PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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1 Hewlett-Packard PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2015

2 Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)... 1 PRELIMINAR DEFINIÇÃO... 1 A RAZÃO DE UMA P.G CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G PRELIMINAR CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO... 1 Uma P.G. é dita crescente... 1 Uma P.G. é dita decrescente... 1 Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante)... 1 Uma P.G. é dita constante... 1 TERMO GERAL DA P.G INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS... 3 P.G. de três termos SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA PRELIMINAR SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO q, com 1 < q < 0 ou 0 < q < QUESTÕES EXTRAS... 5 CAIU NO VEST... 5

3 AULA 01 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o padrão de sua formação e escreva seus dois próximos termos. I. (1, 2, 4, 8,,,... ) II. ( 12, 6, 3,,,... ) Como verificar se uma sequência (𝒂𝒏 ) é uma P.G.? Se for apresentado um trecho da P.G., calcule a razão de um termo, a partir do 2, para seu antecessor. A sequência só será uma P.G., se todas as razões forem iguais. Se for dada a lei de formação da P.G., calcule a razão q (pela fórmula dada nesta aula). A sequência só será uma P.G., se, após todas as simplificações, o resultado obtido não depender de n. CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. III. (81, 27, 9,,,... ) IV. ( 4, 12, 36,,,... ) V. ( 2, 4, 8, 16,,,... ) VI. (12, 12, 12, 12,,, ) PRELIMINAR 2 Partindo da sua experiência em P.A., classifique cada sequência do tópico PRELIMINAR 1. CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Uma progressão geométrica é classificada de acordo DEFINIÇÃO com o valor da sua razão q e do sinal de a1. Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do seu antecessor por uma constante chamada de razão da P.G.: q. Uma P.G. é dita crescente A RAZÃO DE UMA P.G. Considere um termo qualquer 𝑎𝑛, 𝑛 2, de uma P.G.. O termo que o antecede é chamado: 𝑎𝑛 1. Assim, a razão de uma P.G. é dada pela razão de um termo qualquer, a partir do 2, para seu antecessor. Isto é, 𝑞= 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1, para todo 𝑛 ℕ 𝑒 𝑛 Para cada sequência da parte PRELIMINAR 1, determine os valores de 𝑎1 e de 𝑞 Uma sequência (𝑎𝑛 ) é uma P.G. com 𝑎𝑛 = 3 5𝑛 2, 𝑛 ℕ. Determine a razão dessa P.G. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos se a1 > 0 e q > 1. Ex.: Sequência I ; ou se a1 < 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência II. Uma P.G. é dita decrescente se a1 > 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência III ; ou se a1 < 0 e q > 1. Ex.: Sequência IV. Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) se q < 0. Ex.: Sequência V. Obs.1: Termos consecutivos possuem sinais contrários. Uma P.G. é dita constante se q = 1. Ex.: Sequência VI. Obs.2: Todos os termos são iguais e não-nulos. TAREFA 1: Ler, nas PARTES 1 e 2, os exercícios resolvidos: 1(a,b,d,f,g) e 4(a,c,e). Fazer os PROP. 6(a,c,e) e 7. Página 1

4 TERMO GERAL DA P.G. Generalização do Termo Geral Da definição de progressão geométrica, é razoável escrevermos o seguinte: 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊. 𝒒𝒋 𝒊 𝑎1 Como entender o funcionamento da versão generalizada do termo geral de uma PG? 𝑎2 = 𝑎1 𝑞 𝑎3 = 𝑎1 𝑞 2 𝑎4 = 𝑎1 𝑞 3 𝑎5 = 𝑎1 𝑞 4... Portanto, considerando 𝑛 ℕ 𝑒 𝑛 2, um termo 𝑎𝑛 pode ser dado por: 𝒏 𝟏 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏. 𝒒 -- Termo Geral da P.G DICA DO PROFESSOR PRINCÍPIO DO ELEVADOR 𝒋 𝒊 Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊. 𝒒 como: 𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior); 𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior). Desse modo, o expoente (𝒋 𝒊) representa o número de andares que o morador do andar 𝒊 precisa subir para chegar ao andar 𝒋. AULA a) Seja (𝑎𝑛 ) = (3, 6, 12,... ) uma P.G.. Determine seu 9º termo. b) Em uma P.G. crescente de razão 𝑞 = 2, temse 𝑎11 = Qual é o valor de 𝑎2? 1.3. Em uma P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. O primeiro termo dessa P.G. é A) 1 B) 2 C) 3 D) Em uma P.G., o 4 termo é igual a 32 e o 1 termo 1 2 é igual a. Qual é o valor do 8 termo? 1.5. Qual é o valor da razão da P.G. em que a soma do termo com o 5 termo é e a soma do 7 com o 9 termo é 20? 1.6. Em uma P.G. o terceiro termo é igual a 8 e o sexto termo é 32. Determine o seu décimo termo. TAREFA 2: Ler os exercícios resolvidos 2(a,b,d), 3, 5, 6 (+Obs.1) e 8. Fazer os PSA 2(b,d), 4, 8(a, b, d),11 e 19. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS Interpolar k meios geométricos entre dois números, x e y, é formar uma P.G. que comece em x, termine em y e tenha k termos entre eles. Obs. 1: Note que, nesse cenário, tem-se 𝒙 = 𝒂𝟏 e 𝒚 = 𝒂𝒌+𝟐 Interpolando quatro meios geométricos entre 1 e 243, nessa ordem, obtém-se uma P.G. na qual a soma desses quatro meios é A) 100 B) 130 C) 220 D) 120 E) 150 TAREFA 3: Ler, na PARTE 3, os ex. resolvidos 9 e 10; Página 2

