VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. Braille. Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n.º 19/01, de 5 de jlho Prova Escrita de Matemática A 1.º Ano de Escolaridade Prova 65/1.ª Fase 11 Páginas Braille Dração da Prova: 150 mintos. Tolerância: 0 mintos. 01 VERSÃO 1 Prova 65.V1/1.ª F. Página 1/ 11

2 Na folha de respostas, indiqe de forma legível a versão da prova (Versão 1 o Versão ). A asência dessa indicação implica a classificação com zero pontos de todas as respostas aos itens de escolha múltipla. Utilize a calcladora sempre qe for necessário. Em caso de engano, deve riscar de forma ineqívoca aqilo qe pretende qe não seja classificado. Escreva de forma legível a nmeração dos grpos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis o qe não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lgar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra qe identifica a única opção escolhida. Não apresente cálclos, nem jstificações. A prova incli m Formlário qe se encontra em aneo. As cotações dos itens encontram-se no final do ennciado da prova. Prova 65.V1/1.ª F. Página / 11

3 GRUPO I Na resposta a cada m dos itens deste grpo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra qe identifica a única opção escolhida. Não apresente cálclos, nem jstificações. 1. Nm grpo de nove pessoas, constitído por seis homens e três mlheres, vão ser escolhidos três elementos para formarem ma comissão. Qantas comissões diferentes se podem formar com eatamente das mlheres? a) C b) 6 C c) 9 A d) 6 A. Considere ma variável aleatória X, tal qe os ses valores Xi! " 01,,,, a e b são números reais; PX ( = 0) = a PX ( = 1) = a PX ( = ) = PX ( = ) = b PX ( > 1) = PX ( < ) Qal é o valor médio da variável aleatória X? a) b) 7 5 c) 17 9 d) 19 1 Prova 65.V1/1.ª F. Página / 11

4 . Considere ma variável aleatória X com distribição normal de valor médio 11 e desvio padrão v Sabe-se qe v é m número natral e qe P^X > h. 0, 075 Qal é o valor de v? a) 1 b) 11 c) 6 d) 4 4. Seja f a fnção, de domínio R \" 0,, definida por Considere a scessão de números reais Qal é o valor de lim f^ n h? a) -1 b) 0 c) 1 d) + n ^ h tal qe sen^ h f^h = n = 1 n 5. Seja f ma fnção de domínio R + Sabe-se qe lim ln + f^h " + = 1 Qal das eqações segintes pode definir ma assíntota do gráfico da fnção f? a) y = 1 b) y = c) y = d) y = Prova 65.V1/1.ª F. Página 4/ 11

5 6. Considere, para m certo número real a sperior a 1, as fnções f e g, de domínio R, definidas por f^h= a e g^h= a Considere as afirmações segintes. III) Os gráficos das fnções f e g não se intersectam. III) As fnções f e g são monótonas crescentes. III) fl^ 1h gl^1h = ln a a Qal das opções segintes é a correta? a) II e III são verdadeiras. b) I é falsa e III é verdadeira. c) I é verdadeira e III é falsa. d) II e III são falsas. 7. Considere, no plano compleo, as imagens geométricas de qatro números compleos: w 1, w, w e w 4 a imagem geométrica de w 1 está no 1.º qadrante; a imagem geométrica de w está no.º qadrante; a imagem geométrica de w está no.º qadrante; a imagem geométrica de w 4 está no 4.º qadrante. Qal é o número compleo qe, com n! N, pode ser igal a i8n i8n 1+ i8n? a) w 1 b) w c) w d) w 4 Prova 65.V1/1.ª F. Página 5/ 11

6 8. Em C, conjnto dos números compleos, considere z = 8+ 6i e w = i z z Seja a m argmento do número compleo z Qal das opções segintes é verdadeira? a) w = 10cisca r m b) w = cis a r c m c) w = 10cisca r m d) w = cis a r c m GRUPO II Na resposta a cada m dos itens deste grpo, apresente todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações necessárias. Atenção: qando, para m resltado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Em, conjnto dos números compleos, considere z cis 1 = + r e z = 1 + i Sabe-se qe z1 é ma raiz qarta de m certo número compleo w z Determine w na forma algébrica, sem tilizar a calcladora. 1.. Seja z = cis a Determine o valor de a pertencente ao -r6, sabendo qe z + z é m número real. Prova 65.V1/1.ª F. Página 6/ 11

