VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/2.ª Fase EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 9/0, de 5 de julho Prova 65/.ª Fase 4 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 05 VERSÃO Prova 65.V/.ª F. Página / 4

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3 Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis e, a seguir, passados a tinta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 65.V/.ª F. Página / 4

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a- amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Área de um polígono regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar ^a - amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg , P] n- v X n+ vg. 0997, Área lateral de um cone: r rg^r - raioda base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volume da pirâmide: # Áreadabase # Altura Volume do cone: # Áreadabase # Altura 4 Volume da esfera: rr ] r- raiog Progressões Soma dos n primeiros termos de uma progressão _ u n i: Progressão aritmética: u + u n n # Progressão geométrica: u r # - - r Trigonometria n sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ n n u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u ^tg uhl = ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + lim " + e - = ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh ", h ", h Prova 65.V/.ª F. Página 5/ 4

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7 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.. A tabela de distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X é i P( X = i ) a a 0,4 (a designa um número real) Qual é o valor médio desta variável aleatória? (A), (B), (C), (D),4. Um saco contém nove bolas indistinguíveis ao tato, numeradas de a 9. As bolas numeradas de a 5 são pretas e as restantes são brancas. Retira-se, ao acaso, uma bola do saco e observa-se a sua cor e o seu número. Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta eperiência aleatória: A : «a bola retirada é preta» B : «o número da bola retirada é um número par» Qual é o valor da probabilidade condicionada P^A Bh? (A) 5 (B) (C) 5 (D) 4. Para certos valores de a e de b ^a e bh, tem-se log a Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log a ^a bh? b = (A) (B) 5 (C) (D) 5 Prova 65.V/.ª F. Página 7/ 4

8 4. Para um certo número real k, é contínua em R a função f definida por Z + e+ k se # 0 ] f^h = [ ] + ln ] + g se 0 \ Qual é o valor de k? (A) 0 (B) (C) ln (D) ln 5. Seja f a função, de domínio R, definida por f = sen ^ h ^h Qual das epressões seguintes define a função f ll, segunda derivada de f? (A) (B) 6sen^hcos ^h 6sen^hcos ^h (C) 6cos ^h (D) 6sen^h 6. Na Figura, está representado, no plano compleo, um triângulo equilátero 5 OAB? Sabe-se que: o ponto O é a origem do referencial; o ponto A pertence ao eio real e tem abcissa igual a o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a imagem geométrica de um compleo z Im(z) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) z = cis r 6 Re(z) (B) (C) (D) z = cis r 6 z = cis 5r z = cis 5r Figura Prova 65.V/.ª F. Página 8/ 4

9 7. Considere, num referencial o.n. Oy, a circunferência definida pela equação + ^y h = Esta circunferência intersecta o eio O em dois pontos. Destes pontos, seja A o que tem abcissa positiva. Seja r a reta tangente à circunferência no ponto A Qual é a equação reduzida da reta r? (A) y = + (B) y = (C) y (D) y = + = 8. Qual das epressões seguintes é termo geral de uma sucessão monótona e limitada? (A) (B) (C) (D) ^ h n ^ h n. n n + n Prova 65.V/.ª F. Página 9/ 4

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11 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Em C, conjunto dos números compleos, seja z = + i cis r Determine os números compleos z que são solução da equação z Apresente esses números na forma trigonométrica. 4 = z, sem utilizar a calculadora.. Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica eercida por uma mola. A Figura esquematiza esta situação. Nesta figura, os pontos O e A são pontos fios. O ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA o O A P Figura Admita que não eiste qualquer resistência ao movimento. Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por d] tg = + sen rt + r c m 6 A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo ^t! 60, + 6 h. Resolva os itens.. e.. sem recorrer à calculadora... No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do que uma vez. Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu. Apresente os valores eatos das soluções, em segundos... Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a, metros. Prova 65.V/.ª F. Página / 4

12 . Seja f a função, de domínio R, definida por + e se # f^h = * ln ] g ln ^h se Resolva os itens..,.. e.., recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora... Estude a função f quanto à eistência de assíntotas horizontais do seu gráfico... Resolva, a condição f^h Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais... Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 4 4. Seja f : R " R uma função tal que: f tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio; f l] 0g 0 fll^h 0, para 06 Nenhum dos gráficos a seguir apresentados é o gráfico da função f Gráfico A Gráfico B Gráfico C y y y O Elabore uma composição na qual apresente, para cada um dos gráficos, uma razão pela qual esse gráfico não pode ser o gráfico da função f 5. Seja X, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos _ A X e B Xi, com P^Ah! 0 Prove que P^A, Bh + P^Bh= P^Ah# P^BAh Prova 65.V/.ª F. Página / 4

13 6. Na Figura, está representado, num referencial o.n. Oyz, o poliedro 6 NOPQRSTUV@ que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: o vértice P pertence ao eio O o vértice N pertence ao eio Oy o vértice T pertence ao eio Oz o vértice R tem coordenadas ^,, h o plano PQV é definido pela equação 6 + z = Determine as coordenadas do ponto V 6.. Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto P e é perpendicular à reta OR 6.. Seja A um ponto pertencente ao plano QRS Sabe-se que: o ponto A tem cota igual ao cubo da abcissa; os vetores OA e TQ são perpendiculares. Figura Determine a abcissa do ponto A, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver a equação, devidamente identificado(s) (sugere-se a utilização da janela de visualização em que! 6 e y! 6 apresente a abcissa do ponto A arredondada às centésimas Dispõe-se de sete cores diferentes, das quais uma é branca e outra é azul, para colorir as nove faces do poliedro 6 NOPQRSTUV@. Cada face vai ser colorida com uma única cor. Considere a eperiência aleatória que consiste em colorir, ao acaso, as nove faces do poliedro, podendo cada face ser colorida por qualquer uma das sete cores. Determine a probabilidade de, no final da eperiência, o poliedro ficar com eatamente duas faces brancas, ambas triangulares, eatamente duas faces azuis, ambas quadradas, e as restantes faces coloridas com cores todas diferentes. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima. FIM Prova 65.V/.ª F. Página / 4

14 COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TOTAL pontos Prova 65.V/.ª F. Página 4/ 4