Me todos Computacionais em Fı sica

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1 Me todos Computacionais em Fı sica Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Primeiro Semestre de 2011

2 Me todos Computacionais em Fı sica 1 2

3 Ale m de ser usado para calcular integrais, o Me todo de Monte Carlo e largamente utilizado para simular processos rando micos. Uma das primeiras aplicac o es foi no design de reatores nucleares - Quanto de shielding material e necessa rio para parar os neutrons? Outros exemplos de sistemas que podem ser aleato rios ou se comportarem como tal devido a sua complexidade: Ü Tra fego em grandes cidades Ü Difusa o molecular Ü Movimento Browniano Ü Mobilidade de a tomos na superfı cie de um cristal Ü Processos estrelares Ü Coliso es de partı culas tem um papel fundamental nestes estudos

4 Passeio Aleato rio - Random Walk Para ilustrar como e realizada uma simulac a o, vamos comec ar com o sistema mais simples - O passeio do be bado Passeio aleato rio em duas dimenso es com igual probabilidade A cada passo, um be bado pode se mover nas direc o es N-S-L-O com igual probabilidade. Apo s N passos, a que dista ncia do ponto de origem ele se encontrara?

5 Passeio Aleato rio Ü Fac a uma simulac a o para o problema do passeio aleato rio (random walk) nas seguintes condic o es: 1 Todos os passos te m o mesmo comprimento: 1m. 2 Passos so sa o dados ao longo dos eixos x ou y. 3 A probabilidade de andar em qualquer uma das quatro direc o es e a mesma. 4 Fac a inicialmente para 10 passos e imprima a dista ncia entre a posic a o inicial e final. 5 Modifique o programa para realizar 100 experimentos. Para cada experimento, calcule a dista ncia e ao final, a sua me dia. 6 Modifique o programa para que o numero de passos varie de 1 a Para cada nu mero de passos imprima esse nu mero e a me dia da dista ncia. Indique o resultado em um gra fico de hdi Npassos

6 Passeio Aleato rio: Algoritmo Ca lculo da dista ncia apo s 1 caminhada de Npassos 1 Inicialize a posic a o inicial: x = 0 e y = 0 2 Defina o nu mero de passos em 1 caminhada: Npassos = 10 3 Para cada passo de 1 ate Npassos 4 sorteie uma das direc o es Pense numa forma de fazer este sorteio usando um gerador de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos de 0 a calcule a nova posic a o (x ou y dependendo do sorteio) p x2 + y2 Calcule a dista ncia da posic a o final ate a origem r =

7 Passeio Aleato rio: Algoritmo Me dia das dista ncias para Ncaminhadas com Npassos fixo 1 Defina o nu mero de caminhadas (experimentos) Nexpt = Defina o nu mero de passos em 1 caminhada: Npassos = 10 3 Para cada caminhada de 1 ate Nexpt: 4 Inicialize a posic a o inicial: x = 0 e y = 0 5 Para cada passo de 1 ate Npassos sorteie uma das direc o es calcule a nova posic a o (x ou y dependendo do sorteio) p Calcule a dista ncia da posic a o final ate a origem r = x 2 + y 2 Guarde a informac a o necessa ria para o ca lculo da me dia no final da simulac a o 10 Calcule a me dia

8 Passeio Aleato rio: Algoritmo Final Me dia das dista ncias para Ncaminhadas para cada valor de Npassos 1 Modifique o algoritmo acima para variar o nu mero de passos automaticamente de 1 ate um certo valor valor ma ximo, por exemplo, Npassosmax = Para cada valor de Npassos imprima Npassos e a me dia 3 Fac a um gra fico dos valores me dios obtidos em func a o do nu mero de passos. 4 Apresente o gra fico para 100 experimentos e para 1000 experimentos e interprete o resultado.

