PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 1ª FASE 23 DE JUNHO

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JUNHO 05. Grupo I Os dois rapazes devem estar sentados nas etremidades do banco. Há maneiras de isso acontecer. As 4 raparigas podem estar sentadas nos 4 lugares do meio. Há 4 maneiras de elas se sentarem. Logo: 4 48 (C) (B). Como: P B 0,7 e P B P(B), temosp B 0,7 0, Assim: P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( A) + P( B) P( A B) P( A B) 0, 4 + 0,0,5 P( A B) 0, Então: ( ) ( ) ( ) P A B P A B P A B 0, 0,8 (C) (B). log 9 log log k (B) (A)

2 4. Como: lim 𝑢 lim 𝑛 + + ln ln Então lim f ( un ) lim lim + lim (A) (D) 5. A área do quadrilátero [ABCD] pode ser obtida subtraindo a área do triângulo [OAB] à área do triângulo [OCD]. Assim: 𝐶𝐷 𝑂𝐶 𝑡𝑔 𝑡𝑔 𝐴["#] 𝐴𝐵 𝑂𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝐴["#] Logo: 𝑡𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 A["#$] 𝐴["#] 𝐴["#] E como: 𝑠𝑒𝑛( ) 𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠 Temos que: A["#$] 𝑡𝑔 "#( ) 𝑡𝑔 𝑠𝑒𝑛( ) 4 (B) (C) 6. Temos que: 𝑧 + 4 4𝑖 𝑧 (4 + 4𝑖) Então esta condição representa no plano compleo o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto de coordenadas (-4,4) é igual a, ou seja a circunferência de centro em (-4,4) e raio. A condição arg (𝑧) representa o conjunto de pontos cujos argumentos estão compreendidos entre e. Assim, fazendo a interseção dos dois conjuntos, obtemos a semicircunferência representada na figura:

3 Como: perímetro da circunferência π 6π Então o comprimento pedido é π (C) (B) 7. Como o triângulo [ABC] é equilátero então o ângulo ABC tem de amplitude 60 o. Assim o declive da reta AB é: m tg 60 Logo a reta AB será uma reta do tipo: y + b Como o ponto B de coordenadas (,0), pertence a esta reta, temos: 0 + b b Logo a reta AB tem por equação: y (D) (C) 8. u u + a + u u + a + + 9a 4 (B) (C)

4 . Seja Como w + i i i i i i Grupo II w + i w + i w i. 9 vem ( ) Tem-se que: w + 8 ( ) ( ) Sendo θ um argumento de w, como θ º quadrantee tg θ, vem π 5π θ π π Assim, w cis 4 Substituindo vem: 5π 5π 9 cis cis + i 4 4 5π z cis θ cisθ cisθ cisθ 4 Para que 5π z cis θ seja um imaginário puro, terá de ser verdadeira a igualdade 4 5π π θ + kπ, k Z. 4 Tem-se então: 5 π 5 θ π + kπ, k Z θ π π + kπ, k Z θ π + kπ, k Z θ π kπ, k Z Como se pretendem os valores de θ pertencentes ao intervalo ] 0, π [ vamos atribuir valores inteiros a k. Para Para π k 0 vem θ 4 π 7π k vemθ + π θ. 4 4 os valores de θ são então π e 7π. 4 4 Como θ ] 0, π[

5 ... Sejam: H: o funcionário escolhido é homem e C: o funcionário escolhido reside em Coimbra Pretende-se calcular P( H C) ( C) P H. P C ( ) Como 60% dos funcionários da empresa residem fora de Coimbra, tem-se P( C ) 0,6 Como o número de homens é igual ao número de mulheres, tem-se P( H) P( H) 0,5 Como 0% dos homens residem fora de Coimbra, tem-se P( C H ) 0, Determinemos P( C H) : ( H) PC PCH ( ) 0, 0, PC ( H) 0, PH ( ) PC ( H) 0, 0,5 0,5 P H ( ) Determinemos P( H C) ( ) + P H C P C H ( ) 0,5 P H C : ( ) P( H ) P( H C) P( H ) P C H ( ) P H C ( ) 0,50 0,5 Determinemos P( H C) : Como P( C ) 0,6 então, P( C) P( C) 0,4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( H C) 0,05 P H C + P H C P C P H C P C P H C P H C 0, 40 0,5 Assim, P( H C) ( C) P H 0,05 0,5. P C 0,40 8 ( ) A probabilidade de o funcionário escolhido dessa empresa ser mulher, sabendo que reside em Coimbra é 8.

