Análise Combinatória

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1 Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência Projeto Matemática 1 Análise Combinatória Curitiba 2014

2 A preparação da sequência didática de Análise Combinatória se procedeu continuamente em uma análise dos livros didáticos do ensino médio, a fim de entender como o conteúdo é abordado pelos autores desses livros. Além disso, para que o conteúdo fosse melhor abordado, realizamos leituras de artigos científicos os quais abordam a investigação matemática e resolução de problemas como foco principal. Nosso objetivo ao aplicarmos essa oficina aos alunos do 2º ano do ensino médio de uma das escolas vinculadas ao projeto era de que eles não ficassem presos ás fórmulas para a resolução desses problemas. No entanto, o princípio fundamental da contagem era o foco das aulas. Nas primeiras aulas, seria entregue aos alunos diversos exercícios de Análise Combinatória, entre eles: combinações e arranjos simples, princípios de contagem, permutações, etc. O objetivo era que os alunos solucionassem os mesmos sem saberem a fórmula, apenas utilizando contagem. Após isso as fórmulas seriam apresentadas e seria feita a retomada dos exercícios já entregues nas aulas anteriores, e esses seriam resolvidos utilizando a fórmula. A ideia era que o aluno compreendesse que não é necessário fórmula para resolver esse tipo de exercício. Segue abaixo os assuntos abordados, em sequência, e os exercícios aplicados. Principio Fundamental da Contagem Se um evento pode ser dividido em n etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa e P¹, o número de possibilidades na segunda etapa é P², então o total de possibilidades do evento ocorrer é, sucessivamente: PE= P¹ P² P³... P n. Exercícios de aplicação: 1) Uma executiva possui em seu guarda-roupas 10 saias, 20 camisas, 10 blazers e 15 pares de sapatos. Quantos dias ela poderá ir ao trabalho considerando que ela não repita o seu traje? Pelo Principio Fundamental da Contagem temos: PE= = dias.

3 2) (UTFPR- Atualizado) Os números dos telefones da Região Metropolitana de Curitiba tem oito algarismos cujo primeiro dígito é 3.O número máximo de telefones que podem ser instalados é: a) b) c) d) e) PE= = (Alternativa: D). 3) (ITA) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1,3,5,6,8 e 9? a) 60 b) 120 c) 240 d)40 e) 80 PE= = 120 (Alternativa: B). 4) (FGV) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de carne,5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a) 120 b) 144 c) 14 d) 60 e) 12 PE = = 120 (Alternativa: A). 5) (Unificado - RJ) As placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como por exemplo, GYK O número de placas diferentes que podem ser construídas é aproximadamente: a) b) c) d) e) PE= = (Alternativa: E). 6) (FAAP)Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6 andar utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes ele poderá chegar até o 6 andar? a) 24 b) 18 c) 15 d) 20 e) 12 PE= 3 5 = 15 (Alternativa: C).

4 Permutação Simples Permutação simples de n elementos distintos é qualquer grupo ordenado desses n elementos. Permutando os 3 elementos distintos de A = {x, y, z}, por exemplo, temos: (x, y, z); (x, z, y); (y, x, z); (y, z, x); (z, x, y) e (z, y, x). Temos 6 permutações simples. Note que para a primeira posição temos 3 possibilidades (x ou y ou z), na segunda posição temos 2 possibilidades (sobram 2 letras) e para a terceira posição, temos 1 possibilidade (sobra 1 letra). Para o cálculo de Permutações Simples, usamos: P n = n (n 1) (n 2)... 1 Exercícios de aplicação: 1) Considere a palavra DILEMA e determine: a) O número total de anagramas. b) O número de anagramas que começam com a letra D. c) O número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A. d) O número de anagramas que começam com vogal. a) O número total de anagramas é P6 = 6! = 720 anagramas. b) Para calcular o número de anagramas que começam com a letra D, fixamos a letra D e permutamos as demais D I L E M A. Logo, P5 = 5! = 120 anagramas. c) Neste caso, vamos fixar a letra D e a letra A e permutar as demais. D I L E M A. Logo, P4 = 4! = 24 anagramas. d) No item b, vemos que para cada letra fixada na primeira posição há 120 anagramas. Como existem 3 vogais diferentes, o número de anagramas que começam com vogal é = 360 anagramas. 2) De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em 6 carteiras, em fila? 3) (Fuvest SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogal é: a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144

