QUESTÕES n = 100 Fonte: Toledo (1985) Determinar: a) Desvio quartil. b) Desvio médio. c) Desvio padrão.
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1 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA CEAD/UFPI-UAB/CAPES CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO 2ª Atividade Probabilidade e Estatística QUESTÕES 1. A tabela abaixo representa os salários pagos a 100 operários da empresa GLT & Cia. Nº de Salários Mínimos (x i ) Nº de Operários (f i ) n = 100 Fonte: Toledo (1985) Determinar: a) Desvio quartil. b) Desvio médio. c) Desvio padrão. 2. Dados os conjuntos A = {1000, , 1003, 1004, 1005} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, podemos afirmar que: a) O desvio padrão A é igual a 1000 vezes o desvio padrão de B. b) O desvio padrão de A é igual ao desvio padrão de B. c) O desvio padrão de A é igual ao desvio padrão de B multiplicado pelo quadrado de d) O desvio padrão de A é igual ao desvio padrão de B dividido por A tabela abaixo representa a vida útil de postes telefônicos de madeira: Anos Nº de postes substituídos 0,5 2,5 11 2,5 4,5 47 4,5 6,5 87 6,5 8, ,5 10, ,5 12, ,5 14, ,5 16, ,5 18, ,5 20,5 6 20,5 22, Fonte: Toledo (1985) Pede-se: a) O desvio padrão. b) A variância; c) O coeficiente de variação de Pearson. 4. Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-los, quantos números pares podemos formar?
2 2 5. Resolva a equação (n 4)! = Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, incluindo sempre o algarismo 4? 7. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 8. Quantos anagramas da palavra EDITORA: a) Começam com A? b) Começam com A e terminam com E? 9. Em relação à palavra ESCOLA: a) Quantos anagramas podem ser formados? b) Quantos anagramas não possuem duas consoantes ou duas vogais juntas? c) Quantos anagramas possuem as 3 vogais sempre juntas? 10. Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de saladas, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitas? 11. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Ela não tenha defeitos graves. b) Ela não tenha defeitos. c) Ela não tenha defeitos ou tenha defeitos graves. 12. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de: a) Todas pretas. b) Exatamente uma branca. c) Ao menos uma preta. 13. Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro período do Curso de Sistema de Informações da UAPI. Destes alunos, 100 são homens (H) e 150 mulheres (M), 110 cursam Física (F) e 140 fazem o curso de Química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte: Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando Química, dado que é mulher? 14. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) A e B ganharem alternadamente. 15. Lançam-se três moedas. Seja X: n de ocorrências da face cara. Determinar Distribuição de probabilidade de X. 16. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: n de bolas brancas. Determinar a distribuição de Probabilidade de X. 17. (Ufba 2011) Considere o conjunto de todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os algarismos 1, 3, 5, 8 e 9. Escolhendo, aleatoriamente, um elemento desse conjunto, calcule a probabilidade de o número escolhido ser menor que o número
3 18. (Ufpr 2010) Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, ) a) Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve aparecer obrigatoriamente e uma única vez? b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitos são distintos e o dígito 3 aparece obrigatoriamente? 19. (Unesp 2016) Está previsto que, a partir de 1º de janeiro de 2017, entrará em vigor um sistema único de emplacamento de veículos para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil. As novas placas serão compostas por 4 letras e 3 algarismos. Admita que no novo sistema possam ser usadas todas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os 10 algarismos, também incluindo repetições. Admita ainda que, no novo sistema, cada carro do Mercosul tenha uma sequência diferente de letras e algarismos em qualquer ordem. Veja alguns exemplos das novas placas. 3 No novo sistema descrito, calcule o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra-Algarismo- Algarismo-Algarismo-Letra-Letra, nessa ordem. Em seguida, calcule o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em qualquer ordem na placa. Deixe suas respostas finais em notação de produto ou de fatorial. 