VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A 1.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Prova 635/1.ª Fase 16 Páginas Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. 014 VERSÃO 1 Prova 635.V1/1.ª F. Página 1/ 16

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3 Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem construções, desenhos ou outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, e, a seguir, passados a tinta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 635.V1/1.ª F. Página 3/ 16

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5 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a- amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Base menor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a - amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r- raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r - raioda base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura 3 Cone: 1 # Áreadabase # Altura Esfera: rr ] r- raiog 3 Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- 1+ e n! Ng n n n f Probabilidades n = p 1 1+ f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^tg uhl = 1 1 ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v 1 X 1 n+ vg. 0, 687 P] n- v 1 X 1 n+ vg , P] n- 3v 1 X 1 n+ 3vg , Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ n n 1 u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u Limites notáveis limb1 + 1 l = e n u lim sen = 1 " 0 lim " 0 lim ln ^ + 1h = 1 " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - 1 = 1 ln = 0 e p n =+ 3 + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh " 1, h " 1, h Prova 635.V1/1.ª F. Página 5/ 16

6 GRUPO I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 1. Seja W, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: PA ] g= 0, 4 PA ] + Bg= 0, P`B ; A j= 08, Qual é o valor de P(B)? (A) 0,8 (B) 0,5 (C) 0,68 (D) 0,80. Considere todos os números naturais de dez algarismos que se podem escrever com os algarismos de 1 a 9 Quantos desses números têm eatamente seis algarismos? (A) 10 C (B) 10 C 6 8 A 4 (C) 10 A 6 8 A 4 (D) 10 A Prova 635.V1/1.ª F. Página 6/ 16

7 3. Seja f a função, de domínio R +, definida por f^h= e 3 1 Considere a sucessão de números reais Qual é o valor de lim f ^ n h? n ^ h tal que n = 1 n (A) -3 (B) -e (C) 0 (D) Considere, para um certo número real k, a função f, de domínio R, definida por f^h= ke + O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no 0,16 A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k? (A) e, 1 E- - e ; (B) 1 E-,0 e ; (C) E 0, 1 e ; (D) E 1, 1 e ; Prova 635.V1/1.ª F. Página 7/ 16

8 5. Considere, para um certo número real a positivo, a função f, de domínio f^h = a + ln a c m + R, definida por Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f l, primeira derivada da função f? (A) (B) y y O O (C) y (D) y O O 6. Considere, num referencial o.n. Oyz, o plano a, definido por 4 z+ 1= 0 Seja r uma reta perpendicular ao plano a Qual das condições seguintes pode definir a reta r? (A) 4 = y / z = 1 (B) = 4/ z = 1 (C) 3 = z / y = 0 4 (D) 3 = z/ y = 1 4 Prova 635.V1/1.ª F. Página 8/ 16

9 7. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. Oy, uma circunferência de centro O e raio 1 B y a D C O A Figura 1 Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto A tem coordenadas ^10, h os pontos B e C têm a mesma abcissa; o ponto C tem ordenada zero; o ponto D tem coordenadas ^-3, 0h a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com a! E r, r ; Qual das epressões seguintes representa, em função de a, a área do triângulo [ BCD ]? (A) 1 ^-3 -senahcos a (B) 1 ^ 3 + senahcos a (C) 1 ^ 3 + cos a h sen a (D) 1 ^ 3 - cos a h sen a Prova 635.V1/1.ª F. Página 9/ 16

10 8. Na Figura, está representado, no plano compleo, um polígono regular [ABCDEF ] C Im(z) B D O A Re(z) E F Figura Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número compleo z O vértice C tem coordenadas ^-, h Qual dos números compleos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E? (A) cis 13 c r m 1 (B) 4 cis 13 c r m 1 (C) cis 17 c r m 1 (D) 4 cis 17 c r m 1 Prova 635.V1/1.ª F. Página 10/ 16

