Análise de Algoritmos
|
|
|
- Letícia Sintra Marroquim
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1
2 Cortes em grafos G: grafo (não orientado) sem laços, possivelmente com arestas paralelas. Algoritmos p. 2
3 Cortes em grafos G: grafo (não orientado) sem laços, possivelmente com arestas paralelas. Conjunto de arestas C é um corte se existe um conjunto S V G não vazio tal que C = {e E G e tem uma ponta em S e outra fora de S.} Ou seja, C = δ G (S) = δ G (V G \ S). Algoritmos p. 2
4 Corte mínimo G: grafo sem laços, possivelmente com arestas paralelas. C E G é um corte se existe S V G não vazio tal que C = {e E G e tem uma ponta em S e outra fora de S.} Algoritmos p. 3
5 Corte mínimo G: grafo sem laços, possivelmente com arestas paralelas. C E G é um corte se existe S V G não vazio tal que C = {e E G e tem uma ponta em S e outra fora de S.} Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. corte mínimo Algoritmos p. 3
6 Corte mínimo G: grafo sem laços, possivelmente com arestas paralelas. C E G é um corte se existe S V G não vazio tal que C = {e E G e tem uma ponta em S e outra fora de S.} Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. corte mínimo Esta aula: algoritmo aleatorizado que devolve Esta aula: um corte mínimo com alta probabilidade. Algoritmos p. 3
7 Contração de arestas Dado um grafo G e uma aresta e = uv, a contração G e é o grafo (V,E ) onde... e Algoritmos p. 4
8 Contração de arestas Dado um grafo G e uma aresta e = uv, a contração G e é o grafo (V,E ) onde... e V = V \ {u,v} {w} e E = E G \ {f pontas(f) = {u,v}} e cada aresta f em E tem as mesmas pontas que f em E G exceto por u e v, que são substituídos por w. w Algoritmos p. 4
9 Contração de arestas Dado um grafo G e uma aresta e = uv, a contração G e é o grafo (V,E ) onde... e V = V \ {u,v} {w} e E = E G \ {f pontas(f) = {u,v}} e cada aresta f em E tem as mesmas pontas que f em E G exceto por u e v, que são substituídos por w. w Proposição: Se C é corte de G e, então C é corte de G. Algoritmos p. 4
10 Algoritmo de Karger Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. Algoritmos p. 5
11 Algoritmo de Karger Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. Karger (G) 1 enquanto V G > 2 faça 2 e RANDOM_EDGE(E G ) 3 G G e 4 devolva E G Algoritmos p. 5
12 Algoritmo de Karger Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. Karger (G) 1 enquanto V G > 2 faça 2 e RANDOM_EDGE(E G ) 3 G G e 4 devolva E G Pela proposição, o algoritmo devolve de fato um corte de G. Algoritmos p. 5
13 Algoritmo de Karger Problema: Dado G, encontrar um corte C com C mínimo. Karger (G) 1 enquanto V G > 2 faça 2 e RANDOM_EDGE(E G ) 3 G G e 4 devolva E G Pela proposição, o algoritmo devolve de fato um corte de G. Claramente ele consume tempo polinomial. (O número de iteração é V G 2.) Algoritmos p. 5
14 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). Vamos mostrar que Pr{C K não é um corte mínimo} < q(n) < 1, onde n = V G. Algoritmos p. 6
15 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). Vamos mostrar que onde n = V G. Pr{C K não é um corte mínimo} < q(n) < 1, Executa-se o algoritmo r vezes e devolve-se o menor corte produzido. A chance do corte devolvido não ser mínimo será < q(n) r. Algoritmos p. 6
16 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. Algoritmos p. 7
17 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. O corte C não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta de C foi contraída. Algoritmos p. 7
18 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. O corte C não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta de C foi contraída. Seja E i o evento: uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Algoritmos p. 7
19 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. O corte C não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta de C foi contraída. Seja E i o evento: uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vamos delimitar inferiormente Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Algoritmos p. 7
20 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. O corte C não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta de C foi contraída. Seja E i o evento: uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vamos delimitar inferiormente Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Tal probabilidade é igual a Pr{E 1 } Pr{E 2 E 1 } Pr{E n 2 E 1 E 2 E n 3 }. Algoritmos p. 7
