Avaliação Professor. Grupo I. Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta.

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1 Nome N.o Turma Data /out./08 Avaliação Professor Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta. Teste. Quatro raparigas e cinco rapazes vão dispor-se lado a lado para tirar uma fotografia. De quantas maneiras o podem fazer, de tal modo que os três jovens do meio sejam todos rapazes? (A) 𝐴99 99! (A) (B) 𝐶00 é igual a: 000 𝐶0 (B) 00 𝐶0 (C) 4 00 (C) 00 𝐶900 (D) (D) 00 𝐶90. Considera a linha do triângulo de Pascal que tem vinte elementos. Qual é a soma dos primeiros dez elementos dessa linha? (A) 9 (B) 0 (C) 8 (D) 9 4. Um dos termos do desenvolvimento de (𝑥 + )8 é um monómio da forma 𝑎𝑥 5. Qual é o valor de 𝑎? (A) 56 (B) (C) 6 (D) Seja 𝐴 = {,, } e seja 𝐵 = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Quantas funções injetivas de 𝐴 em 𝐵 existem em que a imagem de é diferente de e a imagem de é diferente de? (A) 99 (B) 99 (C) 499 (D) 599 Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões.. Seja 𝐴 o conjunto de todos os números naturais com seis algarismos que se podem formar com os algarismos de a 9, inclusive. a) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm os algarismos todos diferentes? b) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos 8? c) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos iguais, sendo os restantes algarismos todos diferentes?

2 . Na figura está representado um octaedro regular [𝐴𝐵𝐶𝐴𝐴𝐴]. Apresenta os resultados das seguintes alíneas na forma de fração irredutível. a) Escolhendo ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de a reta por eles definida não estar contida no plano 𝐴𝐵𝐶? b) Escolhendo ao acaso três vértices do octaedro, qual é a probabilidade de o plano por eles definido ser perpendicular ao plano 𝐴𝐵𝐶? c) O António e o Sérgio pensaram, cada um deles, numa das letras que representam os vértices do octaedro. Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha pensado numa vogal?. Seja Ω o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. 7 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 Ω e 𝐵 Ω). Sabe-se que 𝑃(𝐴) = e que 𝑃(𝐵) =. a) Justifica que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 não são incompatíveis. b) Determina 𝑃(𝐴 𝐵), admitindo que 𝑃(𝐵 𝐴) =. Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 4. Num encontro desportivo, participam atletas de vários países, entre os quais Portugal. Sabe-se que: 90% dos atletas participantes no encontro são portugueses ou do sexo masculino; metade dos atletas estrangeiros são do sexo feminino. Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, qual é a probabilidade de ser estrangeiro? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível. 5. Algumas cartas do naipe de espadas e algumas cartas do naipe de copas foram introduzidas num saco. Ao acaso, extraem-se duas cartas do saco, uma após a outra, não repondo a primeira carta extraída. Considera os seguintes acontecimentos: 𝐴 : «a primeira carta extraída é de espadas»; 𝐵 : «a segunda carta extraída é de espadas». Sabe-se que 𝑃(𝐴) = 8 e que 𝑃(𝐵 𝐴) =. Repõem-se as duas cartas extraídas no saco. Em seguida, tiram-se, sucessivamente e ao acaso, as cartas do saco e dispõem-se numa mesa, umas ao lado das outras, pela ordem de saída. Qual é a probabilidade de as cartas de pelo menos um dos naipes ficarem juntas? Apresenta a tua resposta arredondada às milésimas. FIM