11 GRUPO II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. 1. Seja o conjunto dos números compleos Considere z1 = ^ i 3 ih e z = cis a, com a! 60, r6 Determine os valores de a, de modo que z1 ^zh seja um número imaginário puro, sem utilizar a calculadora. 1.. Seja z um número compleo tal que 1+ z + 1 z # 10 Mostre que z #. Uma caia tem nove bolas distinguíveis apenas pela cor: seis pretas, duas brancas e uma amarela..1. Considere a eperiência aleatória que consiste em retirar dessa caia, simultaneamente e ao acaso, três bolas. Determine a probabilidade de as bolas retiradas não terem todas a mesma cor. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Considere a caia com a sua composição inicial. Considere agora a eperiência aleatória que consiste em retirar dessa caia uma bola de cada vez, ao acaso e sem reposição, até ser retirada uma bola preta. Seja X a variável aleatória «número de bolas retiradas dessa caia». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável X Apresente as probabilidades na forma de fração. Prova 635.V1/1.ª F. Página 11/ 16

12 3. Na Figura 3, está representada uma planificação de um dado tetraédrico equilibrado, com as faces numeradas com os números -1, 1, e Figura 3 Considere a eperiência aleatória que consiste em lançar esse dado duas vezes consecutivas e registar, após cada lançamento, o número inscrito na face voltada para baio. Sejam A e B os acontecimentos seguintes. A: «o número registado no primeiro lançamento é negativo» B: «o produto dos números registados nos dois lançamentos é positivo» Elabore uma composição, na qual indique o valor de P^A ; Bh, sem aplicar a fórmula da probabilidade condicionada. Na sua resposta, eplique o significado de P^A ; Bh no conteto da situação descrita, eplique o número de casos possíveis, eplique o número de casos favoráveis e apresente o valor de P^A ; Bh Prova 635.V1/1.ª F. Página 1/ 16

13 4. Na Figura 4, está representado, num referencial o.n. Oyz, o cubo [OABCDEFG], de aresta 3 z G D F H E C O y B A Figura 4 Sabe-se que: o ponto A pertence ao semieio positivo O o ponto C pertence ao semieio negativo Oy o ponto D pertence ao semieio positivo Oz o ponto H tem coordenadas (3, -, 3) Seja a a amplitude, em radianos, do ângulo AHC Determine o valor eato de sen a, sem utilizar a calculadora. Prova 635.V1/1.ª F. Página 13/ 16

14 5. Considere a função f, de domínio R, definida por Z e se 1 4 ] 4 f^h = [ ln ^e e4 ] h se $ 4 \ Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora Averigue se a função f é contínua em = O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando tende para + 3, de equação y = + b, com b! R Determine b 6. Seja f uma função cuja derivada f l, de domínio R, é dada por fl^h = sen^h 6.1. Determine o valor de lim " r f^h - f r c m - r 6.. Estude o gráfico da função f, quanto ao sentido das concavidades e quanto à eistência de pontos de infleão em r, r E - 4 ;, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima, o(s) intervalo(s) onde o gráfico da função f tem concavidade voltada para baio e, caso eistam, as abcissas dos pontos de infleão do gráfico da função f Prova 635.V1/1.ª F. Página 14/ 16

15 7. Considere a função f, de e, + 36, defi nida por f^h = ln^ + e h Na Figura 5, estão representados, num referencial o. n. Oy, parte do gráfi co da função f e o triângulo [ABC ] f y B C O A Figura 5 Sabe-se que: o ponto A tem coordenadas (0, -) o ponto B pertence ao gráfi co da função f e tem abcissa negativa; o ponto C pertence ao eio Oy e tem ordenada igual à do ponto B a área do triângulo [ABC ] é igual a 8 Determine a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfi ca. Na sua resposta, deve: escrever uma epressão da área do triângulo [ABC ] em função da abcissa do ponto B equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o gráfi co da função ou os gráfi cos das funções visualizados, devidamente identifi cados; indicar a abcissa do ponto B com arredondamento às centésimas. FIM Prova 635.V1/1.ª F. Página 15/ 16

16 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 pontos) pontos 40 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 160 pontos TOTAL pontos Prova 635.V1/1.ª F. Página 16/ 16