Lista de Exercícios MMC e MDC

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1 Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero Aula 11 MMC e MDC (parte 1 de 1) Endereço: Gabarito e Resolução nas últimas páginas. E1: Decomponha os números a seguir e os represente como um produto de fatores primos (ou um único fator primo, caso o número em questão seja primo). E2: Calcule o MMC dos seguintes números: E3: Calcule o MDC em cada um dos itens do exercício E2. E4: Indique os primos entre si no exercício E2. O que são primos entre si? E5: O MMC entre dois números é 72 e o MDC entre os mesmos vale 12. Sabendo que um dos números vale 36, quanto vale o outro? Página 1 de 22

2 E6: Com relação ao número 24: a) Quantos divisores ímpares ele possui? b) Quais são esses divisores ímpares? E7: Com relação ao número 3600 (considere apenas divisores ou múltiplos naturais): a) Quantos divisores ele possui? b) Quantos de seus divisores são primos? c) Quantos de seus divisores são quadrados perfeitos? d) Quantos de seus divisores são cubos perfeitos? e) Quantos de seus divisores são pares? f) Quantos de seus divisores são ímpares? g) Quantos de seus divisores são nulos? h) Quantos de seus divisores são múltiplos de 3? i) Quantos de seus divisores são múltiplos de 6? j) Quantos de seus divisores são múltiplos de 20? k) Quantos de seus divisores são também divisores de 20? l) Quantos de seus divisores são também divisores de 70? m) Quantos são divisores de 128? n) Quantos de seus divisores são múltiplos de 7? Justifique. E8: Pães de hambúrguer são vendidos em embalagens de 4 unidades. Já os hambúrgueres, em embalagens de 12 unidades. Se eu não quero que falte pães e nem hambúrgueres, qual a quantidade mínima de embalagens eu comprarei? E9: Um marceneiro deseja cortar uma placa retangular de madeira de medidas 256 cm por 96 cm em quadrados iguais de maior lado possível, de forma que não haja desperdício (sobras) de madeira. a) Qual deve ser o lado de cada quadrado obtido? b) Quantos quadrados foram obtidos? E10: José e Maria possuem 25 bolinhas brancas, 15 azuis e 90 vermelhas e precisam criar kits idênticos usando o maior número de bolas possível sem que sobre nenhuma bola. a) quantos kits iguais podem fazer? b) Quantas bolas de cada cor haverá em cada kit? Página 2 de 22

3 E11: Certo fenômeno raro ocorre de 12 em 12 anos. Outro fenômeno, mais raro ainda, ocorre de 32 em 32 anos. Se em 2016 os dois eventos ocorreram juntos, em qual ano eles irão ocorrer juntos novamente? E12: Se o número 8 6 tem 90 divisores naturais, qual o valor de n? E13 (UERJ): O ano bissexto possui 366 dias e sempre é múltiplo de 4. O ano de 2012 foi o último bissexto. Porém, há casos especiais de anos que, apesar de múltiplos de 4, não são bissextos: são aqueles que também são múltiplos de 100 e não são múltiplos de 400. O ano de 1900 foi o último caso especial. A soma dos algarismos do próximo ano que será um caso especial é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 E14: Tem-se um certo número de moedas. Contando-se de 12 em 12 ou de 18 em 18, sempre sobram 7 moedas. O número de moedas pode estar entre: a) 100 e 110 b) 110 e 120 c) 120 e 130 d) 130 e 140 e) 140 e 150 E15 (FGV): Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada uma com 25 figurinhas, distribuídas em 5 linhas e 5 colunas. As figurinhas estão ordenadas e numeradas de 1 até 875. Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7ª.,14ª., 21ª., 28ª. e assim sucessivamente. A figura ilustra a primeira página desse álbum. Depois que o álbum for completado com todas as figurinhas, a última página que se iniciará com uma figurinha especial é a de número: a) 27 b) 28 c) 32 d) 33 e) 34 Página 3 de 22

4 E16 (Desafio): O MMC de dois números a e b vale 60 e o MDC de ambos vale x. Determine todos os pares de números que satisfazem a condição: a x b x 7 Página 4 de 22