21 Análise do algoritmo Seja C um corte mínimo de G. O corte C não é a resposta do algoritmo sse alguma aresta de C foi contraída. Seja E i o evento: uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vamos delimitar inferiormente Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Tal probabilidade é igual a Pr{E 1 } Pr{E 2 E 1 } Pr{E n 2 E 1 E 2 E n 3 }. Para começar, como delimitar Pr{E 1 }? Algoritmos p. 7
22 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Como delimitar Pr{E 1 }? Algoritmos p. 8
23 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Como delimitar Pr{E 1 }? Como C é mínimo, δ G (v) k para todo vértice v. Logo E G kn/2. Algoritmos p. 8
24 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Como delimitar Pr{E 1 }? Como C é mínimo, δ G (v) k para todo vértice v. Logo E G kn/2. Portanto Pr{Ē1} k kn 2 = 2 n. Algoritmos p. 8
25 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Como delimitar Pr{E 1 }? Como C é mínimo, δ G (v) k para todo vértice v. Logo E G kn/2. Portanto Pr{Ē1} k kn 2 = 2 n. Ou seja, Pr{E 1 } 1 2 n. Algoritmos p. 8
26 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Como delimitar Pr{E 1 }? Como C é mínimo, δ G (v) k para todo vértice v. Logo E G kn/2. Portanto Pr{Ē1} k kn 2 = 2 n. Ou seja, Pr{E 1 } 1 2 n. Como delimitar Pr{E i+1 E 1 E 2 E i }? Algoritmos p. 8
27 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vimos que Pr{E 1 } 1 n 2. Como delimitar Pr{E i+1 E 1 E 2 E i }? Algoritmos p. 9
28 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vimos que Pr{E 1 } 1 n 2. Como delimitar Pr{E i+1 E 1 E 2 E i }? No começo da iteração i + 1, temos que E G k(n i)/2. Algoritmos p. 9
29 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vimos que Pr{E 1 } 1 n 2. Como delimitar Pr{E i+1 E 1 E 2 E i }? No começo da iteração i + 1, temos que E G k(n i)/2. Logo Pr{ E i+1 E 1 E 2 E i } k k(n i) 2 = 2 n i. Algoritmos p. 9
30 Análise do algoritmo C: um corte mínimo de G e k = C. E i : uma aresta de C não é sorteada na iteração i. Vimos que Pr{E 1 } 1 n 2. Como delimitar Pr{E i+1 E 1 E 2 E i }? No começo da iteração i + 1, temos que E G k(n i)/2. Logo Pr{ E i+1 E 1 E 2 E i } k k(n i) 2 = 2 n i. Ou seja, Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 2 n i. Algoritmos p. 9
31 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Algoritmos p. 10
32 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Ou seja, delimitar Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Já sabemos que Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 2 n i. Algoritmos p. 10
33 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Ou seja, delimitar Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Já sabemos que Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 n i 2. Então Pr{C K = C} n 3 i=0 ( 1 2 n ( 2 ) 1 n i )( 2 )( n 1 n 2 ) ( )( 2) 1 3 Algoritmos p. 10
34 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Ou seja, delimitar Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Já sabemos que Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 n i 2. Então Pr{C K = C} n 3 i=0 = ( 1 2 n ( 2 ) 1. n i )( 2 )( n 1 n 2 ) ( )( 2) 1 3 Algoritmos p. 10
35 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Ou seja, delimitar Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Já sabemos que Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 n i 2. Então Pr{C K = C} n 3 i=0 = ( 1 2 n = n 2 n ( 2 ) 1. n i )( 2 )( n 1 n 2 n 3 n 1 n 4 n ) ( )( 2) 1 3 Algoritmos p. 10
36 Análise do algoritmo Seja C K o corte devolvido por Karger (G). C: um corte mínimo de G. Queremos delimitar inferiormente Pr{C K = C}. Ou seja, delimitar Pr{E 1 E 2 E n 2 }. Já sabemos que Pr{E i+1 E 1 E 2 E i } 1 n i 2. Então Pr{C K = C} n 3 i=0 = ( 1 2 n = n 2 n ( 2 ) 1. n i )( 2 )( n 1 n 2 ) ( n 3 n 1 n 4 n = 2 n(n 1). )( 2) 1 3 Algoritmos p. 10
37 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) Algoritmos p. 11
38 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) e Pr{C K não é um corte mínimo} q(n). Algoritmos p. 11
39 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) e Pr{C K não é um corte mínimo} q(n). Se executarmos o algoritmo r = c n(n 1) 2 ln n vezes, então Algoritmos p. 11
40 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) e Pr{C K não é um corte mínimo} q(n). Se executarmos o algoritmo r = c n(n 1) 2 ln n vezes, então Pr{C K não é um corte mínimo} q(n)r = ( 2 1 n(n 1) = ( 1) cln n 1 = e n c. ) c n(n 1) 2 ln n Algoritmos p. 11