20. (Ufg 2014) Uma caixa contém doze presentes diferentes. Quatro crianças, uma de cada vez, deverão escolher aleatoriamente três presentes da caixa de uma só vez. Nessas condições, encontre a quantidade possível de maneiras diferentes que esses presentes poderão ser distribuídos para essas quatro crianças. 21. (Unifesp 2014) Uma população de 10 camundongos, marcados de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camundongos, apenas 2 têm certa característica C1, 5 têm certa característica C2 e nenhum deles tem as duas características. Pergunta-se: a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camundongos com a característica C1 esteja no grupo sorteado? b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha apenas 1 camundongo com a característica C1 e ao menos 2 com a característica C2? 22. (Uerj 2013) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes vermelha, amarela e verde. Observe a figura:
4 4 Considere as seguintes informações: cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez; qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas; duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente. Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir. 23. (Ufmg 2013) Permutando-se os algarismos do número , formam-se números de seis algarismos. Supondo-se que todos os números formados com esses seis algarismos tenham sido colocados numa lista em ordem crescente, a) DETERMINE quantos números possui essa lista. b) DETERMINE a posição do primeiro número que começa com o algarismo 4. c) DETERMINE a posição do primeiro número que termina com o algarismo (Fgv 2013) No estande de vendas da editora, foram selecionados 5 livros distintos, grandes, de mesmo tamanho, e 4 livros distintos, pequenos, de mesmo tamanho. Eles serão expostos em uma prateleira junto com um único exemplar de Descobrindo o Pantanal. a) De quantas maneiras diferentes eles podem ser alinhados na prateleira, se os de mesmo tamanho devem ficar juntos e Descobrindo o Pantanal deve ficar em um dos extremos? b) No final da feira de livros, a editora fez uma promoção. Numerou os livros da prateleira de 1 a 10, e sorteou um livro para o milésimo visitante do estande. Qual é a probabilidade expressa em porcentagem de o visitante receber um livro cujo número seja a média aritmética de dois números primos quaisquer compreendidos entre 1 e 10? 25. (Ufrn 2013) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro partes, como mostra a figura a seguir. No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos, serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do ensino médio. A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões para a disposição das cores no quadro. Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. 26. (Ufpe 2012) Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade para 3 pessoas (excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos podem ser organizados para a travessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a soma dos dígitos. 27. (Fgvrj 2012) a) Oito meias azuis idênticas e oito meias pretas idênticas estão em uma gaveta em um quarto escuro. Quantas meias, no mínimo, uma pessoa deve apanhar para ter certeza de conseguir 1. um par de meias da mesma cor? 2. um par de meias azuis?
5 b) Bruna tem exatamente R$ 64,00. Ela aposta quatro vezes no lançamento de uma moeda. A cada vez, aposta exatamente metade da quantia que tem. Bruna ganha ou perde a quantia apostada. Ela vence em metade dos lançamentos da moeda. Qual será sua quantia no final? 28. (Ufes 2015) Uma associação de moradores arrecadou 2160 camisas, 1800 calças e 1200 pares de sapatos, que serão todos doados. As doações serão dispostas em pacotes. Dentro de cada pacote, um item poderá ter quantidade diferente da dos demais itens (por exemplo, a quantidade de camisas não precisará ser igual à de calças ou à de pares de sapatos); porém, a quantidade de camisas, em todos os pacotes, deverá ser a mesma, assim como a quantidade de calças e a de pares de sapatos. a) Determine o maior número possível de pacotes que podem ser preparados e qual a quantidade de camisas, de calças e de pares de sapatos que, nesse caso, haverá em cada pacote. Justifique. b) Pedro recebeu um pacote de doações com camisas diferentes, m calças diferentes e n pares de sapatos diferentes. Calcule a quantidade de escolhas, que ele pode fazer, de um conjunto contendo apenas 1 camisa, 1 calça e 1 par de sapatos do pacote. 29. (Fgv 2010) Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma senhora quer usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De quantos modos diferentes pode colocá-los, se não vai por nenhum anel nos polegares? 5