5 Gabarito e Resolução Nota: Algumas soluções vão parecer mais longas do que realmente são. Isso ocorre pelo fato de eu ser mais didático e detalhista que o necessário. Tenha em mente que na prova uma explicação tão detalhada não é necessária e que algumas das questões (que foram pensadas originalmente para serem realizadas por tentativa) foram feitas pelo modo algébrico, mais complexo. E1: Página 5 de 22

6 E2: Página 6 de 22

7 E3: Basta pintarmos os valores na decomposição que foram capazes de dividir TODOS os números de uma determinada linha. Ao final, multiplicamos todos os valores encontrados e esse será o MDC dos números envolvidos. Se isso não ocorrer em nenhuma linha, então o MDC vale 1. E4: Os primos entre si foram os itens b,e f e h. São todos os números que possuem MDC = 1 (Note que além de máximo, o 1 é o único divisor natural entre eles). Página 7 de 22

8 E5: Sejam os números a e b. Basta lembrarmos que:,, Assim, sendo, temos: E6: Fazendo a decomposição do 24, temos: Os possíveis divisores de 24 são combinações das bases 2 e 3 com os seguintes possíveis expoentes: a) Para que haja divisores ímpares, todos os fatores de base 2 são descartados da contagem. Restam então os fatores de base 3 ( e ). Temos então 2 divisores ímpares. b) 3 1 e 3 3. Logo, 1 e 3 são os divisores ímpares de 24. Página 8 de 22

9 E7: a) Quantos divisores ele possui? Vamos começar fatorando o 3600: Note que a fatoração resultou em (Três bases distintas, 2, 3 e 5). Todos os divisores podem ser escritos como um produto de todas as bases, com os expoentes variando de 0 até n (em que n é o maior expoente possível para cada base). Por exemplo, como o máximo expoente do 2 vale 4, então todos os divisores podem ser escritos com uma base 2 cujos expoentes vão de de 0 até 4 (0, 1, 2, 3, 4). Como o máximo expoente do 3 é o 2, então os valores possíveis para o expoente do 3 são 0, 1 e 2 e para o 5, cujo máximo expoente é 2, os expoentes possíveis são 0, 1, 2. Esquematicamente: Note que nós temos 5 expoentes para o 2, 3 expoentes para o 3 e 3 expoentes para o 5. Ou seja, teremos um total de 5 possibilidades para a base 2, 3 para a base 3 e 3 para a base 5, num total de: divisores. Página 9 de 22

10 b) Quantos de seus divisores são primos? Como vimos no item a, a fatoração de 3600 fornece como resultado. Para entendermos o caso dos primos, vamos pegar um problema simples: Será que um número como é um divisor primo? Obviamente, não, pois ou seja, possui mais de um fator primo. E será que é um divisor primo? Obviamente não, pois ele apresenta, novamente, mais de um fator primo. E? Resulta em 1, que sabemos que não é primo. Do observado, temos então três condições: C1) Não podemos ter produtos de primos; C2) Não podemos ter expoentes maiores que 1 para as bases; C3) Não podemos ter expoentes iguais a zero. Se não podemos ter produtos, as bases devem ser consideradas separadamente (2, 3 e 5). E se não podem ter expoentes maiores que 1 e nem iguais a zero, sobram apenas os expoentes iguais a 1. Logo, 2, 3 e 5 são os divisores primos (total 3). Dica: os divisores primos de um número sempre serão as bases obtidas da decomposição, cada uma delas com o expoente 1 (que não precisa ser representado). c) Quantos de seus divisores são quadrados perfeitos? Para ser um quadrado perfeito, todas as bases devem ter expoentes múltiplos de 2 (não se esqueça: zero também é múltiplo de 2!) Como a fatoração de 3600 resultou em os possíveis expoentes são: Ou seja, divisores que são quadrados perfeitos Página 10 de 22