41 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) e Pr{C K não é um corte mínimo} q(n). Se executarmos o algoritmo r = c n(n 1) 2 ln n vezes, então Pr{C K não é um corte mínimo} q(n)r = ( 2 1 n(n 1) = ( 1) cln n 1 = e n c. ) c n(n 1) 2 ln n Erra com probabilidade exponencialmente pequena em n. Algoritmos p. 11
42 Conclusão Logo Pr{C K C} 1 2 n(n 1) = q(n) e Pr{C K não é um corte mínimo} q(n). Se executarmos o algoritmo r = c n(n 1) 2 ln n vezes, então Pr{C K não é um corte mínimo} q(n)r = ( 2 1 n(n 1) = ( 1) cln n 1 = e n c. ) c n(n 1) 2 ln n Erra com probabilidade exponencialmente pequena em n. Como r é polinomial em n, o algoritmo é polinomial. Algoritmos p. 11
43 Uma pergunta... Quantos st-cortes mínimos diferentes podem existir em G? s.. t Algoritmos p. 12
44 Uma pergunta... Quantos st-cortes mínimos diferentes podem existir em G? s.. t Um número exponencial em n... Algoritmos p. 12
45 Uma pergunta... Quantos st-cortes mínimos diferentes podem existir em G? s.. t Um número exponencial em n... Quantos cortes mínimos diferentes podem existir? Algoritmos p. 12
46 Uma pergunta... Quantos st-cortes mínimos diferentes podem existir em G? s.. t Um número exponencial em n... Quantos cortes mínimos diferentes podem existir? Como Pr{C K = C} 2 n(n 1) = 1/( n 2 ), há no máximo ( n 2 ) cortes mínimos em G. Algoritmos p. 12
47 Uma pergunta... Quantos st-cortes mínimos diferentes podem existir em G? s.. t Um número exponencial em n... Quantos cortes mínimos diferentes podem existir? Como Pr{C K = C} 2 n(n 1) = 1/( n 2 há no máximo ( n ) cortes mínimos em G. 2 Se G for por exemplo um circuito com n vértices... ), Algoritmos p. 12
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Matroides e o método guloso U: conjunto finito arbitrário. C: família
Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. um evento elementar. E = E[X j ] X j.
![Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. um evento elementar. E = E[X j ] X j.](/thumbs/97/133173938.jpg "Espaço amostral Ω: Conjunto enumerável de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. um evento elementar. E = E[X j ] X j.")
Universidade Tecnológica Federal do Paraná Professor Murilo V G da Silva Notas de aula Algoritmos Avançados I (Aula 04 Conteúdos da aula: [CLR09: cap 7 e 9][MIE05 4, 5] Vamos estudar nesta aula três algoritmos
Árvores Árvores Geradoras de Custo Mínimo 0/16
Conteúdo 1 Árvores 2 Árvores Geradoras de Custo Mínimo Árvores Árvores Geradoras de Custo Mínimo 0/16 Árvores Definição (Grafo Acíclico) Um grafo acíclico é um grafo que não contém ciclos. Árvores Árvores
Análise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/22 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/22 Árvore geradora mínima CLRS Cap 23 Algoritmos
Algoritmos Probabilísticos
Algoritmos Probabilísticos Gilson Evandro Fortunato Dias Orientador: José Coelho de Pina Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Ciência da Computação MAC0499 p.
Algoritmos de aproximação - Problema de cobertura por conjuntos
Algoritmos de aproximação - Problema de cobertura por conjuntos Marina Andretta ICMC-USP 22 de setembro de 205 Baseado no livro Uma introdução sucinta a Algoritmos de Aproximação, de M. H. Carvalho, M.
Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo. Capítulo 16: Grafos Planares. Departamento de Matemática Aplicada
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada Capítulo 16: Grafos Planares Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro. Teoria do
Projeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos Tempo polinomial Verificação de tempo polinomial Diane Castonguay diane@inf.ufg.br Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás Tempo polinomial Um algoritmo é
Algoritmos de Aproximação Segundo Semestre de 2012
Algoritmos de Aproximação Segundo Semestre de 2012 Aproximação p. 1 Problema de decisão Problema de decisão: conjunto I de instâncias e função f : I {SIM, NÃO} Aproximação p. 2 Problema de decisão Problema
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos CLRS 2.2 e 3.1 AU 3.3, 3.4 e 3.6 Essas transparências foram adaptadas das transparências do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Intuitivamente...
apenas os caminhos que passam só por vértices em C, exceto, talvez, o próprio v A Figura 1 a seguir ilustra o significado do conjunto C edovalordist.
