Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Na folha de respostas, indique, de forma legível, a versão da prova.

Transcrição

1 EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 635/.ª Fase 3 Páginas Dração da Prova: 50 mintos. Tolerância: 30 mintos. 00 VERSÃ Na folha de respostas, indiqe, de forma legível, a versão da prova. A asência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grpo I. Prova 635.V Página / 3

2 Utilize apenas caneta o esferográfica de tinta indelével, azl o preta, ecepto nas respostas qe impliqem a elaboração de constrções, de desenhos o de otras representações, qe podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a segir, passados a tinta. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o transferidor e a calcladora gráfica, sempre qe for necessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma ineqívoca, aqilo qe pretende qe não seja classificado. Escreva, de forma legível, a nmeração dos grpos e dos itens, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis o qe não possam ser identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lgar. Prova 635.V Página / 3

3 Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra qe identifica a única opção correcta. Não apresente cálclos, nem jstificações. A prova incli, na página 4, m Formlário. As cotações dos itens encontram-se no final do ennciado da prova. Prova 635.V Página 3/ 3

4 Formlário Comprimento de m arco de circnferência α r (α amplitde, em radianos, do ânglo ao centro; r raio) Áreas de figras planas Losango: Trapézio: Altra Polígono reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m cone: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radianos, do ânglo ao centro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Cone: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigonometria Área da base Altra Área da base Altra sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b sen a. sen b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) n = ρ n cis (nθ ) n 3 Diagonal maior Diagonal menor Base maior + Base menor 3 α r tg a + tg b tg a. tg b θ+k π ρ cis θ= n ρ cis, k { 0,..., n } n Probabilidades µ = p p σ = p ( µ ) p ( µ ) lim + = e n sen lim = 0 e lim = 0 ln ( + ) lim = 0 ln lim = 0 + lim + e SeXéN( µσ, ), então: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ 3 σ < X < µ + 3σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v n n ( ) = n ( n R) (sen ) = cos (cos ) = sen (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a ln a ( a R \{} ) (ln ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) lna Limites notáveis p n n n n n =+ ( p R) Prova 635.V Página 4/ 3

5 GRUP I Na resposta a cada m dos itens deste grpo, seleccione a única opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra qe identifica a opção seleccionada. Não apresente cálclos, nem jstificações.. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe: P (A) = 30% ; P (A B) = 70% ; A e B são incompatíveis. Qal é o valor de P (B )? (A) % (B) 40% (C) 60% (D) 6%. Nm grpo de dez trabalhadores de ma fábrica, vão ser escolhidos três, ao acaso, para freqentarem ma acção de formação. Nesse grpo de dez trabalhadores, há três amigos, o João, o António e o Manel, qe gostariam de freqentar essa acção. Qal é a probabilidade de serem escolhidos, eactamente, os três amigos? 3 (A) (B) (C) (D) A 3 A 3 C C 3 3. A tabela de distribição de probabilidades de ma variável aleatória X é a seginte. i 0 3 P (X = i ) 5 a a Qal das igaldades segintes é verdadeira, considerando os valores da tabela? (A) P (X = 0) = P (X > ) (B) P (X = 0) = P (X = ) (C) P (X = 0) = P (X = 3) (D) P (X < ) = P (X = 3) Prova 635.V Página 5/ 3

6 4. Na Figra, está representada, nm referencial o.n., parte do gráfico de ma fnção afim f, de domínio R f Figra Seja h a fnção definida por h () = f () + e Em qal das opções segintes pode estar representada parte do gráfico da fnção h, segnda derivada de h? (A) (B) (C) (D) Prova 635.V Página 6/ 3

7 5. Na Figra, está representada, nm referencial o.n., parte do gráfico de ma fnção f, contína, de domínio ], [ Tal como a Figra sgere, a recta de eqação = é assimptota do gráfico de f Figra 3 Qal é o valor de lim? f ( ) (A) (B) 3 (C) 0 (D) + 6. Seja g a fnção, de domínio ], + [, definida por g () = ln( +) Considere, nm referencial o.n., m triânglo [AB ] tal qe: é a origem do referencial; A é m ponto de ordenada 5; B é o ponto de intersecção do gráfico da fnção g com o eio das abcissas. Qal é a área do triânglo [AB ]? 5 5 ln (A) (B) (C) (D) ln Prova 635.V Página 7/ 3

8 7. Em C, conjnto dos números compleos, considere z cis π =3 θ, com θ R 8 Para qal dos valores segintes de θ podemos afirmar qe z é m número imaginário pro? π π π (A) (B) (C) (D) 8 5π 8 8. Na Figra 3, está representada, no plano compleo, a sombreado, parte do semiplano definido pela condição Re(z ) > 3 Im( z) 3 Re( z) Figra 3 Qal dos números compleos segintes tem a sa imagem geométrica na região representada a sombreado? (A) (B) (C) (D) cis π 3 6 cis π cis π 3 cis π 3 3 Prova 635.V Página 8/ 3