11 d) Quantos de seus divisores são cubos perfeitos? Raciocínio similar ao do item b: para ser um cubo perfeito, devemos ter todos os expoentes múltiplos de 3 (não se esqueça do zero). Assim sendo, temos: Ou seja, divisores que são cubos perfeitos. e) Quantos de seus divisores são pares? Para serem pares, os divisores precisam ter, pelo menos, um fator 2. Obviamente, não podemos ter, pois este resultado vale 1. Isso significa que para os expoentes de 2 valendo 1, 2, 3 e 4 e as demais bases assumindo quaisquer valores, teremos números pares. Ou seja, divisores pares f) Quantos de seus divisores são ímpares? Se você fez o item a (todos os divisores) e o item e (divisores pares) basta fazer a subtração = 9 divisores que obteremos a resposta (afinal, se tirarmos os divisores pares de todos os divisores, os que sobram são obviamente ímpares). Outra forma de se pensar: os divisores ímpares NÃO POSSUEM nenhum fator 2 (o que é equivalente a dizer que o máximo expoente do 2 é o zero ou, se preferir, podemos simplesmente desconsiderar todas as bases iguais a 2). Os demais expoentes permanecem inalterados. Fica então: Ou seja, divisores ímpares Página 11 de 22

12 g) Quantos de seus divisores são nulos? Divisor nulo (de valor zero) não é definido para os naturais. O que existe é múltiplo nulo (o zero). O zero é o múltiplo de todos os naturais. h) Quantos de seus divisores são múltiplos de 3? Raciocínio similar ao do item e: neste caso, para que um número seja múltiplo de 3, ele deve ter ao menos um fator 3. Já os demais valores são indiferentes. Assim sendo, temos: Ou seja, divisores múltiplos de 3 i) Quantos de seus divisores são múltiplos de 6? Vamos fatorar o 6: Notamos que 7 o que significa que se tivermos, pelo menos um fator e pelo menos fator o número resultante será múltiplo de 6. Assim sendo, temos: Ou seja, múltiplos de 6 Página 12 de 22

13 j) Quantos de seus divisores são múltiplos de 20? Raciocínio parecido com o do item i. Vamos fatorar o 20: Notamos que o que significa que se tivermos, pelo menos um fator e pelo menos fator o número resultante será múltiplo de 20. Assim sendo, temos: Ou seja, múltiplos de 20 Página 13 de 22

14 k) Quantos de seus divisores são também divisores de 20? Já vimos, no item j que a decomposição em fatores primos de 20 fornece. Isso significa que, para ser um divisor de 20 devemos ter (nesta análise inicial) uma base 2 (de, no máximo, expoente 2) e uma base 5 (de, no máximo, expoente 1). Note que não há nenhuma base 3 na decomposição do 20, logo, a base 3 deve ser desconsiderada. Agora, cuidado! Temos que observar o 3600 e ver se essas bases existem (2 e 5) e ver se há limitações para os máximos considerados (por exemplo: vimos que um múltiplo de 20 pode ter em relação ao 2, no máximo ). No entanto, vamos supor que a decomposição do 3600 fornecesse, no máximo,. Nesse caso, obviamente o nosso máximo expoente do 2 (para um divisor de 20) seria reduzido para. E se não houvesse fator 5 na decomposição de 3600? Obviamente, desconsideraríamos todos os fatores 5. Como a decomposição de 3600 fornece (possui todas as bases necessárias que são 2 e 5 e admite os máximos iniciais de e ) então temos: Ou seja, divisores de 20 Página 14 de 22

15 l) Quantos de seus divisores são também divisores de 70? Raciocínio parecido com o item k. Note que não há fatores iguais a 7 na decomposição de 3600, por isso vamos desconsiderá-lo. Na decomposição de 70, a base 2 assume, no máximo o valor de e a base 5, no máximo. Estas duas bases (2 e 5) estão presentes também na decomposição de 3600 que admite os máximos expoentes considerados ( e ). Logo, podemos escrever: Ou seja, divisores de 70 m) Quantos são divisores de 128? Raciocínio parecido com o item k Note que, na decomposição de 128 o expoente máximo do 2 vale 7. Na decomposição de 3600, o expoente máximo de 2 vale 4 (afinal, temos que 7 ). Isso significa que o máximo expoente de 2 a ser considerado será o 4. Como 128 não possui outras bases além de 2, consideraremos apenas a base 2. Logo, podemos escrever: Ou seja, 5 5 divisores de 128 Página 15 de 22