CAMINHO DE CUSTO MÍNIMO Dados dois pontos A e B, em muitos problemas práticos fazemos 2 perguntas: 1. existe um caminho de A para B? ou 2. se existe mais de um caminho de A para B, qual deles é o mais
Teoria dos Grafos. Árvores
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br, saraujo@ibilce.unesp.br Preparado a partir
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Introdução CLRS 2.2 e 3.1 AU 3.3, 3.4 e 3.6 Essas transparências foram
Algoritmos de Aproximação Segundo Semestre de 2012
Algoritmos de Aproximação Segundo Semestre de 2012 Aproximação p. 1 Problema dos k-centros Dados: um grafo completo G = (V,E), um inteiro k > 0 e distâncias d ij para cada i e j em V tais que d ii = 0
Problemas de Busca (a.k.a NP) - parte 2
Problemas de Busca (a.k.a NP) - parte 2 André Vignatti DINF- UFPR Euler e Rudrata No verão de 1735 Leonhard Euler, o famoso matemático suíço, estava andando nas pontes da cidade de Königsberg, na Prússia
Algoritmos e Estruturas de Dados II Grafos conceitos gerais. Thiago A. S. Pardo Profa. M. Cristina Material de aula da Profa. Josiane M.
Algoritmos e Estruturas de Dados II Grafos conceitos gerais Thiago A. S. Pardo Profa. M. Cristina Material de aula da Profa. Josiane M. Bueno - Motivação Grafos: conceito introduzido por Euler, em 1736
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos Estes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Aula 3 Transformada rápida de Fourier Secs 30.1 e 30.2 do CLRS e 5.6
Introdução à Teoria da Computação Exercícios
Introdução à Teoria da Computação Exercícios Livro: Michel Sipser, Introdução à Teoria da Computação 2ª Ed. Capítulo 07 Obs: Exercícios 7.7 e 7.20 estão apresentados em versões simplificadas. NP Dicas
Teoria dos Grafos Aula 26
Teoria dos Grafos Aula 26 Aula passada Redes de fluxo Problema do fluxo máximo Problema do corte mínimo Aula de hoje Algoritmo de Ford Fulkerson Análise do algoritmo Melhorando algoritmo inicial Dualidade
Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos direcionados (Digrafos) Preparado a partir do texto:
Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo. Capítulo 5: Grafos Conexos. Departamento de Matemática Aplicada
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira, Socorro Rangel, Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada Capítulo 5: Grafos Conexos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro. Teoria do Grafos,
Análise de Algoritmos. Slides de Paulo Feofiloff
Análise de Algoritmos Slides de Paulo Feofiloff [com erros do coelho e agora também da cris] Algoritmos p. 1 Redução polinomial Permite comparar o grau de complexidade de problemas diferentes. Uma redução
Introdução à Teoria dos Grafos (MAC-5770) IME-USP Depto CC Profa. Yoshiko. Capítulo 3
Introdução à Teoria dos Grafos (MAC-5770) IME-USP Depto CC Profa. Yoshiko Capítulo 3 Árvores Problema: Suponha que numa cidade haja n postos telefônicos. Para que seja sempre possível haver comunicação
Teoria dos Grafos. Grafos Planares
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br, saraujo@ibilce.unesp.br Grafos Planares
Algoritmos em redes de fluxo e aplicações
Algoritmos em redes de fluxo e aplicações Marcos Massayuki Kawakami Orientador: José Coelho de Pina Instituto de Matemática e Estatística - Universidade de São Paulo Introdução Motivação Problemas envolvendo
Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos
Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos Paulo Feofiloff Yoshiharu Kohayakawa Yoshiko Wakabayashi IME USP www.ime.usp.br/ pf/teoriadosgrafos/ 25/10/2004 11:00 1 Prefácio 2 Grafos são bons modelos para
Algoritmos de aproximação - Problema do caixeiro viajante
Algoritmos de aproximação - Problema do caixeiro viajante Marina Andretta ICMC-USP 30 de setembro de 2015 Baseado no livro Uma introdução sucinta a Algoritmos de Aproximação, de M. H. Carvalho, M. R. Cerioli,
Projeto de Algoritmos por Indução
Projeto de Algoritmos por Indução Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG junho - 2018 Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Projeto de Algoritmos por Indução junho - 2018 1 / 40 Este material é preparado
Otimização em Grafos
Otimização em Grafos Luidi G. Simonetti PESC/COPPE 2017 Luidi Simonetti (PESC) EEL857 2017 1 / 35 Teoria dos Grafos - Relembrando Árvore Um grafo G é uma árvore se é conexo e não possui ciclos (acíclico).
