Me todos Computacionais em Fı sica
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1 Me todos Computacionais em Fı sica Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Segundo Semestre de 2012
2 Me todos Computacionais em Fı sica 1 2 Ca lculo de Me todo da Estimativa da
3 Ü toda te cnica de amostragem estatı stica empregada para se obter aproximac o es nume ricas para um problema Ü sorteio de cartas ou lanc amento de dados era utilizado para gerar amostras de distribuic o es. Ü foi Stanislaw Ulam quem percebeu que o computador poderia ser utilizado para automatizar o processo de obtenc a o de amostras Ü junto com John von Neuman e Nicholas Metropolis, comec ou a desenvolver algoritmos em 1946 Ü primeiro artigo em 1949: Nicholas Metropolis and S. Ulam, The Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247 (Sep., 1949), pp
4 Ü toda te cnica de amostragem estatı stica empregada para se obter aproximac o es nume ricas para um problema Ü sorteio de cartas ou lanc amento de dados era utilizado para gerar amostras de distribuic o es. Ü foi Stanislaw Ulam quem percebeu que o computador poderia ser utilizado para automatizar o processo de obtenc a o de amostras Ü junto com John von Neuman e Nicholas Metropolis, comec ou a desenvolver algoritmos em 1946 Ü primeiro artigo em 1949: Nicholas Metropolis and S. Ulam, The Method, Journal of the American Statistical Association, Vol. 44, No. 247 (Sep., 1949), pp Ü Utilizaremos o me todo de para: ä ca lculo de integrais ä simulac o es
5 Ca lculo de Integral pelo Monte Carlo Ü a uma dimensa o Simpson ou Trape zio Ü multidimensionais Ü Estudaremos dois me todos ä (Acerto ou Erro) Como calcular uma a rea jogando objetos? ä Me todo da Z b f (x)dx = (b a)hf i a m simples m usando importance sampling Amostragem por
6
7 Hit (Acerto)
8 Hit (Acerto) Miss (Erro)
9 Hit (Acerto) Miss (Erro)
10 Miss (Erro) Hit (Acerto) Acirculo Nacertos = Aretangulo Ntotal
11 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = f (x)dx a b
12 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a)
13 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteia-se N pontos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H
14 Integrac a o - Z Ü O problema e calcular I = b f (x)dx a Ü Define-se um reta ngulo, de altura H, que contenha a a rea a ser calculada. Aretangulo = H(b a) Ü Sorteia-se N pontos dentro do reta ngulo a xi b 0 yi H Ü Contando-se os acertos (yi f (xi )) obte m-se o valor da integral Nacertos I = Aretangulo N
15 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo hit or miss. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü Utilize um reta ngulo de altura H = 1 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato Ü Rode o programa algumas vezes modificando o nu mero de sorteios e observe como muda o valor da diferenc a
16 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a
17 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1
18 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1 Ü Enta o: Z N b f (x)dx I= a b a X f (xi ) N i=1
19 Integrac a o - Me todo da Ü Podemos aproximar o valor de uma integral por: Z b I= f (x)dx = (b a)hf i a Ü Como calcular a me dia? Se tivermos uma lista de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos entre a e b podemos obter a me dia atrave s de: hf i = N 1 X f (xi ) N i=1 Ü Enta o: Z N b f (x)dx I= a b a X f (xi ) N i=1 Ü Para calcular a integral, basta calcular a me dia do valor da func a o
20 Exercı cio Ü Escreva um algoritmo para calcular uma integral usando o me todo da me dia. Ü Escreva uma func a o em C que implemente o algoritmo do item anterior Z 1 Ü use essa func a o para calcular I = x 3 dx 0 Ü O nu mero de pontos sorteados deve ser lido do teclado Ü imprima: o nu mero de sorteios a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato
21 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido?