9 Passeio Aleato rio em uma grade em 2D

10 Passeio Aleato rio - Plano em qualquer direc a o Podemos tornar o problema um pouco mais geral - O passo pode ser dado no plano, mas agora em qualquer direc a o: O a ngulo θ e um nu mero aleato rio de 0 a 2π, x = cos(θ) y = sin(θ) Podemos refazer o problema anterior, supondo agora que o Be bado possa andar, com igual probabilidade, em qualquer direc a o. Comparando o resultado para experimentos com o obtido no exercı cio anterior: (Veja passeio2.c)

11 Passeio Aleato rio em 2D

12 Passeio Aleato rio em 3 dimenso es Generalizando para 3 dimenso es - Podemos agora associar o problema do be bado a um problema fı sico: A difusa o das mole culas de ar a temperatura ambiente Ao abrir um vidro de perfume, as mole culas do perfume, apesar de terem alta velocidade, colidem com as mole culas de ar, sofrendo va rias coliso es em direc o es aleato rias. Qual sera o seu deslocamento a partir da origem? Podemos analisar o comportamento da dista ncia em unidades do livre caminho me dio, λ, a dista ncia me dia entre duas coliso es.

13 dω = sin(θ)dθdφ Para que o nu mero de passos seja uniforme em dω a distribuic a o deve ser uniforme em sin(θ) e na o em θ. dω = dgdφ dg = sin(θ)dθ g(θ) = cos(θ)

14 Passeio Aleato rio Refazendo o exercı cio do passeio aleato rio permitindo que o passo seja dado em qualquer direc a o (passeio3.c): Ü distribuic a o uniforme em Φ de 0 a 2π Ü distribuic a o uniforme em g de -1 a 1 Ü Obtenha θ = cos 1 (g) Ü x = cos(φ) sin(θ) y = sin(φ) sin(θ) z = cos(θ) Ü r 2 = x 2 + y 2 + z2

15 Dista ncias me dias percorridas Que func a o pode ser ajustada a esse gra fico?

16 Discussa o dos resultados A dista ncia me dia nos tre s exemplos apresenta o mesmo comportamento, sugerindo uma lei fı sica mais fundamental. Podemos tentar ajustar a func a o hdi Nq λ Para obter a pote ncia q hdi qlnn λ Enta o em um gra fico log-log, obtemos uma reta, cujo coeficiente linear sera a pote ncia q. ln

17 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± Grade 2D Numero de passos

18 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± χ2 / ndf Prob p0 p / ± ± Grade 2D Uniforme 2D Numero de passos

19 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± χ2 / ndf Prob p0 p1 Grade 2D / ± ± Uniforme 2D χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± Uniforme 3D Numero de passos

20 Exemplo 4 - Resoluc a o de um detetor de partı culas Considere um experimento de altas energias onde em uma colisa o e produzida um partı cula que decai em 2 mu ons. O mu on e uma das partı culas elementares encontradas na natureza. Ü leia um arquivo (momenta.dat) com uma lista das componentes dos vetores momento das 2 partı culas. O arquivo possui va rias linhas, cada uma contendo px, py, pz do primeiro mu on e px, py, pz do segundo mu on. A unidade e MeV/c, onde 1 ev = Joules Ü sabendo que a massa do mu ons e MeV/c 2, calcule para cada mu on, a sua energia: E 2 = p2 + m2 Ü calcule a massa da partı cula: M 2 = (E1 + E2 )2 (~p1 + ~p2 ).(~p1 + ~p2 ) Ü Procure a sua identidade na tabela das Partı culas (PDG). Ü O programa deve se chamar massa.c

21 Exemplo 4 Agora considere que os momenta sa o medidos por um detector: Ü simule a resoluc a o do detector dp p = 0.1%: ì Gere um nu mero aleato rio distribuı do de acordo com uma gaussiana em torno de m = 0 entre m 3σ e m + 3σ onde σ = dp ì Recalcule a componente x do momento do primeiro mu on. ì Repita os dois passos acima para as componentes y e z do primeiro muon, e para as 3 componentes do momento do segundo muon. Ü calcule a massa invariante da partı cula com esses novos momenta Ü preencha um histograma com os valores das massas. Para os valores iniciais e finais do histograma use 2500 e 3500, com 100 diviso es. Ü Calcule a me dia e o desvio padra o da massa invariante. Ü Varie o valor da resoluc a o ( dp =0.1%, 0.5%, 1%, 5%) p Ü Fac a um gra fico (e salve no arquivo resol.eps) do desvio padra o X valor da resoluc a o, observe seu comportamento.

22 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro.

23 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro.

24 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro.