Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório"

Transcrição

1 Alguns Apontamentos Sobre Cálculo Combinatório 1

2 O objectivo do Cálculo Combinatório é resolver problemas do tipo: quantas matriculas de carro é possível fazer em Portugal ; quantos números de telefone existem, etc. Aprender Cálculo Combinatório é como aprender a escrever: há alguns elementos fundamentais ( letras ) que é preciso aprender a juntar para formar palavras. Estes elementos fundamentais são três (1) Permutações; (2) Rolos da Registadora; (3) Partes de um Conjunto. Imaginemos que temos três pessoas sentadas num banco de jardim; de quantas formas diferentes é possível sentá-las? Imaginemos que temos quatro cubos de quatro cores diferentes; quantas torres de quatro cubos é possível construir? Imaginemos que numa corrida partem dez atletas; quantas são as ordens pelas quais estes dez atletas podem chegar à meta? Em todos estes problemas basta contar o número de trocas (permutações) que podemos fazer. Por exemplo, se as pessoas no banco de jardim são A(ntónio), B(eatriz), C(arlos), elas podem-se sentar das seguintes formas: ABC, BCA, CAB, ABC, CBA, BAC. Nos cubos é semelhante. Se as cores são A(marelo), B(ranco), C(astanho), E(sverdeado), podemos empilhar os cubos das formas seguintes: ABCE, BCEA, BEAC, etc. Finalmente, se os ateletas estão numerados de 0-9, eles podem chegar à meta pelas ordens seguintes: , , etc. 2

3 Em todos os casos como se pode saber facilmente qual é o número de possibilidades, qual é o número de trocas, qual é o número de permutações? O número de permutações de n elementos é n! = n(n 1)(n 2) Assim, o primeiro problema acima tem 3 pessoas logo há 3! maneiras diferentes de sentar as pessoas no banco de jardim. E 3! = 3 2 = 6. O problema dos cubos resolve-se calculando as permutações de 4 cubos diferentes o que dá 4! = = 24. O problema dos atletas resolve-se calculando as permutações de um conjunto com 10 elementos, o que dá 10! = = O segundo elemento fundamental no Cálculo Combinatório são os Rolos de Registadora. Antigamente as máquinas registadoras tinham uma série de rolos e em cada um havia 10 algarismos. Se o número de rolos é 6, então o número de números que é possível escrever é = Imaginemos agora que queremos saber quantas palavras (eventualmente sem sentido) de três letras é possível fazer com as letras A e B. Podemos considerar que temos três rolos e cada rolo tem as duas letras. Por isso, temos = 2 3. Imaginemos agora que queremos ver quantas matriculas de carro é possível fazer em Portugal. Temos 6 rolos, nos quatro primeiros temos os 10 algarismos e nos dois restantes temos 24 letras. Portanto a solução é = Quantas chaves de Totobola é possível fazer? O número de jogos são 13. Portanto temos 13 rolos e cada rolo pode tomar o valor 1, X ou 2. Logo a solução é 3 13 = Quantas chaves de Totoloto é possível fazer? Aqui já temos um problema diferente. Queremos escolher 6 números de um conjunto de 47. Outro problema semelhante é o seguinte. De quantas formas diferentes é possível encher um carro de 5 lugares tendo um grupo de 16 pessoas? Tal como no caso do Totoloto, queremos saber quantos subconjuntos de cinco pessoas é possível formar a partir de um conjunto de 16 pessoas. Dado um conjunto com n elementos, chamamos Partes do Conjunto com k elementos aos subconjuntos do conjunto inicial que têm k elementos. O número de partes do conjunto com k elementos é representado por Ck n e 3

4 designa-se por combinações de n, k a k. C n k = n! k!(n k)!. Assim o número de chaves do totoloto é C 47 6 = 47! 6!(41)! = Este número é aproximadamente o número de segundos que há em 4 meses. Portanto acertar no Totoloto é semelhante a acertar num segundo previamente escolhido no espaço de 4 meses. Quanto ao segundo problema apresentado acima, a solução é C 16 5 = 16! 5!(11)! = Estes três são os elementos básicos do Cálculo Combinatório, tal como as letras são os elementos básicos da escrita. Agora podemos compor os elementos básicos para resolver problemas mais complicados. Por exemplo, temos 10 cubos de cores diferentes e queremos construir pilhas de 4 cubos. De quantas formas é possível fazê-lo? A primeira coisa a fazer é ver quantos conjuntos de quatro cubos podemos fazer a partir de um conjunto de dez cubos. A resposta é C4 10. Agora cada um destes conjuntos pode ser empilhado de 4! formas diferentes. Logo o resultado final será C4 10 4!. 4

5 3 o TESTE 5

6 1. Temos 5 cubos de cores diferentes. De quantas formas os podemos empilhar? 1 R: Trata-se das permutações de 5, ou seja, a resposta é 5! = Temos 10 cubos de cores diferentes. De quantas formas podemos fazer pilhas de 5 cubos? 2 R: Primeiro temos de fazer os subconjuntos de 5 cubos que são C5 10. Depois podemos empilhar cada um desses conjuntos de cubos de 5! maneiras diferentes. Portanto o resultado final é C5 10 5!. 3. Temos cubos de 10 cores diferentes e podemos fazer pilhas repetindo as cores. Quantas pilhas diferentes de cinco cubos é possível fazer? 3 R: É um caso de rolos de registadora. Temos cinco rolos e em cada um deles podemos colocar 10 cores diferentes. Logo temos = No código binário quantos números existem com n algarismos? 4 R: É um caso de rolos de registadora. No primeiro rolo podemos ter 0 ou 1; no segundo também 0 ou 1, etc. Portanto temos = 2 n. 1 Exercício 7. a) página 46 2 Exercício 7. b) página 46 3 Exercício 7. c) página 46 4 Exercício 15. página 47 6

