Hewlett-Packard ESFERAS. Aulas 01 e 02. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard ESFERAS Aulas 01 e 02 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2017

2 Sumário ESFERA... 1 SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO... 1 VOLUME DE UMA ESFERA... 1 ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA... 1 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 1 PARTES DE UMA ESFERA... 2 FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA... 2 ÁREA DE FUSO ESFÉRICO... 2 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE DE CUNHA ESFÉRICA... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 3 CALOTA ESFÉRICA E SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE... 3 ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA... 3 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE... 4 SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES... 4 ÁREA DE ZONA ESFÉRICA... 4 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES... 4

3 AULA 01 ESFERA Chamamos de esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, com 𝑅 ℝ +, o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro 𝑂 é igual ou menor que o raio 𝑅. Observação 1.2: Se 𝑟 < 𝑅, o círculo obtido será denominado paralelo. E, se 𝑟 𝑅, casos a interseção contém o centro da esfera, o círculo será chamado equador ou círculo máximo. Na figura anterior, temos: 𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝒅: 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟 VOLUME DE UMA ESFERA Observação 1.1: Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo 𝒆, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior. SEÇÃO PERPENDICULAR A UM EIXO Uma esfera de centro 𝑂 e raio 𝑅, quando secionada por um plano perpendicular a um eixo que contenha um de seus diâmetros, tem como interseção da esfera com o plano um círculo de centro 𝐶 e raio 𝑟, tal que 𝑟 𝑅. Pode-se mostrar que o volume 𝑉 de uma esfera de raio 𝑅 é igual ao volume do sólido obtido a partir de um cilindro equilátero com bases de raio 𝑅 e altura 𝐻 2𝑅, do qual são retirados dois cones congruentes, ambos com base de raio 𝑅 e altura ℎ 𝑅. Desse modo, conclui-se que o volume 𝑉 de uma esfera de raio 𝑅 é dada pela expressão 𝑉 4 𝜋𝑅³ 3 ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA É possível demonstrar que a área da superfície de uma esfera de raio 𝑅 é dada pela expressão 𝐴𝑆𝑈𝑃. 4𝜋𝑅² EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS Note que: 𝑅2 𝑑2 + 𝑟 Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. Página 1

4 1.2. O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Obtenha a distância do plano ao centro da esfera Determine a área de uma esfera, sendo 2304𝜋 cm³ o seu volume. TAL QUAL UMA LARANJA Se compararmos uma cunha e um fuso de uma esfera a uma laranja, perceberemos que a cunha seria uma fatia da laranja e o fuso, a casca relativa à fatia. AULA 02 PARTES DE UMA ESFERA Ao estudarmos esferas, além da área de sua superfície e de seu volume, também é comum o estudo de suas partes. FUSO ESFÉRICO E CUNHA ESFÉRICA Cunha esférica Fuso esférico TAREFA 1: P.S.A.: 1, 2, 3, 6, 7 e 8. Consideremos dois semiplanos distintos com origem na reta suporte de um dos diâmetros de uma esfera. ÁREA DE FUSO ESFÉRICO Observe que: 1. A superfície da esfera fica dividida em duas regiões denominadas fusos esféricos; e 2. As regiões correspondentes da esfera são denominadas cunhas esféricas. Observação 2.1: O arco AB é denominado arco equatorial e o ângulo central correspondente, 𝛼, é o ângulo equatorial. A área de um fuso esférico está para a área da superfície esférica assim como o ângulo central correspondente está para 360. Isto é, 𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂. 𝛼 4𝜋𝑅² 360 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME ÍCIE DE CUNHA ESFÉRICA O estudo de uma cunha esférica é focado no cálculo da área de sua superfície e no cálculo de seu volume. Página 2