6 .. Seja C o acontecimento O funcionário escolhido reside em Coimbra. Sabe-se que PC ( ) 0, 4. Como a empresa tem oitenta funcionários, então, residem em Coimbra, pois 0, Pretende-se determinar a probabilidade de, num grupo de três funcionários, escolhidos ao acaso, haver no máimo dois a residirem em Coimbra, ou seja haver dois, ou um, ou nenhum a residirem em Coimbra. O número de casos possíveis é dado por 80 C que corresponde ao número de grupos que é possível formar com três funcionários escolhidos de entre os 80 funcionários da empresa. O número de casos favoráveis é dado por C 80 C em que: 80 C representa o número total de grupos (nº de casos possíveis);. C representa o número de grupos de três funcionários escolhidos de entre os que residem em Coimbra. Assim, a diferença C 80 C corresponde ao número de grupos de três funcionários, sendo que, em cada grupo, eistem no máimo dois funcionários a residir em Coimbra. De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis à realização desse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todos equiprováveis e o espaço de resultados é finito. Portanto, a probabilidade pedida é dada por C C C... Determinemos o raio da esfera, r. Sabe-se que a distância do ponto P à base do recipiente é 6 cm. Por outro lado a distância, em centímetros, do centro da esfera ao ponto P é dada em função de t d t t e. No instante inicial a esfera encontra-se na base do recipiente, 0,05 t, por ( ) ( ) pelo que a distância do centro da base ao ponto P é dado por : Assim, o raio da esfera é dado por: d 0,05 0 ( 0) 0+ ( 50) e

7 r ( 6 5) cm cm 4 O volume da esfera é dado por V π. O valor do volume arredondado às centésimas é dado por V 4,9 cm... Para determinar o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto P é mínima, comecemos por determinar a epressão analítica da primeira derivada de d. 0,05t 0,05t ( ) ( ) ( ) ( ) d' t 5 t ' e + e ' 5 t t t ( ) ( + t) ( + t) 0,05 0,05 0, 05 5 e e t 0,05t e 0,5 0,05 0,05t e,5 0,05. Como D d R + 0,05t e '( ) (,5+ 0,05 ) d t e t então a função d tem domínio R + 0,05t ( ) ( ) d' t 0 t D e,5+ 0,05t 0 t D,5+ 0,05t 0 t D, 5 t t Dd ' t 5 0,05 d' d' d' Sinal de d ' : Como de (, 5 + 0,05 t ). Assim, 0,05t e é sempre positivo então o sinal de d ' t d '( t) > 0 t D d ',5+ 0,05t > 0 t D d ' t >,5 0,05 t D t > 5 d ' Tabela ( )depende apenas do sinal Conclusão: t d ' 0 + d 5 d ( 5) A distância do centro da esfera ao ponto P é mínima no instantet 5 segundos.

8 A função f é contínua no intervalo, por ser o quociente de duas funções contínuas. A função f é contínua no intervalo, + por ser o produto de duas funções contínuas. Uma vez que a função f é contínua em \, apenas a reta de equação assíntota vertical do gráfico de f. Tem-se: poderá ser e e lim f ( ) lim indeterminação do tipo ; 0 0 Fazendo a mudança de variável: y y+ Como então y 0 e assim, y + y e e e e e ( e ) lim f ( ) lim lim lim y y 0 y 0 y + y ( e ) e e e lim, y 0 y () () limite notável Como f é contínua à direita de, pois lim ( ) + que o gráfico de f não admite assíntotas verticais. f f e lim f ( ) IR, conclui-se assim 4.. Para efetuar, no intervalo, +, o estudo das concavidades do gráfico de f e averiguar a eistência de pontos de infleão, determinemos a epressão analítica da segunda derivada de f naquele intervalo. Cálculo da primeira derivada:

9 ( ) ( + ) f ' ln ' ( ) ln ( )( ln) ln + ( + ) Cálculo da segunda derivada: f ''( ) ln + ( + ) ( ln ) ' + + Determinemos os zeros da segunda derivada de f no intervalo f ''( ) , +. Assim, o zero de f no intervalo Estudemos o sinal de f, + é. + f '' 0 + f 0 Por observação da tabela, conclui-se que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baio em, e tem a concavidade voltada para cima no intervalo [ [ ponto de infleão de coordenadas (, 0 )., +. O gráfico de f tem um

10 4.. Consideremos agora a função f, definida apenas em, + Definamos a função h por meio de h( ) f ( ) A função h é contínua em, + por ser a diferença de duas funções contínuas: a função produto de uma função afim y + por uma função logarítmica y ln ; a função constante y. Então h é contínua em[, e ], +. Temos também h( ) f ( ) 0 ; ( ) ( ) Ora h( ) h( e) < 0 he e+ lne e+ e. Como a função h é contínua em [, e ] e ( ) ( ) h h e < 0 então, pelo corolário do teorema de Bolzano, podemos afirmar que eiste pelo menos um ponto c do intervalo ],e[ tal que h(c) 0. Usando a calculadora gráfica tentemos determinar aproimadamente tal ponto c.

