j } No caso ( os dois elementos z i, z j são comparados (o pivot é comparado com todos elementos de S No caso ( z i, z j nunca são comparados, pois o pivot é um elemento entre os dois valores, colocando cada um em uma chamada recursiva diferente Como os pivots são escolhidos uniformemente de maneira aleatória, no momento em que o primeiro elemento de S é escolhido para ser pivot, a probabilidade de qualquer elemento ser escolhido é a mesma Como z i e z j são comparados somente se o caso ( ocorre, então: P r( z i é comparado com z j = j i+ Portanto E[C] = n i= j=i+ E[X ij ] = n i= j=i+ j i+ n n k= k O(n log n

3 3 Algoritmo linear para encontrar o i-ésimo menor elemento Considere o algoritmo Selection(A, n, i que recebe um vetor A de tamanho n e retorna seu i-ésimo menor elemento Segue a idéia do algoritmo: Se n =, retorne A[] Escolha um pivot p aleatoriamente de maneira uniforme 3 Use p para particionar A no novo vetor [A ][p][a ] e seja j o índice de p neste novo vetor 4 Se j = i, retorne p 5 Se j > i, retorne Selection(A, j, i 6 Se j < i, retorne Selection(A, n j, i j Notações e observações: O número de operações executadas fora da chamada recursiva, ou seja, na operação de partição é cn A ideia é que se o pivot faz uma partição do tipo 5-75 (ou seja, o maior subvetor tem no máximo 75% do tamanho original o algoritmo está fazendo progresso Isso é definido formalmente a seguir Notação: Na execução do algoritmo, dizemos que ele está na fase j se o tamanho do vetor atual está entre ( 3 4 j+ n e ( 3 4 j n Observe que o algoritmo começa na fase 0 X j : Var aleatória que conta o número de chamadas recursivas na fase j X: Var aleatória que conta o número total de operações do algoritmo Observações chave: [ ] Número esperado de passos do algoritmo: T (n = E[X] E X j c ( 3 4 j n X j é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p = Motivo: A chance de se obter uma partição 5-75 é de 50% e em uma dada uma fase j, caso obtenha-se tal partição o algoritmo passa para a fase j + Ou seja, X j conta quantas vezes o algoritmo precisa tentar até obter sucesso em obter uma partição adequada Portanto X j é uma va geométrica com parâmetro p = Portanto E[X j ] = e consequentemente: T (n = E[cn Observe que o somatório ( 3 4 j X j ] = cn ( 3 4 j E[X j ] = cn ( 3 4 j = cn ( 3 4 j ( 3 4 j da última igualdade é uma soma geométrica de razão menor que Tal soma tem o seguinte limitante superior: r j r Neste caso r = 3 4 e portanto a soma é 4 j A partir daí temos T (n cn ( 3 4 j = cn 4 = 8cn = O(n 3

4 Corte Mínimo em Grafos (Algoritmo da contração Problema: Dado um grafo G = (V, E, encontrar um corte mínimo de arestas F E Obs: Neste caso estamos considerando grafos com múltiplas arestas conectando um mesmo par de vértices RandContract (G : while V (G > do : Escolha uma aresta uv aleatoriamente 3: Contraia uv unindo u e v em único vértice 4: Remova eventuais loops 5: end while 6: Retorne o corte que separa os vértices remanescentes Qual a probabilidade de sucesso? Vamos a análise: Fixe o grafo G = (V, E e seja V = n e E = m Fixe um corte mínimo que particiona V em (A, B Por quê fixar? A rigor o grafo pode ter outros cortes mínimos, mas vamos nos ater a probabilidade de encontrar um corte mínimo específico, pois no pior caso estamos errando ao nosso favor Seja F E o conjunto das arestas deste corte e seja F = k Observe que a probabilidade do algoritmo encontrar o corte (A, B é a probabilidade de que o algoritmo nunca contraia uma aresta de F Seja S i o evento de que um aresta de F é contraída na iteração i Queremos então: P r( S S S 3 S n Primeira iteração: Note que P (S = k m Como δ(g k e v d(v = m, então m kn Portanto P (S n e então P ( S ( n Segunda iteração: Note primeiramente que no grafo contraído o grau mínimo ainda é no mínimo k e portanto o número de arestas remanescentes é k(n Queremos P r( S S e isso é igual a P r( S S P r( S k P r( S S = # de arestas remanescentes k k(n Portanto P r( S S ( (n ( n Generalizando: P r( S S S 3 S n = (n = P r( S P r( S S P r( S 3 S S P r( S n S S n 3 ( n ( ( ( ( n n n (n 4 n (n 3 = ( n n = n(n n ( n 3 n ( n 4 n ( 4 ( 3 4

5 Ou seja, a probabilidade de sucesso é baixa! Temos como melhorar? Claro! Solução: Rode o algoritmo N vezes (escolheremos este número adequadamente a seguir e lembre o menor corte encontrado Seja T i o evento: O corte (A, B é encontrado na i-ésima tentativa; P r( todas N tentativas falham = P r( T T T N ( n N Usando o fato que + x e x e fazendo N = n temos: P r( N fracassos (e n n = e Ainda não está bom Agora fazendo N = n ln n obtemos um resultado muito bom: P r( N fracassos ( ln n e = n 5

Documentos relacionados

Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Cortes em grafos G: grafo (não orientado) sem laços, possivelmente com