7 5. De quantas maneiras diferentes é possível pintar bandeiras com duas cores diferentes escolhidas entre 9. 5 R: Primeiro temos de saber quantos sub-conjuntos com dois elementos é possível formar com 9 elementos. Este número é dado por C2 9 = 9! = 2!7! 36. Depois, para cada um destes conjuntos, podemos pintar a bandeira de duas formas: uma cor perto do mastro e a outra longe ou vice-versa. Portanto o número final será 36 2 = De quantas maneiras diferentes é possível pintar bandeiras com três cores diferentes escolhidas entre 9. 6 R: Primeiro temos de saber quantos sub-conjuntos com três elementos é possível formar com 9 elementos. Este número é dado por C3 9 = 9! = 168. Suponhamos que temos um destes sub-conjuntos; por exemplo, E(ncarnado), V(erde), A(marelo). Com estas três cores podemos 3!6! pintar a bandeira de 3! formas diferentes. Portanto o número total de possibilidades é 168 3! = De quantas maneiras diferentes se podem sentar três crianças num banco de carro. E se forem mais crianças, mas só puderem ir 3? 7 R: A primeira pergunta é de permutações e a resposta é 3!. Quanto à segunda pergunta, suponhamos que há n crianças. Primeiro temos de fazer sub-conjuntos de n elementos e depois temos de contar o número de diferentes maneiras que há de sentar cada um desses grupos de três crianças. O número de sub-conjuntos de três elementos é C n 3. Cada uma destes grupos de três crianças pode ser disposto num banco de 3! formas diferentes. Logo a resposta é C 9 3 3!. 8. numa caixa de lápis de cor há seis lápis de cores diferentes. Quantas possibilidades diferentes existem de tirar n lápis (onde n 6). 8 R: A resposta, evidentemente, é C 6 n. 9. Num saco há 6 rebuçados de 6 cores diferentes. De quantas maneiras diferentes se podem escolher dois sabores diferentes? 9 5 Exercício 17. página 47 6 Exercício 18. página 48 7 Exercício 19. página 48 8 Exercício 20. página 48 9 Exercício 21. página 48 7

8 R: A resposta, evidentemente, é C Quantos sabores são necessários para durante um ano inteiro se conseguir comer sempre dois rebuçados diferentes? 10 R: O número de sabores é n. Se tirarmos dois rebuçados por dia, temos C2 n possibilidade diferentes. E nós queremos que C2 n 365. Logo n! 2!(n 2)! n! (n 2)! n (n 1) (n 2)! 739 (n 2)! n(n 1) 730 n 2 n Agora resolvemos a equação de segundo grau o que dá n = 1 ± = 1 ± 54, 04 2 = 27, 52. Portanto, quando n = 27, 52 temos que n(n 1) Logo, para n = 28 (ou seja, se tivermos 28 sabores diferentes) conseguimos fazer mais de 365 pares de rebuçados diferentes. 11. O Sr. António todos os dias come três peças diferentes de fruta e ao longo do ano nunca repete as mesmas três qualidades de fruta. Quantas qualidades diferentes de frutas é que ele precisa para conseguir seguir esta ementa. 11 R: O número de frutas diferentes é n. Éle escolhe três frutas por dia logo tem C3 n possibilidade diferentes. E nós queremos que C3 n 365. Logo n! 3!(n 3)! n! ! (n 3)! n (n 1) (n 2) (n 3)! 2190 (n 3)! n(n 1)(n 2) Agora como os alunos não conhecem nenhuma fórmula para resolver este problema, é preciso ir por tentativas. Se n = 10, temos n(n 1)(n 2) = 720. Se n = 20 temos n(n 1)(n 2) = Se n = 15 temos n(n 1)(n 2) = Já estamos perto. Se n = 14 temos 10 Exercício 22. página Exercício 23. página 48 8

9 n(n 1)(n 2) = Portanto, 14 não dá possibilidades suficientes, mas 15 dá. A solução é ter fruta de 15 qualidades diferentes. 9

10 4 o TESTE 10

11 1. Diga quantas chaves diferentes podem ser premiadas num concurso de Totoloto. R: No Totoloto são premiadas as chaves que têm de 6 a 3 números certos. Assim, temos uma chave com 6 números certos, temos C 6 5 com 5 números certos, temos C 6 4 com quatro números certos e temos C 6 3 com três números certos. Há ainda as chaves de cinco certos mais o suplementar. Assim o resultado final é 1 + C C C C 6 5 = ! 4!2! + 6! 3!3! + 5 = Suponha que temos um grupo com 10 rapazes e 15 raparigas dos quais queremos sentar 5 num carro. Sabendo que atrás vão 3 raparigas e à frente vão 2 rapazes, diga de quantas formas diferentes é possível encher o carro. R: Começamos por escolher as três raparigas. Há C3 15 formas de o fazer. Agora cada um destes grupos de 3 raparigas pode sentar-se no banco de trás de 3! formas diferentes. Portanto, temos C3 15 3! formas diferentes de sentar as raparigas. Analogamente, para os rapazes, podemos fazer C2 10 grupos de 2, e cada um destes grupos pode ser sentado de 2 maneiras diferentes no banco da frente. Agora o número total é C ! C O Pedro tem um livro que permite compor bonecos. Sabendo que o livro tem 4 chapéus, 8 caras, 6 camisolas, 7 calções e 10 sapatos, diga quantos bonecos diferentes pode o Pedro fazer. 11