5 Como anotar / interpretar os dados de uma situação-problema que envolve valor presente? dessas fórmulas? DICA DO PROFESSOR! Alguns problemas apresentam, em seus dados, valores referentes ao tempo presente: hoje, agora, neste ano,... ; e, também, ao valor em um tempo futuro: daqui a 𝑛 anos seu valor será... P2) Em uma P.G. finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Existem duas maneiras corretas de interpretar esses dados: P3) Considere uma P.G. com um número ímpar de termos. Nesse cenário, existe um termo central (termo médio) tal que seu quadrado é igual ao produto dos extremos. 1) Valor de hoje: 𝒂𝟏 Exemplo 3.3: Na P.G. ( 3, 6, 12, 24, 48, 96), tem-se: 96 = = = 288 Valor daqui a 𝑛 anos : 𝒂𝒏+𝟏 Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é o valor obtido 𝑛 1 anos após o início da experiência (duração da mesma). Exemplo 3.4: A P.G. (56, 28, 14, 7, 2) possui 5 termos 2) Valor de hoje: 𝒂𝟎 Valor daqui a 𝑛 anos : 𝒂𝒏 Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é o valor obtido 𝑛 anos após o início da experiência (duração da mesma) Qual é o valor de x que torna a sequência (𝑎𝑛 ) = (7, 𝑥, 4𝑥) uma progressão geométrica? 7 (número ímpar) e, portanto, possui termo médio, no caso, o terceiro. Desse modo, tem-se que 7 14² = 56. = Determine o quinto termo da P.G. em que 𝑎1 = 1 e 𝑎9 = 256. TAREFA 5: Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 14; Fazer os PSA. 23, 24, 25. Desafio: PSA. 27 TAREFA 4: Fazer os PSA 20, 15 e 17 AULA 03 ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G. P1) Considere três termos consecutivos de uma P.G.. O quadrado do termo do meio é o produto dos outros dois. Exemplo 3.1: Sejam a, b e c, três termos consecutivos de uma Progressão Geométrica, então 𝑏 2 = 𝑎. 𝑐 Exemplo 3.2: Na P.G. (2, 6, 18, 54, 162), tem-se que: REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS É importante saber representar progressões geométricas, com poucos termos, utilizando um número mínimo de incógnitas. P.G. de três termos (𝑥; 𝑥 𝑞; 𝑥 𝑞²) ou 𝒙 ( 𝒒 ; 𝒙; 𝒙 𝒒 ) Obs.1: Ambas tem razão 𝑞 Determine uma P.G. crescente de três termos, tal que o produto destes é 64 e a soma, 14. TAREFA 6: Lero ex. res. 16; e fazer o PSA 30. 6² = ou 18² = ou 54² = Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 AULA 04 AULA 05 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Considere uma P.G., (𝑎𝑛 ), com razão 𝒒 𝟏: (𝑎𝑛 ) = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4,, 𝑎𝑛 1, 𝑎𝑛, ) A soma dos seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛, é tal que 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + + 𝑎𝑛. Essa soma pode equivalentes: 𝑺𝒏 = ser 𝒂𝟏 ( 𝒒𝒏 𝟏) 𝒒 𝟏 obtida pelas 𝑺𝒏 = ou fórmulas 𝒂𝟏 (𝟏 𝒒𝒏 ) 𝟏 𝒒 PRELIMINAR 1 Os dois exemplos seguintes ilustram, em duas progressões geométricas distintas, a soma de seus 𝑛 primeiros termos, para alguns valores de 𝑛. 𝟏 𝟏 𝟏 1) Seja (𝒂𝒏 ) = (𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟖, ) uma P.G.. Neste caso, para 𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆5 = 1,9375 𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆10 1,998 𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆20 1, ) Seja (𝒂𝒏 ) = (𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔, ) uma P.G.. Neste caso, para 𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆5 = 62 𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆 Obs. 1: Sendo (𝑎𝑛 ) uma P.G. com razão 𝑞 = 1, tem-se que, a soma de seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛, é dada por: 𝑺𝒏 = 𝒏. 𝒂𝟏 Afinal, nesse caso, todos os termos são iguais a 𝑎1. DICA DO PROFESSOR Note que, para obter o valor de 𝑆𝑛, é necessário conhecer os valores de 𝑎1, 𝑞 e 𝑛. Portanto, caso um desses três não seja fornecido explicitamente no enunciado, procure calculá-lo antes de tentar utilizar a fórmula de Sn Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G. ( 2, 4, 8,... ) Considere a P.G. finita (9, 3,, 486). Determine a soma de seus termos Quantos termos da P.G. (2, 6, 18,... ) devem ser considerados a fim de que a sua soma seja ? TAREFA 7: Ler os ex. resolvidos 18, 19 e 20; e fazer os PSA. 33(b), 35, 44, 45 e 48. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos 𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑒 𝑆 Note que, à medida que n aumenta, o valor de 𝑆𝑛, no exemplo 1, fica cada vez mais próximo de 2. Nesses casos, dizemos que a soma CONVERGE para um número. No caso, 2. no exemplo 2, fica cada vez maior. Nesses casos, dizemos que a soma DIVERGE. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO 𝒒, com 𝟏 < 𝒒 < 𝟎 ou 𝟎 < 𝒒 < 𝟏. Considere uma progressão geométrica (𝑎𝑛 ) com (𝑎𝑛 ) = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, ) e com razão 𝑞 tal que 𝟏 < 𝑞 < 0 ou 𝟎 < 𝑞 < 1. Essa P.G. é dita convergente e chamamos de Série Geométrica Convergente a soma: 𝑺 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 +... Nas séries geométricas convergentes, dizemos que para 𝑛 muito grande o valor de 𝑞 𝑛 tende a zero. Assim, partindo da fórmula para 𝑆𝑛, chegamos a: 𝑺= 𝒂𝟏 𝟏 𝒒 TAREFA 8: Ler os ex. resolvidos 22(b) e 25; e fazer os PSA. 49, 52, 55, 56 e 57. Página 4