Algoritmos de Fluxo Máximo
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS Escola de Informática Programa de Pós-Graduação em Informática Mestrado em Ciência da Computação Algoritmos de Fluxo Máximo Rodrigo Santos de Souza 1 Fluxo em Redes É a
DATA MINING & MACHINE LEARNING (I) Thiago Marzagão
DATA MINING & MACHINE LEARNING (I) Thiago Marzagão análise de grafos análise de grafos Exemplos de grafos: análise de grafos Exemplos de grafos:... redes sociais (fulano é amigo de beltrano, etc) análise
Corte Máximo em Grafos Notas de aula de MAC-5727
Corte Máximo em Grafos Notas de aula de MAC-577 (Material Extra do Capítulo ) Prof. a Yoshiko Wakabayashi Versão pós-aula feita por Bruno Takahashi C. de Oliveira em 09/03/09 15 de agosto de 016 1 Definições
Percursos em um grafo
Percursos em um grafo Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira
Análise e Projeto de Algoritmos
Análise e Projeto de Algoritmos 2018.2 Classes P e NP P São os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial por uma Máquina de Turing Determinística. NP São os problemas que podem ser decididos
2 Definição do Problema
Definição do Problema. Formulação Matemática O problema do Fluxo Máximo entre todos os pares de nós surge no contexto de redes, estas representadas por grafos, e deriva-se do problema singular de fluxo
Análise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/18 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/18 Análise amortizada CLRS 17 Algoritmos p.
AED2 - Aula 22 Busca em largura, cálculo de distâncias
AED2 - Aula 22 Busca em largura, cálculo de distâncias Relembrando a busca genérica, usando um versão alternativa: marque todos os vértices como não encontrados. marque s como encontrado. coloque s no
Análise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/28 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/28 Análise de Algoritmos CLRS 7 Essas transparências
Grafos. Notas. Notas. Notas. Notas. Caminhos mais curtos de todos os pares
Grafos Caminhos mais curtos de todos os pares Conteúdo Algoritmos Baseado em multiplicação de matrizes Algoritmo de Floyd-Warshall Agoritmo de Johnson para grafos esparsos Referências Dado um grafo orientado
Análise de Algoritmos
Análise de Algoritmos CLRS 2.3, 3.2, 4.1 e 4.2 Essas transparências foram adaptadas das transparências do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 1 Número de inversões Problema:
Percursos em um grafo
Percursos em um grafo Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira
Teoria dos Grafos. Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada.
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Grafos Eulerianos Preparado a partir do texto: Rangel, Socorro.
O estudo utilizando apenas este material não é suficiente para o entendimento do conteúdo. Recomendamos a leitura das referências no final deste
O estudo utilizando apenas este material não é suficiente para o entendimento do conteúdo. Recomendamos a leitura das referências no final deste material e a resolução (por parte do aluno) de todos os
Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante
TSP p.1/19 Algoritmos de Aproximação para o Problema do Caixeiro Viajante 24 de agosto de 2004 TSP p.2/19 Problema do Caixeiro Viajante Dados grafo comprimento da aresta ( ) TSP p.2/19 Problema do Caixeiro
GRAFOS Aula 10 Fluxo em Redes Max Pereira
Ciência da Computação GRAFOS Aula 10 Max Pereira É a transferência de algum tipo de recurso quantificável e sujeito a restrições de equilíbrio, de um local (origem) para outro (destino) através de uma
MC102 Aula 26. Instituto de Computação Unicamp. 17 de Novembro de 2016
MC102 Aula 26 Recursão Instituto de Computação Unicamp 17 de Novembro de 2016 Roteiro 1 Recursão Indução 2 Recursão 3 Fatorial 4 O que acontece na memória 5 Recursão Iteração 6 Soma em um Vetor 7 Números
Problemas NP-completos
Problemas NP-completos Marina Andretta ICMC-USP 15 de setembro de 2015 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0216 e 5826 15 de setembro de 2015 1 / 26 Sat é NP-completo Já vimos que o primeiro problema que se
Aula 2. Divisão e conquista. Exemplo 1: Número de inversões de uma permutação (problema 2-4 do CLRS; veja também sec 5.4 do KT)
Aula 2 Divisão e conquista Exemplo 1: Número de inversões de uma permutação (problema 2-4 do CLRS; veja também sec 5.4 do KT) Exemplo 2: Par de pontos mais próximos (sec 33.4 do CLRS) Essas transparências
Otimização em Grafos
Otimização em Grafos Luidi G. Simonetti PESC/COPPE 2017 Luidi Simonetti (PESC) EEL857 2017 1 / 33 Definição do Problema Dado: um grafo ponderado G = (V, E), orientado ou não, onde d : E R + define as distâncias
Algoritmos de aproximação
Algoritmos de aproximação prof Marcio Delamaro ICC II Um pouco de teoria Existem algoritmos que podem ser executados em tempo polinomial Dado problema de tamanho n, temo O(n k ) A maioria dos algoritmos
GRAFOS. Prof. André Backes. Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?