16 n) Quantos de seus divisores são múltiplos de 7? Justifique. Note que 7 é um número primo (desnecessário então fazer a decomposição em fatores primos). Para termos múltiplos de 7 em 3600 temos que, obrigatoriamente, ter (pelo menos) um fator 8 na decomposição de 3600, mas não é o que ocorre, pois 7 (temos apenas as bases 2, 3 e 5, não há uma base 7). Assim sendo, não há múltiplos de 7 entre os divisores de E8: Queremos a quantidade mínima de embalagens de forma que tanto pães quanto hambúrgueres possam ser servidos nas mesmas quantidades. Esse resultado é fornecido pelo MMC (atente para o fato: quantidades MÍNIMAS de pacotes). Logo, temos: Atenção REDOBRADA aqui: Esse valor 12, não significa que temos que comprar 12 embalagens de cada produto, mas sim o MMC (mínimo múltiplo comum) entre as duas quantidades de produtos, ou seja, a situação na qual temos 12 hambúrgueres e 12 pães é a situação de menor compra possível. Agora sim: para 12 hambúrgueres, basta 1 embalagem, mas para 12 pães necessitamos de 3 embalagens (pois 3 x 4 = 12). Portanto, a quantidade mínima de embalagens a serem compradas é 4 (uma de hambúrguer e três de pão). Página 16 de 22

17 E9: Se queremos que o lado seja o MAIOR possível, estamos lidando com um caso clássico de MDC. a) Logo, cada quadrado terá uma medida de 32 x 32 cm. b) Área da placa: :. Já a área de um quadrado é :. Dividindo-se a área maior pela menor, obtemos: 24576: , portanto teremos 24 quadrados. Uma outra forma de se pensar: 7: < e =7:. Logo, temos 8 x 3 = 24 quadrados. E10: Novamente: se os kits precisam usar a MAIOR quantidade de bolas de cada possível, temos um problema de MDC. Então teremos 5 kits e em cada kit teremos: 25: 5 = 5 bolinhas brancas, 15: 5 = 3 bolinhas azuis e 90: 5 = 18 bolinhas vermelhas. Aqui já respondemos os itens a) e b). Página 17 de 22

18 E11: Fenômenos que ocorrem hoje, possuem períodos diversos e ocorrerão novamente juntos (ou próximos) em uma data futura são casos clássicos de problemas de MMC. Logo, o fenômeno ocorrerá novamente em 96 anos e, se ocorreram em 2016, ocorrerão novamente no ano de = 2112 E12: Lembrando que 8 2 >, e que 6 2 3, temos: >? >? 2 3 = 2 >?@ 3 Se você entendeu bem os exemplos até agora feitos, sabe que, para cada fator do tipo a A teremos (b+1) divisores. Por exemplo: 2 > fornece (31 4) divisores (2, 2, 2 e 2 > ). Consequentemente, se temos, na decomposição em primos, os fatores B 9 C, então a quantidade de divisores é de 1 D1. Desse raciocínio, temos que a quantidade de divisores (90) pode ser encontrada da seguinte forma: 3E E E E330 3E 30G3 3E 27 3E 30G3 3E 27 E 9 Página 18 de 22

19 E13: ALTERNATIVA A Muito fácil, pelo detalhe do número em questão ser múltiplo de 100 (ou seja, termina em 00). Depois de 1900 temos 2000 (que dá pra dividir por 400) logo depois 2100 (que já é a resposta, pois 2100 não dá pra dividir por 400). Logo, que seria a alternativa A. E14: ALTERNATIVA B Se sempre sobram 7 moedas, temos então que o número em questão (menos 7) é ao mesmo tempo múltiplo de 12 e de 18. Vamos calcular o mmc entre 12 e 18: Logo, ao somarmos 7 ( ) encontraremos o primeiro número natural que satisfaz a condição do problema (verifique). E isso vai ocorrer de 36 em 36. Logo, ao realizarmos (que resulta em 79) encontramos o segundo número que satisfaz as condições do problema. Finalmente, ao somarmos novamente 36 ( = 115) encontraremos um valor que agora está entre as alternativas (alternativa B). Página 19 de 22

