Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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1 Eame Final Nacional de Matemática A Prova 635.ª Fase Ensino Secundário 07.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 30 minutos. 0 Páginas VERSÃO Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação eterna são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coneos. A sua divulgação não suprime os direitos previstos na lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determinado na lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sendo epressamente vedada a sua eploração comercial. Prova 635.V/.ª F. Página / 0

2 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: aa- r^ amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r-raioh Área de um polígono regular: Semipermetro í # Aptema ó Área de um sector circular: ar ^a-amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r-raioh Probabilidades n= p f p nn v= p ] - ng f p ^ -nh nn SeXN é] nv,, gento: ã P] nv - X nv g. 0687, P] nv - X nv g , P] nv - 3 X nv 3g , Área lateral de um cone: rrgr ^- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de uma superfície esférica: Volume de uma pirâmide: Volume de um cone: Volume de uma esfera: Progressões 4rr ^r-raioh # Áreadabase # Altura 3 # Áreadabase # Altura rrr ^-raioh 3 Soma dos n primeiros termos de uma progressão _i: u n Progressão aritmética: uu n n # Progressão geométrica: u -r # - r Trigonometria n sen] ab = g senab cos senba cos cos] ab = g cosab cos-senab sen tga tgb tg] ab = g - tgab Compleos n ^ti cish= t n cis^nih ti cis = tcisb i kr l ] k!! 0,, n- e n! Ng n n n f ^uv = hl uv ll ^uvhl= l uvl u ll = uv-uvl ` j v v ^ n n uhl= nuun - l ^! Rh ^senuuu hl= lcos ^cosuhl=-ulsenu ^tguhl= ul cosu ^ u ehl= ule ^ u ahl u = ulalnaa ^! R ^lnuhl ul = u logu u a l l ^ h= ua ln Limites notáveis u = 3 ^a! R limb l = en ^! Nh n lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ h = " 0 lim ln = 0 " 3 lim " 3 e - = e p n ^p! Rh ", h ", h Prova 635.V/.ª F. Página / 0

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4 GRUPO I. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos e 34,,, 5 Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro? (A) 4 (B) 48 (C) 7 (D) 96. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. i 3 4 PX ^ = i h P X X# 3 Qual é o valor da probabilidade condicionada ^ h? (A) 4 3 (B) 4 (C) 9 8 (D) De uma função f, de domínio R, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se que lim = 4 " f ^ h f ^h Qual é o valor de f' ^h? (A) (B) (C) 4 (D) 4 Prova 635.V/.ª F. Página 4/ 0

5 4. Na Figura, está representado o gráfico de uma função f, de domínio 6, representada parte do gráfico de uma função g, de domínio R 6@, e, na Figura, está Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras. y y g f O O Figura Figura Quais são os zeros da função g % f? (o símbolo % designa a composição de funções) (A) 04 e (B) 5 e (C) 3 e (D) e 6 5. Seja f uma função de domínio R A tabela de variação de sinal da função f ', segunda derivada de f, é a seguinte '' f Seja g a função definida por g ^ h= f^ 5h Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baio? (A)@ 5, 6 5 (B)@, (C)@ 55, 6 (D), Prova 635.V/.ª F. Página 5/ 0

6 6. Seja z um número compleo de argumento Qual dos seguintes valores é um argumento do número compleo r 5 5iz? (A) 3r (B) 0 4r (C) 5 7r (D) 5 3r 0 7. Considere, num referencial o.n. Oy, a região definida pela condição Qual é o perímetro dessa região? ^ h ^y h# / y $ 0 (A) r (B) r (C) r (D) r 8. Seja _i u n a sucessão definida por un = cm Qual das afirmações seguintes é verdadeira? n (A) A sucessão _i u n é uma progressão geométrica de razão (B) A sucessão _i u n é uma progressão geométrica de razão (C) A sucessão _i u n é uma progressão aritmética de razão (D) A sucessão _i u n é uma progressão aritmética de razão Prova 635.V/.ª F. Página 6/ 0