8/0/06 GRAFOS Prof. André Backes Definição Como representar um conjunto de objetos e as suas relações? Diversos tipos de aplicações necessitam disso Um grafo é um modelo matemático que representa as relações
Grafos e Algoritmos Raimundo Macêdo. Teorema de Hall (Prova por Indução)
Grafos e Algoritmos Raimundo Macêdo Teorema de Hall (Prova por Indução) Teorema de Hall (teorema do casamento, 1935) Seja G uma grafo bipartide V = X U Y, então G contém um emparelhamento que satura todos
Teoria dos Grafos AULA
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA Caminho mínimo - Algoritmo de Djskstra Preparado a partir
GRAFOS: UMA INTRODUÇÃO
GRAFOS: UMA INTRODUÇÃO Vilmar Trevisan -Instituto de Matemática - UFRGS Junho de 2006 Grafos: uma introdução Informalmente, um grafo é um conjunto de pontos no plano ligados entre por flechas ou por segmentos
Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios
Algoritmos para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios Camila Mari Matsubara Orientador: Prof. Dr. José Coelho de Pina Defesa de mestrado Instituto de Matemática e Estatística Universidade
Teoria e Algoritmos em Grafos
Teoria e Algoritmos em Grafos 2018.2 Conjunto Independente Conjuntos Independentes são subconjuntos de vértices de um grafo no qual nenhum vértice é adjacente entre si. Conjunto Independente Conjuntos
Geometria Computacional
GeoComp 2014 p. 1/16 Geometria Computacional Cristina G. Fernandes Departamento de Ciência da Computação do IME-USP http://www.ime.usp.br/ cris/ segundo semestre de 2014 GeoComp 2014 p. 2/16 Triangulação
Matemática Discreta. Aula 06: Teoria dos Grafos. Tópico 01: Grafos e suas Representações. Observação
Aula 06: Teoria dos Grafos Tópico 01: Grafos e suas Representações Nesta aula nós passamos a estudar um outro assunto, mas que também tem muita aplicação na vida prática, a Teoria dos Grafos. Para esta
Redução de Cook-Levin e Considerações Finais
Redução de Cook-Levin e Considerações Finais André Vignatti DINF- UFPR Fechando o Ciclo de Reduções Nós reduzimos o SAT para diversos problemas de busca, como mostra a figura: Todos problemas NP CIRCUIT
Melhores momentos AULA 2. Otimização Combinatória p. 71
Melhores momentos AULA 2 Otimização Combinatória p. 71 Propriedade de 0-Potenciais Se y é um 0-potencial e existe um passeio de s a t então y(t) y(s) 0. 0 v 1 t 0 s 1 w u 0 z 1 Otimização Combinatória
GRAFOS E ALGORITMOS TEORIA DE GRAFOS
GRAFOS E ALGORITMOS TEORIA DE GRAFOS 1a. PARTE Prof. Ronaldo R. Goldschmidt rribeiro@univercidade.br ronaldo_goldschmidt@yahoo.com.br ROTEIRO 1. INTRODUÇÃO E MOTIVAÇÃO 2. FUNDAMENTOS 3. CONECTIVIDADE 4.
Análise de Algoritmos
Algoritmos p. 1/25 Análise de Algoritmos Parte destes slides são adaptações de slides do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina. Algoritmos p. 2/25 Ordenação em tempo linear CLRS cap 8 Algoritmos
15 - Coloração Considere cada um dos grafos abaixo:
15 - Coloração Considere cada um dos grafos abaixo: a) Quantas cores são necessárias para colorir os vértices de um grafo de maneira que dois vértices adjacentes não recebam a mesma cor? b) Qual é o número
Grafos - Motivação. Grafos - Motivação. Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos
Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Profa. M. Cristina/ Profa. Rosane (2010) Material de aula original: Profa. Josiane M. Bueno - Motivação : conceito introduzido por Euler, em 1736 Problema
Aula 10: Tratabilidade
Teoria da Computação DAINF-UTFPR Aula 10: Tratabilidade Prof. Ricardo Dutra da Silva Na aula anterior discutimos problemas que podem e que não podem ser computados. Nesta aula vamos considerar apenas problemas
Teoria dos Grafos. Caminho mínimo - Algoritmo de Dijskstra