20 E15: ALTERNATIVA E Nota: o exercício é bem simples e relativamente rápido de se resolver por tentativa (é a primeira solução) No entanto, apresentaremos uma segunda solução, mais algébrica e complexa. Podemos resolver o problema por tentativa, mas com um detalhe: Cada número de cada página inicial é um múltiplo de 25 acrescido de 1 ( a primeira é , a segunda é ) e, de modo geral, todas as primeiras páginas podem ser obtidas pela expressão H. Agora, cuidado: como a primeira página começa com n = 0, isso significa que para a última página (35) o n vale 34 e assim por diante. Se quiser bater o número do n com o número da página (ou seja, para que ambos representem a mesma numeração na fórmula) podemos fazer HG Queremos que essa expressão seja um múltiplo de 7. Usando a expressão anterior e testando as alternativas (de trás para a frente, pois se testarmos do menor para o maior seremos obrigados a testar todas as alternativas). Assim, temos: Para a página 35: (não é múltiplo de 7) Para a página 34: (é a resposta!) Logo, Alternativa E Solução 2: se a questão fosse dissertativa, teríamos que pensar em outra solução. Aí vai ela: Já sabemos que os primeiros números de cada página podem ser obtidos pela expressão HG O problema é encontrar o primeiro múltiplo de 7 que ocupa o primeiro lugar na página. Uma vez encontrado, o ciclo se repetirá (novo múltiplo de 7 na primeira página) a cada 25 x 7 = 175 páginas (mmc entre 25 e 7). Como já conhecemos as páginas 1 e 2, vamos testar as páginas de 3 em diante. Para E 3: G Para E 4: G 87 Para E 5: G Para E 6: 7G 7 IúJKLMJN OP 8! Página 20 de 22

21 Encontramos o primeiro múltiplo de 7 que ocupa a primeira página (126). Sabemos que o maior valor numérico é 875. Logo, teremos no máximo (875/175 = 5) 5 sequências de números múltiplos considerando até o último número da última página (o que é mais do que o limite necessário, que vai até o primeiro número da última página). Logo, como estamos trabalhando com números naturais, devemos considerar até a 4 sequência. Disso, temos: Lembrando-se que este número (assim como todos os primeiros números de cada página) pode ser obtido pela expressão HG, então temos: ng ng G1 ng ng ng133 E 331 E 34 (Alternativa E) E16: Para facilitar a notação e a compreensão, vamos adotar SST U,V IIW e SXT U,V IOW. Ou seja, Y IOW. Sabemos que: IIW IOW UV IOW UV Pelo enunciado, U V 8 IOW IOW IIW Sabemos também que mmc = 60. Vamos substituir nas duas fórmulas acima: Z :D9 [\]çã_ ` 60 :D9 7 [\]çã_ `` :D9 Página 21 de 22

22 Substituindo a Equação I na Equação II, temos: Dividir é multiplicar pelo inverso. Assim, sendo, vamos simplificar a bc f gh de f i i fb B de : Fazendo a mesma simplificação com o B gh i B i f 7 de obtemos i. Assim, temos: f Claro que não dá pra resolver uma equação com duas incógnitas, mas note os seguintes fatos: 1) a e b são naturais não nulos (pois não se fala de MMC e MDC se os números envolvidos não forem naturais e diferentes de zero). 2) Os resultados i f e i B são naturais (pois estes resultados são B equivalentes, respectivamente a jck e f e a divisão pelo MDC (veja jck bem: máximo DIVISOR comum) só pode fornecer números naturais. 3) A soma das duas parcelas vale 7. Logo, as parcelas podem assumir, inicialmente, os valores: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e tanto a como b são divisores de 60. E quais números, dividindo o 60, fornecem os resultados 1, 2, 3, 4, 5 e 6? Respectivamente 60, 30, 20, 15, 12 e 10. Agora resta ver quais desses pares satisfazem a solução: i i 7 i i 7 i i 7 i > l Logo, os três pares são: 60 e 10, 30 e 12 e 20 e 15. Página 22 de 22