12 R: É um problema de rolos de registadora. A resposta é Um comentador desportivo defendeu que os treinadores de futebol deveriam testar todas as equipas que é possível construir com o plantel para ver qual a melhor. Supondo que o plantel tem 25 jogadores e que a equipa fazia um jogo por dia, quanto tempo seria necessário para rodar todas as possíveis equipas? R: Cada equipa tem 11 jogadores. Logo o número de equipas possíveis é C11 25 = ! 11!14! = = = Portanto, como há equipas, seriam precisos igual número de dias, ou seja, mais de 12 mil anos Claro que o comentador poderia defender-se dizendo que cada jogador tem a sua posição (um guarda-redes não é avançado). Neste caso imaginando que uma equipa tem 3 jogadores para cada posição, quantas equipas diferentes é possível construir? R: É um problema de rolos de registadora. Temos o que dá mais de 485 anos = 3 11 = Com os algarismos de 1 a 5, diga quantos números de quatro algarismos menores que 3000 e múltiplos de 5 é possível formar. R: Para o número ser múltiplo de 5 terá de terminar em 0 ou 5. Para ser menor que 3000 só pode ter quatro algarismos e o primeiro no máximo pode ser 2. Logo temos um problema de rolos de registadora, com 4 rolos, no primeiro só aparece o 1 ou o 2; no último só aparece 12

13 o 5 (porque o zero não é dado), e nos dois elementos do meio pode aparecer qualquer número de 1 a 5. portanto a resposta é = Suponha que tem os algarismos de 5 a 9. Diga quantos números pares de 3 algarismos pode formar com os algarismos dados. R: Para o número ser par terá de terminar num número par. Os únicos possíveis são 6 e 8. Os outros dois números podem ser quaisquer. Logo temos os rolos da registadora com = Suponha que tem os algarismos de 5 a 9. Diga quantos números pares de 3 algarismos pode formar com os algarismos dados e sem repetir algarismos. R: Para o número ser par terá de terminar num número par. Os únicos possíveis são 6 e 8. imaginemos que escolhemos o 6 para aparecer em último lugar. Agora temos de ver quantos números de dois algarismos é possível fazer com os algarismos 5, 7, 8, 9. Começamos por contar o número de subconjuntos de dois algarismos que é possível fazer C 4 2. Agora cada um destes conjuntos permite fazer 2 números de dois algarismos. Por exemplo, os algarismos 5, 8 permitem fazer o 58 e o 85. Assim, com os números 5, 7, 8, 9 podemos fazer C números de dois algarismos. O número de números com dois algarismos que conseguimos fazer com 5, 6, 7, 9 é igual. Logo o número final pedido é C C Quantos múltiplos de 3 menores que 100 se podem escrever com os algarismos 2, 4, 5. R: Para um número ser múltiplo de 3, a soma dos seus algarismos tem de ser múltiplo de 3. Como o número é menor que 100, o número só 13

14 pode ter dois algarismos. Assim temos = = = = = 9. As únicas possibilidades são e Logo os números possíveis são 24, 42, 45 e

PRINCÍPIOS DA MULTIPLICAÇÃO, DA ADIÇÃO E DA INCLUSÃO-

PRINCÍPIOS DA MULTIPLICAÇÃO, DA ADIÇÃO E DA INCLUSÃO- Matemática Discreta 2009.10 Exercícios CAP2 pg 1 PRINCÍPIOS DA MULTIPLICAÇÃO, DA ADIÇÃO E DA INCLUSÃO- EXCLUSÃO 1. Quantas sequências com 5 letras podem ser escritas usando as letras A,B,C? 2. Quantos

Leia mais

Ficha Prática 5: Cap 3.Princípios Elementares de Contagem

Ficha Prática 5: Cap 3.Princípios Elementares de Contagem Matemática Discreta - 2010/11 Cursos: Engenharia Informática, Informática de Gestão DEPARTAMENTO de MATEMÁTICA ESCOLA SUPERIOR de TECNOLOGIA e de GESTÃO - INSTITUTO POLITÉCNICO de BRAGANÇA Ficha Prática

Leia mais

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade

Lista de Exercícios Critérios de Divisibilidade Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 10 - Critérios de - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=1f1qlke27me Gabaritos nas últimas

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT - UNIRIO PROFESSOR JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

PREPARATÓRIO PROFMAT - UNIRIO PROFESSOR JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA PREPARATÓRIO PROFMAT - UNIRIO PROFESSOR JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer a viagem

Leia mais

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL

MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI PRAIA GRANDE - SP PARABÉNS!!! VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material.

Leia mais

Lista Análise Combinatória

Lista Análise Combinatória NOME: ANO: 2º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Lista Análise Combinatória Exercícios básicos 1. Quatro times de futebol (Vasco, Atlético, Corinthians e Internacional) disputam um torneio. Quantas

Leia mais

AV2 - MA 12-2011 UMA SOLUÇÃO

AV2 - MA 12-2011 UMA SOLUÇÃO Questão 1. Considere os caminhos no plano iniciados no ponto (0, 0) com deslocamentos paralelos aos eixos coordenados, sempre de uma unidade e no sentido positivo dos eixos x e y (não se descarta a possibilidade

Leia mais

1. Quantos números de três algarismos diferentes se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6?

1. Quantos números de três algarismos diferentes se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6? ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADES 1. Quantos números de três algarismos diferentes se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6? (120) 2. Dos números formados nas condições do exercício anterior

Leia mais

PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana

PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana PERMUTAÇÃO, ARRANJO E COMBINAÇÃO Monitora Juliana PERMUTAÇÕES SIMPLES Uma permutação de se denominarmos objetos distintos é qualquer agrupamento ordenado desses objetos, de modo que, o número das permutações

Leia mais

12 26, 62, 34, 43 21 37, 73 30 56, 65

12 26, 62, 34, 43 21 37, 73 30 56, 65 1 Questão 1 Solução a) Primeiro multiplicamos os algarismos de 79, obtendo 7 9 = 63, e depois somamos os algarismos desse produto, obtendo 6 + 3 = 9. Logo o transformado de é 79 é 9. b) A brincadeira de