22 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de
23 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2
24 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana
25 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana Ü Se calcularmos uma se rie de me dias, poderemos ter ide ia da dispersa o das me dias
26 Estimativa da Ü Como relacionar nu mero de sorteios com a precisa o do resultado obtido? Um dos principais problemas dos me todos de Ü Uma seque ncia de nu meros pseudo-aleato rios possui uma me dia µ = hx i e uma dispersa o, medida por sua varia ncia, σ 2 = h(x µ)2 i hx 2 i hx i2 Ü O desvio padra o, σ, define um intervalo onde ha uma certa concentrac a o dos nu meros, 68% se a distribuic a o for gaussiana Ü Se calcularmos uma se rie de me dias, poderemos ter ide ia da dispersa o das me dias. Realizar uma se rie de experimentos
27 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos:
28 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... }
29 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M
30 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que σµ2
31 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que (se todas as seque ncias sa o equivalentes) σ2 σµ2 = N
32 Estimando a de uma Ü Realizando M experimentos independentes, cada um com N amostras, temos: {µ1, µ2,... } e {σ1, σ2,... } Ü Combinando medidas independentes ä O valor mais prova vel da medida e a me dia: P µi µ = µn = M ä Pode-se mostrar que (se todas as seque ncias sa o equivalentes) σ2 σµ2 = N σ σµ = N
33 Exercı cio Ü Modifique o seu programa que calcula a integral pelo me todo da me dia ppra incluir o ca lculo do desvio padra o da func a o σ = hf 2 i hf i2. Ü Imprima o valor de σ e σ/ N. Compare este u ltimo com a diferenc a entre o resultado obtido com o me todo e o valor exato da integral.
34 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia.
35 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas:
36 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o.
37 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o. ä Fazer muitos sorteios
38 - Importance Sampling Ü Como I = (b a)hf i, temos que σi = (b a)σf o erro da integral pelo me todo de Monte carlo e proporcional a varia ncia do integrando, isto e, ao quanto f (x) varia. Ü Como minimizar as incertezas: ä A func a o f (x) ter naturalmente uma pequena dispersa o. ä Fazer muitos sorteios ä Realizar uma mudanc a de varia vel, de forma a tornar o integrando em algo mais uniforme
39 Z p(b) f (x) I= f (x)dx = p(x)dx = g(y)dy a a p(x) p(a) Z b f (x) onde g(y) =, dy = p(x)dx e p(x)dx = 1 p(x) a Z b Z b Ü O problema e encontrar p(x) (na o ha receita), deve ser uma func a o que se comporta como f (x), de forma a tornar o integrando aproximadamente uniforme
40 Exemplo R1 Queremos resolver I = 0 x 3 dx Uma func a o parecida e : p(x) = x 2 Z 1 3 x I= (x 2 ) dx com dy = (x 2 )dx 2 x 0 Z x x3 y= (x 02 )dx 0 = 3 0 x3 3 1 y = 0 = x = (3y) 3 para x = 0 = y = 0 para x = 1 = y = 1/3 Gera-se uniformemente um nu mero aleato rio y entre 0 e 1/3 e calcula-se Z I= 1 (3y ) 3 dy 0 pelo me todo da me dia 1/3
41 Exercı cio Ü Escreva um programa em C (integral.c) que calcule Z 1 I= x 3 dx usando o me todo da me dia. Use 0 N = 1000 Ü Use a func a o peso p(x) = x 2 para calcular a mesma integral pelo me todo da me dia com importance sampling. Ü Para cada caso imprima a integral e sua incerteza. Compare os resultados.
42 Exercı cios Ü Escreva um programa em C (integral.c) que calcule Z 1 2 I= e x dx usando o me todo da me dia. Use 0 N = 1000 Ü Use a func a o peso p(x) = Ae x onde A e escolhido de R1 forma a satisfazer 0 p(x)dx = 1. Mostre que a integral a ser calculada agora e 1 A Z A/e e x 2 +x dy A com x = ln( y/a) Ü Para cada caso imprima a integral e sua incerteza. Compare os resultados.
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