CÁLCULO I. Lista Semanal 2 - Gabarito. Questão 1. Considere a função f(x) = x 3 + x e o ponto P (2, 10) no gráco de f.

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1 CÁLCULO I Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz Lista Semanal 2 - Gabarito Questão 1. Considere a função f(x) = x 3 + x e o ponto P (2, 10) no gráco de f. (a) Utilizando um recurso computacional, plote o gráco de f e as retas secantes a ele que passam pelos pontos P e Q(x, f(x)) quando x = 1, x = 1, 5 e x = 1, 9 e faça um esboço à mão livre do gráco com as retas indicadas. (b) Ache a inclinação de cada uma das retas secantes do item (a). (c) Utilize os resultados encontrados no item (b) para estimar o valor da inclinação da reta tangente ao gráco de f que passa pelo ponto P. (a) As guras seguintes representam as inclinações Inclinação da reta secante que passa pelos pontos P e Q 1 Inclinação da reta secante que passa pelos pontos P e Q 2 1

2 Inclinação da reta secante que passa pelos pontos P e Q 3 (b) Fixamos a nossa atenção ao instante t = 1 e calculamos as inclinações f(2) f(1) m 1 = = f(2) f(1, 5) m 2 = = 10, , 5 f(2) f(1, 9) m 3 = = 12, , 9 Observamos que os arcos tangentes destes coecientes angulares quando expressadas em graus coincidem com os obtidos computacionalmente. arctg(m 1 ) 1, 4464 rad 82, 87 arctg(m 2 ) 1, 4735 rad 84, 43 arctg(m 3 ) 1, 4904 rad 85, 39 (c) O comportamento esperado é que a inclinação das retas secantes que passam por (2, f(2)) e (x, f(x)) esteja mais próximo a inclinação da reta tangente quanto mais próximo x estiver de 2. Assim concluímos que a inclinação da reta tangente é aproximadamente 12, 41. Questão 2. Um ciclista está andando de bicicleta por um caminho e sua posição x é dada em função do tempo t por x(t) = 2 sen (πt) + 3 cos (πt), em que x é medido em metros e t em segundos. Encontre a velocidade média dos ciclista nos períodos de tempo [1; 2], [1; 1, 1], [1; 1, 01] e [1; 1, 0001]. Em seguida, estime a velocidade instantânea do ciclista quando t = 1. Vamos xar o instante t = 1 como uma referência. Para cada instante t dos valores 2; 1, 1; 1, 01; 1, 0001 podemos calcular as velocidade médias nos intervalos de extremos t = 1 até o outro extremo, que representamos, respectivamente, por v 1, v 2, v 3 e v 4. Temos v 1 = x(2) x(1) 2 1 v 2 = x(1, 1) x(1) 1, 1 1 v 3 = x(1, 01) x(1) 1, 01 1 v 4 = x(1, 0001) x(1) 1, e calculamos as funções nos valores x(1) = 2 sen (1π) + 3 cos(1π) x(1, 1) = 2 sen (1, 1π) + 3 cos(1, 1π) x(1, 01) = 2 sen (1, 01π) + 3 cos(1, 01π) x(1, 0001) = 2 sen (1, 0001π) + 3 cos(1, 0001π) Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 2

3 obtendo de modo que x(1) = 3 x(1, 1) 3, 4712 x(1, 01) 3, 0613 x(1, 0001) 3, 0006 v 1 = 6 v 2 = 4, 7120 v 3 = 6, 1341 v 4 = 6, Esperamos que a velocidade média desde o instante t = 1 até um instante t genérico tenda à velocidade instantânea quanto mais próximo t estiver de t = 1. Assim sendo a velocidade do ciclista é de aproximadamente 6, 2817 m/s. Questão 3. Seja a região abaixo do gráco da função f(x) = 7, acima do eixo x e limitada pelas retas x x = 1 e x = 7. Considere 6 retângulos construídos como abaixo (a) Calcule a soma das áreas desses retângulos. (b) Sabemos que o resultado encontrado no item anterior é uma aproximação para a área da região considerada. Como poderíamos melhorar essa aproximação? (a) Dividimos o intervalo [1, 7] em seis partes iguais de modo que cada parte tenha (7 1)/6 = 1 unidade de comprimento. Consideramos os pontos x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 x 6 = 6 A aproximação tem o valor da soma das áreas de cada retângulo utilizado, logo S = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 onde cada área vale A i = 1 f(x i ) = 7 x i. Assim S = ( 1 = ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 e como neste caso x i = i vale ( 1 S = ) 6 obtemos S = 17, 15 unidades de área. Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 3

4 (b) Podemos aproximar a região por mais retângulos para obter melhores aproximações. triângulos utilizarmos melhores são as aproximações que obtemos.. Quanto mais Por exemplo, no caso de aproximarmos a região com 10 retângulos, a base de cada triângulo mede (7 1)/10 unidades de comprimentos. Destacamos os pontos x 1 = 1,0 x 2 = 1,6 x 3 = 2,2 x 4 = 2,8 x 5 = 3,4 x 6 = 4,0 x 7 = 4,6 x 8 = 5,2 x 9 = 5,8 x 10 = 6,4 e calculando obtemos o valor numérico S 15,62 u.a. Se tivéssemos usados no processo descrito no item (a) mais retângulos, teríamos obtido uma melhor aproximação para a área pedida. Quanto mais retângulos forem utilizados melhor a aproximação será. Questão 4. Verdadeiro ou Falso. Se a armação for verdadeira, explique; do contrário, dê um contraexemplo. (a) Qualquer relação entre dois conjuntos A e B (não vazios) é uma função. (b) Ao esquentarmos água em um fogão podemos estabelecer uma relação que associa a cada instante t uma temperatura T da água. Essa relação é uma função. (c) Considerando os conjuntos A = { 1, 2, 5, 9} e B = { 8, 4, 16, 9}, podemos armar que a relação {( 1, 4), (2, 16), (9, 9)} é uma função de A em B. (a) Falso. Podemos considerar o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B = A = {1, 2, 3, 4} com a relação A relação R não é função pois R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}. para 3 A não está associado um elemento de B; e Para 1 A existem dois elementos de B associados. Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 4

5 (b) Verdadeiro. Para cada instante t a quantidade de água que aquecemos está a uma determinada temperatura T denindo assim uma função. (c) Falso, pois o elemento 5 de A não está associado a algum elemento de B nesta relação. Questão 5. (a) Dena o que é o gráco de uma função f : R R. (b) Qualquer curva no plano cartesiano pode ser o gráco da função f? Explique (a) Para uma função real a valores reais f : R R chamamos de gráco de f ao conjunto G f dado por G f = {(x, f(x)) : x R}. Deve-se observar que G f R R. Por exemplo, se consideramos a função f : R R dada por f(x) = x + x então o gráxo de f é dado por { G f = (x, x + } x ) : x R. Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 5

6 (b) Nem toda curva do plano cartesiano é gráxo de uma função. Por exemplo, podemos considerar os pontos do plano que satisfazem a equação x 2 = y 2 que está representada na gura. Esta curva não pode ser gráco de uma função. Podemos vericar isso utilizando o teste da reta vertical. Por exemplo, Consideramos a reta x = 4 que corta o gráco de x 2 = y 2 nos pontos (4, 4) e (4, 4). Prof. André Almeida Prof. Marcos Diniz 6