6 6 GABARITO 1) a) 1,88 b) 2,02 c) 2,48 2) b 3) a) 3,767 b) 14, c) 0,353 ou 35,3% 4) ) n = 9 6) 168 7) ) a) 720 b) 120 9) a) 720 b) 72 c) ) ) a) 7/8 b) 5/8 c) 3/4 12) a) 4/33 b) 5/11 c) 31/33 13) 80/150 14) a) 1/8 b) 5/36 15) x P(x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 2 1/8 1 16) x P(x) 0 27/ / / /343 Gabarito: 17)
7 P ) a) b) 216 P = 21,6% 10,10,10 19) Para calcular o total de placas possíveis com o formato Letra-Letra-Algarismo-Algarismo-Algarismo-Letra-Letra pode-se escrever, com base nas possibilidades de cada item: Para calcular o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) em 4 qualquer ordem na placa, deve-se primeiro considerar a posição das letras. Ou seja: C7 35. Assim, há 35 possíveis combinações de 4 letras e 3 algarismos. Pelo princípio fundamental da contagem, para cada letra há 26 possibilidades e cada algarismo 10 possibilidades. Logo, o total geral de possibilidades de placas com 4 letras (incluindo 4 3 repetição) e 3 algarismos (incluindo repetição) é de ) C12,3 C9,3 C6,3 C3, ! 3! 3! 21) C8, a) (Onde C 8,4 é a quantidade de sorteados em que nenhum camundongo tenha a C10, característica C 1) b) C5,1 C5,2 C3,1 C2,1 C 5, C10,4 C )
8 8 1ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir é dado por ! 5! 3! ! 5! 2! 3! 1! 2! ª Solução: O número de mensagens distintas que o sistema pode emitir corresponde ao número de permutações de 8 lâmpadas, sendo 3 vermelhas, 2 verdes, 1 amarela e 2 apagadas, ou seja, (3, 2, 2) 8 P 8! 3! 2! 2! ) a) = 720. b) Começando com 1: 5! = 120 Começando com 2: 5! = 120 Começando com 3: 5! = 120 Logo, o primeiro número que começa por quatro ocupa a 361ª posição. c) A posição do primeiro número que termina em 2 é a trigésima quarta, pois ) a) Temos 2 maneiras de dispor os blocos de livros grandes e pequenos, e 2 maneiras de escolher onde ficará o exemplar de Descobrindo o Pantanal. Além disso, os livros grandes podem ser dispostos de 5! maneiras, e os livros pequenos de 4! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado é 2 2 5! 4! b) Os primos compreendidos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5 e 7. Logo, os casos favoráveis são: 2 (média aritmética de 2 e 2), 3 (média aritmética de 3 e 3), 4 (média aritmética de 3 e 5), 5 (média aritmética de 3 e 7), 6 (média aritmética de 5 e 7) e 7 (média aritmética de 7 e 7). Portanto, como podem ser sorteados 10 números, segue que a probabilidade pedida é 6 100% 60% ) Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para escolher a cor do terceiro retângulo horizontal.
9 9 Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos servidores e alunos. 26) 10. Existem 10 modos de escolher a pessoa que irá cruzar o rio na jangada do casal. Além disso, as 9 pessoas restantes podem ser distribuídas nas outras 3 jangadas de ! 6! 1 3! 3! 6! 3! 3! 3! modos. Portanto, pelo PFC, segue que o resultado pedido é dado por ) a) i) Como existem apenas duas cores, se retirar duas meias ela poderá obter um par de cores diferentes. Assim, retirando a terceira meia, ela terá, necessariamente, um par da mesma cor. ii) Retirando oito meias, todas poderão ser pretas. Logo, para ter certeza de que irá retirar um par de meias azuis, ela deve apanhar, no mínimo, 10 meias. b) Ganhando a aposta, Bruna ficará com 3 2 da quantia que possui. Se perder a aposta, ficará com 1 2 da quantia que tinha antes da aposta. Desse modo, vencendo duas apostas, ela ficará com R$ 36, ) a) O maior número possível de pacotes corresponde ao máximo divisor comum dos números de camisas, calças e pares de sapatos, isto é, ao 3 mdc(2160, 1800, 1200) Portanto, em cada pacote haverá camisas, calças e pares de sapatos. 120 b) Pelo Princípio Multiplicativo, Pedro pode escolher um conjunto contendo 1 camisa, 1 calça e 1 par de sapatos de m n maneiras 29) = 336
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