Ref: H.Gould e J. Tobochnik. Para integrais em uma dimensão as regras do trapezóide e de Simpson são

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1 Método de Monte Carlo Resolução de Integrais Ref: H.Gould e J. Tobochnik Para integrais em uma dimensão as regras do trapezóide e de Simpson são melhores, mais rápidas. A técnica de resolução de integrais por Monte Carlo é superior para integrais multidimensionais. Vamos estudar dois métodos: Hit or Miss Método da média - simples e com importance sampling Page 1

2 Hit or Miss Como usar um monte de pequenas pedras para medir a área de um lago? Suponha que o lago esteja dentro de um campo de área A conhecida. Se jogarmos as pedras uma a uma aleatoriamente de forma a caírem sempre dentro do campo, podemos contar quantas caem dentro do lago. Assim temos a relação: A lago A = n splash N Page 2

3 Temos uma função f(x) e queremos calcular a integral definida = área entre a e b. Escolhemos um retângulo de altura H e largura (b a). Sorteamos N vezes dois números aleatórios uniformemente distribuídos: a x i b y i H Contamos quantas vezes y i f(x i ) n s e temos então que H I = A n s N y f(x) a x b Page 3

4 Primeira Tarefa de Hoje Escreva um programa que calcule a integral I = usando o método Hit or Miss Utilize um retângulo de altura H = x2 dx O número de pontos sorteados deve ser lido do teclado o valor exato da integral é π/4. imprima: o número de sorteios a diferença entre o resultado obtido com o método e o valor exato Rode o programa algumas vezes modificando o número de sorteios e observe como muda o valor da diferença Page 4

5 Método da Média Uma maneira de se calcular uma integral é usar um teorema do cálculo que diz: b f(x)dx = (b a) f a Como calcular a média? Se tivermos uma lista de números aleatórios uniformemente distribuídos entre a e b podemos obter a média através de: f = 1 N N f(x i ) i=1 e então: b a f(x)dx (b a) 1 N N f(x i ) i=1 Quanto maior N melhor a aproximação. Page 5

6 Erro no Método de Monte Carlo No exemplo dado, calculei I = x 2 dx para N = 1. e obtive I N = O resultado exato é I = π = Portanto para este N, ɛ =.73. A pergunta é: Como saberemos se n = 1. atingirá a precisão desejada? Veremos que o melhor que podemos fazer é calcular a probabilidade de que o valor verdadeiro I esteja num certo intervalo centrado em I N Queremos achar σ m tal que I N tem 68% de chance de estar entre I σ m e I + σ m Page 6

7 Um possível chute para a estimativa do erro é o desvio padrão σ : onde f = 1 N σ 2 = f 2 f 2 N i=1 f(x i ) e f 2 = 1 N N i=1 f(x i ) 2 Repare que se f não depende de x, isto é, se a distribuição for uniforme, σ seria. Para o nosso exemplo obtemos σ =.885 que é muito diferente do valor.73 o desvio padrão não é uma boa estimativa. Já era de se esperar pois o erro deve diminuir com N e o desvio padrão não diminui. Page 7

8 Outra tentativa Uma maneira de se obter uma estimativa do erro é rodar algumas m vezes (experimento), cada vez com o mesmo número N de pontos. Para cada experimento obtemos o valor da média M e calculamos o desvio padrão da média com M = 1 m σ 2 m = M 2 M 2 m M j e M 2 = 1 m j=1 Como a sequência de números aleatórios é diferente, M varia para cada experimento. m j=1 M 2 j Vamos fazer 1 experimentos com N = 1. cada: Page 8

9 j M σ Com estes valores obtemos σ m =.68 que é consistente com.73 Portanto σ m é a medida do erro O resultado fica escrito como: I n = ±.7 para n = 1 Page 9

10 Este método de gerar vários experimentos para determinar σ m não é nada útil, mas pode-se mostrar que σ m σ N que se torna exato quando N Note que σ m decresce com N. Para o primeiro valor que obtivemos σ =.885 σ m =.885/ 1 =.9 que é da mesma ordem de.7 Page 1

11 Segunda Tarefa de Hoje Escreva um programa que calcule a integral I = 4 1 método da média. 1 x2 dx usando o Rode duas vezes o programa: 5 experimentos com N = 1 e 5 experimentos com N = 1. o valor exato da integral é π. imprima em um arquivo (tudo na mesma linha): o índice do experimento o valor da integral calculado com o método o desvio padrão da função σ = f 2 f 2 a diferenç a entre o resultado obtido com o método e o valor exato σ m = σ/ N Observe através do gnuplot se as afirmativas que fizemos sobre o erro do método se comprovam Page 11

12 Cria uma funcao que dado x retorna 4*sqrt(1-x*x) loop no numero de experimentos inicializa a semente loop no numero de pontos gera um numero aleatorio x entre a e b calcula f(x) calcula soma f(x) calcula soma f(x)ˆ2 fim loop calcula integral calcula sigma calcula erro da media imprime fim do loop Page 12

13 Importance Sampling Vimos que o erro da integral pelo método de Monte Carlo é proporcional à variância do integrando, isto é, ao quanto f(x) varia. Vamor ver uma forma de diminuir esta variância, ou em outras palavras, transformar o integrando em algo mais uniforme. Queremos calcular I = b a f(x)dx Vamos multiplicar e dividir o integrando por uma função p(x) tal que b a p(x)dx = 1 Page 13

14 I = b a f(x) p(x) p(x)dx Fazemos agora uma mudança de variável de x para y de forma que I = b a f(x) p(x) dy com p(x)dx = dy = y(x) = p(x)dx Se p(x) for escolhida como uma que se comporta como f(x), o integrando vai ser cte. O que estamos fazendo aqui é gerar uma distribuição de acordo com p(x). Se p(x) f(x) vamos gerar mais pontos onde f(x) é grande e pouco recurso é gasto gerando pontos onde f(x) é pequeno. Page 14

15 Queremos resolver I = 1 ex dx Exemplo Uma função parecida é a sua própria expansão em série de Taylor em torno de : p(x) = 1 + x I = 1 e x (1 + x) dx com dy = (1 + x)dx 1 + x y = x (1 + x )dx = x + x2 2 x x y = = x = 1± y 2 1/2 = 1 ± 1 + 2y para x = = y = para x = 1 = y = 1 + 1/2 = 3/2 para que y 3/2 o sinal positivo deve ser escolhido. Então geramos um número aleatório y entre e 3/2 e calculamos I = 3/2 e 1+2y y dy Page 15

16 Terceira Tarefa de Hoje Escreva um programa que calcule a integral I = método da média. 1 e x2 dx usando o Use N = 1 imprima o valor da integral e o erro. Use a função peso p(x) = Ae x onde A é escolhido de forma a satisfazer 1 será p(x)dx = 1. Quando você fizer as contas verá que a integral a resolver com x = ln( y/a) 1 A A/e A e x2 +x dy Use N = 1 imprima o valor da integral e o erro. Compare com o resultado anterior. Page 16