PREPARATÓRIO PROFMAT - UNIRIO PROFESSOR JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 PREPARATÓRIO PROFMAT - UNIRIO PROFESSOR JOÃO CARLOS CATALDO ANÁLISE COMBINATÓRIA Questão 1: Entre duas cidades A e B existem três empresas de avião e cinco de ônibus. Uma pessoa precisa fazer a viagem de ida e volta. Ela vai de avião e deve voltar em outra qualquer dessas empresas, de avião ou de ônibus. Calcule o número total de pares de empresas que podem ser escolhidas. Suponha que as empresas de ônibus sejam 0 1 ; 0 2 ; 0 3 ; 0 4 ; 0 5 e as de aviação A 1 ; A 2 ; A 3. Se a pessoa escolhe a empresa A 1 para ir, poderá voltar então por qualquer outra de avião (A 2 e A 3 ) ou de ônibus (0 1 ; 0 2 ; 0 3 ; 0 4 ; 0 5 ) tendo neste caso, escolhas diferentes. Se escolher A 2 para ir, igualmente terá escolhas para a voltar (A 1, A 3, 0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 5 ). Como para ida pode ser escolhida qualquer empresa de aviação, temos opções; para cada uma delas, a volta pode ser feita de modos. Portanto, o número total de pares de empresas que ele tem disponível é: x = Atenção! O problema anterior ilustra um princípio fundamental da Análise Combinatória, que é conhecido por Princípio da Multiplicação. Consideremos um acontecimento formado por 2 etapas sucessivas. Suponhamos que a 1ª etapa possa ocorrer de p modos distintos e que, para cada resultado da 1ª, a 2ª etapa possa ocorrer de q modos distintos. Então o acontecimento pode ocorrer de modos distintos. Questão 2: Considere os algarismos 0,1,2,3,4. Usando apenas esses algarismos calcule: a) a quantidade de números inteiros de 4 algarismos distintos que podemos formar. b) a quantidade de números pares de 4 algarismos diferentes que podemos escrever. (a) Observe que na ordem das unidades de milhar o zero não pode ser utilizado pois 0267 é considerado um número de três algarismos. Assim temos: ordem das unidades de milhares: escolhas. ordem das centenas simples: escolhas. ordem das dezenas simples: escolhas. ordem das unidades simples: escolhas. Esquematizando: Um Cs Ds Us 1

2 Logo, pelo princípio multiplicativo temos números. Outra solução: Podemos calcular a quantidade números com ou sem o zero nas unidades de milhares e, em seguida, subtrair aqueles que começam por zero. Esquematizando: 1º) com ou sem o zero na unidade de milhares: Um Cs Ds Us 2º) com o zero na unidade de milhares: Um Cs Ds Us Assim, o total de números inteiros com 4 algarismos distintos é: (b) solução: Dividiremos o problema em duas etapas: 1º) Números com algarismos das unidades zero. unidade de milhar: escolhas centenas simples: escolhas dezenas simples: escolhas Esquematicamente: Um Cs Ds 0 Total 1: 2º) Números com algarismos das unidades diferentes de zero. unidades simples: escolhas (só ou ) unidades de milhar: escolhas centenas simples: escolhas dezenas simples: escolhas Esquematicamente: Um Cs Ds Us Total 2 : Total Geral: Atenção! O problema anterior ilustra outro princípio fundamental da Análise Combinatória, que é conhecido por Princípio Aditivo. Considere dois conjuntos disjuntos A e B, isto é, conjuntos cuja interseção é vazia. O número de elementos de A B é igual à soma do número de elementos de A com o número de elementos de B. Que relação existe se a interseção não é vazia? 2

