Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório

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1 Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório 1

2 O objectivo do Cálculo Combinatório é resolver problemas do tipo: quantas matriculas de carro é possível fazer em Portugal ; quantos números de telefone existem, etc. Aprender Cálculo Combinatório é como aprender a escrever: há alguns elementos fundamentais ( letras ) que é preciso aprender a juntar para formar palavras. Estes elementos fundamentais são três (1) Permutações; (2) Rolos da Registadora; (3) Partes de um Conjunto. Imaginemos que temos três pessoas sentadas num banco de jardim; de quantas formas diferentes é possível sentá-las? Imaginemos que temos quatro cubos de quatro cores diferentes; quantas torres de quatro cubos é possível construir? Imaginemos que numa corrida partem dez atletas; quantas são as ordens pelas quais estes dez atletas podem chegar à meta? Em todos estes problemas basta contar o número de trocas (permutações) que podemos fazer. Por exemplo, se as pessoas no banco de jardim são A(ntónio), B(eatriz), C(arlos), elas podem-se sentar das seguintes formas: ABC, BCA, CAB, ABC, CBA, BAC. Nos cubos é semelhante. Se as cores são A(marelo), B(ranco), C(astanho), E(sverdeado), podemos empilhar os cubos das formas seguintes: ABCE, BCEA, BEAC, etc. Finalmente, se os ateletas estão numerados de 0-9, eles podem chegar à meta pelas ordens seguintes: , , etc. 2

3 Em todos os casos como se pode saber facilmente qual é o número de possibilidades, qual é o número de trocas, qual é o número de permutações? O número de permutações de n elementos é n! = n(n 1)(n 2) Assim, o primeiro problema acima tem 3 pessoas logo há 3! maneiras diferentes de sentar as pessoas no banco de jardim. E 3! = 3 2 = 6. O problema dos cubos resolve-se calculando as permutações de 4 cubos diferentes o que dá 4! = = 24. O problema dos atletas resolve-se calculando as permutações de um conjunto com 10 elementos, o que dá 10! = = O segundo elemento fundamental no Cálculo Combinatório são os Rolos de Registadora. Antigamente as máquinas registadoras tinham uma série de rolos e em cada um havia 10 algarismos. Se o número de rolos é 6, então o número de números que é possível escrever é = Imaginemos agora que queremos saber quantas palavras (eventualmente sem sentido) de três letras é possível fazer com as letras A e B. Podemos considerar que temos três rolos e cada rolo tem as duas letras. Por isso, temos = 2 3. Imaginemos agora que queremos ver quantas matriculas de carro é possível fazer em Portugal. Temos 6 rolos, nos quatro primeiros temos os 10 algarismos e nos dois restantes temos 24 letras. Portanto a solução é = Quantas chaves de Totobola é possível fazer? O número de jogos são 13. Portanto temos 13 rolos e cada rolo pode tomar o valor 1, X ou 2. Logo a solução é 3 13 = Quantas chaves de Totoloto é possível fazer? Aqui já temos um problema diferente. Queremos escolher 6 números de um conjunto de 47. Outro problema semelhante é o seguinte. De quantas formas diferentes é possível encher um carro de 5 lugares tendo um grupo de 16 pessoas? Tal como no caso do Totoloto, queremos saber quantos subconjuntos de cinco pessoas é possível formar a partir de um conjunto de 16 pessoas. Dado um conjunto com n elementos, chamamos Partes do Conjunto com k elementos aos subconjuntos do conjunto inicial que têm k elementos. O número de partes do conjunto com k elementos é representado por Ck n e 3

4 designa-se por combinações de n, k a k. C n k = n! k!(n k)!. Assim o número de chaves do totoloto é C 47 6 = 47! 6!(41)! = Este número é aproximadamente o número de segundos que há em 4 meses. Portanto acertar no Totoloto é semelhante a acertar num segundo previamente escolhido no espaço de 4 meses. Quanto ao segundo problema apresentado acima, a solução é C 16 5 = 16! 5!(11)! = Estes três são os elementos básicos do Cálculo Combinatório, tal como as letras são os elementos básicos da escrita. Agora podemos compor os elementos básicos para resolver problemas mais complicados. Por exemplo, temos 10 cubos de cores diferentes e queremos construir pilhas de 4 cubos. De quantas formas é possível fazê-lo? A primeira coisa a fazer é ver quantos conjuntos de quatro cubos podemos fazer a partir de um conjunto de dez cubos. A resposta é C4 10. Agora cada um destes conjuntos pode ser empilhado de 4! formas diferentes. Logo o resultado final será C4 10 4!. 4