Leia mais

Matemática Discreta - 08

Matemática Discreta - 08 Universidade Federal do Vale do São Francisco urso de Engenharia da omputação Matemática Discreta - 08 Prof. Jorge avalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Resoluções A. Combinatória 1 3 os anos Blaidi/Walter Ago/09. Nome: Nº: Turma:

Resoluções A. Combinatória 1 3 os anos Blaidi/Walter Ago/09. Nome: Nº: Turma: Matemática Resoluções A. Combinatória 3 os anos Blaidi/Walter Ago/09 Nome: Nº: Turma: Prezadísssimos alunos e alunas, Neste bimestre, aprenderemos a resolver questões de análise combinatória com o auílio

Leia mais

Prova Escrita de Matemática

Prova Escrita de Matemática ESCOLA SECUNDÁRIA C/3º CICLO DO ENSINO BÁSICO DE LOUSADA Prova Escrita de Matemática 3.º Ciclo do ensino Básico ; 9ºAno de escolaridade A PREENCHER PELO ALUNO Nome completo do aluno Duração da Prova: 90

Leia mais

Apontamentos de matemática 5.º ano - Múltiplos e divisores

Apontamentos de matemática 5.º ano - Múltiplos e divisores Múltiplos e divisores (revisão do 1.º ciclo) Os múltiplos de um número inteiro obtêm-se multiplicando esse número pela sequência dos números inteiros. Exemplos: Alguns múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18,

Leia mais

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2.

SOLUÇÕES N2 2015. item a) O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Solução da prova da 1 a fase OBMEP 2015 Nível 1 1 SOLUÇÕES N2 2015 N2Q1 Solução O maior dos quatro retângulos tem lados de medida 30 4 = 26 cm e 20 7 = 13 cm. Logo, sua área é 26 x 13= 338 cm 2. Com um

Leia mais

Lista de Exercícios MMC e MDC

Lista de Exercícios MMC e MDC Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 11 MMC e MDC (parte 1 de 1) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=l2k66gp-sm4 Gabarito e Resolução nas últimas

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

0. Objectivo. 1. Erros no remate. 1.1. Ângulo de erro

0. Objectivo. 1. Erros no remate. 1.1. Ângulo de erro 0. Objectivo Vamos ver como algumas situações nos jogos de futebol podem ser estudadas de um ponto de vista matemático. Para isso, vamos considerar um modelo muito simplificado do que acontece realmente

Leia mais

Desenvolvimento do Sistema de Numeração. 6 ano/e.f.

Desenvolvimento do Sistema de Numeração. 6 ano/e.f. Módulo Operações Básicas Desenvolvimento do Sistema de Numeração. 6 ano/e.f. Operações Básicas. Desenvolvimento do Sistema de Numeração. 1 Exercícios Introdutórios b) Exercício 1. Observe a tabela abaixo

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Fatoração Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau Aula 02: Fatoração Fatorar é transformar uma soma em um produto. Fator comum: Agrupamentos: Fatoração Quadrado Perfeito Fatoração

Leia mais

PRICÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO: Podemos agora enunciar o princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem, segue:

PRICÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO: Podemos agora enunciar o princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem, segue: ANÁLISE COMBINATÓRIA Prof. Aurimenes A análise combinatória é a parte da matemática que estuda os problemas de contagem, isto é, podemos calcular a quantidade de subconjuntos de um dado conjunto finito,

Leia mais

Solução da prova da 2a fase OBMEP 2014 Nível 2. Questão 1. item a)

Solução da prova da 2a fase OBMEP 2014 Nível 2. Questão 1. item a) Questão 1 Cada nova pilha tem dois cubinhos a mais em sua base. Assim, como a terceira pilha tem 5 cubinhos em sua base, a quarta pilha tem 5 + 2 = 7 cubinhos e a quinta pilha tem 7 + 2 = 9 cubinhos em

Leia mais

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações Equações do 1º grau com duas incógnitas Uma equação do 1º grau com duas incógnitas tem um número infinito de soluções. Para determinar se um par ordenado

Leia mais

Matemática Ficha de Trabalho Equações

Matemática Ficha de Trabalho Equações Matemática Ficha de Trabalho Equações 7ºano. Considera a equação: 4 + b = b + 8. Indique: a) A incógnita b) O º membro c) O º membro d) Os termos do º membro e) Os termos do º membro f) Verifica se e 7

Leia mais

1.2. Grandezas Fundamentais e Sistemas de Unidades

1.2. Grandezas Fundamentais e Sistemas de Unidades CAPÍTULO 1 Grandezas, Unidades e Dimensões 1.1. Medidas Uma grandeza física é uma propriedade de um corpo, ou particularidade de um fenómeno, susceptível de ser medida, i.e. à qual se pode atribuir um

Leia mais

Lista de Exercícios - Subtração

Lista de Exercícios - Subtração Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 5 - Subtração - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=eedxautqdaa Gabaritos nas últimas páginas!

Leia mais

Matemática Ficha de Apoio Modelos de Probabilidade - Introdução

Matemática Ficha de Apoio Modelos de Probabilidade - Introdução Matemática Ficha de Apoio Modelos de Probabilidade - Introdução 12ºano Introdução às probabilidades No final desta unidade, cada aluno deverá ser capaz de: - Identificar acontecimentos com conjuntos e

Leia mais

NDMAT Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos

NDMAT Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos 01) Em um edifício residencial com 54 apartamentos, 36 condôminos pagam taxa de condomínio de R$ 180,00; para os demais, essa taxa é de R$ 240,00. Qual é o valor da taxa média de condomínio nesse edifício?