9 GRUP II Nas respostas aos itens deste grpo, apresente todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações necessárias. Atenção: qando, para m resltado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eacto.. Em C, conjnto dos números compleos, considere z cis π e z i = 7 =+ Resolva os dois itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos... Determine o número compleo w = 3 i ( z ) z 7 (i designa a nidade imaginária, e z designa o conjgado de z ) Apresente o resltado na forma trigonométrica... Mostre qe z π π + z = 6+4 cos + sen 7 7. Dos alnos de ma escola, sabe-se qe: a qinta parte dos alnos tem comptador portátil; metade dos alnos não sabe o nome do director; a terça parte dos alnos qe não sabe o nome do director tem comptador portátil... Determine a probabilidade de m alno dessa escola, escolhido ao acaso, não ter comptador portátil e saber o nome do director. Apresente o resltado na forma de fracção irredtível... Admita qe essa escola tem 50 alnos. Pretende-se formar ma comissão de seis alnos para organizar a viagem de finalistas. Determine de qantas maneiras diferentes se pode formar ma comissão com, eactamente, qatro dos alnos qe têm comptador portátil. Prova 635.V Página 9/ 3

10 3. Considere o problema seginte: «Nm saco, estão dezoito bolas, de das cores diferentes, de igal tamanho e tetra, indistingíveis ao tacto. Das dezoito bolas do saco, doze bolas são azis, e seis bolas são vermelhas. Se tirarmos das bolas do saco, simltaneamente, ao acaso, qal é a probabilidade de elas formarem m par da mesma cor?» Uma resposta correcta para este problema é Nma composição, epliqe porqê. A sa composição deve inclir: ma referência à regra de Laplace; ma eplicação do número de casos possíveis; ma eplicação do número de casos favoráveis. 4. Na Internet, no dia 4 de tbro de 009, pelas 4 horas, colocaram-se à venda todos os bilhetes de m espectáclo. último bilhete foi vendido cinco horas após o início da venda. Admita qe, t horas após o início da venda, o número de bilhetes vendidos, em centenas, é dado, aproimadamente, por 3 Nt () =8log( 3 t+) 8log( 3 t+), t 0, Resolva os dois itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 4.. Mostre qe Nt () =6log( 3 t+), para qalqer 4 t 0, Determine qanto tempo foi necessário para vender 400 bilhetes. Apresente o resltado em horas e mintos. Se tilizar a calcladora em eventais cálclos nméricos, sempre qe proceder a arredondamentos, se três casas decimais, apresentando os mintos arredondados às nidades. Prova 635.V Página 0/ 3

11 5. Considere ma fnção f, de domínio ]0, 3[, cja derivada f, de domínio ]0, 3[, é definida por f ( ) = e Estde a fnção f qanto à monotonia e qanto à eistência de etremos relativos, recorrendo às capacidades gráficas da sa calcladora. Na sa resposta, deve: reprodzir o gráfico da fnção, o os gráficos das fnções, qe tiver necessidade de visalizar na calcladora, devidamente identificado(s), inclindo o referencial; indicar os intervalos de monotonia da fnção f ; assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às centésimas. 6. Considere a fnção f, de domínio ], π], definida por a + b + e se 0 f ( ) = com ab, R sen( ) se 0< π Resolva os dois itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 6.. Prove qe a recta de eqação = a + b, com a 0, é ma assimptota oblíqa do gráfico de f 6.. Determine o valor de b, de modo qe f seja contína em =0 Prova 635.V Página / 3

12 7. Na Figra 4, estão representados, nm referencial o.n., ma circnferência e o triânglo [AB ]. Sabe-se qe: a circnferência tem diâmetro [A]; o ponto A tem coordenadas (, 0); o vértice do triânglo [AB ] coincide com a origem do referencial; o ponto B desloca-se ao longo da semicircnferência sperior. B α A Figra 4 Para cada posição do ponto B, seja α a amplitde do ânglo AB, com α 0, π Resolva os dois itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 7.. Mostre qe o perímetro do triânglo [AB ] é dado, em fnção de α, por f ( α) =( + cosα+ sen α) 7.. Determine o valor de α para o qal o perímetro do triânglo [AB ] é máimo. FIM Prova 635.V Página / 3

13 CTAÇÕES GRUP I... (8 5 pontos) pontos.. GRUP II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TTAL pontos Prova 635.V Página 3/ 3