3 Questão 3: Quatro pessoas vão entrar em fila. Quantas filas diferentes podem ser formadas? Devemos formar a fila sem repetir uma pessoa em duas posições diferentes da fila. 1ª posição escolhas 2ª posição escolhas 3ª posição escolhas 4ª posição escolhas Logo, pelo princípio multiplicativo, o número de filas é. Atenção! Cada fila formada por n elementos, escolhidos em um conjunto que possui n elementos, será chamada de permutação simples desses n elementos. Conforme o problema anterior, o número de permutações simples de n objetos é igual a: P n = n!, ou seja, P n = n.(n 1).(n 2).(n 3) Questão 4: Marta, Nicole e João podem escolher entre cinco bebidas: café, mate, guaraná, laranjada ou limonada. Se cada um vai escolher apenas uma bebida, calcule o número total de resultados possíveis das três escolhas dessas pessoas: a) sem mais restrições; b) considerando as três bebidas diferentes. (a) solução: 1º para bebida de Marta escolhas 2º para bebida de Nicole escolhas 3º para bebida de João escolhas Esquematizando 1º 2º 3º Logo, pelo princípio multiplicativo, o número de resultado dessas escolhas é:. (b) solução: 1º para bebida de Marta escolhas 2º para bebida de Nicole escolhas 3º para bebida de João escolhas Esquematizando 1º 2º 3º Logo, pelo princípio multiplicativo, o número de resultado dessas escolhas é:. Atenção! Até agora calculamos o número de grupos que são ordenados, isto é, os elementos que formam cada grupo tem uma ordem estabelecida. Vamos chamar esses grupos de listas ou sequências. Por exemplo: no item (b) do problema anterior, a lista (café, mate, laranjada) é diferente de (mate, café, laranjada) porque na primeira a Marta 3

4 escolhe café enquanto na segunda a opção dela é mate. No próximo problema vamos calcular o número de grupos não ordenados. Questão 5: Considere o conjunto M { a, b, c, d, e} = de 5 elementos distintos. Calcule o número de subconjuntos de M que podemos formar com apenas 2 elementos. _; _ Cada subconjunto tem a forma: { } De quantos modos podemos escolher dois elementos de M para ocupar os dois espaços? 1º espaço escolhas 2º espaço escolhas pois não podemos repetir elemento Esquematizando {_; _} Pelo princípio multiplicativo, temos modos de preencher, porém, nesse cálculo há repetições, isto é, estamos contando o mesmo subconjunto duas vezes. a; b = b; a ; logo, esses grupos de dois elementos não são ordenados. Observe que { } { } Como cada subconjunto foi contado duas vezes, é preciso dividir por dois. Portanto, o número de subconjuntos é. Questão 6: Considere um sorteio de 3 pessoas em um grupo de 6. Cada uma dentre as sorteadas vai receber uma caneta. Se as canetas são iguais, calcule o número de resultados diferentes dessa premiação. Para premiação devemos escolher três pessoas nesse conjunto de seis. É claro que não pode haver, nessa escolha, repetições, então temos: 1ª pessoa escolhas 2ª pessoa escolhas 3ª pessoa escolhas Esquematizando 1ª 2ª 3ª Pelo princípio multiplicativo, temos modos de escolher as três pessoas. Porém, nessa escolha, há grupos de pessoas repetidos. Observe que fixando três pessoas A, B e C podemos escrever os grupos ABC = ACB = BCA = BAC = CBA = CAB que correspondem a mesma premiação e são as permutações simples de 3 elementos. Isto significa que, usando o princípio multiplicativo, cada grupo premiado é contado P 3 = vezes. Portanto, é preciso dividir por 3! = 6. Logo o número de triângulos é. 4

5 Questão 7: De uma urna com 7 bolas de cores distintas, retiram-se um grupo de 4 bolas. Dois grupos são considerados diferentes quando têm ao menos uma cor diferente. Calcule o número total de extrações distintas que podemos obter. Considere que as cores são A, B, C, D, E, F e G. Temos que formar grupos de 4 elementos escolhidos entre esses sete. Note que cada grupo é um subconjunto do conjunto de bolas, porque a ordem das cores não altera o grupo. 1ª bola escolhas 2ª bola escolhas 3ª bola escolhas 4ª bola escolhas Esquematizando 1ª 2ª 3ª 4ª Pelo princípio multiplicativo, temos grupos de 4 bolas. Porém, note que as extrações ABCD e DCBA que têm apenas ordens diferentes, constituem a mesma retirada, isto é, a ordem não importa. Dessa forma, usando o princípio multiplicativo, estamos contando o mesmo grupo extraído, tantas vezes quantos são as permutações simples de 4 elementos: P 4 = ; assim, temos que dividir por. Logo, o número de extrações das 4 bolas dessa urna é:. Atenção! O número de grupos não ordenados de p elementos escolhidos em um conjunto de n elementos corresponde ao número de subconjuntos de p elementos extraídos de um conjunto com n elementos. Cada subconjunto será chamado de combinação simples de n elementos tomados p a p. Esse número de combinações simples será indicado por:. Conforme os problemas anteriores = ! Multiplicando-se o numerador e o denominador por! obtemos o seguinte resultado! =!! Com isso podemos concluir que =. Questão 8: Quantos são os subconjuntos de um conjunto com 7 elementos? Este problema pode ser resolvido diretamente pelo princípio multiplicativo. Basta perceber que qualquer dos 7 elementos pode ou não pertencer ao subconjunto; assim, temos sempre 2 escolhas para cada elemento: 5