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Silvio A. de Araujo Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br, saraujo@ibilce.unesp.br Caminho mínimo
Grafos. Exemplo de árvore geradora mínima. Notas. Notas. Notas. Notas. Árvores espalhadas mínimas. Como construir uma árvore geradora miníma
Grafos Árvores espalhadas mínimas Conteúdo Introdução Como construir uma árvore geradora miníma Algoritmos Referências Introdução Dado um grafo conectado não orientado G = (V, E) e uma função peso w :
Teoria dos Grafos Aula 18
Teoria dos Grafos Aula 18 Aula passada Coloração Algoritmo guloso Número cromático Teorema das 4 cores Aula de hoje Clusterização (ou agrupamento) Algoritmo Variação Clusterização Coleção de objetos Agrupar
Probabilidade e Grafos
Universidade De São Paulo Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Ciência da Computação MAC0499 Trabalho de formatura Supervisionado Probabilidade e Grafos Israel Danilo Lacerra israeldl@gmail.com
ANÁLISE DE ALGORITMOS
ANÁLISE DE ALGORITMOS Paulo Feofiloff Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo agosto 2009 Introdução P. Feofiloff (IME-USP) Análise de Algoritmos agosto 2009 2 / 102 Introdução
Problema da Árvore Geradora Mínima (The Minimum Spanning Tree Problem-MST)
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 45 Problema da Árvore Geradora Mínima (The Minimum Spanning Tree Problem-MST) Alguns problemas de otimização combinatória podem ser formulados
Teoria dos Grafos AULA 3
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA 3 Trajetos, Caminhos, Circuitos, Grafos Conexos Preparado
Algoritmos e Estruturas de Dados II Grafos conceitos gerais. Thiago A. S. Pardo Profa. M. Cristina Material de aula da Profa. Josiane M.
Algoritmos e Estruturas de Dados II conceitos gerais Thiago A. S. Pardo Profa. M. Cristina Material de aula da Profa. Josiane M. Bueno Valorados Um grafo valorado (ponderado/com pesos) G(V,A) consiste
Grafos Orientados (digrafos)
Grafos Orientados (digrafos) Grafo Orientado ou digrafo Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v 1,, v n } é um conjunto de vértices e A = {a 1,, a k } é um conjunto de arcos tais que a k, k=1,,m é representado
Alg l ori r t i m t os e E str t u r tu t ra r s d e D ados I I Intr t o r duçã ç o ã a a Gr G a r f a o f s P of o a. M. C r C ist s ina n a /
Algoritmos e Estruturas de Dados II Introdução a Grafos Profa. M. Cristina / Profa. Rosane (2012) Baseado no material de aula original: Profª. Josiane M. Bueno Divisão do arquivo 1ª parte: Motivação Definição:
Teoria da Complexidade Computacional
Teoria da Complexidade Computacional Letícia Rodrigues Bueno UFABC Motivação Motivação I can t find an efficient algorithm, I guess I m just too dumb. Fonte: GAREY, M. R. e JOHNSON, D. S. Computers and
Teorema da Galeria de Arte
Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Geometria Computacional p.1/23 Teorema da Galeria de Arte Quantos guardas são necessários? Quatro? Geometria Computacional p.2/23 Teorema de
1.2 Grau de um vértice
1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice v de V G, sua vizinhança N G (v) (ou N(v)) é definida por N(v) = {u V G vu E G }.. p.1/19 1.2 Grau de um vértice Seja G um grafo. Para um vértice
Projeto e Análise de Algoritmos
Projeto e Análise de Algoritmos Conceitos básicos Metodo de provas: Indução Diane Castonguay diane@inf.ufg.br Instituto de Informática Universidade Federal de Goiás Notações = para todo = existe! = único
Grafos: caminhos (matriz adjacência)
Grafos: caminhos (matriz adjacência) Algoritmos e Estruturas de Dados 2 Graça Nunes 1 O problema do menor caminho Um motorista deseja encontrar o caminho mais curto possível entre duas cidades do Brasil
Aula 2 Definições, Conceitos Básicos e Representação Interna de Grafos. Teoria dos Grafos Prof.
