Hewlett-Packard FUNÇÃO INVERSA. Aulas 01 a 02. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard FUNÇÃO INVERSA Aulas 0 a 0 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

2 Sumário FUNÇÃO INJETORA FUNÇÃO SOBREJETORA FUNÇÃO BIJETORA EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS FUNÇÃO INVERSA 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3 QUESTÕES EXTRAS 3 GABARITO 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4 EXTRAS 5

3 AULA 0 FUNÇÃO INJETORA Considere uma função f : A B, f é denominada função injetora se, e somente se, para todo x, x A, com x x Exemplo, tem-se f x f x A função f : A B, tal que f x x A,, 3 e,, 4, 6, 8 injetora, pois f f f 3 Exemplo B é uma função A função f : A B, tal que f x x A,,, 3 e,, 4, 6, 8, 9 função injetora, pois f f B não é uma Como identificar se uma função é injetora Verificar se uma função é injetora é verificar se para quaisquer dois elementos diferentes do domínio essa função apresenta imagens iguais Caso apresente pelo menos duas imagens iguais, a função não é injetora FUNÇÃO SOBREJETORA Considere uma função f : A B, f é denominada função sobrejetora se, e somente se, Exemplo 3 Im f B A função f : A B, tal que f x x A,, 3 e B, 4, 6 pois Im f, 4, 6 B Exemplo 4 é uma função sobrejetora, A função f : A B, tal que f x x A,, 3 e,, 4, 6 sobrejetora, pois Im f, 4, 6 B não é uma função B Como identificar se uma função é sobrejetora Verificar se uma função é sobrejetora é verificar se no contradomínio dessa função existe algum elemento que não pertence a sua imagem Caso exista pelo menos um elemento essa função não é sobrejetora FUNÇÃO BIJETORA Considere uma função f : A B, f é denominada função bijetora se, e somente se, f é uma função injetora e sobrejetora Exemplo 5 A função f : A B, tal que f x x A,, 3 e, 4, 6 B é uma função bijetora, pois é uma função injetora e sobrejetora Exemplo 6 A função f : A B, tal que f x x A,, 3 e,, 4, 6 B não é uma função bijetora, pois não é uma função sobrejetora Obs: Quando uma função é bijetora pode-se dizer que ela é uma função inversível EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS Classifique cada função a seguir em sobrejetora, injetora ou bijetora a) f :,, 3, 4, 3, 5, 7, 9, com f x x b) f f x x :,, 3, 4 0, 3, 8, 5, com c) d) * f :, com f x 3x f :, com f x log x e) f : *, com f x log x f) f :,, com f x 3 x Considere uma função f : A B Dado que o conjunto A tem k elementos e o conjunto B tem k 3 elementos, então se f é injetora é correto afirmar que: a) k 5 b) 5 k 7 c) 7 k 8 d) 8 k 0 e) k 0 3 (FCM Sta Casa - SP) Seja a função de em, definida por f x condições, pode-se afirmar que (A) f é injetora e não sobrejetora (B) f é sobrejetora e não injetora (C) f f (D) 0, 5 f f x x 0, se x é par Nessas, se x é ímpar (E) o conjunto imagem de f é 0, Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página

4 4 (UFG) Determine o conjunto B de modo que a função f :, B, definida por f x x 3 seja sobrejetora Justifique Essa função é injetora? Verifique se as funções a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a lei da inversa 3x a) f :, tal que f x AULA 0 FUNÇÃO INVERSA Considere uma função bijetora f : A B Denominase função inversa de f a função f : B A, tal que f: c) f :,, tal que f x log x d) f: 3,, tal que f x x 3 e) f:, 3, tal que f x sen x f) f : ;, 3, tal que f x sen x g) p : 0, para todo x A tem-se f x y f y x Obs : A função inversa de uma função "desfaz" o que a função fez Por exemplo, se a função associa com 5, então sua inversa vai associar o 5 com o Como determinar a lei da inversa de uma função? Para determinar a lei da função inversa de uma função bijetora basta seguir os passos, que serão utilizados no exemplo a seguir f x x 3 # troque f x por y # y x 3 # troque x por y e y por x# x y 3 #isole o y#, tal que p x x 3x 3 (UF Viçosa) Considere a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 0𝑥 + 3, 𝑥 ℝ Seja 𝑔 a função inversa de 𝑓 Então 𝑔( 7) é igual a a) b) c) 3 d) e) 4 (UFMG) O valor de 𝑎, para que a função inversa 𝑥 de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑎 seja 𝑔(𝑥) = 3, é x 3 y x 3 y x 3 f x, tal que f x x 5x 6 b) a) 3 # troque y por f x # b) 3 c) 3 d) e) 3 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS (UFRS) As funções f e f são inversas Se f é definida por f x EXTRA, então f x é igual x 3 QUESTÕES EXTRAS a (A) (B) (C) (D) (E) x 3 3 x 3 x x 3 3 x (EsPECEx) Sabendo que c e d são números reais, o maior valor de d tal que a função f :, definida x c, para x d por f x seja injetora é x 4 x 3, para x d a) 0 b) c) Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

5 d) 3 e) 4 (ITA) Considere as funções f, g e f g: Das afirmações: I Se f e g são injetoras, f g é injetora; II Se f e g são sobrejetoras, f III Se f e g não são injetoras, f IV Se f e g não são sobrejetoras, f sobrejetora É(são) verdadeira(s) g é sobrejetora; g não é injetora; g não é a) Nenhuma b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas III e IV e) Todas 3 Considere as funções f: R R {3}, em que f(x) = x 3 x + e f : A B, em que f é a função inversa de f Determine a lei da função inversa de f 4 Seja a função f: R R, definida por f(x) = 3x + 4 e f sua inversa Os gráficos de f e f a) são coincidentes b) Não têm pontos comuns c) Intercepta=se em dois pontos d) Interceptam-se somente no ponto ( ; ) e) Interceptam-se somente no ponto ( 3 ; 3 ) 5 (CESESP) Seja f :R R a função dada pelo gráfico seguinte: Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico da função inversa de f: y 0 x 6 (EsPCEx 04) Considere a função bijetora f: [; + ) ( ; 3], definida por f(x) = x + x + e seja (a, b) o ponto de interseção de f com sua inversa O valor numérico da expressão a + b é a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 0 GABARITO EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS a) Injetora b) Bijetora c) Injetora d) Bijetora e) Injetora f) Bijetora A 3 E 4 B 0, f não é injetora B a) f (x) = x+ 3 b) Não é inversível Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

6 c) f (x) = 0 x + d) f (x) = log (x + 3) + e) Não é inversível f) f (x) = arcsen (x ) g) p : R + [; + ) definida por p (x) = 3+ 4x+ 3 A 4 E EXTRAS C A 3 f (x) = x 3 x 4 D 5 A 6 B Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5