Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica.

Transcrição

1 Eame Fial Nacioal de Matemática A Prova 635.ª Fase Esio Secudário 07.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 39/0, de 5 de julho Etreliha,5, sem figuras Duração da Prova: 50 miutos. Tolerâcia: 30 miutos. 3 Págias VERSÃO Idique de forma legível a versão da prova. Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, trasferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretede que ão seja classificado. Para cada resposta, idetifique o grupo e o item. Apresete as suas respostas de forma legível. Apresete apeas uma resposta para cada item. A prova iclui um formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia / 3

2 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar^a-amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r - raioh Área de um polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar ^a -amplitude, emradiaos, doâgulo ao cetro; r -raioh Área lateral de um coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ^r - raioh Volume de uma pirâmide: # Áreadabase # Altura 3 Volume de um coe: # Áreadabase # Altura 3 Volume de uma esfera: 4 3 rr ^r- raioh 3 Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão _ u i: Progressão aritmética: u + u # Progressão geométrica: u r # - - r Trigoometria se] a+ bg= sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sea seb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia / 3

3 Compleos Limites otáveis ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, - + e! Ng f limb + l = e lim se = " 0 ^! Nh Probabilidades = p+ f + p lim " 0 e - = lim l ^ + h = " 0 v = p ] - g + f + p ^ - h lim " + 3 l = 0 Se X é N] v, g, etão: P] - v X + vg. 0687, lim " + 3 e p = + 3 ^p! Rh P] - v X + vg , P] - 3v X + 3vg. 0, 9973 Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl = uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ u hl u - = ul ^! Rh ^seuhl = ul cos u ^cosuhl =-ul se u ^tg uhl = ul cos u ^ u e hl = ul e u ^ u a hl u = ul a l a ^a! R + ", h ^l uhl = ul u log u au l l ^ h = ul a ^a! R + ", h Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 3/ 3

4 GRUPO I. Cosidere todos os úmeros aturais de cico algarismos diferetes que se podem formar com os algarismos 34,,, e 5 Destes úmeros, quatos têm os algarismos pares um a seguir ao outro? (A) 4 (B) 48 (C) 7 (D) 96 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 4/ 3

5 . A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguite. i P^X = i h Qual é o valor da probabilidade codicioada P^X X # 3h? (A) 4 3 (B) 4 (C) 9 8 (D) 9 5 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 5/ 3

6 3. De uma fução f, de domíio R, com derivada fiita em todos os potos do seu domíio, sabe-se que lim " f ^ h f ^h = 4 Qual é o valor de f ' ^h? (A) (B) 4 (C) (D) 4 4. Cosidere a fução f, de domíio " 345,,,,,, tal que os objetos 3, e 5 têm imagem 0 e os objetos e 4 têm imagem Seja g a fução, de domíio R, defiida por g ^ h= Quais são os zeros da fução g % f? (o símbolo % desiga a composição de fuções) (A) 3, e 5 (B) e 4 (C) 34, e 5 (D) e 3 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 6/ 3

7 5. Seja f uma fução de domíio R Da seguda derivada de f sabe-se que: é ula para = 0 é egativa o 3,06 é positiva o 0, + 36 Seja g a fução defiida por g^h = f ^ 5h Em qual dos itervalos seguites o gráfico de g tem a cocavidade voltada para baio? 3,56 5, , , Seja z um úmero compleo de argumeto r 5 Qual dos seguites valores é um argumeto do úmero compleo 5iz? (A) 3r 0 (B) 4r 5 (C) 7r 5 (D) 3r 0 Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 7/ 3

8 7. Cosidere, um referecial o.. Oy, a região defiida pela codição ^ + h + ^y + h # / + y + $ 0 Qual é o perímetro dessa região? (A) r + (B) r + (C) r + (D) r + 8. Seja _ u i a sucessão defiida por u = c m Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) A sucessão _ u i é uma progressão geométrica de razão (B) A sucessão (C) A sucessão _ u i é uma progressão geométrica de razão _ u i é uma progressão aritmética de razão (D) A sucessão _ u i é uma progressão aritmética de razão Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 8/ 3

9 GRUPO II. Em C, cojuto dos úmeros compleos, sejam z e z tais que z = + i e z # z = 4 3i Cosidere a codição z z = z z Mostre que o úmero compleo cis r verifica esta codição e iterprete geometricamete este facto. 4 Resolva este item sem recorrer à calculadora.. Cosidere, um referecial o.. Oyz, o cubo 6 LMNOPQRS@ Sabe-se que: o vértice O é a origem do referecial; a aresta 6 OL@ está cotida o semieio positivo O a aresta 6 ON@ está cotida o semieio positivo Oy ehuma das coordeadas do vértice R é ula; o plao LNR é defiido pela equação + y z =.. Verifique que o vértice L tem abcissa igual a.. Seja r a reta defiida pela codição = y = z Determie as coordeadas do poto de itersecção da reta r com o plao LNR Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 9/ 3

10 .3. Seja V o vértice de uma pirâmide regular cuja base coicide com a face superior do cubo. Sabe-se que: a cota do poto V é superior a o volume da pirâmide é 4 Determie a amplitude do âgulo ORV Apresete o resultado em graus, arredodado às uidades. Se, em cálculos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, duas casas decimais. 3. Uma escola secudária tem aluos de ambos os seos. 3.. Escolhe-se, ao acaso, um aluo dessa escola. Seja A o acotecimeto «o aluo escolhido é rapariga», e seja B o acotecimeto «o aluo escolhido frequeta o 0.º ao». Sabe-se que: a probabilidade de o aluo escolhido ser rapaz ou ão frequetar o 0.º ao é 0,8 a probabilidade de o aluo escolhido frequetar o 0.º ao, sabedo que é rapariga, é 3 Determie P^Ah 3.. Uma das turmas dessa escola tem trita aluos, umerados de a 30 Com o objetivo de escolher quatro aluos dessa turma para formar uma comissão, itroduzem-se, um saco, trita cartões, idistiguíveis ao tato, umerados de a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaeamete e ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois meores úmeros saídos serem o 7 e o? Apresete o resultado arredodado às milésimas. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 0/ 3

11 4. Cosidere a fução f, de domíio + R, defiida por f^h= l Resolva os ites 4.., 4.. e 4.3. recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas do seu gráfico paralelas aos eios coordeados. 4.. Resolva a iequação f^h l Apresete o cojuto solução usado a otação de itervalos de úmeros reais Para um certo úmero real k, a fução g, de domíio um etremo relativo para = Determie esse úmero k + R, defiida por g ^ h= k + f^h, tem 5. Cosidere o desevolvimeto de csea + cosa m, em que a! R e! 0 Determie os valores de a, pertecetes ao r,r6, para os quais o termo idepedete de, este desevolvimeto, é igual a Resolva este item recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia / 3

12 6. Seja f a fução, defiida em + R 0 por 30 + se^r h se 0# f^h = * e 3, 5 se^r h se $ (o argumeto da fução seo está epresso em radiaos) 6.. Resolva, o itervalo 60, 6, a equação f^h= Seja A o poto do gráfico da fução f de abcissa 3,5 Seja r a reta de equação y = 30 Seja B o poto da reta r de abcissa 8,5 Os potos A e B pertecem a uma circuferêcia cujo cetro pertece à reta r Qual é o raio dessa circuferêcia? FIM Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia / 3

13 COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 potos) potos 40 potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos 60 potos TOTAL potos Prova 635.V/.ª F./El5-SFI Págia 3/ 3