Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 9/0, de 5 de julho Prova 65/Época Especial 4 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 06 Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação eterna são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coneos. A sua divulgação não suprime os direitos previstos na lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determinado na lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sendo epressamente vedada a sua eploração comercial. Prova 65/E. Especial Página / 4

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3 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 65/E. Especial Página / 4

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r -raioh Área de um polígono regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar ^a -amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r -raioh Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg , P] n- v X n+ vg. 0997, Área lateral de um cone: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de uma superfície esférica: 4rr ^r - raioh Volume de uma pirâmide: # Áreadabase # Altura Volume de um cone: # Áreadabase # Altura Volume de uma esfera: Progressões 4 rr ^r- raioh Soma dos n primeiros termos de uma progressão _ u n i: Progressão aritmética: u + u n n # Progressão geométrica: u r # - - r Trigonometria n sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ n n u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u ^tg uhl = ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + lim " + e - = ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh ", h ", h Prova 65/E. Especial Página 5/ 4

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7 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.. Considere, num referencial o.n. Oy, os pontos A^, h e B^4, h Qual das seguintes equações define uma reta paralela à reta AB? (A) y = (B) y = (C) y = (D) y =. Uma pessoa lança um dado cúbico, com as faces numeradas de a 6, e regista o número da face que ficou voltada para cima. Uma outra pessoa lança um dado com a forma de um tetraedro regular, com as faces numeradas de a 4, e regista o número da face que ficou voltada para baio. Admita que ambos os dados são equilibrados. Qual é a probabilidade de, pelo menos, uma dessas pessoas registar o número 4? (A) 8 (B) 8 5 (C) 5 (D) 7. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio e desvio padrão 0,5 Qual é o valor, arredondado às centésimas, de P^X 5, h? (A) 0,68 (B) 0,4 (C) 0, (D) 0,6 4. Sejam a e b dois números reais superiores a, tais que a = b Qual dos valores seguintes é igual a logab+ logba? (A) 4 (B) (C) 0 (D) Prova 65/E. Especial Página 7/ 4

8 5. Seja f a função, de domínio cujo gráfico está representado na Figura. Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras. Seja g a função, de domínio R +, definida por g^h= ln y O Quais são as soluções da equação ^f gh^ h = 0? (o símbolo % designa a composição de funções) % (A) ; e (B) e ; e e Figura (C) ; e (D) ; e e 6. Para um certo número real k, é contínua em R a função f definida por Qual é o valor de k? Z ] sen^ + h se Y= f^h = [ ] k + se = \ (A) 5 (B) 5 (C) (D) 5 7. Considere em C, conjunto dos números compleos, a condição 0 # argz# r / # Re z# 5 4 Esta condição define uma região no plano compleo. Qual dos seguintes números compleos tem a sua imagem geométrica nesta região? (A) + 4i (B) 6+ i (C) cis r 6 (D) cis 6 r Prova 65/E. Especial Página 8/ 4

9 8. Considere as sucessões convergentes a n a n ^ h e ^b n n h, de termos gerais = d + n n e bn = ln e n ^ h Sejam a e b os números reais tais que ^ h a = lim an e b= lim bn ^ h Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) a = e e b = 0 (B) a e = e b = 0 (C) a = e e b = (D) a e = e b = Prova 65/E. Especial Página 9/ 4