6 Esquematizando {,,,,,, } Pelo principio multiplicativo, o número de subconjuntos é:. Outra solução: O número de subconjuntos é igual ao número de combinações simples, então: - Subconjuntos com 0 elementos (conjunto vazio ) C = 1 - Subconjuntos com 1 elemento C 7 = - Subconjuntos com 2 elementos - Subconjuntos com 3 elementos - Subconjuntos com 4 elementos - Subconjuntos com 5 elementos - Subconjuntos com 6 elementos - Subconjunto com 7 elementos 0 7 Total : C + c + C + C + C + C + c + c = subconjuntos Atenção! O número total de subconjuntos de um conjunto de m elementos distintos é 2. Questão 9: Numa embaixada trabalham oito brasileiros e seis estrangeiros. Quantas comissões de cinco funcionários podem ser escolhidas, de modo que cada uma seja formada por três brasileiros e dois estrangeiros? A formação de comissões nas condições pedidas, pode ser desmembrada em 2 etapas: 1ªetapa: escolha de 3 brasileiros. 2ªetapa: escolha de 2 estrangeiros. Ora, cada escolha de 3 brasileiros corresponde a um grupo não ordenado de 3 elementos distintos, obtidos dos oito brasileiros existentes, isto é, cada escolha de 3 brasileiros corresponde a uma combinação simples dos 8 brasileiros, 3 a 3. Assim, o número de escolhas dos 3 brasileiros é igual ao número de combinações simples de 8 elementos, 3 a 3. Raciocínio análogo se aplica à escolha dos 2 estrangeiros. Esquematizando 1ª etapa: escolhas 2ª etapa: escolhas. Como para cada subconjunto de três brasileiros escolhidos há sempre o mesmo número de escolhas dos dois estrangeiros, obtemos, pelo princípio multiplicativo, o n o de comissões igual a: =. 6

7 Questão 10: Uma urna contém 12 bolas idênticas, das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos podemos tirar 5 bolas da urna, das quais pelo menos 3 são brancas? Devemos retirar 3, 4 ou 5 bolas brancas. Usando o raciocínio do problema anterior temos as seguintes possibilidades de retiradas: _3_ brancas e _2_ pretas escolhas, _4_ brancas e pretas escolhas ou brancas e pretas escolhas. Logo, o número total de modos e tirar, nessas condições, as 5 bolas é. Questão 11 Em um congresso de professores há 5 professores de Física e 5 de matemática. Quantas comissões de 3 professores podem ser formadas: a) sem restrições? b) havendo pelo menos um professor de matemática? a) b) Para se obter as comissões em que há pelo menos um professor de matemática, basta subtrair do total de comissões (item a) aquelas em que não há professores de matemática; assim, temos: pelo menos um professor de matemática Questão 12: Dispomos de 10 pontos dos quais 6 são colineares e pertencem a reta r. Considere que três desses pontos são colineares apenas se estão em r. Calcule o número máximo de triângulos que podemos formar com os vértices nesses pontos. Podemos imaginar, inicialmente, que para cada 3 pontos escolhidos poderemos construir um triângulo. Dessa forma teríamos: triângulos. Mas é fácil observar que se os 3 pontos escolhidos estiverem sobre a reta r, não estaremos formando triângulo algum. Logo, devemos subtrair deste total, o número de combinações dos 6 pontos da reta r, tomados 3 a 3. Portanto, o número de triângulos é igual a: - = Questão 13: Uma empresa distribui, para cada candidato a emprego, um questionário com três perguntas. Na primeira o candidato deve declarar sua escolaridade escolhendo uma entre cinco alternativas. Na segunda deve escolher, com ordem de preferências, três das seis filiais onde gostaria de trabalhar. Na última, deve escolher os dois dias da semana em que quer folgar. Quantos questionários, com conjuntos diferentes de respostas, o examinador pode encontrar? 7