5 3 o TESTE 5

6 1. Temos 5 cubos de cores diferentes. De quantas formas os podemos empilhar? 1 R: Trata-se das permutações de 5, ou seja, a resposta é 5! = Temos 10 cubos de cores diferentes. De quantas formas podemos fazer pilhas de 5 cubos? 2 R: Primeiro temos de fazer os subconjuntos de 5 cubos que são C5 10. Depois podemos empilhar cada um desses conjuntos de cubos de 5! maneiras diferentes. Portanto o resultado final é C5 10 5!. 3. Temos cubos de 10 cores diferentes e podemos fazer pilhas repetindo as cores. Quantas pilhas diferentes de cinco cubos é possível fazer? 3 R: É um caso de rolos de registadora. Temos cinco rolos e em cada um deles podemos colocar 10 cores diferentes. Logo temos = No código binário quantos números existem com n algarismos? 4 R: É um caso de rolos de registadora. No primeiro rolo podemos ter 0 ou 1; no segundo também 0 ou 1, etc. Portanto temos = 2 n. 1 Exercício 7. a) página 46 2 Exercício 7. b) página 46 3 Exercício 7. c) página 46 4 Exercício 15. página 47 6

7 5. De quantas maneiras diferentes é possível pintar bandeiras com duas cores diferentes escolhidas entre 9. 5 R: Primeiro temos de saber quantos sub-conjuntos com dois elementos é possível formar com 9 elementos. Este número é dado por C2 9 = 9! = 2!7! 36. Depois, para cada um destes conjuntos, podemos pintar a bandeira de duas formas: uma cor perto do mastro e a outra longe ou vice-versa. Portanto o número final será 36 2 = De quantas maneiras diferentes é possível pintar bandeiras com três cores diferentes escolhidas entre 9. 6 R: Primeiro temos de saber quantos sub-conjuntos com três elementos é possível formar com 9 elementos. Este número é dado por C3 9 = 9! = 168. Suponhamos que temos um destes sub-conjuntos; por exemplo, E(ncarnado), V(erde), A(marelo). Com estas três cores podemos 3!6! pintar a bandeira de 3! formas diferentes. Portanto o número total de possibilidades é 168 3! = De quantas maneiras diferentes se podem sentar três crianças num banco de carro. E se forem mais crianças, mas só puderem ir 3? 7 R: A primeira pergunta é de permutações e a resposta é 3!. Quanto à segunda pergunta, suponhamos que há n crianças. Primeiro temos de fazer sub-conjuntos de n elementos e depois temos de contar o número de diferentes maneiras que há de sentar cada um desses grupos de três crianças. O número de sub-conjuntos de três elementos é C n 3. Cada uma destes grupos de três crianças pode ser disposto num banco de 3! formas diferentes. Logo a resposta é C 9 3 3!. 8. numa caixa de lápis de cor há seis lápis de cores diferentes. Quantas possibilidades diferentes existem de tirar n lápis (onde n 6). 8 R: A resposta, evidentemente, é C 6 n. 9. Num saco há 6 rebuçados de 6 cores diferentes. De quantas maneiras diferentes se podem escolher dois sabores diferentes? 9 5 Exercício 17. página 47 6 Exercício 18. página 48 7 Exercício 19. página 48 8 Exercício 20. página 48 9 Exercício 21. página 48 7

8 R: A resposta, evidentemente, é C Quantos sabores são necessários para durante um ano inteiro se conseguir comer sempre dois rebuçados diferentes? 10 R: O número de sabores é n. Se tirarmos dois rebuçados por dia, temos C2 n possibilidade diferentes. E nós queremos que C2 n 365. Logo n! 2!(n 2)! n! (n 2)! n (n 1) (n 2)! 739 (n 2)! n(n 1) 730 n 2 n Agora resolvemos a equação de segundo grau o que dá n = 1 ± = 1 ± 54, 04 2 = 27, 52. Portanto, quando n = 27, 52 temos que n(n 1) Logo, para n = 28 (ou seja, se tivermos 28 sabores diferentes) conseguimos fazer mais de 365 pares de rebuçados diferentes. 11. O Sr. António todos os dias come três peças diferentes de fruta e ao longo do ano nunca repete as mesmas três qualidades de fruta. Quantas qualidades diferentes de frutas é que ele precisa para conseguir seguir esta ementa. 11 R: O número de frutas diferentes é n. Éle escolhe três frutas por dia logo tem C3 n possibilidade diferentes. E nós queremos que C3 n 365. Logo n! 3!(n 3)! n! ! (n 3)! n (n 1) (n 2) (n 3)! 2190 (n 3)! n(n 1)(n 2) Agora como os alunos não conhecem nenhuma fórmula para resolver este problema, é preciso ir por tentativas. Se n = 10, temos n(n 1)(n 2) = 720. Se n = 20 temos n(n 1)(n 2) = Se n = 15 temos n(n 1)(n 2) = Já estamos perto. Se n = 14 temos 10 Exercício 22. página Exercício 23. página 48 8