Leia mais

Análise Combinatória. Quantos números de três algarismos distintos existem no sistema decimal?

Análise Combinatória. Quantos números de três algarismos distintos existem no sistema decimal? 1. Questão Análise Combinatória Numa promoção feita por uma conhecida empresa fabricante de refrigerantes, em cada tampinha vinha um prognóstico com relação ao primeiro, segundo e terceiro colocados, respectivamente,

Leia mais

Unidade 10 Análise combinatória. Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial

Unidade 10 Análise combinatória. Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial Unidade 10 Análise combinatória Introdução Princípio Fundamental da contagem Fatorial Introdução A escolha do presente que você deseja ganhar em seu aniversário, a decisão de uma grande empresa quando

Leia mais

Distribuição Binomial e Normal

Distribuição Binomial e Normal Distribuição Binomial e Normal O que se pretende, neste módulo, é apresentar dois modelos teóricos de distribuição de probabilidade, aos quais um experimento aleatório estudado possa ser adaptado, o que

Leia mais

Equipe de Matemática MATEMÁTICA

Equipe de Matemática MATEMÁTICA Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 6B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: MATEMÁTICA Aritmética Sistema de Numeração Decimal Nosso sistema de numeração utiliza dez símbolos para representar todos

Leia mais

Prova de Aferição de Matemática

Prova de Aferição de Matemática PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO 2009 A PREENCHER PELO ALUNO Rubrica do Professor Aplicador Nome A PREENCHER PELO AGRUPAMENTO Número convencional do Aluno Número convencional do Aluno A PREENCHER PELA

Leia mais

Questões utilizadas nas aulas de quinta (17/10)

Questões utilizadas nas aulas de quinta (17/10) Matemática Análise combinatória 3 os anos João/Blaidi out/13 Nome: Nº: Turma: Questões utilizadas nas aulas de quinta (17/10) 1. (Upe 2013) Seguindo a etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental

Leia mais

7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental

7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental 7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental Instruções: 1. Você deve estar recebendo um caderno com dez questões na 1ª parte da prova, duas questões na 2ª parte e duas questões na 3ª parte. Verifique, portanto,

Leia mais

Prova de Aferição de Matemática

Prova de Aferição de Matemática PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO A PREENCHER PELO ALUNO Rubrica do Professor Aplicador Nome A PREENCHER PELO AGRUPAMENTO Número convencional do Aluno Número convencional do Aluno A PREENCHER PELA U.A.

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Análise Combinatória Lista A Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Análise Combinatória Lista A Professor Marco Costa 1 1. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca- Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º

Leia mais

Análise Combinatória

Análise Combinatória Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1 Análise Combinatória Curitiba 2014 A preparação da sequência didática de Análise Combinatória se procedeu continuamente em

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Combinatória - Nível 2. Jogos. 1. Simetria. Prof. Bruno Holanda

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Combinatória - Nível 2. Jogos. 1. Simetria. Prof. Bruno Holanda Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Combinatória - Nível 2 Prof. Bruno Holanda Aula 6 Jogos Quando falamos em jogos, pensamos em vários conhecidos como: xadrez, as damas e os jogos com baralho. Porém,

Leia mais

Análise e Resolução da prova do ICMS-PE Disciplinas: Matemática Financeira e Raciocínio Lógico Professor: Custódio Nascimento

Análise e Resolução da prova do ICMS-PE Disciplinas: Matemática Financeira e Raciocínio Lógico Professor: Custódio Nascimento Disciplinas: Matemática Financeira e Raciocínio Lógico Professor: Custódio Nascimento 1- Análise da prova Análise e Resolução da prova do ICMS-PE Neste artigo, farei a análise das questões de Matemática

Leia mais

Probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis em um dado experimento.

Probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis em um dado experimento. Probabilidade é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis em um dado experimento. número de casos favoráveis probabilidade número de casos possíveis Nessa definição convém

Leia mais

Escola Secundária de Lousada

Escola Secundária de Lousada Escola Secundária de Lousada Ficha de Trabalho de Matemática 9º ano FT. Data: / / 0 Assunto: Probabilidades Lições nº,. A seguir estão apresentados alguns dados relativos aos alunos da turma do Roberto...

Leia mais

Álgebra Linear Computacional

Álgebra Linear Computacional Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco. PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br Sistemas de Equações Lineares Espaços

Leia mais

5 são flamenguistas. A metade dos restantes é

5 são flamenguistas. A metade dos restantes é Simulado de matemática Professor Quilelli Academia do Concurso Público 1) Joana comeu metade das balas que haviam em um saco. Marina comeu a terça parte das balas do saco. Eulália comeu as 5 balas restantes.

Leia mais

Oficina: Jogar para gostar e aprender matemática. Profa. Dra. Adriana M. Corder Molinari dri.molinari@uol.com.br

Oficina: Jogar para gostar e aprender matemática. Profa. Dra. Adriana M. Corder Molinari dri.molinari@uol.com.br Oficina: Jogar para gostar e aprender matemática Profa. Dra. Adriana M. Corder Molinari dri.molinari@uol.com.br 1 Implicações do Jogo Quatro Cores: Para jogar bem, é preciso economia de cores e consideração

Leia mais

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática. GABARITO Segunda Fase

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática. GABARITO Segunda Fase XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível 1 Segunda Fase Parte A CRITÉRIO DE CORREÇÃO: PARTE A Na parte A serão atribuídos 5 pontos para cada resposta correta e a pontuação

Leia mais

Estatística e Probabilidade. Aula 5 Cap 03 Probabilidade

Estatística e Probabilidade. Aula 5 Cap 03 Probabilidade Estatística e Probabilidade Aula 5 Cap 03 Probabilidade Na aula anterior vimos... Conceito de Probabilidade Experimento Probabilístico Tipos de Probabilidade Espaço amostral Propriedades da Probabilidade

Leia mais

Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013

Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Números inteiros Z ± 7º Ano / 2013 Sobre a origem dos sinais A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número.