8 Questão 14: Quantos são os números de 3 algarismos em que figura o algarismo 1? Questão 15: João que trabalha de 2ª a 6ª feira, pode ir para o trabalho e dele regressar de ônibus, de trem ou no seu próprio carro. É claro que quando vai de carro, ele obrigatoriamente volta nele também. Para programar os meios de transportes que usará na próxima semana, com quantas opções João poderá contar? Questão 16: Jogar em uma loteria consiste em escolher de 6 até 10 entre 50 números. O apostador leva o prêmio, se todos os seis números sorteados estiverem entre as suas escolhas. Um jogo simples corresponde à escolha de apenas 6 números. João escolheu 10 números, o que corresponde a vários jogos simples, pagando R$ 525,00. Calcule o valor correspondente de cada aposta simples. Questão 17: Um cartão de Loteria Esportiva tem 13 jogos e cada jogo pode dar os seguintes resultados: vitória do 1º time, empate ou vitória do 2º. Quando o apostador marca dois ou três possíveis resultados para um mesmo jogo dizemos que foi feita uma aposta dupla ou tripla, dizemos ainda que ele teve um palpite duplo ou triplo, respectivamente. Calcule o número total de cartões distintos que podem ser preenchidos com a) todas as apostas simples; b) apenas um palpite duplo; c) com exatamente três palpites duplos e dois triplos. Questão 18: Um carro de montanha russa é formado por 3 bancos de dois lugares cada. Considerando apenas as posições relativas entre as pessoas, de quantos modos três rapazes e três moças podem ocupar este carro de modo que em cada banco fique um rapaz e uma moça? Questão 19: Francisco pegou em seu laboratório frascos com oito compostos químicos distintos, etiquetados com números de 1 a 8. Ele sabe que os compostos 2 e 4, quando misturados, explodem. De quantas maneiras ele pode misturar três compostos, de maneira que não ocorra explosão? Questão 20: Um experimento consiste em lançar uma moeda 6 vezes. Considera-se um resultado desse experimento à sequência das faces obtidas no 1º, 2º, 3º, 4º, 5º e 6º lançamento, respectivamente. Calcule o número de resultados possíveis desse experimento apresentando 4 caras e 2 coroas. Questão 21: Uma fila única vai ser formada por um grupo com dez clientes de um banco. Cinco mulheres desse grupo vão ficar juntas, isto é, em posições consecutivas. Calcule o número de modos de posicionar as 10 pessoas nessa fila. 8

9 Questão 22: Calcule o total de números formados com algarismos distintos maiores que 5000 e menores que 9000 e que são divisíveis por 5. Vamos separar dois casos: 1º) o número termina em zero: 5000 < 0_ < 9000 Para o algarismo das unidades de milhar há escolhas (5, 6, 7, ou 8). Para o das centenas simples há escolhas ( qualquer algarismo exceto 0 e o já escolhido). Para as dezenas simples há escolhas. Pelo princípio multiplicativo temos: = números. 2º) o número termina em 5: 5000 < 5_ < 9000 Para o algarismo das unidades de milhar há escolhas (6, 7, ou 8). Para o das centenas simples há escolhas ( qualquer algarismo exceto 5 e o já escolhido). Para as dezenas simples há escolhas. Pelo princípio multiplicativo temos: = números. O total de números é: + = Questão 23: Calcular a soma de todos os números de 5 algarismos distintos formados com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. O número de parcelas é igual ao número de permutações de 5 algarismos: P 5 =. Escrevendo em coluna todos os números para soma-los: Temos 5 colunas de algarismos e em qualquer coluna, cada algarismo aparece tantas vezes quanto são as permutações dos outros 4, isto é, ; Isso significa que a soma dos algarismos em cada coluna é: ( ) + ( ) ( ) = 24.( ) = vezes 24 vezes 24 vezes A soma das colunas em cada ordem corresponde aos seguintes valores: - coluna das unidades simples coluna das dezenas simples coluna das centenas simples Total = - coluna das unidades de milhar - coluna das dezenas de milhar 9