11 Na janela de visualização indicada, em que no eio dos XX incluímos um intervalo que contém o intervalo ],e[, obtemos o gráfico indicado. Observamos que a função h tem apenas um zero o que corresponde à realidade pois no intervalo [, e] a função h é estritamente crescente e é contínua, logo a solução da equação h ( ) 0 é única. Concluímos assim que no intervalo [, e] a equação f ( ) tem uma só solução a com a, Como o plano que se procura é paralelo ao plano 𝛼 então um vetor normal ao plano será 𝑛,, pelo que a equação do plano é 𝑥 𝑦 + 𝑧 + 𝑑 0. Como o ponto 𝐴 pertence ao plano temos que 𝑑 0 𝑑 Assim, temos que uma possível equação do plano que passa no ponto A e é paralelo ao plano 𝛼 é: 𝑥 𝑦 + 𝑧 Dado que o segmento de reta 𝐴𝐵 é diâmetro da superfície esférica então o ponto médio deste segmento será o centro da circunferência, pelo que 𝐶 𝑀 ", isto é 𝐶,0, Além disso, o raio da superfície esférica será 𝑟 𝐴𝐶 𝑟 𝑟 4 + 𝑟 5 Assim, temos que uma equação da superfície esférica será 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 5 5..ª resolução Tendo em conta que 𝐴𝐵. 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝐵𝐴𝑃 𝜋 𝐴𝐵. 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝑐𝑜𝑠 calculemos 𝐴𝐵 e 𝐴𝑃 e as respetivas normas 𝐴𝐵 4, 0, 0 0, 0, 4, 0, 𝐴𝑃 4, 𝑦, 0 0, 0, 4, 𝑦, 𝐴𝐵 𝐴𝑃 4 + 𝑦 𝑦. Assim, vem que 𝐴𝐵. 𝐴𝑃 𝐴𝐵 𝐴𝑃 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4, 0,. 4, 𝑦, 𝑦

12 𝑦 𝑦 5 e elevando ambos os membros ao quadrado obtemos 𝑦 𝑦 5 60 𝑦 𝑦 ± 60 Como 𝑦 > 0 então 𝑦 60 e assim se conclui que a ordenada do ponto P é 60. ª resolução " Como B ( 4,0,0 ) e P ( 4, y, 0 ), com y > 0, o vetor BP tem coordenadas ( 0, y, 0 ). Assim, o " vetor BP é um vetor normal ao plano Oz, pelo que a reta BP é perpendicular a esse plano. Deste modo, BP é perpendicular a todas as retas do plano Oz, logo é perpendicular à reta AB Oz. Concluímos assim que o triângulo [ABP] é retângulo em B. Sabe-se que BÂP π, então através da trigonometria do triângulo retângulo tem-se: 𝜋 𝐵𝑃 𝑡𝑎𝑛 𝐴𝐵 " " y π Como AB 0 e BP y y, pois y > 0, então tg y 0 y 60 0 Daqui conclui-se que 𝑦 Como a reta 𝑟 é tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abcissa 𝑎 então 𝑚 𝑓 (𝑎). Assim, 𝑓 𝑥 cos 𝑥 𝑓 𝑥 sen 𝑥 e portanto 𝑚 𝑓 𝑎 𝑚 sen (𝑎). Além disso, sendo a reta 𝑠 tangente ao gráfico da função 𝑔 no ponto de abcissa 𝑎 + então 𝑚 𝑔 (𝑎 + ). Como 𝑔 𝑥 sen 𝑥 𝑔 𝑥 cos (𝑥) temos que 𝜋 𝜋 𝜋 𝑚 𝑔 (𝑎 + ) 𝑚 cos (𝑎 + ) 𝑚 cos 𝑎 + 𝑚 sen 𝑎 6 6 Como as retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares então

13 m sen a m sen a 9 sen a sen a 9 sen a ± 9 sen a ± Como < a < π < a < então conclui-se que a ºQ pelo que sen a < 0. Logo, sen a, como pretendíamos demonstrar.