Leia mais

Usando potências de 10

Usando potências de 10 Usando potências de 10 A UUL AL A Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176.

Leia mais

AV1 - MA 14-2011. (1,0) (a) Determine o maior número natural que divide todos os produtos de três números naturais consecutivos.

AV1 - MA 14-2011. (1,0) (a) Determine o maior número natural que divide todos os produtos de três números naturais consecutivos. Questão 1 (1,0) (a) Determine o maior número natural que divide todos os rodutos de três números naturais consecutivos (1,0) (b) Resonda à mesma questão no caso do roduto de quatro números naturais consecutivos

Leia mais

Matemática Aplicada. A Quais são a velocidade máxima e a velocidade mínima registradas entre 12:00 horas e 18:00 horas?

Matemática Aplicada. A Quais são a velocidade máxima e a velocidade mínima registradas entre 12:00 horas e 18:00 horas? Matemática Aplicada 1 Em certo mês, o Departamento de Estradas registrou a velocidade do trânsito em uma rodovia. A partir dos dados, é possível estimar que, por exemplo, entre 12:00 horas e 18:00 horas

Leia mais

a) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?

a) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas? 2 0 BIMESTRE INFORMÁTICA 3 0 ANO ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de

Leia mais

PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO 2011 A PREENCHER PELO ALUNO

PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO 2011 A PREENCHER PELO ALUNO PROVA DE AFERIÇÃO DO ENSINO BÁSICO 2011 A PREENCHER PELO ALUNO Rubrica do Professor Aplicador Nome A PREENCHER PELO AGRUPAMENTO Número convencional do Aluno Número convencional do Aluno A PREENCHER PELA

Leia mais

Tudo vem dos sonhos. Primeiro sonhamos, depois fazemos.

Tudo vem dos sonhos. Primeiro sonhamos, depois fazemos. Nível 1 5 a e 6 a séries do Ensino Fundamental 2ª FASE - 8 de outubro de 2005 Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno. Nome do(a) aluno(a): Assinatura do(a) aluno(a): Parabéns pelo seu desempenho na

Leia mais

http://geocities.yahoo.com.br/logicaemconcursos Prof. Leonardo Barroso http://geocities.yahoo.com.br/logicaemconcursos Prof.

http://geocities.yahoo.com.br/logicaemconcursos Prof. Leonardo Barroso http://geocities.yahoo.com.br/logicaemconcursos Prof. PROVA DE RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO ANEEL - Técnico Administrativo Aplicada em 07//2004pela ESAF 3- Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo.

Leia mais

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira PROJETO TEIA DO SABER

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira PROJETO TEIA DO SABER Assunto: Análise Combinatória Professor: José Marcos Lopes Data: novembro de 2004 V - ARRANJOS COM REPETIÇÃO Objetivo: Sistematizar o conceito de arranjo com repetição. Da mesma forma que feito anteriormente,

Leia mais

Estruturas de Repetição

Estruturas de Repetição Estruturas de Repetição Lista de Exercícios - 04 Algoritmos e Linguagens de Programação Professor: Edwar Saliba Júnior Estruturas de Repetição O que são e para que servem? São comandos que são utilizados

Leia mais

Representações de caracteres

Representações de caracteres Representações de caracteres Sistemas de Numeração A necessidade de contar é algo que acompanha o ser humano desde tempos imemoriais. Sistemas de Numeração Usando o polegar para indicar em cada dedo a

Leia mais

Canguru de Matemática Brasil 2016 Nível PE Respostas

Canguru de Matemática Brasil 2016 Nível PE Respostas Canguru de Matemática Brasil 2016 Nível PE Respostas Problemas de 3 pontos 1. Qual letra do quadro ao lado não está na palavra LAGOA? (A) B (B) L (C) G (D) N (E) O 1. Alternativa D A letra N não aparece

Leia mais

Tarefa nº_ 1.8. Probabilidades e Combinatória Análise Combinatória

Tarefa nº_ 1.8. Probabilidades e Combinatória Análise Combinatória Tarefa nº_ 1.8 MATEMÁTICA Probabilidades e Combinatória Análise Combinatória Nome: 12º Ano Data / / 1. A Câmara Municipal de uma cidade decidiu alterar o sistema de matrículas das motorizadas. Assim, cada

Leia mais

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas A UU L AL A Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas

Leia mais

Módulo de Sistemas de Numeração e Paridade. Divisibilidade em Diferentes Bases de Numeração. Tópicos Adicionais

Módulo de Sistemas de Numeração e Paridade. Divisibilidade em Diferentes Bases de Numeração. Tópicos Adicionais Módulo de Sistemas de Numeração e Paridade Divisibilidade em Diferentes Bases de Numeração Tópicos Adicionais Professores Tiago Miranda e Cleber Assis Sistemas de Numeração e Paridade Divisibilidade em

Leia mais

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais.

POTENCIAÇÂO. A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. POTENCIAÇÂO A potenciação é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais. A potência é o resultado. x x x cada termo desta multiplicação é chamado de fator, portanto temos 4 fatores iguais

Leia mais

COLÉGIO NOSSA SENHORA DA ASSUNÇÃO

COLÉGIO NOSSA SENHORA DA ASSUNÇÃO COLÉGIO NOSSA SENHORA DA ASSUNÇÃO FAMALICÃO ANADIA FICHA DE TRABALHO N.º2 DE MATEMÁTICA Data: Outubro de 2009 Turmas: 12ºA e 12ºB TÉCNICAS DE CONTAGEM: Arranjos com repetição ; Arranjos sem repetição;

Leia mais

Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F.

Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F. Gabarito de Matemática do 6º ano do E.F. Lista de Exercícios (L11) Querido(a) aluno(a), vamos retomar nossos estudos relembrando os conceitos de divisores, múltiplos, números primos, mmc e mdc. Divisor

Leia mais

Nome: N.º: Turma: Classificação: Professor: Enc. Educação:

Nome: N.º: Turma: Classificação: Professor: Enc. Educação: Escola EB, de Ribeirão (Sede) ANO LECTIVO 010/011 Dezembro 010 Nome: Nº: Turma: Classificação: Professor: Enc Educação: Ficha de Avaliação de Matemática Versão Duração do Teste: 90 minutos 6 de Dezembro

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina. e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto

Leia mais

Matemática Fascículo 05 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática Fascículo 05 Manoel Benedito Rodrigues Matemática Fascículo 05 Manoel Benedito Rodrigues Índice Revisão de Tópicos do Ensino Fundamental Exercícios...1 Dicas...2 Resoluções... Revisão de Tópicos do Ensino Fundamental Exercícios 01. Sobre o

Leia mais

(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,

(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23, Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1)

Leia mais

Congruências Lineares

Congruências Lineares Filipe Rodrigues de S Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Agosto 006 Congruências Lineares Introdução A idéia de se estudar congruências lineares pode vir

Leia mais

SIMULADO MATEMÁTICA. 3) Com os algarismos 2, 5, 7, e 8, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser escritos?

SIMULADO MATEMÁTICA. 3) Com os algarismos 2, 5, 7, e 8, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser escritos? NOME: DATA DE ENTREGA: / / SIMULADO MATEMÁTICA 1) Uma sorveteria oferece uma taça de sorvete que pode vir coberta com calda de chocolate, ou de morango ou de caramelo. O sorvete pode ser escolhido entre

Leia mais

QUESTÃO 18. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.

QUESTÃO 18. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra. Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 04 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 3 8 + 30 = a) 8 b) 9 c) 8 d) 9 e) 58 5 5 3 3 8

Leia mais

Canguru Matemático sem Fronteiras 2015

Canguru Matemático sem Fronteiras 2015 anguru Matemático sem Fronteiras 2015 http://www.mat.uc.pt/canguru/ ategoria: Mini-Escolar - nível III Destinatários: alunos do 4. o ano de escolaridade ome: Turma: Duração: 1h 30min anguru Matemático.

Leia mais

Ciclo com Contador : instrução for. for de variável := expressão to. expressão do instrução

Ciclo com Contador : instrução for. for de variável := expressão to. expressão do instrução Métodos de Programação I 2. 27 Ciclo com Contador : instrução for identificador downto for de variável := expressão to expressão do instrução UMA INSTRUÇÃO (SIMPLES OU COMPOSTA) Neste caso o ciclo é repetido

Leia mais

OBI2013 Caderno de Tarefas

OBI2013 Caderno de Tarefas OBI2013 Caderno de Tarefas Modalidade Iniciação Nível 1, Fase 2 31 de agosto de 2013 A PROVA TEM DURAÇÃO DE 2 HORAS Promoção: Patrocínio: Olimpíada Brasileira de Informática OBI2013 1 Instruções LEIA ATENTAMENTE

Leia mais

Teste Intermédio de Matemática A Matemática A Entrelinha 1,5 (Versão única igual à Versão 1) 12.º Ano de Escolaridade

Teste Intermédio de Matemática A Matemática A Entrelinha 1,5 (Versão única igual à Versão 1) 12.º Ano de Escolaridade Teste Intermédio de Matemática A Entrelinha,5 Teste Intermédio Matemática A Entrelinha,5 (Versão única igual à Versão ) Duração do Teste: 90 minutos 8.0.03.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/004,

Leia mais

Circuitos Aritméticos

Circuitos Aritméticos Circuitos Aritméticos Semi-Somador Quando queremos proceder à realização de uma soma em binário, utilizamos várias somas de dois bits para poderemos chegar ao resultado final da operação. Podemos, então,

Leia mais

Matemática Régis Cortes MÚLTIPLOS E DIVISORES

Matemática Régis Cortes MÚLTIPLOS E DIVISORES MÚLTIPLOS E DIVISORES Múltiplos e divisores de um número Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Observe as seguintes divisões entre números Naturais:

Leia mais

PROJETO PILOTO O uso do Material Dourado como ferramenta para compreender o Sistema de Numeração Decimal-posicional.

PROJETO PILOTO O uso do Material Dourado como ferramenta para compreender o Sistema de Numeração Decimal-posicional. ESCOLA MUNICIPAL JOAQUIM DO RÊGO CAVALCANTI PROJETO PILOTO O uso do Material Dourado como ferramenta para compreender o Sistema de Numeração Decimal-posicional. Ipojuca/2012 O uso do Material Dourado como

Leia mais

6 a Série (7 o Ano) Avaliação Diagnóstica Matemática (Entrada) Ensino Fundamental. Gestão da Aprendizagem Escolar. Nome da Escola.

6 a Série (7 o Ano) Avaliação Diagnóstica Matemática (Entrada) Ensino Fundamental. Gestão da Aprendizagem Escolar. Nome da Escola. Gestão da Aprendizagem Escolar Avaliação Diagnóstica Matemática (Entrada) 6 a Série (7 o Ano) Ensino Fundamental Nome da Escola Cidade Estado Nome do Aluno Idade Sexo feminino masculino Classe Nº 1. A

Leia mais

RESOLUÇÃO. O número inteiro mais próximo é 8.