5 CALOTA ESFÉRICA E SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE Um plano secante a uma esfera a divide em dois sólidos denominados segmentos esféricos. A área da superfície de uma cunha esférica é dada pela soma das áreas de suas partes. Isto é, 𝐴𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 𝐴𝐹𝑈𝑆𝑂 + 2 𝐴𝑆𝐸𝑀𝐼𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂 Já a superfície da esfera fica dividida em duas superfícies denominadas calotas esféricas. O volume de uma cunha esférica está para o volume de uma esfera assim como o ângulo central correspondente está para 360. Isto é, 𝑉𝐶𝑈𝑁𝐻𝐴 ÁREA DE CALOTA ESFÉRICA Considere uma calota esférica obtida a partir de uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹. 𝛼 4 𝜋𝑅³ EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine a área total e o volume de uma cunha esférica cujo ângulo é Considere uma esfera de raio 𝑅 e centro 𝑂. Um fuso dessa esfera possui área da superfície igual a 600𝜋 cm². Detemine o volume, em litros, dessa esfera, sabendo que o ângulo associado ao fuso tem medida 3𝜋 4 𝑶 𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 2𝜋𝑅ℎ rad O volume de uma cunha esférica é igual a 12𝜋 m³. Sabendo que o raio da esfera associada a essa cunha é 3 m, determine a medida, em radianos, do ângulo dessa cunha A área de um círculo máximo de uma esfera é igual a 64𝜋 cm². Determine a área, em cm², de um fuso dessa esfera sendo a medida do ângulo desse fuso igual a 22,5. 𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 CALOTA ESFÉRICA TEM BASE? Uma calota esférica não tem base, ou seja, uma calota esférica não é composta por duas partes (um pedaço da esfera e um círculo), é composta apenas por um pedaço da casca da esfera. Página 3

6 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE UMA BASE CONHECIMENTO A MAIS Considere um segmento esférico obtido a partir de uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹. SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere um segmento esférico obtido a partir de uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹, compreendida entre dois planos distintos e secantes à esfera, conforme ilustra a parte vermelha da imagem a seguir. A área da superfície de um segmento esférico de uma base é dada pela soma das áreas das superfícies de suas partes. Isto é, 𝐴𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝐴𝐶𝐴𝐿𝑂𝑇𝐴 + 𝐴"𝐵𝐴𝑆𝐸" Observação 2.2: Estamos definindo como BASE do segmento esférico o círculo obtido na interseção da esfera com o plano que a secciona. ÁREA DE ZONA ESFÉRICA Considere um segmento esférica obtido a partir de uma esfera de centro 𝑶 e raio 𝑹. Chamamos de ZONA ESFÉRICA a parte da superfície esférica associada a esse segmento. Pode-se mostrar por meio do cálculo diferencial que o volume de um segmento esférico é dado pela expressão 𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝜋ℎ [3𝒓𝟐 + ℎ2 ] 6 𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐴𝑍𝑂𝑁𝐴 2𝜋𝑅ℎ A expressão acima é equivalente à seguinte 𝑉𝑆𝐸𝐺𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝜋ℎ² [3𝑅 ℎ] 3 𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑧𝑜𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜 TAREFA 2: P.S.A.: 8 e 9. ZONA ESFÉRICA??? A ZONA ESFÉRICA pode ser entendida como a lateral do segmento esférico de duas bases. Ou seja, uma zona esférica não tem bases. Página 4

7 ÁREA DA SUPERFÍCIE E VOLUME DO SEGMENTO ESFÉRICO DE DUAS BASES Considere o segmento esférico de duas bases a seguir. A área da superfície de um segmento esférico de duas bases é dada pela soma das áreas das superfícies de suas partes. Isto é, A SEGM. ESF. A ZONA ESF. + πr 1 ² + πr 2 ² h: altura do segmento esférico r 1 : raio de uma das bases r 2 : raio da outra base Pode-se mostrar, por meio do cálculo diferencial, que o volume de um segmento esférico de duas bases é dado pela expressão V SEGMENTO ESF. πh 6 [3(r 1) 2 + 3(r 2 ) 2 + h 2 ] h: altura do segmento esférico r 1 : raio de uma das bases r 2 : raio da outra base Página 5