7 GRUPO II. Em C, conjunto dos números compleos, sejam z e z tais que z= i e z# z= 43 i Considere a condição zz = zz Mostre que o número compleo cis r verifica esta condição e interprete geometricamente este facto. 4 Resolva este item sem recorrer à calculadora.. Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. Oyz, o cubo 6 ABCDEFGH@ Sabe-se que: a face 6 ABCD@ está contida no plano Oy a aresta 6@ CD está contida no eio Oy o ponto D tem coordenadas ^040,, h z F E G H o plano ACG é definido pela equação yz 60 = O D C y.. Verifique que o vértice A tem abcissa igual a A Figura 3 B.. Seja r a reta definida pela condição = y= z Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano ACG.3. Seja P o vértice de uma pirâmide regular de base 6 EFGH@ Sabe-se que: a cota do ponto P é superior a o volume da pirâmide é 4 Determine a amplitude do ângulo OGP Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. Prova 635.V/.ª F. Página 7/ 0

8 3. Uma escola secundária tem alunos de ambos os seos. 3.. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. Seja A o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja B o acontecimento «o aluno escolhido frequenta o 0.º ano». Sabe-se que: a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 0.º ano é 0,8 a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 0.º ano, sabendo que é rapariga, é 3 Determine P^h A 3.. Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de a 30 Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o? Apresente o resultado arredondado às milésimas. 4. Considere a função f, de domínio R, definida por f ^h= ln Resolva os itens 4.., 4.. e 4.3. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados. 4.. Resolva a inequação f ^hln Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais Para um certo número real k, a função g, de domínio um etremo relativo para = Determine esse número k R, definida por g ^h= k f ^ h, tem 5. Considere o desenvolvimento de csena cosa m, em que a!r e! 0 Determine os valores de a, pertencentes ao rr6,, para os quais o termo independente de, neste desenvolvimento, é igual a Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Prova 635.V/.ª F. Página 8/ 0

9 6. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim. A Figura 4 esquematiza a situação. O ponto P representa a posição da cadeira. haste muro P d(t) solo Figura 4 Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deia de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão. Admita que a distância, em decímetros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada por dt ^ h= * 30 tsen^rth se 0# t r $ 30 e t sen^ th se t (o argumento da função seno está epresso em radianos) 6.. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação dt = 7 intervalo 6@, 06, e interprete o resultado no conteto da situação descrita. ^h no Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema. 6.. Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na vertical e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4, dm Qual é o comprimento da haste? Apresente o resultado em decímetros, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. FIM Prova 635.V/.ª F. Página 9/ 0

10 COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em pontos) I. a pontos 40 II TOTAL 00 Prova 635.V/.ª F. Página 0/ 0

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16 Prova 635.ª Fase VERSÃO

17 Eame Final Nacional de Matemática A Prova 635.ª Fase Ensino Secundário 07.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Entrelinha,5, sem figuras Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 30 minutos. 3 Páginas VERSÃO Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página / 3

18 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: aa- r^ amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r- raioh Área de um polígono regular: Semipermetro í # Aptema ó Área de um sector circular: ar ^a-amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r-raioh Área lateral de um cone: rrgr ^- raio da base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ^r-raioh Volume de uma pirâmide: # Áreadabase # Altura 3 Volume de um cone: # Áreadabase # Altura 3 Volume de uma esfera: 4 3 rrr ^-raioh 3 Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão _i: u n Progressão aritmética: uu n n # Progressão geométrica: u -r # - r n Trigonometria sen] ab = g senab cos senba cos cos] ab = g cosab cos-senab sen tga tgb tg] ab = g - tgab Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página / 3

19 Compleos n ^ti cish= t n cis^nih ti cis = tcisb i kr l ] k!! 0,, n- e n! Ng n n n f Probabilidades n= p f p nn Limites notáveis limb l = en ^! Nh n lim sen = " 0 lim " 0 e - = lim ln ^ h = " 0 n v= p ] - ng f p ^ -nh nn lim ln " 3 = 0 SeXN é] nv,, g ento: ã P] nv - X nv g. 0687, lim " 3 e p = 3 ^p! Rh P] nv - X nv g , P] nv - 3 X nv 3g , Regras de derivação ^uv hl= uv ll ^uvhl= uv l uvl u ll = uv-uvl ` v j v ^ n uhl n = nuun - l ^! Rh ^senuuu hl= lcos ^cosuhl=-ulsenu ^tguhl= ul cosu ^ u ehl= ule u ^ u ahl u = ulalnaa ^! R ", h ^lnuhl ul = u logu u a l l ^ h= ua ln ^a! R ", h Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 3/ 3

20 GRUPO I. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 34,,, e 5 Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro? (A) 4 (B) 48 (C) 7 (D) 96 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 4/ 3