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11 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Em C, conjunto dos números compleos, seja z = i + i i Determine, sem recorrer à calculadora, os números compleos w tais que w = z Apresente os valores pedidos na forma trigonométrica.. Um saco contém n bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de a n, sendo n um número par maior do que.. Retiram-se, em simultâneo e ao acaso, três bolas do saco. Escreva uma epressão, em função de n, que dê a probabilidade de, dessas três bolas, duas terem número par e uma ter número ímpar. Não simplifique a epressão que escrever... Admita agora que n = 8 Ao acaso, etraem-se sucessivamente duas bolas do saco (primeiro uma e depois outra) e observa se o número de cada uma delas. Sejam A e B os acontecimentos: A : «A primeira bola etraída tem número par.» B : «A segunda bola etraída tem número par.» Determine o valor de P^A+ Bh no caso em que a etração é feita com reposição e no caso em que a etração é feita sem reposição. Justifique a sua resposta, tendo em conta que P^A+ Bh= P^Ah# P^BAh Na sua resposta: interprete o significado de P^A+ Bh, no conteto da situação descrita; indique o valor de P^BAh, no caso de a etração ser feita com reposição; indique o valor de P^BAh, no caso de a etração ser feita sem reposição; apresente o valor de P^A+ Bh, em cada uma das situações (designe esse valor por a no caso de a etração ser feita com reposição e por b no caso de a etração ser feita sem reposição). Prova 65/E. Especial Página / 4

12 . Na Figura, está representado, num referencial o.n. Oyz, o prisma quadrangular regular 6 OABCDEFG@ Sabe-se que: os pontos C, A ee pertencem aos eios coordenados O, Oy eoz, respetivamente; z E D F G o ponto A tem coordenadas ^00,, h o plano OFB é definido pela equação + y z = 0.. Determine uma equação do plano paralelo ao plano OFB que passa no ponto D C O A B y.. Defina a reta OB por uma condição cartesiana. Figura.. Seja P o ponto de cota igual a que pertence à aresta 6 BG@ Seja R o simétrico do ponto P relativamente à origem. Determine a amplitude do ângulo RAP Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 4. Seja f r a função, de domínio F, + <, definida por Z ] + cos se r 0 f^h = [ 4 ] ln ^e + h se $ 0 \ Resolva os itens 4.. e 4.. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Determine lim 8f^h B " + Interprete o valor obtido em termos de assíntotas do gráfico de f 4.. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades e quanto à eistência de pontos de infleão r do seu gráfico, no intervalo F, 0 < Na sua resposta, indique: o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baio; o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de infleão do gráfico de f Prova 65/E. Especial Página / 4

13 4.. Na Figura, estão representados: parte do gráfico da função f y t um ponto A, pertencente ao gráfico de f, de abcissa a a reta t, tangente ao gráfico da função f no ponto A A f Sabe-se que: a!@ 0, 6 a reta t tem declive igual a, Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A O a Figura Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, que lhe permite(m) resolver a equação; apresente a abcissa do ponto A arredondada às centésimas. 5. O movimento de uma nave espacial é um movimento de propulsão provocado pela libertação de gases resultantes da queima e eplosão de combustível. Um certo tipo de nave tem por função o transporte de carga destinada ao abastecimento de uma estação espacial. Designemos por a massa, em milhares de toneladas, da carga transportada por uma nave desse tipo e por V a velocidade, em quilómetro por segundo, que essa mesma nave atinge no instante em que termina a queima do combustível. Considere que V é dada, em função de, por V ln + 00 ^ h = d ^ n $ h Nos itens 5.. e 5.., a calculadora só pode ser utilizada em cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais. 5.. Admita que uma nave do tipo referido transporta uma carga de 5 mil toneladas. Determine quanto tempo demora essa nave a percorrer 00 quilómetros a partir do instante em que termina a queima do combustível, sabendo que a velocidade da nave se mantém constante a partir desse instante. Apresente o resultado em segundos, arredondado às unidades. 5.. Determine qual deve ser a massa da carga transportada por uma dessas naves, de modo que atinja, após a queima da totalidade do combustível, uma velocidade de quilómetros por segundo. Apresente o resultado em milhares de toneladas, arredondado às unidades. Prova 65/E. Especial Página / 4

14 6. Seja k um número real positivo. Considere a função g, de k, + 6, definida por g ^ h = ln ^ + kh Mostre que: se g ^ 0 h# g ^ k h 0, então k! E, ; Na resolução deste item, não utilize a calculadora. FIM COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em pontos) I. a pontos 40 II TOTAL 00 Prova 65/E. Especial Página 4/ 4