Questões utilizadas nas aulas de quinta (17/10)

Transcrição

1 Matemática Análise combinatória 3 os anos João/Blaidi out/13 Nome: Nº: Turma: Questões utilizadas nas aulas de quinta (17/10) 1. (Upe 2013) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses calçados nas duas fileiras? a) 6! b) 2. 6! c) 4. 6! d) 6. 6! e) 8! 2. (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal. De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos? 3. Um engenheiro fará uma passarela de 10 metros de comprimento, ligando a porta da casa ao portão da rua. A passarela terá 1 metro de largura e ele, para revesti-la, dispõe de 10 pedras quadradas de lado 1 metro e 5 pedras retangulares de 1 metro por 2 metros. Todas as pedras são da mesma cor, as pedras de mesmo tamanho são indistinguíveis umas das outras e o rejunte ficará aparente, embora com espessura desprezível. De quantas maneiras ele pode revestir a passarela? 4. (Ufmg 2013) Permutando-se os algarismos do número , formam-se números de seis algarismos.

2 Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente, a) DETERMINE quantos números possui essa lista. b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo (Upe 2013) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir: Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? a) b) c) d) e) Uma equipe esportiva composta por 6 jogadoras está disputando uma partida de 2 tempos. No intervalo do primeiro para o segundo tempo podem ser feitas até 3 substituições e, para isto, o técnico dispõe de 4 jogadoras no banco. Quantas formações distintas podem iniciar o segundo tempo? 7. (Afa 2013) Num acampamento militar, serão instaladas três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 soldados, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal maneira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca II e 3 na barraca III. Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B NÃO deve ficar na barraca III, então o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a a) 560 b)

3 c) 1680 d) Cristina e Pedro vão com outros seis amigos, três moças e três rapazes, para uma excursão. No ônibus que vai fazer a viagem sobraram apenas quatro bancos vagos, cada um deles com dois assentos, todos numerados. Ficou acertado que cada banco vago sera ocupado por uma moça e um rapaz, e que Cristina e Pedro se sentarão juntos. Respeitando-se esse acerto, de quantas maneiras o grupo de amigos pode se sentar nos assentos vagos do ônibus? 9. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes vermelha, amarela e verde. Observe a figura: Considere as seguintes informações: cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 10. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que podem ser decompostos em um produto de quatro fatores primos, positivos e distintos, considerando que os quatro sejam menores que 30? 11. O número 2568 possui dígitos em ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente? (A) 126 (B) 144 (C) 186 (D) 210 (E) 252 3

4 Gabarito 1. [B] Podemos organizar as sandálias de 2! formas diferentes, e os sapatos podem ser dispostos de 6! modos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, os calçados podem ser organizados de 2! 6! 2 6! formas distintas. 2. Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 2 2 5! 4! a) = 720. b) Começando com 1: 5! = 120 Começando com 2: 5! = 120 Começando com 3: 5! = 120 Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição. c) A posição do primeiro número que termina em 2 é a trigésima quarta, pois

5 5. [E] Existem 4 escolhas para os acentos em que sentarão Amaro e Danilo. Definidos os assentos que eles ocuparão, ainda podemos permutá-los de 2 maneiras. Além disso, as outras seis pessoas podem ser dispostas de 6! maneiras. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que o resultado pedido é 4 2 6! [B] 1º caso: Soldados A e B na barraca I Barraca I: C 8,2 = 28 Barraca II: C 6,3 = 20 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(1) = = º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II Barraca I: C 8,3 = 56 Baraca II C 5,2 =10 Barraca III: C 3,3 = 1 Total(2) = = 560. Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a = ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por ! 5! 3! ! 5! 2! 3! 1! 2! ª Solução:O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja, 5

6 P (3, 2, 2) 8 8! 3! 2! 2! , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos menores que 30) A quantidade de números naturais, formados por 4 desses fatores, será obtida através de uma combinação simples de 10 elementos tomados 4 a 4. 10! C10, !.6! a 6