RESOLUÇÃO. O número inteiro mais próximo é 8. 1 Marta quer comprar um tecido para forrar uma superfície de 10m. Quantos metros, aproximadamente, ela deve comprar de uma peça que tem 1,5m de largura e que, ao lavar, encolhe cerca de 4% na largura e

Leia mais

Algoritmo da raiz quadrada

Algoritmo da raiz quadrada Algoritmo da raiz quadrada Existem várias formas de nos aproximarmos do valor da raiz quadrada de um número. Uma delas, a equação de Pell, permite encontrar a parte inteira para de uma raiz quadrada de

Leia mais

Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 2016 Disciplina: MATEMÁTICA

Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone:   PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 2016 Disciplina: MATEMÁTICA Nome: N.º: Endereço: Data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA O 9 Ọ ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM 06 Disciplina: MATEMÁTICA Prova: DESAFIO NOTA: QUESTÃO 6 Analise cada item com atenção: I. O antecedente

Leia mais

Catálogo com truques e jogos de cartas

Catálogo com truques e jogos de cartas Catálogo com truques e jogos de cartas Toque Rápido1 São colocadas cinco cartas sobre a mesa pelo Ajudante do Mágico. Um Voluntário escolhe uma, e comunica a sua escolha ao Ajudante. O Mágico entra em

Leia mais

QUESTÃO 3 ALTERNATIVA E 24 é o maior número que aparece na figura. Indicamos abaixo a sequência de operações e seu resultado. 24 2 12 6 144.

QUESTÃO 3 ALTERNATIVA E 24 é o maior número que aparece na figura. Indicamos abaixo a sequência de operações e seu resultado. 24 2 12 6 144. OBMEP 009 Nível 1 1 QUESTÃO 1 Na imagem que aparece no espelho do Benjamim, o ponteiro dos minutos aponta para o algarismo, enquanto que o ponteiro das horas está entre o algarismo 6 e o traço correspondente

Leia mais

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística

AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística AMEI Escolar Matemática 9º Ano Probabilidades e Estatística A linguagem das probabilidades As experiências podem ser consideradas: - aleatórias ou casuais: quando é impossível calcular o resultado à partida;

Leia mais

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

Triângulos e suas medidas Trigonometria

Triângulos e suas medidas Trigonometria Resumos Matematik Triângulos e suas medidas Trigonometria Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um manual escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor. Setembro

Leia mais

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014

1.1 UFPR 2014. Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014 Sumário 1 Questões de Vestibular 1 1.1 UFPR 2014.................................... 1 1.1.1 Questão 1................................. 1 1.1.2 Questão 2................................. 2 1.1.3 Questão

Leia mais

Somando os termos de uma progressão aritmética

Somando os termos de uma progressão aritmética A UA UL LA Somando os termos de uma progressão aritmética Introdução Um pouco de História Na aula passada, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos

Leia mais

TOM, SEMITOM, SUSTENIDO, BEMOL.

TOM, SEMITOM, SUSTENIDO, BEMOL. TOM, SEMITOM, SUSTENIDO, BEMOL. Tom e semitom (ou tono e semitono): são diferenças específicas de altura, existentes entre as notas musicais, isto é, são medidas mínimas de diferença entre grave e agudo.

Leia mais

ATIVIDADE DE MATEMÁTICA Data de entrega 12/04/2012

ATIVIDADE DE MATEMÁTICA Data de entrega 12/04/2012 OSASCO, DE DE 2012 NOME: PROF. 6º ANO ATIVIDADE DE MATEMÁTICA Data de entrega 12/04/2012 1. Responda: a) 144 é múltiplo de 9? Por quê? b) 415 é múltiplo de 7? Por quê? 2. O campeonato mundial de Futebol

Leia mais

Lista 4 Introdução à Programação Entregar até 07/05/2012

Lista 4 Introdução à Programação Entregar até 07/05/2012 Lista 4 Introdução à Programação Entregar até 07/05/2012 1. Um vendedor necessita de um algoritmo que calcule o preço total devido por um cliente. O algoritmo deve receber o código de um produto e a quantidade

Leia mais

(a 2, b) = p 2 q 2. AV2 - MA 14-2011. Questão 1.

(a 2, b) = p 2 q 2. AV2 - MA 14-2011. Questão 1. Questão 1. (1,5) Sejam a e b dois números naturais tais que (a, b) = pq, em que p e q são dois números primos distintos. Quais são os possíveis valores de (a) (a 2, b)? (b) (a 3, b)? (c) (a 2, b 3 )? Suponhamos

Leia mais

1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo

1 CLASSIFICAÇÃO 2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS. Matemática 2 Pedro Paulo Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA IV 1 CLASSIFICAÇÃO De acordo com o gênero (número de lados), os polígonos podem receber as seguintes denominações: Na figura 2, o quadrilátero foi dividido em triângulos.

Leia mais

ARRANJO E COMBINAÇÃO. n! n,p. =, com n p. (n - p)! 4! 4! 4,3 = = = 4! = 4.3.2.1 = 24 (4-3)! 1! Prof. Rivelino Matemática Básica TIPOS DE AGRUPAMENTOS

ARRANJO E COMBINAÇÃO. n! n,p. =, com n p. (n - p)! 4! 4! 4,3 = = = 4! = 4.3.2.1 = 24 (4-3)! 1! Prof. Rivelino Matemática Básica TIPOS DE AGRUPAMENTOS RRNJO E COMBINÇÃO TIPOS DE GRUPMENTOS Problema 01 n! n,p =, com n p. (n - p)! No problema 01, devemos contar quantas sequências de três seleções podemos formar com as quatro seleções semifinalistas. 4!

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. alternativa A. alternativa E. alternativa E Questão TIPO DE PROVA: A Uma empresa entrevistou k candidatos a um determinadoempregoerejeitouumnúmerode candidatos igual a 5 vezes o número de candidatos aceitos. Um possível valor para k é: a) 56 b)

Leia mais