3 Nome N.o Turma Data /nov./08 Avaliação Professor Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta. Teste 𝑛. Seja (𝑢𝑛 ) a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = 𝑛𝑘= 𝑘. Qual é o valor de lim 𝑢? (A) 0 (B) (C). Seja 𝑓 uma função diferenciável no intervalo [, 0] tal que: 𝑛 (D) + 𝑓(0) = 𝑥 [, 0], 𝑓 (𝑥) [ 5, ] O teorema de Lagrange, aplicado à função 𝑓 em [, 0], permite concluir que 𝑓( ) não pode ser igual a: (A) 7 (B) 9 (C) 4 (D) 6. Considera os vértices de um hexágono regular. Escolhem-se ao acaso dois desses vértices. Qual é a probabilidade de a reta definida por esses vértices passar no centro do hexágono? (A) (B) (C) 4 (D) 5 4. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o maior elemento é 𝑛𝐶. Quantos números naturais, múltiplos de 0, é possível escrever colocando, lado a lado, todos os algarismos dos elementos dessa linha? (A) 60 (B) 780 (C) 6 96 (D) (A) 576 (B) 440 (C) 50 (D) Quatro rapazes e quatro raparigas entram numa carruagem de comboio onde existem seis lugares sentados ainda não ocupados. De quantas maneiras podem ocupar esses seis lugares supondo que fica uma rapariga e um rapaz em pé? Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões. 𝑛. Considera a sucessão (𝑣𝑛 ) definida por 𝑣𝑛 = 𝑛𝑘= 𝑛+𝑘 e seja (𝑢𝑛 ) uma sucessão tal que 𝑛 ℕ, 𝑢𝑛 𝑣𝑛. Justifica que a sucessão (𝑢𝑛 ) não é convergente.. Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 + 𝑥 +. a) Considere a função ℎ definida por ℎ(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥). Estuda a função ℎ quanto à monotonia e quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico. Na tua resposta, apresenta: os intervalos em que a função é crescente e os intervalos em que é decrescente; os extremos relativos, caso existam;

4 os intervalos em que a concavidade do gráfico está voltada para cima, os intervalos em que a concavidade do gráfico está voltada para baixo e as coordenadas dos pontos de inflexão que eventualmente existam. b) Considera a função 𝑔, de domínio ℝ [, 0], definida por: 𝑔(𝑥) = { 𝑓(𝑥)+ 𝑥 𝑥 𝑥 + se 𝑥 < se 𝑥 > 0 Mostra que existem exatamente três assíntotas ao gráfico da função 𝑔 : uma assíntota vertical, uma assíntota oblíqua e uma assíntota horizontal.. Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções diferenciáveis em ℝ. Sabe-se que: a reta de equação 𝑦 = 𝑥 + 5 é tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abcissa ; 𝑥 ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥) 𝑥+. Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função 𝑔 no ponto de abcissa. 4. Seja 𝑓 uma função de domínio ℝ, duas vezes diferenciável. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais, com 𝑎 < 𝑏. Sabe-se que: 𝑓 (𝑎) 𝑓 (𝑏) < 0 𝑥 ]𝑎, 𝑏[, 𝑓 (𝑥) > 0 Justifica que a função 𝑓 atinge um e um só extremo no intervalo ]𝑎, 𝑏[ e indica se é máximo ou é mínimo. 5. Considera o seguinte jogo que consiste no lançamento simultâneo de dois dados cúbicos, equilibrados, com as faces numeradas de a 6, sendo um dado verde e outro branco. A pontuação obtida num lançamento é a soma dos pontos das faces que ficam voltadas para cima. O jogo vai ser disputado pela Maria e pelo António. Suponhamos que a Maria é a primeira a lançar os dados. Caso queiram, poderão repetir o lançamento dos dois dados, mas a pontuação obtida no segundo lançamento substitui a obtida no primeiro. Vence quem obtiver a maior pontuação. Se as pontuações obtidas foram iguais, é declarado empate. Apresenta as respostas aos itens seguintes na forma de fração irredutível. a) Admite que a Maria faz o segundo lançamento se e só se obtiver menos de 7 pontos no primeiro lançamento. Qual é a probabilidade de a Maria obter 7 pontos na sua jogada? b) Admite que a Maria faz apenas um lançamento dos dados. Qual é a probabilidade de obter 7 pontos se o número da face voltada para cima no dado verde for superior ao número da face voltada para cima no dado branco? c) A estratégia do António é fazer o segundo lançamento se e só se a pontuação que obtém no primeiro lançamento não for superior à obtida pela Maria na sua jogada. Admite que a Maria obteve pontos na sua jogada. Qual é a probabilidade de o António perder o jogo? FIM