5 4) Os anagramas da palavra EDUCATIVO que começam com vogal e terminam com consoante são em número de: a) P 9 b) P 7 c) P 7 P 5 P 4 d) 2 P 7 e) 20 P 7 5) (FCC BA) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: I) O número total deles é 720. II) O número dos que terminam com a letra A é 25. III) O número dos que começam com EN é 24. Assinale a alternativa correta: a) Só a afirmação I é verdadeira. b) A afirmação II é verdadeira. c) Só a afirmação III é verdadeira. d) As afirmações I e II são verdadeiras. e) As afirmações I e III são verdadeiras. Soluções: 1) a) O número total de anagramas é P6 = 6! = 720 anagramas. b) Para calcular o número de anagramas que começam com a letra D, fixamos a letra D e permutamos as demais D I L E M A. Logo, P5 = 5! = 120 anagramas. c) Neste caso, vamos fixar a letra D e a letra A e permutar as demais. D I L E M A. Logo, P4 = 4! = 24 anagramas. d) No item b, vemos que para cada letra fixada na primeira posição há 120 anagramas. Como existem 3 vogais diferentes, o número de anagramas que começam com vogal é = 360 anagramas. 2) O número total de modos que as 6 pessoas podem se sentar é P6 = 6! = 720 modos. 3) Temos que a palavra FUVEST tem 2 vogais. Logo, fixamos uma das duas na primeira letra, e a outra na ultima letra, e permutamos o restante das letras. Ou seja, Logo, o total de anagramas é: 2 P4 = 2 4! = 48 anagramas. Alternativa correta: B. 4) Notemos que na palavra EDUCATIVO há 5 vogais e 4 consoantes. Assim, fixemos na primeira letra uma das 5 vogais na ultima letra, fixemos uma das 4 letras e permutemos o resto das letras Logo, o total de anagramas é: 5 P7 4 = 20 P7 anagramas.

6 Alternativa correta: E. 5) Analisando as afirmações: I) É verdadeira, pois, se permutarmos todas as letras da palavra ENIGMA, teremos: P6 = 6! = 720 anagramas. II) É falsa. Fixemos a ultima letra A, e permutemos a o restante das letras:e N I G M A. Logo, P5 = 5! = 120 anagramas, e não 25. III) É verdadeira, pois, se fixarmos as primeiras letras como sendo EN e permutarmos o restante das letras, temos: E N I G M A Logo, P4 = 4! = 24 anagramas. Alternativa correta: E. Arranjo Simples Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são: 312, 321, 132, 123, 213, 231 Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem. A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:, =!. Onde, n é quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p é ( )! a classe ou a ordem do arranjo (p n). Exercícios de aplicação: 1) O segredo de um cofre é constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 26 do alfabeto) seguidas de três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabendo-se que a letra da esquerda é uma vogal e que o último é par, qual é o número máximo de tentativas que devem ser feitas para abrir esse cofre? 5 x 25 x 9 x 8 x 5 = tentativas. Letras Algarismos

7 2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vicediretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha? Veja a tabela: Cargo Direto Vice- Coord.- r Direto Pedagógic r o Possibilidade s Logo: 18 x 17 x 16 = 4896 possibilidades. 3) Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos. Sabendo que ela possui em seu guardaroupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá colocar seus sapatos na mala? Como Júlia não poderá repetir os pares, então ela terá: 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = ) Usando-se os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números diferentes com dois algarismos podemos formar? São eles: 11,12,13,14,15 21, 22, 23, 24, 25 31, 32, 33, 34, 35 41, 42, 43, 44, 45 51, 52, 53, 54, 55 Logo, 5 x 5 = 25. 5) Quatro times de futebol A, B, C e D, disputam um torneio, onde são atribuídos prêmios ao campeão e ao vice campeão. De quantos modos os prêmios podem ser atribuídos?

