Matemática A. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1.

Transcrição

1 Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Dração do Teste: 90 mintos º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de março Na sa folha de respostas, indiqe de forma legível a versão do teste. TI de Matemática A Versão 1 Página 1/ 8

2 Formlário Geometria Comprimento de m arco de circnferência: ar^a-amplitde, em radianos, do ângloaocentro; r-raioh Áreas de figras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altra Probabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh 1 1 n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0997, Polígono reglar: Semiperímetro # Apótema Sector circlar: ar ^a -amplitde, em radianos, do ângloaocentro; r-raioh Áreas de sperfícies Área lateral de m cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de ma sperfície esférica: 4rr ] r - raiog Volmes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altra Cone: 1 # Áreadabase # Altra 4 Esfera: rr ] r- raiog Regras de derivação ^+ vhl = l + vl ^vhl= v l + vl l v l = - vl ` v j v ^ n n 1 hl n - = l ^n! Rh ^senhl = l cos ^coshl =-l sen ^tg hl = l cos ^ e hl = l e ^ a hl = l a ln a ^a! R ^ln hl l = log a l l ^ h = ln a + ^a! R + " 1, h " 1, h Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Limites notáveis limb1 + 1 l = e n lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + lim " + e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ ^n! Nh ^p! Rh TI de Matemática A Versão 1 Página / 8

3 GRUP I s cinco itens deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são indicadas qatro opções, das qais só ma está correta. Escreva na sa folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção qe selecionar para responder a esse item. Não apresente cálclos, nem jstificações. Se apresentar mais do qe ma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Seja a m número real maior do qe 1 e seja b = a r Qal é o valor, arredondado às nidades, de log ^a b h? a (A) 18 (B) 6 (C) 18 (D) 770. Seja f ma fnção de domínio +, contína em todo o se domínio. Sabe-se qe: lim f^h= " 0 + a bissetriz dos qadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f Em qal das opções segintes pode estar representado o gráfico da fnção 1? f (A) (B) (C) (D) TI de Matemática A Versão 1 Página / 8

4 . Relativamente a das fnções, f e g, sabe-se qe: têm domínio [, ] são fnções contínas f^h g^h> 0 e f^h g^h< 0 Qal das afirmações segintes é necessariamente verdadeira? (A) s gráficos de f e g intersectam-se em pelo menos m ponto. (B) A fnção f - g é crescente. (C) s gráficos de f e g não se intersectam. (D) A fnção f - g é decrescente. 4. Uma escola secndária tem alnos de ambos os seos em todos os anos de escolaridade. Escolhe-se, ao acaso, m alno dessa escola. Sejam A e B os acontecimentos: A: «alno é do seo feminino» B: «alno está no 1.º ano» Qal das epressões segintes designa o acontecimento «o alno é do seo masclino e não está no 1.º ano»? (A) A+ B (B) A+ B (C) A, B (D) A, B 5. Na Figra 1, está representado, no plano compleo, o triânglo eqilátero [PQ ] de altra Im(z) Tal como a figra sgere, o vértice coincide com a origem do referencial, o vértice P pertence ao eio imaginário e o vértice Q pertence ao.º qadrante. Seja z o número compleo cja imagem geométrica é o ponto Q Q Re(z) Qal é a representação trigonométrica do número compleo z? P (A) cis 7r 6 Figra 1 (B) cis 4r (C) cis 7r 6 (D) cis 4r TI de Matemática A Versão 1 Página 4/ 8

5 GRUP II Nas respostas aos itens deste grpo, apresente todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações necessárias. Atenção: qando, para m resltado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Seja C o conjnto dos números compleos; i designa a nidade imaginária. Para m certo número inteiro k, a epressão Determine esse número k ` ij r cis k+ i 4 designa m número real.. Uma caia, qe designaremos por caia 1, tem ma bola branca e das bolas pretas..1. Considere a eperiência qe consiste em tirar, ao acaso, ma bola da caia 1, observar a sa cor e voltar a colocar a bola na caia. Efeta-se esta eperiência cinco vezes. Qal é a probabilidade de sair bola preta pelo menos qatro vezes?.. tra caia, qe designaremos por caia, tem três bolas brancas e qatro bolas pretas. Realiza-se a seginte eperiência: ao acaso, tiram-se das bolas da caia 1 e colocam-se na caia ; em segida, tiram-se simltaneamente das bolas da caia. Sejam A e B os acontecimentos: A: «As bolas retiradas da caia 1 são da mesma cor» B: «As bolas retiradas da caia são da mesma cor» Determine o valor de PB ^ ; Ah, sem tilizar a fórmla da probabilidade condicionada. Nma peqena composição, jstifiqe a sa resposta. A sa composição deve contemplar: o significado de PB ^ ; Ah, no conteto da sitação descrita; a eplicação do conteúdo da caia após a realização do acontecimento A a eplicação do número de casos possíveis; a eplicação do número de casos favoráveis; a apresentação do valor da probabilidade pedida. TI de Matemática A Versão 1 Página 5/ 8

6 . Relativamente à Figra, sabe-se qe: o segmento de reta [AC ] tem comprimento 4 o ponto B é o ponto médio de [AC ] o segmento de reta [BD] é perpendiclar a [AC ] o arco de circnferência CD tem centro em B A D B Q P C Figra Admita qe m ponto P se desloca ao longo do arco CD, nnca coincidindo com C nem com D, e qe m ponto Q se desloca ao longo do segmento de reta [BC ] de tal forma qe [PQ] é sempre perpendiclar a [BC ] Para cada posição do ponto P, seja a amplitde, em radianos, do ânglo CBP e seja A() a área do triânglo [APQ] Resolva os dois itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos..1. Mostre qe A ^ h = sen+ sen^h! 0, r e E ; o.. Mostre qe eiste m valor de para o qal a área do triânglo [APQ] é máima. 4. De ma certa fnção f sabe-se qe: o se domínio 1, + 6 a sa derivada é dada por fl^h = ln^ 1h 4.1. Na Figra, estão representadas: parte do gráfico da fnção f A r f a reta r qe é tangente ao gráfico da fnção f no ponto A, de abcissa B s a reta s qe é tangente ao gráfico da fnção f no ponto B b As retas r e s são paralelas. Seja b a abcissa do ponto B Figra Determine, recorrendo à calcladora gráfica, o valor de b Na sa resposta, deve: eqacionar o problema; reprodzir e identificar o(s) gráfico(s) qe tiver necessidade de visalizar na calcladora para resolver graficamente a eqação; assinalar o ponto relevante para a resolção do problema; apresentar o valor de b arredondado às centésimas. TI de Matemática A Versão 1 Página 6/ 8

7 4.. Tal como a figra sgere, o gráfico da fnção f tem m ponto de infleão. Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 5. Seja f a fnção de domínio R definida por Z e e ] se < f^h = [ ] e + ln^ 1h se $ \ Averige se a fnção f é contína em = FIM TI de Matemática A Versão 1 Página 7/ 8

8 CTAÇÕES GRUP I pontos pontos pontos pontos pontos 50 pontos GRUP II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 150 pontos TTAL pontos TI de Matemática A Versão 1 Página 8/ 8