10 Outra solução Observe que em particular, nesse problema, os algarismos estão em P.A. (1, 3, 5, 7, 9) de modo que = = 5 + 5, então pode-se sempre arrumar duas permutações do seguinte modo: Isto significa que a soma de duas permutações convenientemente escolhidas é sempre a mesma. Então a soma de todas as permutações é: Questão 24: Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças iguais no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as quatro peças poderão ser colocadas? Questão 25: Um conjunto tem 8 pessoas, das quais vamos escolher - um grupo de 4. Calcule o número total de grupos diferentes que podemos escolher. - dois grupos de 4. Calcule o número total de pares diferentes de grupos que podemos escolher. Questão 26: Um grupo de oito amigos vai acampar. Para isto, levarão duas barracas de três lugares e uma barraca de dois lugares. Quantas distribuições diferentes dos amigos podem ser organizadas para ocupar as barracas? Questão 27: De quantos modos podemos decompor 12 objetos distintos em três grupos de quatro objetos? Questão 28: De quantos modos pode-se organizar a tabela da 1ª rodada de um campeonato de futebol com apenas 8 clubes, que vão jogar domingo? Questão 29: Sete bolas iguais devem ser colocadas em 3 caixas diferentes sem que nenhuma caixa fique vazia. A figura abaixo ilustra uma dessas possíveis arrumações. Calcule o número total de resultados possíveis dessas arrumações. Questão 30: Em um plano, 6 retas paralelas são cortadas por 5 retas também paralelas. Determine o número de paralelogramos, cujos lados estão contidos nessas retas. 10

11 Questão 31: Cem mil candidatos compareceram a uma prova do vestibular, que tinha 25 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão. Considere a afirmação pelo menos 2 candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira? (Considere log 5 = 0,70) Para a primeira questão, há 5 opções de resposta. Para cada uma dessas 5, a segunda questão também apresentará 5 opções e assim por diante. Utilizando o princípio multiplicativo, vemos que há (k fatores iguais a 5), logo são 5 k modos de responder k questões. Para haver, com certeza, pelo menos 2 pessoas com as mesmas respostas, é necessário que haja no mínimo (5 k +1) pessoas fazendo a prova. Portanto, 5 k k < log 5 k < log k.log 5 < 5 k < k < k < 7,142 log 5 0,70 Como o número de questões é inteiro, o maior k que satisfaz a condição acima é k = 7. Questão 32: Suponha que todos os anagramas da palavra ROLHA tenham sido colocados em ordem alfabética. Nessa sequência, qual é a posição da palavra OLHAR? Palavras que começam com A _A há palavras. - Palavras que começam com H _H há palavras. - Palavras que começam com L _L há palavras. - Palavras que começam com O _O há escolhas para 2ª letra (A ou H) e 3! = 6 modos de escolher as outras. Logo há palavras. - Palavras que começam com OL _O L há 1 escolha para 3ª letra (A) e apenas 2! = 2 modos de escolher as outras. - Palavras que começam com OLH _O L H há 1 escolha para as outras duas letras (AR). Portanto, o número de palavras até OLHAR é igual a = 87, então a palavra olhar é a 87ª. Questão 33: Deseja-se transmitir sinais luminosos de um farol, representado pela figura abaixo. Em cada um dois seis pontos de luz do farol existem uma lâmpada branca e uma vermelha. Sabe-se que em cada ponto de luz não pode haver mais que uma lâmpada acesa e que pelo menos três pontos de luz devem ficar iluminados. Determine o número total de configurações que podem ser obtidas. 11

12 Questão 34: Cada uma de dez crianças vai receber um presente. Os presentes são diferentes e foram colocados em fila. A regra é que depois da primeira criança pegar seu presente, as seguintes só podem escolher aquele que está ao lado de um que já foi retirado. Calcule o número total de modos de ocorrer essa premiação. Respostas ) C 7 ; 14) 252; 15) 5 ; 6 16) C 10 apostas simples e cada uma custa R$ 2, ) a) 3, b) 13 3, c) C13 3 C ; 18) 288; 19) 56 6 = 50; 2 6! 20) C 6 = ; 4!2! 21) 5! 6!; 22) = 392 ; 23) ; 24) = 576 ; 25) ) C C C ! C C e C12 C8 C4 27) 3! C8 C6 C4 C2 28) = 105 4! )C 6 ; 30) C6 C5 = 150; ) C 2 + C 2 + C 2 + C 2 = )