Conservação do momento linear - Colisões.

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1 Conservação do momento linear - Colisões. o o o o Momento linear e a sua conservação Impulso Colisões elásticas e inelásticas Colisões em duas dimensões 1

2 Momento Linear Momento linear de uma partícula (ou um objeto que pode ser modelado como uma partícula) de massa m se movendo com velocidade v é definido como sendo o produto da massa pela velocidade: p = m v Os termos momento e momento linear serão usados de maneira análoga em nossas discussões

3 Momento Linear, cont. o O momento linear é uma quantidade vetorial à direção é a mesma da velocidade v o As dimensões de momento são ML/T o As unidades de momento no SI são kg m/s Sua o O momento pode ser expresso na forma de suas componentes como: p x = mv x p y = mv y p z = mv z

4 Newton e o Momento Newton chamou o produto de mv como a quantidade de movimento da partícula A a Lei de Newton pode ser usada para relacionar o momento da partícula com a força resultante atuando sobre ela dv d ( mv) dp Σ F = ma = m = = dt dt dt A taxa temporal da mudança do momento linear de uma partícula é igual à força resultante atuando sobre a partícula oesta é a forma na qual Newton apresentou a a Lei oé uma forma mais geral do que a usada anteriormente oesta forma permite a alteração de massa

5 Conservação de momento para um sist. de duas partículas Considere um sistema de duas partículas que exercem forças uma sobre a outra, mas sobre o qual não atua nenhuma força externa: sistema isolado. Não vamos nos preocupar com o tipo de força que uma partícula exerce sobre a outra. A força pode ser gravitacional, elétrica, contato como numa colisão, etc. Também não faremos qualquer hipótese sobre se tais forças são conservativas ou não.

6 Pela terceira lei de Newton (ação e reação): O momento total do sistema se conserva!

7 Conservação de momento linear Sempre que duas ou mais partículas em um sistema isolado interagirem, o momento total do sistema permanecerá constante. O m o m e n t o d o s i s t e m a é c o n s e r v a d o. Não necessariamente o momento de uma partícula individual será conservado. Isto também nos diz que o momento total de um sistema isolado é igual a seu momento inicial

8 A conservação do momento pode ser expressa matematicamente por várias maneiras: p total = p 1 + p = constante p 1i + p i = p 1f + p f Na forma de componentes, o momento total em cada direção é independentemente conservado: p ix = p fx p iy = p fy p iz = p fz Conservação do momento pode ser aplicada a sistemas com qualquer número de partículas

9 Conservação de momento linear Exemplo 1 Conhecedor da conservação do momento linear, um astronauta flutuando em uma nave espacial resolve atirar seu casaco para um lado para ir para o lado oposto. Assumindo que ele tenha 70 kg e que ele jogue seu casaco de 1 kg a 0 m/s, qual será sua velocidade? Sistema Isolado Δ p! = 0 p! i a + p! i c = p! f a + p! f c! i p a = p! i c = 0 p! f a + p! f c = 0 Direções Opostas $! f & p a = m a v a î %! '& p i c = m c v c î m a v a î + m c v c î = 0 m a v a = m c v c v a = v c m c m a = ! v a = 0,9m/s î

10 Conservação do Momento Linear, exemplo do arqueiro O arqueiro está em pé em uma superfície sem atrito (gelo). Consideramos o sistema como sendo composto pelo arqueiro com o arco (partícula 1) e a flecha (partícula ): o Não há forças externas na direção x, de modo que o sistema é isolado em termos de momento na direção x. o O momento total antes da flecha ser lançada é 0. o O momento total após a flecha ser lançada é p 1f + p f = 0 O arqueiro se moverá na direção oposta à direção da flecha após lançá-la. Devido ao fato do arqueiro ser muito mais pesado que a flecha, sua aceleração e velocidade serão muito menores do que a da flecha.