5 Nome N.o Turma Data /jan./09 Avaliação Professor Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta. Teste. Seja 𝑎 um número real maior do que. Seja 𝑏 = log 𝑎 (8) e seja 𝑐 = log 𝑎 (). Qual é o valor de 𝑎 (A) 𝑏 𝑐? (B) 6 (C) 9 (D). Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais maiores do que tais que log 𝑏 (𝑎) = 4. Qual é o valor de log 𝑎 (𝑎𝑏 )? (A) (B) (C) 4 𝑘 5 4 𝑛+. Para um certo número real 𝑘, tem-se lim + 4𝑛 Qual é o valor de 𝑘? (A) (C) (B) 4. Qual é o valor de lim𝑥 0 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 ) 𝑥 𝑥 5 (D) = 𝑒. (D)? (A) 𝑒 (B) (A) 0,000 (B) 0,000 𝑒 (C) 𝑒 (D) 𝑒 5. O código de um cofre é uma sequência de cinco algarismos diferentes de 0. O João não sabe o código, mas sabe que este contém dois algarismos ímpares diferentes e três algarismos pares, dos quais dois são iguais. O João vai tentar abrir o cofre. Qual é a probabilidade (valor arredondado às centésimas de milésimas) de o João o conseguir, com uma única tentativa? (C) 0,000 4 (D) 0,000 5 Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões.. Como sabes, 90 foi o ano da implantação da República em Portugal. Admite que a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, 𝑡 anos após o início de 90, é dada aproximadamente por: 𝑝(𝑡) =,74 (𝑡 0) +,06𝑒 0,0𝑡 a) De acordo com este modelo, em que ano é que a população de Portugal Continental atingiu dez milhões de habitantes?

6 b) Desde o instante 𝑡 = 0 até um certo instante 𝑡 = 𝑎, a população de Portugal Continental aumentou, em média, habitantes por ano. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de 𝑎. Na tua resposta: equaciona o problema; reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que te permite(m) resolver a equação; apresenta o valor de 𝑎 arredondado às unidades.. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ definida por: 𝑒 𝑥 𝑥 + se 𝑥 𝑓(𝑥) = ln(4𝑥 ) se 𝑥 > a) Justifica que a função 𝑓 é contínua. 𝑥 b) Estuda a função 𝑓 quanto às assíntotas ao seu gráfico. c) Estuda, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, a restrição da função 𝑓 ao intervalo ], ].. Para cada número real 𝑘, seja 𝑔 a função de domínio 𝑔(𝑥) = 𝑘 +, + definida por: 𝑥+ ln(𝑥 + ) ln(5) a) Determina o conjunto dos valores de 𝑘 para os quais o teorema de Bolzano-Cauchy, aplicado no intervalo [0, ], garante a existência de pelo menos um zero da função 𝑔 em ]0, [. b) Considera 𝑘 = 0. Estuda a função 𝑔 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 4. Seja 𝐸 o espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 𝐸 e 𝐵 𝐸). Sabe-se que 𝑃(𝐵) e que 𝐴 e 𝐵 são acontecimentos equiprováveis. Prova que 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐵 𝐴). 5. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ+ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑝 log 𝑞 (𝑥) (𝑝 designa um número real positivo e 𝑞 designa um número real maior do que ). Seja 𝑎 um número real positivo. Seja 𝐴 o ponto do gráfico de 𝑓 cuja abcissa é 𝑎 e seja 𝑟 a reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝐴. Sejam 𝐵 e 𝐶 os pontos de interseção da reta 𝑟 com os eixos das ordenadas e das abcissas, respetivamente. Sabe-se que o ponto 𝐵 tem ordenada positiva. Seja 𝐷 o ponto de coordenadas (𝑎, 0). Determina o valor de 𝑎, sabendo que o triângulo [𝐴𝐶𝐷] é isósceles e que o triângulo [𝐵𝐶𝐷] é retângulo. FIM