Teoria dos Grafos Aula 2 Definições, Conceitos Básicos e Representação Interna de Grafos Jorge Figueiredo Aula 2-1 Definições Dois tipos de elementos: Vértices ou nós. Arestas. v3 v1 v2 v4 v5 v6 Jorge
Teoria dos Grafos. Edson Prestes
Edson Prestes Árvores Sabemos que com um ou dois vértices apenas uma árvore pode ser formada. Entretanto com três vértices podemos formar três árvores. Com quatro vértices temos quatro estrelas e doze
Cap. 2 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos
Teoria dos Grafos e Aplicações 8 Cap. 2 Conceitos Básicos em Teoria dos Grafos 2.1 Grafo É uma noção simples, abstrata e intuitiva, usada para representar a idéia de alguma espécie de relação entre os
Problemas Intratáveis ou computação eficiente X computação ineficiente
Problemas Intratáveis ou computação eficiente X computação ineficiente Problemas Tratáveis Os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial em um computador típico são exatamente os mesmos problemas
Algoritmo de Dijkstra
lgoritmo de Dijkstra Caminhos mínimos em Grafos Considere um grafo orientado ponderado G = (V,E) em que cada aresta possui um rótulo não negativo associado que define o custo da aresta, e um dos vértices
Colóquio Brasileiro de Matemática - Exercícios de Algoritmos Randomizados
olóquio Brasileiro de Matemática - Exercícios de Algoritmos Randomizados apítulo 1 Exercício 2. onsidere os seguintes eventos associados a uma execução do algoritmo que consiste na aplicação do exame de
Eduardo Camponogara. DAS-9003: Introdução a Algoritmos
Caminhos Mínimos Com Uma Fonte 1/74 Caminhos Mínimos Com Uma Fonte Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-9003: a Algoritmos Caminhos Mínimos
Teoria dos Grafos AULA 1
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA 1 Introdução, Conceitos Iniciais, Isomorfismo Preparado
Introdução à Análise de Algoritmos
Quanto tempo leva a execução de determinado algoritmo? Quando temos dois algoritmos que fazem a mesma coisa, qual deles leva menos tempo? A análise do algoritmo preocupa-se com as questões acima. É sempre
Teoria dos Grafos AULA 2
Teoria dos Grafos Valeriano A. de Oliveira Socorro Rangel Departamento de Matemática Aplicada antunes@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br AULA 2 Subgrafos, Operações com Grafos Preparado a partir
GRAFOS ORIENTADOS. PSfrag replacements. Figura 1: Exemplo de um grafo orientado.
Introdução à Teoria dos Grafos Bacharelado em Ciência da Computação UFMS, 2005 GRAFOS ORIENTAOS Resumo Existem ocasiões onde grafos não são apropriados para descrever certas situações. Por exemplo, um
Grafos: árvores geradoras mínimas. Graça Nunes
Grafos: árvores geradoras mínimas Graça Nunes 1 Motivação Suponha que queremos construir estradas para interligar n cidades Cada estrada direta entre as cidades i e j tem um custo associado Nem todas as
Jogos de Anti-Coordenação e Colorações Estáveis em Grafos. Renato Lui Geh NUSP:
Jogos de Anti-Coordenação e Colorações Estáveis em Grafos Renato Lui Geh NUSP:8536030 Introdução Jogos de coordenação: Classe de jogos em que jogadores jogam cooperativamente. Jogador i fazer a mesma ação
PERCURSOS. André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré
PERCURSOS André Falcão, Carlos Augusto, Rafael Broédel e Lucas Dipré Serra 2011 Índice 1...O que é caminho e circuito 1.1...Caminho 1.2...Circuito 1.3...Classificação 2...Caminhos Eulerianos 2.1...Definição
O Problema da 3- Coloração de Grafos
Otimização Combinatória O Problema da - Coloração de Grafos Guilherme Zanardo Borduchi Hugo Armando Gualdron Colmenares Tiago Moreira Trocoli da Cunha Prof.ª Marina Andretta Introdução ao Problema Problema
Roteiro para Laboratório - GRAFOS
Universidade Federal de Uberlândia Algoritmos e Programação - GGI Roteiro para Laboratório - GRAFOS PARTE 1 - Grafos - Implementação de uma matriz de adjacências (simples) para um grafo não direcionado.
1 Trajeto Euleriano. > Trajeto Euleriano 0/20
Conteúdo 1 Trajeto Euleriano > Trajeto Euleriano 0/20 Um trajeto Euleriano em um grafo G é um trajeto que utiliza todas as arestas do grafo. Definição Um grafo G é Euleriano se e somente se possui um trajeto
Teoria da Complexidade Computacional
Teoria da Complexidade Computacional 25 de novembro de 2011 Enquanto a teoria de análise de algoritmos estuda a análise de complexidade de algoritmos, a teoria da complexidade estuda a classificação de
MATEMÁTICA DISCRETA. Patrícia Ribeiro 2018/2019. Departamento de Matemática, ESTSetúbal 1 / 47
1 / 47 MATEMÁTICA DISCRETA Patrícia Ribeiro Departamento de Matemática, ESTSetúbal 2018/2019 2 / 47 1 Combinatória 2 Aritmética Racional 3 3 / 47 Capítulo 3 4 / 47 não orientados Um grafo não orientado
Redução polinomial. Permite comparar o grau de complexidade de problemas diferentes.
Redução polinomial Permite comparar o grau de complexidade de problemas diferentes. Uma redução de um problema Π a um problema Π é um algoritmo ALG que resolve Π usando uma subrotina hipotética ALG que