11 Conservação do Momento, exemplo da Terra Ao considerar um sistema Terra-bola, onde a bola é solta nas proximidades da Terra, dissemos que a energia cinética da Terra pode ser desprezada. Será mesmo? Vamos&estabelecer&a&razão&da&energia&cinética&da&Terra&com&a&da&bola: K T = 1 m Tv T K 1 b m b v =! m $! T # & v $ T # & b " %" % Agora&vamos&considerar&a&conservação&do&momento&na&direção&vertical. O&momento&inicial&do&sistema&é&zero.& momento&final&é&zero. m b p i = p f & 0 = m b v b + m T v T & v! T = m $ b # & v b " % K T! = m $! T # & m $ b # & K b " %" % m b m T v b = m b m T Substituindo&valores&de&ordem&de&grandeza&para&as&massas,&temos: K T K b = m b m T ~ 1&kg 10 4 &kg ~ 10 4 m T &

12 Impulso Pela segunda lei de Newton, sabemos que o momento de uma partícula é alterado no caso em que uma força resultante não nula atue sobre ela. Isso pode ser visto claramente reescrevendo a segunda lei como: i.e. se uma força F atua sobre a partícula durante um intervalo de tempo dt, haverá uma variação no seu momento dp = F dt. Se a força F varia no tempo (e se considerarmos um intervalo finito de tempo), a variação no momento é obtida integrando a equação anterior

13 A integral do lado direito é a variação de momento Δp A integral do lado esquerdo é chamada de impulso da força F Portanto, temos Este resultado nos diz que o impulso total da força resultante sobre uma partícula é igual à variação no momento da partícula e é conhecido como Teorema do Impulso e Momento. Este teorema é equivalente à segunda lei de Newton.

14 o No caso de uma força constante, temos o De maneira análoga, o impulso pode ser encontrado como sendo o produto de uma força média pelo seu tempo de atuação I = FΔt

15 Impulso Exemplo Em um teste de resistência contra colisões, um carro de 1500 kg de massa andando a 15 m/s colide com um muro. Após a colisão ele retrocede com velocidade de,6 m/s. Sabendo-se que o tempo de contato com o muro foi de 0,15 segundos, qual foi a força média exercida pelo muro sobre o carro? î

16 Colisões - Introdução Dizemos que houve uma colisão quando dois corpos exercem forças um sobre o outro durante um intervalo de tempo muito curto. Em uma colisão, as forças envolvidas (internas ao sistema) são muito maiores do que quaisquer outras forças que ajam sobre o sistema. Duas galaxias espirais em colisão. Foto NASA

17 As colisões podem ser o resultado de contato direto Porém, a colisão não precisa incluir contato físico entre os objetos Ainda há forças sobre as partículas Este tipo de colisão pode ser analisado da mesma maneira daquele que envolve contato físico Já mostramos que o momento total de um sistema isolado antes da colisão é igual ao momento total após a colisão.

18 Tipos de colisões O momento total do sistema sempre se conserva, mas não necessariamente a energia cinética total. Colisão Elástica A energia cinética total do sistema é a mesma, antes e depois da colisão. Colisão Inelástica A energia cinética total do sistema não se conserva. Colisão Perfeitamente Inelástica Os corpos que colidem mantêm-se grudados após a colisão, formando um único corpo. Não há conservação da energia cinética.

19 Colisão Perfeitamente Inelástica m 1v1 + m v = (m 1 + m ) v f v f = m 1v 1 + m v m 1 + m

20 Exemplo Um carro de 1800 kg parado em um sinal de trânsito é atingido por trás por um carro de 900 kg vindo a uma velocidade de 0,0 m/s. Qual a velocidade dos dois carros logo após a batida, considerando que os carros ficaram presos um no outro? Δ! p = 0! p i =! p f ( m m v ) = ( m 1 + m )v f v f = m v m 1 + m v f = v f = 6,67 m/s

21 Em um experimento de Pêndulo Balístico, um projétil de 5 gramas incide sobre um bloco de 1,0 kg, sendo completamente absorvido por ele. Sabendo-se que devido à colisão o bloco elevou-se em 5 centímetros: a) Qual a velocidade inicial do projétil? b) Quanto de energia mecânica foi perdida? Exemplo pêndulo balístico Colisão Completamente Inelástica m 1 v 1i + m v i = (m 1 + m )v f v i = 0 v 1i = m 1 + m m 1 v f =? ΔU G + ΔK f = 0 v f (m 1 + m )gh 1 (m 1 + m )v f = 0 v f = gh v 1i = m 1 + m gh m 1 0, 005+1, 0 v 1i = 9,8 0, 05 0, 005 v 1i =199 m/s ΔE = K f K i = 1 (m 1 + m )v f 1 m 1 v 1i ΔE = gh m m 1 (m 1 + m ) ΔE = 98, 5 J