8 1 lugar 2 lugar A, A, A B, B, B C, C, C D, D, D B, C, D A, C, D A, B, D A, B, C Logo, 4 x 3 = 12. Combinação Simples Combinação simples são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos P um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de P elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples P a P, dos n elementos de A. Exemplo: 1) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação por: A: Ane; E: Elisa; R:Rosana; F:Felipe e G:Gustavo.Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A,E,R,F,G}.A ordem em que os elementos aparecem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa- Ane. Então, os subconjuntos de 2 elementos são: {A,E};{A,R};{A,F},{A,G},{E,R};{E,F};{E,G};{R,F};{R,G};{F,G} A esses subconjuntos chamamos de combinações simples de 5 elementos tomando com 2 elementos,ou tomados 2 a 2, e escrevemos C 5,2. Como o número total dessas combinações é 10, escrevemos C 5,2 =10.

9 C n, p =!!( )! Exercícios de aplicação: 1) Quantas combinações de respostas corretas temos numa prova de 60 questões com 5 opções cada questão? 2) De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma microempresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? 3) Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças vai viajar num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atrás. Sabendo-se que só 2 pessoas podem dirigir e que as crianças devem ir atrás e na janela,o número total de maneiras diferentes através das quais estas 5 pessoaspodem ser posicionadas, não permitindo crianças irem no colo de ninguém, é igual a: A) 120 C) 48 E) 8 B) 96 D) 24 4) De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo a sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição? Soluções: 1) Cada questão tem uma resposta correta. Temos, por questão, um total de C 5,1 = 5 combinações. Usando o princípio fundamental da contagem, temos então, em 60 questões, um total de C 5,1 60 = 300 combinações. 2) Vamos nomear os empregados: C, D, E e F. O empregado C pode pertencer à categoria A, B ou às duas. Logo, ele tem três possibilidades. Se o empregado C tem essas três possibilidades, os outros empregados também tem, não é? Utilizando o PFC temos: = 81. 3) Seja Ja ejb lugares onde as crianças podem ficar. Como tem 2 crianças, 2 possibilidades para Ja e 1 para Jb. Restam 3 adultos. Seja x,y,z os adultos. Se só x e y que podem dirigir, tem 2 possibilidades para ocupar o lugar de motorista. 2 _ 2_1 sobraram 2 adultos, 2 possibilidades para ocupar o lugar da frente, e sobra 1 para ficar entre as crianças. Assim: = 8. 4) São 5 jogadores a serem escolhidos entre 12. Então, teríamos = possibilidades se estivéssemos calculando um arranjo. Como é uma

10 combinação, então devemos dividir os resultados pelo fatorial dos elementos escolhidos, que foram 5 elementos: = 792 possibilidades.! Arranjo com Repetição O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez. Onde n é o total de elementos e ro número de elementos escolhidos. Exercícios de aplicação: 1) Quantos resultados diferentes existem num teste com dez perguntas de verdadeiro ou falso? 2 10 = ) Quatro amigos dirigem-se a uma pastelaria para comprarem, cada um, um bolo. Nessa pastelaria existem sete bolos diferentes à escolha. De quantas maneiras diferentes pode ser feita a escolha dos bolos? 7 4 = ) Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 10 4 = ) Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras do nosso alfabeto? 26³ = Ao realizarmos a sequência descrita acima, pudemos perceber que os alunos tiveram facilidade em entender o assunto. A forma de aplicação do conteúdo estruturou nos alunos um raciocínio que eles não estavam acostumados. Não ficaram presos ao uso de fórmulas e receitas de bolo. =