7 EXTRA QUESTÕES EXTRAS 1) Interpolando 5 meios geométricos positivos entre 4 e 2916, nesta ordem, obtém-se uma progressão geométrica de razão (A) 9. (B) 3. (C) 3. (D) 6. (E) 9. 2) Um automóvel foi financiado em um ano de tal forma que os valores, em reais, das prestações estão em progressão geométrica. O valor da primeira prestação desse automóvel (referente a janeiro) é R$ 10000,00 e o valor da última prestação (referente a dezembro) é R$ 100,00. Nesse caso, o produto dos valores das prestações referentes a junho e julho é (A) 10 (B) (C) (D) (E) ) Somando um mesmo número aos números 5, 7 e 6, nesta ordem, obtém-se uma progressão geométrica. O número somado é (A) 11 (B) 19 (C) 14 (D) 16 (E) 17 4) A sequência de figuras as seguir representa os cinco primeiros passos da construção do fractal de Sierpinski. Os vértices dos triângulos claros são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da figura anterior. Denotando por A 1, A 2, A 3, A 4 e A 5, respectivamente, as áreas das regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da sequência acima, a sequência (A 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 ; A 5 ) é uma progressão geométrica de razão igual a (A) 3 4. (B) 1 2. (C) 1 (D) 1 4. (E) 2 5) A progressão geométrica (a n ), tal que a n = 7 2n 4, n N, tem razão igual a (A) 49. (B) 1. (C) 7. (D) 1 7. (E) ) Considere uma progressão geométrica (a n ), com n N, na qual a 3 = 12 e a 7 = 192. Determine a 10. 7) Determine a razão da progressão geométrica (2 + x; x ; 8 + x; ). CAIU NO VEST 1) (PUC) Em uma progressão geométrica a diferença entre o 2º e o 1º termos é 9 e a diferença entre o 5º e o 4º é 576. O primeiro termo da progressão é: (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9 2) (AFA) Uma bola é solta de uma altura de 128 metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a metade da altura anterior. Esse movimento se repete até atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá percorrido, em metros? (A) 255,5 (B) 383,00 (C) 383, 50 (D) 383,63 3) (MACK) Na sequência geométrica de termos positivos, ilimitada e decrescente, o segundo termo é igual à razão. Se a soma de todos os termos tende a 2, então o quarto termo vale: Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 (A) 1 4. (B) 1 8 (C) 1 6 (D) 1 16 (E) ) (IME) Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe até a metade da altura que caiu. Calcule o comprimento total percorrido pela bola em sua trajetória até atingir o repouso. GABARITO: FUNDAMENTAIS a) 768 b) C D , 4, QUESTÕES EXTRAS 1) C 2) C 3) B 4) A 5) A 6) ±1536 7) 8 5 CAIU NO VEST 1) A 2) C 3) B 4) 3h Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6