22 Colisões elásticas Tanto o momento quanto a energia cinética são conservados m 1 v 1i + m v i = m 1 v 1 f + m v f 1 m v i m v = 1 i m v f m v f

23 Colisões elásticas em uma dimensão INICIAL% FINAL%!(1) Conservação do Momento: m 1 v 1i + m v i = m 1 v 1 f + m v # f " () Conservação da Energia Cinética: 1 m 1v 1i + 1 m v i = 1 m 1v 1 f + 1 m $ # v f () m 1 v 1i v 1 f ( ) = m ( v f v ) i m ( 1 v 1i v )( 1 f v 1i + v ) 1 f = m ( v f v )( i v f + v ) i (a) (1) m ( 1 v 1i v ) 1 f = m ( v f v ) i (b) (a)/(b) ( v 1i + v ) 1 f = ( v f + v ) i

24 Para uma colisão elástica unidimensional de duas partículas, a conservação da energia cinética e do momento leva a duas equações lineares:!# m 1 v 1i + m v i = m 1 v 1 f + m v f " $# v 1i + v 1 f = v i + v f A partir dessas duas equações é fácil isolar as velocidades finais em função das velocidades iniciais: Equações% Fundamentais%da% Colisão%elás:ca%em% uma(dimensão( ( " v 1 f = m 1 m % " m $ 'v 1i + % $ * # m 1 + m & # m 1 + m & ) * " m v f = 1 % " $ 'v 1i + m m 1 % * $ + # m 1 + m & # m 1 + m & 'v i 'v i

25 O momento é conservado em todas as direções Use subscritos para o Identificar o objeto Colisões bidimensionais o Indicar os valores inicial e final o As componentes da velocidade Se a colisão for elástica, use a conservação de energia cinética como uma segunda equação Lembre-se, a equação mais simples só pode ser usada para situação unidimensionais

26 Colisões bidimensionais estratégias para resolução de problemas 1. Figuras: a. Faça duas figuras, uma representando o sistema antes da colisão e outra para o sistema depois da colisão. b. Estabeleça um sistema de coordenadas (deve ser igual em ambas figuras). Em geral, é conveniente ter o eixo x coincidindo com uma das velocidades iniciais. c. Desenhar e nomear todos os vetores de velocidade, incluindo todas as informações dadas.. Escrever as equações: a. Conservação do momento: Escreva a expressão para o momento total do sistema na direção x antes e após a colisão e iguale as duas. Repita o mesmo procedimento para o momento total na direção y.

27 b. Condições adicionais: o Se a colisão é inelástica, a energia cinética do sistema não é conservada, e informações adicionais serão provavelmente necessárias para resolver o problema. o Se a colisão é perfeitamente inelástica, a velocidade final dos dois objetos são iguais. o Se a colisão é elástica, a energia cinética do sistema é conservada. Igualar a energia cinética total do sistema antes da colisão com a energia cinética total do sistema após a colisão para obter mais informações sobre a relação entre as velocidades.

28 Colisões bidimensionais Em uma colisão em duas dimensões o momento é conservado isoladamente para cada uma das direções. p 1i + p i = p 1 f + p " $ p 1ix + p ix = p 1 fx + p fx f # %$ p 1iy + p iy = p 1 fy + p fy Conservação de Momento!# m 1 v 1ix + m v ix = m 1 v 1 fx + m v fx " $# m 1 v 1iy + m v iy = m 1 v 1 fy + m v fy Exemplo:% Antes% Depois% m 1 v 1i = m 1 v 1 f cosθ + m v f cosφ 0 = m 1 v 1 f sinθ + m v f sinφ Conservação do Momento 1 m 1 v 1i = 1 m 1 v 1 f + 1 m v f Conservação da Energia