21 . A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. i 3 4 PX ^ = i h P X X# 3 Qual é o valor da probabilidade condicionada ^ h? (A) 4 3 (B) 4 (C) 9 8 (D) 9 5 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 5/ 3

22 3. De uma função f, de domínio R, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se que lim " f ^ h f ^h = 4 Qual é o valor de f' ^h? (A) (B) 4 (C) (D) 4 4. Considere a função f, de domínio 345,,,, objetos 4 e têm imagem ",, tal que os objetos e Seja g a função, de domínio R, definida por g ^h= 3, 5 têm imagem 0 e os Quais são os zeros da função g % f? (o símbolo % designa a composição de funções) (A) 3, e 5 (B) 4 e (C) 34, e 5 (D) 3 e Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 6/ 3

23 5. Seja f uma função de domínio R Da segunda derivada de f sabe-se que: é nula para = 0 é negativa no 3,06 é positiva no 0, 36 Seja g a função definida por g ^ h= f^ 5h Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem a concavidade voltada para baio? (A)@ 3,56 (B)@ 5, 6 3 (C)@, 5 36 (D)@ 3, Seja z um número compleo de argumento r 5 Qual dos seguintes valores é um argumento do número compleo 5iz? (A) 3r 0 (B) 4r 5 (C) 7r 5 (D) 3r 0 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 7/ 3

24 7. Considere, num referencial o.n. Oy, a região definida pela condição ^ h ^y h# / y $ 0 Qual é o perímetro dessa região? (A) r (B) r (C) r (D) r 8. Seja _i u n a sucessão definida por un = cm Qual das afirmações seguintes é verdadeira? n (A) A sucessão _i u n é uma progressão geométrica de razão (B) A sucessão _i u n é uma progressão geométrica de razão (C) A sucessão _i u n é uma progressão aritmética de razão (D) A sucessão _i u n é uma progressão aritmética de razão Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 8/ 3

25 GRUPO II. Em C, conjunto dos números compleos, sejam z e z tais que z= i e z# z= 43 i Considere a condição z z= z z Mostre que o número compleo cis r verifica esta condição e interprete geometricamente este facto. 4 Resolva este item sem recorrer à calculadora.. Considere, num referencial o.n. Oyz, o cubo 6 LMNOPQRS@ Sabe-se que: o vértice O é a origem do referencial; a aresta 6@ OL está contida no semieio positivo O a aresta 6@ ON está contida no semieio positivo Oy nenhuma das coordenadas do vértice R é nula; o plano LNR é definido pela equação = yz.. Verifique que o vértice L tem abcissa igual a.. Seja r a reta definida pela condição = y= z Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano LNR Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 9/ 3

26 .3. Seja V o vértice de uma pirâmide regular cuja base coincide com a face superior do cubo. Sabe-se que: a cota do ponto V é superior a o volume da pirâmide é 4 Determine a amplitude do ângulo ORV Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 3. Uma escola secundária tem alunos de ambos os seos. 3.. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. Seja A o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja B o acontecimento «o aluno escolhido frequenta o 0.º ano». Sabe-se que: a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 0.º ano é 0,8 a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 0.º ano, sabendo que é rapariga, é 3 Determine P^h A 3.. Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de a 30 Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o? Apresente o resultado arredondado às milésimas. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 0/ 3

27 4. Considere a função f, de domínio R, definida por f ^h= ln Resolva os itens 4.., 4.. e 4.3. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados. 4.. Resolva a inequação f ^hln Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais Para um certo número real k, a função g, de domínio um etremo relativo para = R, definida por g ^h= k f ^ h, tem Determine esse número k 5. Considere o desenvolvimento de csena cosa m, em que a!r e! 0 Determine os valores de a, pertencentes ao rr6,, para os quais o termo independente de, neste desenvolvimento, é igual a Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página / 3

28 6. Seja f a função, definida em R 0 por f ^ h= * 30 sen^rh se 0# 30 3e 35, sen^rh se $ (o argumento da função seno está epresso em radianos) 6.. Resolva, no intervalo 66, 0, a equação f ^h= Seja A o ponto do gráfico da função f de abcissa 3,5 Seja r a reta de equação y = 30 Seja B o ponto da reta r de abcissa 8,5 Os pontos A e B pertencem a uma circunferência cujo centro pertence à reta r Qual é o raio dessa circunferência? FIM Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página / 3

29 COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TOTAL pontos Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Página 3/ 3