7 . Uma caia contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistingíveis ao tato. Todas as bolas estão nmeradas com m único número natral. das bolas em cada cinco são pretas; 0% das bolas pretas têm m número par; 40% das bolas brancas têm m número ímpar..1. Retira-se, ao acaso, ma bola dessa caia. Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo qe tem m número par. Apresente o resltado na forma de fração irredtível... Admita agora qe a caia tem n bolas. Etraem-se, ao acaso, scessivamente e sem reposição, das bolas da caia. Determine n, sabendo qe a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igal a 7 0. Seja W o espaço de resltados associado a ma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). PB ] g= 1 4 PA ], Bg= P^A ; Bh= 7 1 Determine PA ] g Prova 65.V1/1.ª F. Página 7/ 11

8 4. Considere a fnção f, de domínio R \" 0,, definida por Z ] e - 1 ] e4-1 f^h = [ ] ln^h \ se < 0 se > 0 Resolva os itens 4.1. e 4.., recorrendo a métodos analíticos, sem tilizar a calcladora Estde a fnção f qanto à eistência de assíntotas verticais do se gráfico. 4.. Seja g a fnção, de domínio R +, definida por g ^ h= f^h + ln Estde a fnção g qanto à monotonia e qanto à eistência de etremos relativos 0, e@ 4.. Considere, nm referencial o.n. Oy, o triânglo [OAB] A é o ponto de intersecção do gráfico da fnção f com a bissetriz dos qadrantes ímpares, 0, + 6 B é o ponto de coordenadas (e, 0) Determine a área do triânglo [OAB] Prova 65.V1/1.ª F. Página 8/ 11

9 5. Considere as fnções f e g, de domínio f é ma fnção polinominal de gra e 1 são zeros da fnção f f ^0h= a segnda derivada, gll, de ma certa fnção g tem domínio e é definida por gll^h f^h e Apenas ma das opções segintes está correta. = III) A concavidade do gráfico da fnção g está sempre voltada para cima. III) A fnção g tem m ponto de infleão de abcissa 1 III) gl, primeira derivada de g, é crescente no 6 Elabore ma composição na qal: indiqe a opção qe está correta; apresente as razões qe o levam a rejeitar as restantes opções. Apresente das razões diferentes, ma por cada opção rejeitada. 6. Considere a fnção g, de domínio Seja a m número real do domínio de g r E -,0 ;, definida por g () = sen^h cos A reta tangente ao gráfico da fnção g no ponto de abcissa a é paralela à reta de eqação y Determine o valor de a, recorrendo a métodos analíticos, sem tilizar a calcladora. = Considere, para m certo número real a positivo, ma fnção f, contína, de domínio 6 -a, a@ Sabe-se qe f^ ah = f^ah e f^ah> f ^0h Mostre qe a condição f^h = f^+ ah tem, pelo menos, ma solção FIM Prova 65.V1/1.ª F. Página 9/ 11

10 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TOTAL pontos Prova 65.V1/1.ª F. Página 10/ 11

11 Formlário Geometria Comprimento de m arco de circnferência: ar^a-amplitde, em radianos, do ângloaocentro; r-raioh Áreas de figras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altra Polígono reglar: Semiperímetro # Apótema Sector circlar: ar ^a -amplitde, em radianos, do ângloaocentro; r-raioh Áreas de sperfícies Área lateral de m cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de ma sperfície esférica: 4rr ] r - raiog Volmes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altra Cone: 1 # Áreadabase # Altra 4 Esfera: rr ] r- raiog Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Probabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh 1 1 ^ e hl = l e ^ a hl = l a ln a ^a! R ^ln hl l = log a l l ^ h = ln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0997, Regras de derivação ^+ vhl = l + vl ^vhl= v l + vl l v l = - vl ` v j v ^ n n 1 hl n - = l ^n! Rh ^senhl = l cos ^cos hl =-l sen ^tg hl = l cos Limites notáveis limb1 + 1 l = e n lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + lim " + e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^p! Rh " 1, h " 1, h Prova 65.V1/1.ª F. Página 11/ 11