7 Nome N.o Turma Data /mar./09 Avaliação Professor Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção correta. Teste 4. Na figura está representada parte de uma parábola cujo vértice pertence ao quarto quadrante. Esta parábola é o gráfico de uma função 𝑓 de domínio ℝ. Qual das expressões seguintes designa um número positivo? (A) 𝑓 (0) + 𝑓(0) 𝑓 (0) (B) 𝑓(0) + 𝑓 (0) 𝑓 (0) (C) [𝑓 (0) + 𝑓(0)] 𝑓 (0) (D) [𝑓 (0) 𝑓(0)] 𝑓 (0). Seja 𝑎 um número real maior do que. Qual é o valor de (A) (B) (C) 4 log𝑎 (9) + log𝑎 (4) log𝑎 (4) log𝑎()? (D) 5. Na figura está representado o triângulo [𝐴𝐴𝐴]. Sabe-se que: 𝐴𝐴 = 4 𝐴𝐴 = 6 𝐴 = α 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐴 = α Qual é o valor de cos (α)? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 4. Seja 𝑏 um número real positivo menor do que. Seja 𝑆 o conjunto das soluções da equação sen 𝑥 = 𝑏 que pertencem ao intervalo 0, Escolhem-se ao acaso dois elementos de 𝑆. 5𝜋 Qual é a probabilidade de ambos pertencerem ao intervalo, 4𝜋? (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 9𝜋. 5. Num clube desportivo, há tantos praticantes de andebol como de basquetebol. Um terço dos praticantes de basquetebol pratica andebol. Metade dos atletas do clube não pratica andebol nem basquetebol. Escolhe-se ao acaso um atleta desse clube. Qual é a probabilidade de ele praticar andebol? (A) 0,5 (B) 0, (C) 0,5 (D) 0,4

8 Grupo II Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares, explica os raciocínios e justifica as conclusões.. Na figura está representada a circunferência trigonométrica. Considera que um ponto 𝑃 se desloca sobre a circunferência, no segundo quadrante. Para cada posição do ponto 𝑃, seja: 𝑄 a projeção ortogonal de 𝑃 sobre o eixo 𝑂𝑥 ; 𝑅 o ponto de interseção da reta 𝑂𝑃 com a reta de equação 𝑥 = ; α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo 𝑂𝑥 e por 𝜋 lado extremidade a semirreta 𝑂 𝑃 𝛼, 𝜋. Seja 𝑆 o ponto de coordenadas (, 0). Determina o valor de α para o qual a área do triângulo [𝑂𝑅𝑆] é dupla da área do triângulo [𝑂𝑃𝑄].. Considera a função 𝑓, de domínio 𝜋 𝜋,, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 cos 𝑥. a) Mostra que 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥 sen 𝑥 𝑒 𝑥 cos 𝑥 e estuda a função 𝑓 quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. b) Seja 𝐴 o ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo 𝑂𝑂. Seja 𝑟 a reta tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto 𝐴. Seja 𝐴 o ponto de interseção da reta 𝑟 com o eixo 𝑂𝑥. Determina a amplitude (em radianos) do ângulo 𝑂𝐴𝐴.. Seja ℎ a função, de domínio ], 𝜋[, definida por: ln ( 𝑥) 𝑥 + + 𝑥 ℎ(𝑥) = sen (𝑥) 𝑥( + cos 𝑥) se 𝑥 < 0 se 𝑥 = 0 se 0 < 𝑥 < 𝜋 a) Justifica que a função ℎ é contínua para 𝑥 = 0. b) Estuda a função ℎ quanto às assíntotas ao seu gráfico. 𝜋 𝜋 c) Justifica que 𝑐, ℎ(𝑐) = 𝜋.