9 n(n 1)(n 2) = Portanto, 14 não dá possibilidades suficientes, mas 15 dá. A solução é ter fruta de 15 qualidades diferentes. 9

10 4 o TESTE 10

11 1. Diga quantas chaves diferentes podem ser premiadas num concurso de Totoloto. R: No Totoloto são premiadas as chaves que têm de 6 a 3 números certos. Assim, temos uma chave com 6 números certos, temos C 6 5 com 5 números certos, temos C 6 4 com quatro números certos e temos C 6 3 com três números certos. Há ainda as chaves de cinco certos mais o suplementar. Assim o resultado final é 1 + C C C C 6 5 = ! 4!2! + 6! 3!3! + 5 = Suponha que temos um grupo com 10 rapazes e 15 raparigas dos quais queremos sentar 5 num carro. Sabendo que atrás vão 3 raparigas e à frente vão 2 rapazes, diga de quantas formas diferentes é possível encher o carro. R: Começamos por escolher as três raparigas. Há C3 15 formas de o fazer. Agora cada um destes grupos de 3 raparigas pode sentar-se no banco de trás de 3! formas diferentes. Portanto, temos C3 15 3! formas diferentes de sentar as raparigas. Analogamente, para os rapazes, podemos fazer C2 10 grupos de 2, e cada um destes grupos pode ser sentado de 2 maneiras diferentes no banco da frente. Agora o número total é C ! C O Pedro tem um livro que permite compor bonecos. Sabendo que o livro tem 4 chapéus, 8 caras, 6 camisolas, 7 calções e 10 sapatos, diga quantos bonecos diferentes pode o Pedro fazer. 11

12 R: É um problema de rolos de registadora. A resposta é Um comentador desportivo defendeu que os treinadores de futebol deveriam testar todas as equipas que é possível construir com o plantel para ver qual a melhor. Supondo que o plantel tem 25 jogadores e que a equipa fazia um jogo por dia, quanto tempo seria necessário para rodar todas as possíveis equipas? R: Cada equipa tem 11 jogadores. Logo o número de equipas possíveis é C11 25 = ! 11!14! = = = Portanto, como há equipas, seriam precisos igual número de dias, ou seja, mais de 12 mil anos Claro que o comentador poderia defender-se dizendo que cada jogador tem a sua posição (um guarda-redes não é avançado). Neste caso imaginando que uma equipa tem 3 jogadores para cada posição, quantas equipas diferentes é possível construir? R: É um problema de rolos de registadora. Temos o que dá mais de 485 anos = 3 11 = Com os algarismos de 1 a 5, diga quantos números de quatro algarismos menores que 3000 e múltiplos de 5 é possível formar. R: Para o número ser múltiplo de 5 terá de terminar em 0 ou 5. Para ser menor que 3000 só pode ter quatro algarismos e o primeiro no máximo pode ser 2. Logo temos um problema de rolos de registadora, com 4 rolos, no primeiro só aparece o 1 ou o 2; no último só aparece 12

13 o 5 (porque o zero não é dado), e nos dois elementos do meio pode aparecer qualquer número de 1 a 5. portanto a resposta é = Suponha que tem os algarismos de 5 a 9. Diga quantos números pares de 3 algarismos pode formar com os algarismos dados. R: Para o número ser par terá de terminar num número par. Os únicos possíveis são 6 e 8. Os outros dois números podem ser quaisquer. Logo temos os rolos da registadora com = Suponha que tem os algarismos de 5 a 9. Diga quantos números pares de 3 algarismos pode formar com os algarismos dados e sem repetir algarismos. R: Para o número ser par terá de terminar num número par. Os únicos possíveis são 6 e 8. imaginemos que escolhemos o 6 para aparecer em último lugar. Agora temos de ver quantos números de dois algarismos é possível fazer com os algarismos 5, 7, 8, 9. Começamos por contar o número de subconjuntos de dois algarismos que é possível fazer C 4 2. Agora cada um destes conjuntos permite fazer 2 números de dois algarismos. Por exemplo, os algarismos 5, 8 permitem fazer o 58 e o 85. Assim, com os números 5, 7, 8, 9 podemos fazer C números de dois algarismos. O número de números com dois algarismos que conseguimos fazer com 5, 6, 7, 9 é igual. Logo o número final pedido é C C Quantos múltiplos de 3 menores que 100 se podem escrever com os algarismos 2, 4, 5. R: Para um número ser múltiplo de 3, a soma dos seus algarismos tem de ser múltiplo de 3. Como o número é menor que 100, o número só 13

14 pode ter dois algarismos. Assim temos = = = = = 9. As únicas possibilidades são e Logo os números possíveis são 24, 42, 45 e