29 Exemplo batida em um cruzamento Um carro de 1500 kg andando para o leste a 5 m/s colide em um cruzamento com uma van de 500 kg andando em direção ao norte com uma velocidade de 0,0 m/s. Ache a direção e magnitude da velocidade dos destroços da batida, assumindo que os veículos permanecem grudados depois da batida. m c v c = ( m c + m v )v d cosθ m v v v = ( m c + m v )v d sinθ tanθ = m vv v m c v c tanθ = θ = 53,1! v d = v d = m v v v ( m c + m v )sinθ ( )sin53,1 v d =15, 6 m/s

30 Exemplo( (colisões(de(bolas(de(sinuca( Exemplo( (colisões(de(bolas(de(sinuca( Exemplo colisões de bolas de sinuca m%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%()%conforme% Em%um%jogo%de%sinuca,%um%jogador%quer%encaçapar%uma%bola%()%conforme% Em um jogo de sinuca, um jogador quer encaçapar uma bola () conforme º,% mostrado%na%figura%ao%lado.%se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35 ºº,% mostrado%na%figura%ao%lado.%se%o%ângulo%com%a%caçapa%do%canto%é%de%35 mostrado na figura ao lado. Se o ângulo com a caçapa do canto é de 35, com om%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?% com%qual%ângulo%que%a%bola%branca%(1)%vai%ser%defle/da?% qual ângulo que a bola branca (1) vai ser defletida? " 1 Conservação de Energia m v = m v + m v $Conservação de Energia m11v1i1i = m11v11ff + m v f f # $%Conservação Conservação de de Momento mv vf f Momento mm1v1v1i1i == m m11vv11 ff ++m # v# v= v=v ++v v % 1i% 1i 1 f1 f f f m = m m1 = 1m $ $ % v = v + v ( v ) = ( v + v ) % v1i& = f v f v 1i = v11ff + vf f f 1i & 1i v1 f1 + v = v + v + v v v v = 0 v1i = 1iv1f +1 fv f +f v1 f1 f v f f v11ff v ff = 0 v1 f v f = v1 f v f cos(θ + 35) cos(θ + 35) = 0 v1 f v f = v1 f v f cos(θ + 35) cos(θ + 35) = 0 ( ) ( θ + 35 = 90 θ = 55 θ + 35 = 90 θ = 55 )

31 Exemplo espalhamento de partículas Um próton a velocidade de 3,5 x 10 5 m/s colide com um próton em repouso. Depois da colisão, um dos prótons é espalhado a um ângulo de 37 º. a) Qual a velocidade final de cada um dos dois prótons? b) Em que ângulo o outro próton é espalhado? Reação:1 a b Conservação de Momento: p! 1 + p! = p! a + p! b "! $ p 1 = m p v 1 î "! $ p a = m p v a cosθ î + m p v a sinθ ĵ #! #! %$ p = 0 %$ p b = m p v b cosφ î + m p v b sinφ ĵ " $ m p v 1 = m p v a cosθ + m p v b cosφ # %$ 0 = m p v a sinθ + m p v b sinφ m p v 1 " $ v 1 = v a cosθ + v b cosφ # %$ 0 = v a sinθ + v b sinφ Conservação da Energia: + m p v v 1 = v a + v b = m p v a + m p v b

32 ! v 1 = v a cosθ + v b cosφ (1) # " 0 = v a sinθ + v b sinφ () # v 1 = v $ a + v b (3) (1) v 1 = v a cos θ + v b cos φ + v a v b cosθ cosφ () 0 = v a sin θ + v b sin φ + v a v b sinθ sinφ ( cosθ cosφ + sinθ sinφ) ( ) ( ) = 0 ( ) = 0 θ φ = 90 v 1 = v a + v b + v a v b v 1 = v a + v b + v a v b cos θ φ (3) v a v b cos θ φ cos θ φ φ =θ 90 φ = 53 (1) sinθ () cosθ ( ) v 1 sinθ = v b sinθ cosφ sinφ cosθ v 1 sinθ = v b sin(θ φ) v b = v 1 sinθ = 3, sin37 v b =, m/s (1) sinφ () cosφ ( ) v 1 sinφ = v a sinφ cosθ sinθ cosφ v 1 sinφ = v a sin(φ θ) v a = v 1 sinφ = 3, sin( 53) v b =, m/s