9 4. A Terra descreve uma órbita elítica em torno do Sol. Na figura está representado um esquema dessa órbita, em que se assinala o periélio, o ponto da órbita mais próximo do Sol. Na figura está também assinalado um ângulo de amplitude 𝑥 radianos (𝑥 [0, 𝜋[ ). Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o lado origem passa no periélio e o lado extremidade passa na Terra. Sabe-se que: 𝑥 verifica a relação 𝜋𝜋 65,4 = 𝑥 0,07 sen 𝑥, em que 𝑡 é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição correspondente ao ângulo 𝑥 ; a distância 𝑑, em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é dada, em função de 𝑥, por 𝑑= 49,6 + 0,07 cos 𝑥. Determina a distância a que a Terra se encontra do Sol, 00 dias depois de ter passado pelo periélio. Apresenta o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores intermédios, utiliza, no mínimo, quatro casas decimais. Nota: a resolução deste item envolve uma equação que deve ser resolvida com recurso às capacidades gráficas da calculadora; na tua resposta, apresenta, num referencial, o(s) gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s). 𝜋 5. Seja 𝑓 a função, de domínio 0,, definida por 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Considera que um ponto 𝑃 se move ao longo do gráfico de 𝑓. Para cada posição do ponto 𝑃, sejam 𝑟 e 𝑠 as retas que passam por 𝑃 e são paralelas aos eixos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑂, respetivamente. Seja 𝑔 a função que à abcissa 𝑥 do ponto 𝑃 faz corresponder a área da região limitada pelos eixos coordenados e pelas retas 𝑟 e 𝑠. Mostra que a função 𝑔 tem máximo FIM

10 Soluções Grupo I Teste. (C). (D). (C) 4. (D) 5. (B) Grupo II. a) b) c) a) b) c) a) Ao cuidado do aluno. b) ,00

11 Soluções Grupo I Teste. (C). (A). (D) 4. (B) 5. (C) Grupo II. Dado que, para qualquer número natural n, n designa um número negativo, tem-se, para qualquer número natural k entre e n, que n, n n + kn n n + nn n n. Assim, pode concluir-se n+k n+n. k = n Tem-se: lim n = lim n + n n = Portanto, por comparação, conclui-se que lim vn = e, ainda por comparação, também se conclui que lim un =, pois n, un vn +. Trata-se, portanto, de uma sucessão divergente.. a) A função h é decrescente em ], 0] e em, + e é crescente em 0,. A função atinge um mínimo relativo igual a em 0 e atinge um máximo relativo igual a em 7. O gráfico da função h tem a concavidade voltada para cima em, e tem a concavidade ( ) = 5 e, portanto, o ponto de coordenadas voltada para baixo em, + ; h (, 75 ) 7 é ponto de inflexão do gráfico da função h.

12 b) A reta de equação x = 0 é assíntota vertical ao gráfico da função g. A reta de equação y= x é assíntota oblíqua ao gráfico da função g, em. A reta de equação y = é assíntota horizontal ao gráfico da função g, em +.. = y x Dado que a função f é contínua em (pois f é duas vezes diferenciável), então é contínua em [ a, b ]. Como f (a ) f (b) < 0, o corolário do teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir que a função f tem pelo menos um zero em ]a, b[. Esse zero é único, pois, dado que x ]a, b[, f ( x) > 0, a função f é estritamente crescente em ]a, b[. Portanto, a função f não pode atingir mais do que um extremo em ]a, b[, pois, sendo diferenciável, se atinge um extremo num ponto, então a derivada é nula nesse ponto. Seja c o único zero de f em ]a, b[. Tem-se f (c) = 0 e f (c) > 0, de onde se conclui que a função f atinge um mínimo em c. 5. a) 7 7 b) 5 c) 4

13 Soluções Grupo I Teste. (A). (D). (B) 4. (B) 5. (C) Grupo II. a) Em 99. b) 9. a)

14 b) c). a) b) 4.

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16 Soluções Grupo I Teste 4 Grupo II

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